RAZONES Y PROPORCIONES
1. Razón o relación
Se denomina razón entre dos números a y b (𝑏 ≠ 0)a la
divisiónindicada
𝑎
𝑏
, la...
Ejemplo:
La edad de Elizabeth es a 3 como la edad de Rocio es a 5 . si la
suma de ambas edades es 40 años , calcular la ed...
1. Aplica la propiedad fundamental para calcular el término que le falta
en cada una de las siguientes proporciones.
2. Do...
28. Las edades de Arturo y Jorge son entre si como 8 es a 9 . Arturo tiene
32 años.¿cuántos años tiene Jorge?
a)33 b)34 c)...
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Razones y proporciones

  1. 1. RAZONES Y PROPORCIONES 1. Razón o relación Se denomina razón entre dos números a y b (𝑏 ≠ 0)a la divisiónindicada 𝑎 𝑏 , la cualse lee “a es a b” El término que aparece en el numerador se denomina antecedente y el que aparece en el denominador consecuente. 𝑎 𝑏 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 2. Proporción geométrica Una proporción es la igualdad escrita de dos razones equivalentes Simbólicamente 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 ⇁ 𝑠𝑒 𝑙𝑒𝑒 "𝑎" 𝑒𝑠 𝑎 "𝑏 "𝑐𝑜𝑚𝑜 "𝑐" 𝑒𝑠 𝑎 "𝑑" Además:  a y d se denominan términos extremos de la proporción o simplemente extremos  b y c se denominan términos medios de la proporción o simplemente medios Propiedad Fundamental de las proporciones Consideremos lassiguientesproporciones Luego: toda proporción geométrica se cumple que el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios Propiedades de la proporción Geometrica 1. La suma o resta de los dos términos de la primera razón es a su consecuente como la suma o resta de los dos términos de la segunda razónes a suconsecuente. Sea la proporcióngeométrica: Ejemplo: si dos números son entre si como 3 es a 8 , calcular el mayor si la suma de ellos es 33 a)23 b)27 c)24 d)20 e)N.A. Solución: 𝑎 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑏 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 + 𝑏 = 33 Aplicamos la propiedad 𝑎 𝑏 = 3 8 ⇒ 𝑎 + 𝑏 𝑏 = 3 + 8 8 ⇒ 33 𝑏 = 11 8 ⇒ 33𝑥8 = 11𝑥𝑏 ⇒ 3𝑥8 = 𝑏 ⇒ 𝑏 = 24 2. La suma o resta de los dos términos de la primera razón es a su antecedente como la suma o resta de los dos términos de la segunda razónes a suantecedente Sea la proporcióngeométrica. Ejemplo: si dos números son entre si como 3 es a 8 , calcular el menorsi la suma de ellos es 66 a)27 b)23 c)18 d)9 e)N.A. solución: 𝑎 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑟 𝑎 + 𝑏 = 66 Aplicamos la propiedad 𝑎 𝑏 = 3 8 ⇒ 𝑎 + 𝑏 𝑎 = 3 + 8 3 ⇒ 66 𝑎 = 11 3 ⇒ 66𝑥3 = 11𝑥𝑎 ⇒ 6𝑥3 = 𝑏 ⇒ 𝑏 = 18 3. La suma o resta de los antecedentes es a la suma o resta de los consecuentes como unantecedente es a suconsecuente. Sea la proporción geométrica ⬚ ⬚ 2 4 = 7 14 ⬚ ⬚ 9 12 = 15 20 ⬚ ⬚ 6 9 = 8 12 6𝑥12 = 9𝑥8 72 = 72 2𝑥14 = 4𝑥7 28 = 28 9𝑥20 = 12𝑥15 180 = 180 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 ⇒ 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 𝑎 + 𝑏 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 𝑑 𝑎 − 𝑏 𝑏 = 𝑐 − 𝑑 𝑑 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 𝑎 + 𝑏 𝑎 = 𝑐 + 𝑑 𝑐 𝑎 − 𝑏 𝑎 = 𝑐 − 𝑑 𝑐 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑑 = 𝑎 𝑏 𝑎 − 𝑐 𝑏 − 𝑑 = 𝑎 𝑏 ⇒ 33𝑥8 11 = 𝑏 ⇒ 66𝑥3 11 = 𝑎
