ejercicios algebra

1. Problema 1. Resolver los problemas propuestos, con su respectivo desarrollo:
Dada las siguientes ecuaciones, graficar, en cada caso, las canónicas correspondientes y decir que
tipo de cónica es cada una:
1.
𝑥2
9
+
𝑦2
36
= 1
2.
𝑥2
4
+
𝑦2
100
= 1
3. –
( 𝑥+1)2
121
+
𝑦2
1
= 1

2. 4.
𝑥
9
+
𝑦2
36
= 1
5. ( 𝑥 + 2)2
+ ( 𝑦 − 1)2
= 16

3. 6. 𝑥 −
𝑦2
9
= 1

4. 7.
( 𝑥−2)2
4
+
( 𝑦+1)2
25
= 1
8. ( 𝑥 − 1)2
− 𝑦2
= 1

5. Problema 2. En el siguiente problema debe completar cuadrados para obtener la cónica en
la forma canónica:
1) 𝒚 𝟐
+ 𝟐𝒚 − 𝟒𝒙 𝟐
− 𝟏𝟔𝒙 = 𝟏𝟗
Organizamos la ecuación
−𝟒𝒙 𝟐
− 𝟏𝟔𝒙 + 𝒚 𝟐
+ 𝟐𝒚 = 𝟏𝟗
Agrupamos.
(−𝟒𝒙 𝟐
− 𝟏𝟔𝒙)+ ( 𝒚 𝟐
+ 𝟐𝒚) = 𝟏𝟗
Factorizamos
−𝟒( 𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙) + ( 𝒚 𝟐
+ 𝟐𝒚) = 𝟏𝟗
Completamos el trinomio perfecto
−𝟒( 𝒙 𝟐
+ 𝟒𝒙 + 𝟒) + ( 𝒚 𝟐
+ 𝟐𝒚 + 𝟏) = 𝟏𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟏
Factorizamos el trinomio.
−𝟒( 𝒙 + 𝟒) 𝟐
+ ( 𝒚 + 𝟏) 𝟐
= 𝟒
Ajustamos la ecuación a la forma canónica.
−𝟒( 𝒙 + 𝟒) 𝟐
𝟒
+
( 𝒚 + 𝟏) 𝟐
𝟒
=
𝟒
𝟒
Ecuación de forma canónica
−( 𝒙 + 𝟒) 𝟐
+
( 𝒚 + 𝟏) 𝟐
𝟒
= 𝟏
2) 𝟐𝒚 𝟐
− 𝟖𝒚 + 𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟓 = 𝟎
Organizamos la ecuación
𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚 𝟐
− 𝟖𝒚 + 𝟓 = 𝟎
Agrupamos.
( 𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟔𝒙) + ( 𝟐𝒚 𝟐
− 𝟖𝒚) = −𝟓
Factorizamos
𝟑( 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙) + 𝟐( 𝒚 𝟐
− 𝟒𝒚) = −𝟓
Completamos el trinomio perfecto
𝟑( 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝟐( 𝒚 𝟐
− 𝟒𝒚 + 𝟒) = −𝟓 + 𝟑 + 𝟖
Factorizamos el trinomio.
𝟑( 𝒙 + 𝟏) 𝟐
+ 𝟐( 𝒚 − 𝟐) 𝟐
= 𝟖

6. Ajustamos la ecuación a la forma canónica.
𝟑( 𝒙 + 𝟏) 𝟐
𝟖
+
𝟐( 𝒚 − 𝟐) 𝟐
𝟖
=
𝟖
𝟖
Ecuación de forma canónica.
𝟑( 𝒙 + 𝟏) 𝟐
𝟖
+
( 𝒚 − 𝟐) 𝟐
𝟒
= 𝟏
3) 𝟗𝒚 𝟐
+ 𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 = 𝟖
Organizamos la ecuación
𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟗𝒚 𝟐
= 𝟖
Agrupamos.
(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙) + (𝟗𝒚 𝟐
) = 𝟖
Factorizamos
(𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙) + 𝟗(𝒚 𝟐
)=8
Completamos el trinomio perfecto
Factorizamos el trinomio.
Ajustamos la ecuación a la forma canónica.
Ecuación de forma canónica
4) 𝟐𝟓𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟎𝟎𝒙 = 𝟒𝒚 𝟐
Organizamos la ecuación

7. Agrupamos.
Factorizamos
Completamos el trinomio perfecto
Factorizamos el trinomio.
Ajustamos la ecuación a la forma canónica.
Ecuación de forma canónica
Problema 3. Halle los valores de “K” (si existe) para que las siguientes ecuaciones
corresponda a las ecuaciones de la elipse de centro (0,0):
a) 𝟓𝑿 𝟐
+ ( 𝑲 + 𝟓) + 𝟑𝒀 𝟐
= 𝟏𝟓
b) 𝒚 𝟐
+ ( 𝒌 𝟐
+ 𝟏) 𝒚 +
𝟑
𝟐
𝒚 𝟐
= 𝟏
c) 𝑿 𝟐
+ (𝑲 𝟐
−
𝟓
𝟑
𝑲 − 𝟒) 𝒀 + 𝟐𝒀 𝟐
= 𝟐
d)
𝑲
𝟐
𝑿 𝟐
+ ( 𝑲 𝟐
− 𝟒) 𝒀 + 𝟐( 𝑲 𝟐
+ 𝟏) 𝒀 𝟐
= 𝟐
Problema 4. Halle (si existe) los valores de “K”, que pertenecen a los reales positivos, para
que las siguientes ecuaciones corresponda a las ecuaciones de las circunferencias:
a)
𝟗( 𝒚−𝟏) 𝟐
𝟐𝒌−𝟏
+
( 𝒌+𝟒) 𝒙 𝟐
𝟐
= 𝟏
b)
(𝒌+𝟓)( 𝒙+𝟏) 𝟐
𝟐𝒌+𝟏
+
( 𝟕𝒌−𝟑) 𝒚 𝟐
𝒌+𝟏
= 𝟏
Problema 5. Halle analíticamente las intersecciones entre la recta 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 y la
circunferencia que tiene centro en ( 𝟒, 𝟐) y el radio es 𝒓 = 𝟏