Método de Coeficientes Indeterminados, para resolver ED

1. Problema 1 Página 1
Tabla de contenido
Categoría del producto o servicio 1
Categoría del producto o servicio 2
Categoría del producto o servicio 3
Categoría del producto o servicio 4
Categoría del producto o servicio 5
Categoría del producto o servicio 6
Categoría del producto o servicio 7
Categoría del producto o servicio 8
Categoría del producto o servicio 9
Categoría del producto o servicio 10
Categoría del producto o servicio 11
Categoría del producto o servicio 12
Categoría del producto o servicio 13
Categoría del producto o servicio 14
Categoría del producto o servicio 15
AUTOR:
SAUL OLAF LOAIZA MELENDEZ
JUNIO 2011

2. Universidad Politécnica de Tlaxcala
ECUACIONES DIFERENCIALES
Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea:
an t n   an 1t n 1  ...  a1t   a0 t  g ( x)
Debemos hacer dos cosas:
1. Encontrar la función complementaria yc.
2. Encontrar cualquier solución particular yp de la ecuación no homogé-
nea.
Después, la solución general de la EDO superior no homogénea en un inter-
valo I es:
y  yc  y p
La función complementaria yc es la solución general de la ED homogénea
asociada es decir:
an t n   an 1t n 1  ...  a1t   a0 t  0
En la clase anterior vimos cómo resolver esta clase de ecuaciones cuando
los coeficientes eran constantes. Por lo tanto, nuestro objetivo en esta sec-
ción es examinar un método para obtener soluciones particulares.
Método de coeficientes indeterminados La primera de las dos formas que
debemos considerar para obtener una solución particular yp tiene el nombre
de método de coeficientes indeterminados. En este método, la idea básica
es una conjetura (en realidad un supuesto razonable) acerca de la forma de
yp; esta conjetura es motivada por los tipos de funciones que componen la
función de entrada g(x). El método general está limitado a ecuaciones dife-
renciales lineales no homogéneas donde:

3. Universidad Politécnica de Tlaxcala
ECUACIONES DIFERENCIALES
 Los coeficientes ai, i=0,1,…,n son constantes, y
 Donde g(x) es una constantes, una función polinomial, una función expo-
nencial, las funciones coseno o seno, o sumas y productos finitos de es-
tas funciones.
En términos estrictos, g(x)=k (una constante) es una función polinomial, por
lo tanto, las siguientes funciones son algunos ejemplos de los tipos de entra-
das g(x) apropiados para este análisis:
g ( x)  10 g ( x)  x 2  5 x g ( x)  15x  6  8e  x
g ( x)  sen(3x)  5 x cos( 2 x)  
g ( x)  xe x sen( x)  3x 2  1 e 4 x
El método de coeficientes indeterminados no es aplicable a ecuaciones de la
forma:
g ( x )  ln x 1 g ( x)  tan x
g ( x) 
x
g ( x)  sen1 x
El siguiente ejemplo ilustra el método básico:

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ECUACIONES DIFERENCIALES

5. Universidad Politécnica de Tlaxcala
ECUACIONES DIFERENCIALES
Tabla: Soluciones particulares de prueba
g(x) Forma de Yp
1. cualquier constante A
2. 5x  7 Ax+B
3. 3x 2  2 Ax2+Bx+C
4. x3  x  2 Ax3+Bx2+Cx+E
5. sen(4 x) A cos 4x + B sen 4x
6. cos(3x) A cos 3x + B sen 3x
7. e 5x Ae5x
8. 9 x  2e 5 x (Ax + B) e5x
9. x 2 e 5x (Ax2+Bx+C)e5x
10. e 3 x sen(4 x) Ae3x cos 4x + Be3x sen 4x
2
11. 5 x sen ( 4 x) (Ax2+Bx+C) cos 4x + (Ex2+Fx+G) sen 4x
3x
12. xe cos(4 x) (Ax+B)e3x cos 4x + (Cx+E)e3x sen 4x
En esta Tabla se ilustra algunos ejemplos específicos de g(x), junto con la for-
ma correspondiente de la solución particular. Por supuesto, estamos dando
por hecho que en la solución particular asumida Yp ninguna función es dupli-
cada en la función complementaria Yc.