variable

1. TEMA : Primera práctica calificada de variable compleja
CURSO : Variable Compleja.
PROFESOR: Castro Vidal Raúl
FACULTAD: Facultad de Ingeniería Electrónica, Eléctrica.
ALUMNOS:
 Camaña Quea, Mydiam Thalia 17190248
 Castillo Mayta, Cristian 16190112
 Jiménez Macuyama, Angelo Martin 16190075
 Laime Huamani, José Luis 17190115
 Nina Arrescurenaga Valeria Andrea 16190181
 Risco Sánchez Jean Pierre 16190013
AÑO :
2018
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN
MARCOS
(Universidad del Perú, Decana de América)
FACULTAD DE ING. ELECTRONICA, ELECTRICA
Y TELECOMUNICACIONES

2. Introducción:
En el presente trabajo resolveremos diversos problemas haciendo uso de nuestros conocimientos y
de programas que nos ayudaran a enriquecer la solución de los mismos. Además no solo nos
centraremos en un tema sino que los problemas planteados son de diversas índoles, pero solo las
que hemos realizado en clases.

3. ProblemaN°4
SeaS el conjuntode los númeroscomplejosque se muestra:
Determine el transformadode Sbajoel mapeo 𝑤 = 𝑓( 𝑧) = 𝑖𝑧 + 3 − 𝑖. Se tiene que el mapeo
inversoes 𝑓−1( 𝑤) = −𝑖𝑤 + 1 + 3𝑖,además,el conjuntoSse puede escribircomo 𝑆 = 𝐷1 ∪
𝐷2, donde 𝐷1 y 𝐷2, son conjuntosde númeroscomplejosdefinidosrespectivamente por:
𝐷1 = {𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦:2𝑥 − 𝑦 ≥ 1,2𝑥 + 𝑦 ≤ 7, 𝑦 ≥ 1}
𝐷2 = {𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦:( 𝑥 − 2)2 + ( 𝑦 − 1)2 ≤ 1, 𝑦 ≤ 1}
De estaformael transformadode S estadado por la 𝑓𝑆 = 𝑓( 𝐷1) + 𝑓(𝐷2) .Ahorautilizandola
ecuación: 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑓−1( 𝑢 + 𝑖𝑦) ; podemosescribir:
𝑥 = 𝑣 + 1 ; 𝑦 = 3 − 𝑢
Sustituyendolosvaloresde xe y en lasinecuacionesque describenalosconjuntos 𝐷1 𝑦 𝐷2,
obtenemosque lsoconjuntostransformadosde 𝐷1 𝑦 𝐷2, bajoel mapeo 𝑤 = 𝑖𝑧 + 3 − 𝑖,están
dadospor :
𝑓( 𝐷1) = {𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣: 𝑢 + 2𝑣 ≥ 2, −𝑢 + 2𝑣 ≤ 2, 𝑢 ≤ 2}
𝑓( 𝐷2) = {𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣:( 𝑢 − 2)2 + ( 𝑣 − 1)2 ≤ 1, 𝑢 ≥ 2}
Así, launiónde 𝑓( 𝐷1) 𝑦 𝑓( 𝐷2)conformanel transformadode S bajoel mapeode
𝑤 = 𝑖𝑧 + 3 − 𝑖
Cuya representacióngráficase apreciaenlafigura:

4. Problema N°10
Sea 𝑓(𝑧) una función de variable complejadefinida por:
Entonces,evalúe la integral ∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧| 𝑧|=2
.
Solución:
𝑓( 𝑧) = {
0, 𝑠𝑖 𝑅𝑒 𝑧 < −1
𝑧2, 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑅𝑒 𝑧 < 0
𝑧, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑅𝑒 𝑧 < 1
0, 𝑠𝑖 𝑅𝑒 𝑧 > 1
Im z
Re z
𝛾 ∶ | 𝑧| = 2
Parametrizando la curva 𝛾 ∶ | 𝑧| = 2
𝑍 = 𝑍( 𝜃) = 2𝑒 𝑖𝜃
= 2[cos( 𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝜃)]
𝑑𝑍( 𝜃) = 2𝑖 𝑒 𝑖𝜃
𝑑𝜃
Según el teorema de Moivre:
𝑧 𝑛
= 𝑟 𝑛[cos( 𝑛𝜃)+ 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜃)]
Entonces:
𝑧2
= 22[cos(2𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(2𝜃)]
𝑧2
= 4[cos(2𝜃) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(2𝜃)]
𝑧2( 𝜃) = 4𝑒 𝑖2𝜃
𝑑𝑧2( 𝜃) = 8𝑖 𝑒 𝑖2𝜃
𝑑𝜃

