Resolución de ejercicios y problemas utilizando GeoGebra

1. Actividades para resolver
con GeoGebra
y
Resolución de Problemas
2º ENCUENTRO: 24 de octubre de 2011

2. ACTIVIDAD 1: Sistemas de Ecuaciones
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando
GeoGebra: x y 1
IR A LA RESOLUCIÓN
1 2y 4x

3. Pasos para resolver el Sistema de ecuaciones:
 e_1 : x + y = -1 (en la Barra de Entrada Algebraica).
 e_2 : -1 + 2 y = 4 x
 Utilizar la herramienta “Intersección de dos objetos” y
señalar e1 y e2
 Editar las imágenes para obtener la apariencia deseada.
 Para escribir el conjunto solución utilizar la herramienta
ABC “Insertar Texto” y escribir: “Solución: S={” + A + “}”
(siendo A el punto de intersección de las rectas).
OBSERVACIÓN IMPORTANTE EN CUANTO AL USO DE LA
HERRAMIENTA “INSERTAR TEXTO”: Entre comillas se escribe el
texto estático, y se conecta con el texto dinámico a través del signo
+.

4. ACTIVIDAD 2:
EJERCICIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
 Resolver gráficamente con Geogebra:
1. Hallar una recta paralela y otra perpendicular a
r: -2x+ 5y = 4 por el punto A = (2,4).
2. Determinar la ecuación explícita de cada una.

5. CONTINUANDO CON EL EJERCICIO ANTERIOR…
3. Analizar las condiciones de paralelismo y
perpendicularidad, mostrarlas gráficamente.
IR A LA RESOLUCIÓN

6. PASOS PARA LA RESOLUCIÓN
 A=(2,4) (en la Barra de Entrada Algebraica).
 r: -2x + 5y = 4
 Con la herramienta “Recta Paralela” señalar A y r (trazar
una paralela por A a la recta r).
 Con la herramienta “Recta Perpendicular” trazar una
perpendicular a la recta r.
 En el menú contextual de cada recta obtenida cambiar la
forma de expresión de cada una (para obtener la expresión
factorizada).
 Con la herramienta “ Pendiente” determinar la pendiente
de cada recta.
 Con la herramienta “Insertar Texto” escribir el cálculo
ABC
del producto de las pendientes de las rectas
perpendiculares y la igualdad de las pendientes de las
paralelas. (Editar el aspecto visual de toda la construcción)

7. ACTIVIDAD 3: PROBLEMAS Y FUNCIONES…
 Resolver el siguiente problema utilizando GeoGebra:
En un medio de cultivo se introdujeron 500 bacterias que comenzaron a
reproducirse. Al cabo de cierto tiempo se modificó el medio y el número
de bacterias comenzó a disminuir. Se supone que la cantidad de
bacterias, al cabo de “x” minutos, está dada por la fórmula:
f ( x) x 2 40x 500
a) Representar gráficamente e indicar las variables en los ejes.
b) ¿En qué momento la cantidad de bacterias alcanzó su máximo?
¿Cuántas bacterias había en ese momento?
c) ¿Se extingue la población de bacterias en algún momento? Ajustar
gráfica al dominio en el contexto del problema.
d) Obtener la expresión factorizada de la función.

8. Resolución del problema
IR A LA RESOLUCIÓN

9. Pasos para la resolución…
 f ( x) x 2 40x 500 (en la Barra de Entrada Algebraica).
 Indicar variables y unidades de medida en cada eje
utilizando el menú contextual de la vista gráfica.
 Utilizar el comando Extremo[f] (en la barra de entrada
algebraica) para determinar el máximo.
 Utilizar el comando Raíces [f] para determinar el momento
en el que se extinguen las bacterias.
 Utilizar el comando Función [f,0,50] para acotar el dominio
de la función, y ocultar la anterior, renombrar la nueva como
f.
 Editar toda la construcción para hacer visibles todas las
respuestas al problema.

10. ACTIVIDAD 4:PROBLEMA;Tablas y Fórmulas
Usar GeoGebra como ayuda para resolver el siguiente problema:
Dos operadoras de telefonía móvil ofrecen sus servicios con las siguientes
tarifas:
Tarifa fija Costo por minuto
Operadora
mensual ($) ($)
Pulgar 20 0,1
Yastá 0 0,25
Los precios son exactos, no se practica el redondeo al minuto superior en
ningún caso.
a) Crear una tabla de valores del costo total según los minutos consumidos
en un mes, desde 0 minutos hasta 200 minutos (de 20 en 20).
b) Dibujar los valores hallados en una gráfica Costo – Tiempo.
c) Determinar la expresión algebraica que muestra la relación Costo –
Tiempo para cada empresa.
d) ¿Cuánto cobra cada operadora por 110 minutos al mes?
e) ¿A partir de cuántos minutos de consumo mensual resultará más
económica la oferta de “Pulgar” que la de “Yastá”.