  2. 2. Ejemplo: La edad de Elizabeth es a 3 como la edad de Rocio es a 5 . si la suma de ambas edades es 40 años , calcular la edad de Elizabeth a)10 b)5 c)15 d)40 e)N.A. Solución: E=Elizabeth E+R=40 R= rocio 𝐸 3 = 𝑅 5 ⇒ 𝐸 + 𝑅 3 + 5 = 𝐸 3 Por dato E+R=40 ⇒ 40 8 = 𝐸 3 ⇒ 40𝑥3 8 = 𝐸 ⇒ 5𝑥3 = 𝐸 ⇒ 𝐸 = 15 4. En toda proporción geométrica la suma de los dos términos dela primera razón es a su diferencia como la suma de los dos términos de la segunda razón es a sudiferencia. Se la proporción geométrica Ejemplo: La suma de los dos números es a su diferencia como 5 es a 3 . Si el númeromenor es 7 . ¿Cuál es el número mayor? a) 26 b)27 c)28 d)40 e)N.A. Solución: a:número mayor b:númeromenor 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 = 5 3 a=5k b=7 𝑎+7 𝑎−7 = 5 3 por propiedad 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 𝑐 − 𝑑 → 𝑎 + 7 𝑎 − 7 = 5 3 → 𝑎 + 7 + 𝑎 − 7 𝑎 + 7 − ( 𝑎 − 7) = 5 + 3 5 − 3 → 2𝑎 𝑎+7−𝑎+7 = 8 2 2𝑎 14 = 8 2 → 2𝑎 = 8𝑥14 2 𝑎 = 8𝑥7 2 𝑎 = 28 5. En toda proporción geométrica la suma de los antecedentes es a su diferencia como la suma de sus consecuentes es a su diferencia Sea la proporcióngeométrica Ejemplo: Dos cantidades x y n son tales que x es a 9 como nes a 7. Si la suma de x yn es 80 . Calcular sudiferencia a)5 b)8 c)10 d)4 e)N.A. Solución: 𝑥 9 = 𝑛 7 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 → 𝑎+𝑐 𝑎−𝑐 = 𝑏+𝑑 𝑏−𝑑 𝑥 9 = 𝑛 7 → 𝑥 + 𝑛 𝑥 − 𝑛 = 9 + 7 9 − 7 80 𝑥−𝑛 = 16 2 →80𝑥2 = 16(𝑥 − 𝑛) 160 16 = ( 𝑥 − 𝑛) → ( 𝑥 − 𝑛) = 10 Tipos de proporción geométrica Proporcióngeométrica continua Cuandolos términos medios soniguales Donde: “b” es la media proporcional o media geométrica entre“a”y “c” “c “ es la tercera proporcionalde “a”y “b” Ejemplo 1: Determinar la mediaproporcional entre 36 y 64 Solución: 36 𝑏 = 𝑏 64 → 𝑏2 = 36.64 → 𝑏 = √36.64 𝑏 = 6.8 = 48 Ejemplo 2: Determinar la tercera proporcional de 16 y20 Solución: 16 20 = 20 𝑥 → 36. 𝑥 = 20.20 → 𝑥 = 400 16 → 𝑥 = 25 Proporcióngeométrica discreta Cuandolos términos medios son diferentes Donde:”d” es la cuarta proporcional de “a” ;“b” y“c” Ejemplo: Determinar la cuarta proporcionalde 15;9 y 20 Solución: 15 9 = 20 𝑥 → 15. 𝑥 = 9.20 → 𝑥 = 180 15 𝑥 = 12 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 𝑐 − 𝑑 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 𝑎 + 𝑐 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 + 𝑑 𝑏 − 𝑑 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑐 Medios 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 Medios ⇒ 40𝑥3 8 = 𝐸