5. a) Si 𝑅𝑒 𝑧 < −1 →
2𝜋
3
< 𝜃 <
4𝜋
3
y 𝑓( 𝑧) =
0
Entonces:
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 =
𝛾
∫ 0 𝑑𝑧
4𝜋
3
2𝜋
3
= 0
b) Si −1 ≤ 𝑅𝑒 𝑧 < 0 →
𝜋
2
< 𝜃 ≤
2𝜋
3
y 𝑓( 𝑧) =
𝑧2
4𝜋
3
≤ 𝜃 <
3𝜋
2
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 =
𝛾
∫ 𝑧2
𝑑𝑧
2𝜋
3
𝜋
2
+ ∫ 𝑧2
𝑑𝑧
3𝜋
2
4𝜋
3
= ∫ 4𝑒 𝑖2𝜃
.
2𝜋
3
𝜋
2
8𝑖 𝑒𝑖2𝜃
𝑑𝜃 + ∫ 4𝑒 𝑖2𝜃
.
3𝜋
2
4𝜋
3
8𝑖 𝑒𝑖2𝜃
𝑑𝜃
= (−8𝑖) ∫ 4𝑖𝑒 𝑖4𝜃
2𝜋
3
𝜋
2
𝑑𝜃 + (−8𝑖)∫ 4𝑖𝑒 𝑖4𝜃
3𝜋
2
4𝜋
3
𝑑𝜃

6. = (−8𝑖) 𝑒𝑖4𝜃
2𝜋
3
𝜋
2
⁄ + (−8𝑖) 𝑒𝑖4𝜃
3𝜋
2
4𝜋
3
⁄
= (−8𝑖) [ 𝑒𝑖
8𝜋
3 − 𝑒𝑖2 𝜋
+ 𝑒𝑖6 𝜋
− 𝑒𝑖
16𝜋
3 ]
= (−8𝑖) [ 𝑒𝑖
8𝜋
3 − 𝑒𝑖
16𝜋
3 ]
= (−8𝑖) [ 𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
2𝜋
3
− 𝑐𝑜𝑠
16𝜋
3
− 𝑖𝑠𝑒𝑛
16𝜋
3
]
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 =
𝛾
8√3
c) Si 0 ≤ 𝑅𝑒 𝑧 ≤ 1 →
𝜋
3
≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
y 𝑓( 𝑧) = 𝑧
3𝜋
2
≤ 𝜃 ≤
5𝜋
3
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 =
𝛾
∫ 𝑧𝑑𝑧
𝜋
2
𝜋
3
+ ∫ 𝑧𝑑𝑧
5𝜋
3
3𝜋
2

7. = ∫ 2𝑒 𝑖𝜃
.
𝜋
2
𝜋
3
2𝑖 𝑒𝑖𝜃
𝑑𝜃 + ∫ 2𝑒 𝑖𝜃
.
5𝜋
3
3𝜋
2
2𝑖 𝑒𝑖𝜃
𝑑𝜃
= ∫ 4𝑖 𝑒𝑖2𝜃
𝜋
2
𝜋
3
𝑑𝜃 + ∫ 4𝑖 𝑒𝑖2𝜃
5𝜋
3
3𝜋
2
𝑑𝜃
= 2 ∫ 2𝑖 𝑒𝑖2𝜃
𝜋
2
𝜋
3
𝑑𝜃 + 2 ∫ 2𝑖 𝑒𝑖2𝜃
5𝜋
3
3𝜋
2
𝑑𝜃
= 2 𝑒𝑖2𝜃
𝜋
2
𝜋
3
⁄ + 2 𝑒𝑖2𝜃
5𝜋
3
3𝜋
2
⁄
= (−8𝑖) [ 𝑒𝑖 𝜋
− 𝑒𝑖
2 𝜋
3 + 𝑒𝑖
10𝜋
3 − 𝑒𝑖3𝜋]
= 2 [ 𝑐𝑜𝑠
10𝜋
3
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
10𝜋
3
− 𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
− 𝑖𝑠𝑒𝑛
2𝜋
3
]
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 =
𝛾
2√3 𝑖