11. RESOLUCIÓN
IR A LA RESOLUCIÓN

12. Pasos para la resolución…
Construimos la tabla de valores. Introducimos los cuatro primeros puntos.
· En la celda A1 de la Hoja de Cálculo introducimos (0, 20)
· En la celda A2 de la Hoja de Cálculo introducimos (20, 22)
· En la celda B1 de la Hoja de Cálculo introducimos (0, 0)
· En la celda B2 de la Hoja de Cálculo introducimos (20, 5)
Ahora usaremos el arrastre propio de las hojas de cálculo para crear rápidamente el resto
de los puntos.
· Seleccionamos A1 y A2 y arrastramos la esquina inferior derecha hasta A11.
· Seleccionamos B1 y B2 y arrastramos la esquina inferior derecha hasta B11.
· Seleccionamos A1:A11, seleccionando A1 y arrastrando (no la esquina inferior, sino la
selección) hasta A11. Hacemos clic derecho y elegimos "Crea Lista". Se creará la lista L1.
· Seleccionamos B1:B11, seleccionando B1 y arrastrando hasta B11. Hacemos clic derecho
y elegimos "Crea Lista". Se creará la lista L2.
· Herramienta Ajuste Lineal. Indicamos las listas L1 y L2.
Entrada:
Pulgar = Función[0.1 x + 20, 0, ∞] (para ajustar al dominio del problema)
Yastá = Función[0.25 x, 0, ∞]
x = 110
Con herramienta Intersección indicamos el punto de corte de la gráfica de Pulgar con la
vertical
x = 110, de la gráfica de Yastá con esa vertical y de las gráficas de Pulgar y de Yastá.
Editar toda la construcción para hacer visibles las respuestas del problema.

13. ACTIVIDAD 5:
RESOLVIENDO TRIÁNGULOS…
(TEOREMA DEL COSENO)
Resolver y comprobar utilizando Geogebra:
“Dos carreteras se cruzan en un punto P (formando un
ángulo de 42º). El Edificio Situado en R está a 368 m de
P, mientras que el situado en S está a 426 m de P. ¿A
qué distancia están los edificios entre sí?”

14. PROBLEMA RESUELTO
IR A LA RESOLUCIÓN

15. PASOS PARA RESOLVER EL PROBLEMA…
 Construimos un puntos R (con la barra de herramientas, luego renombrar).
 Creamos el segmento RP, utilizando la barra de entrada algebraica, el comando
segmento[]; entre los corchetes definimos el punto inicial y longitud:
segmento[R,368], renombramos el punto final P.
 Marcamos el ángulo, también con la barra de herramientas, “ángulo dada su
amplitud”. Indicamos un punto lateral R, luego el vértice P y por último nos
permitirá definir la amplitud y el sentido. Obtenemos así R’.
 Creamos la circunferencia con centro en P y radio 426 utilizando la barra de
herramientas, “circunferencia dado su centro y su radio”.
 Trazamos la semirrecta PR’(utilizando la barra de herramientas) y hallamos la
intersección de la misma con la circunferencia anterior. Nombramos al punto
obtenido S. Luego ocultamos la circunferencia, el punto R’ y la semirrecta.
 Trazamos los segmentos PS y RS (con la barra de herramientas) y mostramos
su medida utilizando el botón secundario, posicionándonos sobre dichos
objetos.
 Luego podemos dar color y formato adecuado a la imagen.

16. EJERCICIOS OPCIONALES
1. Resolver gráficamente las siguientes operaciones con los números complejos
y Z1 : 5 i Z 2 2 4i
Z1
Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1.Z 2
Z2
2. Resolver con GeoGebra el siguiente ejercicio:
Sea f : R R / f ( x) 2x4 16x3 36x2 54 construir la gráfica y hallar los ceros o
raíces, el/los máximos y/o mínimos y la expresión factorizada.
3. Dados los puntos: A=(1;2); B=(4;3); C=(-1;-3) y D=(5;7):
a) Construir el polígono que tiene a dichos puntos como vértices.
b) Aplicar a dicho polígono una traslación horizontal de 3 unidades.
c) Aplicar una simetría axial con respecto al eje de las abscisas.
d) Aplicar una rotación, con respecto al origen de coordenadas, de 60º.
e) Aplicar una homotecia de razón 2 con respecto al origen de coordenadas.
Crear archivos distintos para cada transformación.
4. En la figura s // t y m r: si =52º
hallar el resto de los ángulos indicados.
(Realizar la construcción con GeoGebra)