  3. 3. 1. Aplica la propiedad fundamental para calcular el término que le falta en cada una de las siguientes proporciones. 2. Dos números están en la relación de 2 a 7 . si la suma de dichos números es 72 , determinar el menor deellos a)16 b)25 c)35 d)45 e)N.A. 3. Determinar los valores de “x”e “y”en las siguientes proporciones a) 𝑥 3 = 𝑦 4 ;𝑥 + 𝑦 = 28 𝑏) 𝑥 𝑦 = 2 7 ;𝑥 + 𝑦 = 45 𝑐) 4 𝑥 = 5 𝑦 ; 𝑦 − 𝑥 = 20 𝑑) 𝑥+𝑦 𝑦 = 17 5 ;𝑥 − 𝑦 = 105 4. Determinar elnúmero quees a 8 como 9es a 12. a)4 b)5 c)7 d)6 e)8 5. La diferencia de los cuadrados de dos números es 640 y la razón de dichos números es 7/3 ¿cuáles son esos números? a)12 y27 b)25 y 42 c)14 y 28 d)28 y 12 e)N.A. 6. La suma de dos números es 90 y su diferencia 18.determinar la razón geométrica entre dichos números a)2/3 b)3/2 c)54/36 d)36/54 e) N.A 7. En la figura, determinarla relación entre el área de la región sombreada y la no sombreada. a)1/3 b)3/2 c)4/5 d)2/3 e)N.A. 8. Dos números se diferencian en 5 . si su razón es 3/2 , determinar el numero menor a)9 b)10 c)12 d)14 e)15 9. Si 𝑥 3 = 𝑦 2 = 𝑧 ; 𝑥. 𝑦. 𝑧 = 64 Determinar 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 a)36 b)35 c)34 d)33 e)32 10. Si 𝑎 2 = 𝑏 5 = 𝑐 3 y 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 = 152 Determinar 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 a)20 b)22 c)23 d)21 e)24 11. si 1 𝑎 = 2 𝑏 = 3 𝑐 y 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 48 Determinar : 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 a)892 b)894 c)900 d) 896 e) 898 12. en un auditorio hay 400 personas, 240 de las cuales son mujeres. ¿en que relación se encuentran el número de hombres y número de mujeres? a)1/2 b)2/3 c)4/3 d)5/9 e)1/3 13. El lado del cuadrado menor es al lado del cuadrado mayor como 3 es a 4. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es: 14. Sabiendoque 𝑎 2 = 𝑏 3 y además 𝑎 + 𝑏 = 35; determinar 𝑏 − 𝑎 a)5 b)7 c)6 d)9 e)8 15. Divide el número 720 en dos partes tales que la razón entre ambas sea 0,6. Determinaruna de las partes a)540 b)270 c)207 d)504 e)206 16. La partesombreada representa deltotal (ABCD es un rectángulo) a) 5/8 b) 3/8 c) ½ d) ¾ e) 5/9 17. El producto de los cuatro términos de una proporción continua es 1296 y el primer antecedentees 4 .¿cuál es la proporción? a) 1 4 = 4 16 b) 1 6 = 6 36 c) 4 8 = 8 16 d) 4 6 = 6 9 e)N.A. 18. si 𝑎 5 = 𝑏 3 = 𝑐 6 además 𝑎 + 𝑐 = 66 , determinar elvalorde “b” a)30 b)36 c)18 d)16 e)26 19. si 𝑎+1 2 = 𝑏+2 3 ; además 𝑎 + 𝑏 + 3 = 20, determinar elvalorde “a” a)5 b)7 c)9 d)10 e)N.A. 20. la partesombreada representa deltotal (ABCD es uncuadrado) a)1/4 b)1/2 c)4/9 d)1/3 e)2/3 21. si 𝑥 3 = 𝑦 4 = 𝑧 2 ; 𝑥. 𝑦. 𝑧 = 192; calcular los valores dex+y+z. a)16 b)15 c)14 d)17 e)N.A. 22. Sabiendoque: 𝑎 2 = 𝑏 = 𝑐 5 ;y 𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐3 = 27𝑥134 Determinar los valores de a+b+c a)25 b)23 c)24 d)44 e)N.A. 23. la razón entre 3 1 4 y5 1 4 es equivalentea la razón entre: a)3 y 5 b)13 y 21 c)5 y 7 d)7 y 5 e)5 y 3 24. en una reunión, el número de mujeres es el doble del número de hombres. luego , el número de mujeres es al número de hombres como: a)1 es a 2 b)3 es a 1 c)2 es a 3 d)2 es a 1 e)1 es a 3 