8. d) Si 𝑅𝑒 𝑧 > 1 → 0 < 𝜃 <
𝜋
3
y 𝑓( 𝑧) = 0
5𝜋
3
< 𝜃 < 2𝜋
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧 =
𝛾
∫ 0𝑑𝑧
𝜋
3
0
+ ∫ 0𝑑𝑧
2𝜋
5𝜋
3
= 0
Luego:
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧
𝛾
= ∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧
1
+ ∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧
2
+ ∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧
3
+ ∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧
4
∫ 𝑓( 𝑧) 𝑑𝑧
𝛾
= 8√3 + 2√3 𝑖
Problema 6:
a) Demostrar log( 𝑖2) = 2𝑙𝑜𝑔𝑖
Solución:
Le damos forma a log( 𝑖2) = 2𝑙𝑜𝑔𝑖 multiplicamos por 1/4 a
toda la igualdad:
1
4
log( 𝑖2) =
1
4
𝑥2𝑙𝑜𝑔𝑖
log (𝑖
2𝑥
1
4) =
1
2
𝑙𝑜𝑔𝑖

9. log (𝑖
1
2) =
1
2
𝑙𝑜𝑔𝑖
Luego:
Sea 𝑧 = 𝑖 → 𝑎𝑟𝑔𝑧 =
𝜋
2
𝑙𝑜𝑔𝑖 = 𝑙𝑜𝑔| 𝑖| + 𝑖(arg( 𝑖) + 2𝑘𝜋, k ∈ 𝑍
𝑙𝑜𝑔𝑖 + 𝑖 (
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋) , 𝑘𝜖 𝑧
𝑙𝑜𝑔𝑖 = 𝑖 (
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋), 𝑘𝜖𝑧
1
2
𝑙𝑜𝑔𝑖 = 𝑖 (
𝜋
4
+ 𝑘𝜋) , 𝑘𝜖𝑍. . (𝛼)
Análogamente para log(𝑖
1
2⁄
)
Por Moivre
𝑊𝑘 = | 𝑖|
1
2⁄
𝑐𝑖𝑠(
arg( 𝑖) + 2𝑘𝜋
2
)
Para K=0
𝑊0 = 𝑐𝑖𝑠(
𝜋
2
+ 2(0)𝜋
2
)
𝑊0 = 𝑐𝑖𝑠(
𝜋
4
) = 𝑐𝑜𝑠
𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
=
1
√2
+ 𝑖
1
√2
Para k=1
𝑊1 = 𝑐𝑖𝑠(
𝜋
2
+ 2(1)𝜋
2
)
𝑊1 = 𝑐𝑖𝑠 (
5𝜋
4
) = 𝑐𝑜𝑠
5𝜋
4
+ 𝑖𝑠𝑒𝑛
5𝜋
4
= −
1
√2
− 𝑖
1
√2
Entonces:
𝒍𝒐𝒈𝒘 𝟎 = 𝒊 (
𝝅
𝟒
+ 𝟐𝒏𝝅); 𝒏 ∈ 𝒁

10. 𝒍𝒐𝒈𝒘 𝟏 = 𝒊 (
𝝅
𝟒
+ (𝟐𝒏 + 𝟏)𝝅); 𝒏 ∈ 𝒁
log(𝑖
1
2⁄
) = 𝑖 (
𝜋
4
+ 𝑘𝜋) ; 𝑘 ∈ 𝑍…(𝛽)
De 𝜶 𝒚 𝜷:
log (𝑖
1
2⁄
) =
1
2
𝑙𝑜𝑔𝑖
Bibliografía:
 Variable compleja-Espinoza Ramos