25. en una caja de caramelos hay de los sabores fresa y limón. Si por cada caramelo de fresa hay 3 de caramelos de limón, ¿cuántos caramelos de fresa hay,sien totalhay 80 caramelos? a)18 b)20 c)25 d)30 e)40 26. en una canasta el número de plátanos es al número de manzanas como 2 es a 1. Si hay dos docenas de plátanos, ¿Cuántas manzanas hay? a) 10 b)12 c)14 d)16 e)18 27. En un estante la razón del número de libros de matemática al de física es 3/4 y la razón del número de libros de biología al de física es 3/2. Si hay 18 libros de matemática.¿Cuántos libros debiología hay? a)24 b)28 c)30 d)36 e)40 2 3 = 10 𝑥 4 𝑥 = 6 15 0,2 𝑥 = 0,8 5 𝑥 7 = 18 42 13 𝑥 = 0,26 2 3 0,6 = 𝑥 0,8 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝑀 𝑁 6cm A B CD 4cm a) 3 4 b) 7 8 c) 7 16 d) 4 7 e) 5 16
  4. 4. 28. Las edades de Arturo y Jorge son entre si como 8 es a 9 . Arturo tiene 32 años.¿cuántos años tiene Jorge? a)33 b)34 c)35 d)36 e)38 29. Se tienen dos recipientes de agua: Ay B. en el primero hay 20 litros de agua y en el segundo el doble. Si del primer recipiente se pasan 5 litros de agua al segundo, entonces el número de litros que queda en el recipienteAes alnúmero delitros que ahora hayen B como: a)1 es a 3 b)2 es a 3c)1 es a 2 d)2 es a 1 e)2 es a 5 30. Si 1 𝑎 = 4 𝑏 = 7 𝑐 ; 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 60 Determinar elvalor de “C” a)5 b)40 c)35 d)20 e)54 31. Si 1,2 3,6 = 𝑎 𝑏 = 4 𝑐 ; además 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 20 ; determinar elvalorde a+b a)6 b)12 c)8 d)4 e)5 32. La suma de tres números que guardan entre sí la relación de los números 3;5y 7 es iguala 120. ¿Cuáles es elnúmero menor? a)24 b)45 c)57 d)40 e)58 33. en un salón de clase, por cada 2 niños hay 5 niñas. Luego se retiran 6 niños y 10 niñas, entonces por cada 3 niños hay 8 niñas. Hallar el número de niños y niñas quehabían alinicio a)36 y 90 b)90 y 36 c)97 y 35 d)98 y 30 e)N.A. 34. la suma de tres números es 1880; el primeroes alsegundo como 4 es a 5 ; el segundoes altercerocomo 3 es a 4 . Hallar eltercero. a)360 b)600 c)800 d)1500 e)970 35. en un salón de clase por cada 10 damas hay 9 caballeros, Después que se retiran 8 damas y 3 caballeros , por cada 4 damas hay 5 caballeros :determinar elnúmero dedamas quehabía alinicio a)17 b)18 c)20 d)22 e)24 36. el duplo de un número es a dicho numero aumentado de dos unidades como 4 es a 7:¿cuáles elnúmerobuscado? a)4 b)5 c)6 d)7 e)8 37. calcular el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro es de 70 cm y la razón entresus dimensiones (largoy ancho) es 5/2 a)205𝑐𝑚2 b) 250𝑐𝑚2 c) 520𝑐𝑚2 d) 260𝑐𝑚2 e) 280𝑐𝑚2 si 𝑎2 4 = 𝑏2 25 ; además a+b=28, determinar elvalorde “a” a)6 b)18 c)8 d)20 e)10 38. si ABCD es un cuadrado , determinar la relación entre el área de la región sombreada y elárea dela regiónno sombreada a)1/3 b)1/4 c)1/5 d)1/8 e)3/5 Determinar los valores de 𝐴 𝐶 𝐵 𝐸 𝐺 𝐻 𝐹 𝐷

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