Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por 3 ptos

1. SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS DE
CIRCUNFERENCIAS
3.- Hallar la ecuación ordinaria o canónica
de la circunferencia que pasa por los
puntos P(3,-2), Q(4,0) y R(0,5).
Elaborado por Pascual Sardella

2. Solución al Problema Nº
3Datos del Problema: Como dichos puntos pertenecen a lugar
geométrico de la circunferencia cuya ecuación general es:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Entonces tenemos que sustituir a «x» y «y» en la ecuación
anterior, así obtenemos tres ecuaciones con las variables A, B y
C:
Para P(3,-2): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
(3)2+(−2)2+𝐴 3 + 𝐵 −2 + 𝐶 = 0 → 9 + 4 + 3𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0
𝟑𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (1)
Para Q(4,0): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
(4)2+(0)2+𝐴 4 + 𝐵 0 + 𝐶 = 0 → 16 + 4𝐴 + 0𝐵 + 𝐶 = 0
𝟒𝑨 + 𝟎𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟔 (2)
Para R(0,5): 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝟎 𝟐
+ 𝟓 𝟐
+ 𝑨 𝟎 + 𝑩 𝟓 + 𝑪 = 𝟎 → 𝟐𝟓 + 𝟎𝑨 + 𝟓𝑩 + 𝑪 = 𝟎
𝟎𝑨 + 𝟓𝑩 + 𝑪 = −𝟐𝟓 (3)
Luego tenemos el sistema siguiente:
𝟑𝑨 − 𝟐𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟑 (1)
𝟒𝑨 + 𝟎𝑩 + 𝑪 = −𝟏𝟔 (2)
𝟑 −𝟐 𝟏
𝟒 𝟎 𝟏
𝟎 𝟓 𝟏
−𝟏𝟑
−𝟏𝟔
−𝟐𝟓

3. Solución al Problema Nº 3
Paso 1: Empezamos a calcular el determinante del sistema (∆ 𝑺)
∆ 𝑺=
𝟑 −𝟐 𝟏
𝟒 𝟎 𝟏
𝟎 𝟓 𝟏
Paso 2: Resolvemos este determinante por la Regla de Sarrus,
es decir:
a) Repitiendo filas 1 y 2 debajo de la fila 3:
∆ 𝑠=
3 −2 1
4 0 1
0 5 1
3 −2 1
4 0 1
= 20 − 7 → ∆ 𝐒= 𝟏𝟑
Ó b) repitiendo columnas 1 y 2 después de la 3:
∆ 𝑺=
𝟑 𝟖 𝟏
𝟗 𝟔 𝟏
𝟏𝟑 −𝟐 𝟏
𝟑 𝟖
𝟗 𝟔
𝟏𝟑 −𝟐
→ ∆ 𝑺=
𝟑 𝟖 𝟏
𝟗 𝟔 𝟏
𝟏𝟑 −𝟐 𝟏
𝟑 𝟖
𝟗 𝟓
𝟏𝟑 −𝟐
= ∆ 𝑺= 𝟏𝟑
Debe dar igual, por lo que puedes usar cualquier método.
𝟑 −𝟐 𝟏
𝟒 𝟎 𝟏
𝟎 𝟓 𝟏
−𝟏𝟑
−𝟏𝟔
−𝟐𝟓

4. Solución al Problema Nº 3
Ahora debemos hallar el determinantes de las variables A, B y
C, es decir:
∆ 𝑨=
−𝟏𝟑 −𝟐 𝟏
−𝟏𝟔 𝟎 𝟏
−𝟐𝟓 𝟓 𝟏
→ ∆ 𝑨=
−𝟏𝟑 −𝟐 𝟏
−𝟏𝟔 𝟎 𝟏
−𝟐𝟓 𝟓 𝟏
−𝟏𝟑 −𝟐
−𝟏𝟔 𝟎
−𝟐𝟓 𝟓
∆ 𝑨= 𝟑
∆ 𝑩=
𝟑 −𝟕𝟑 𝟏
𝟗 𝟏𝟏𝟕 𝟏
𝟏𝟑 −𝟏𝟕𝟑 𝟏
→ ∆ 𝑩=
𝟑 −𝟕𝟑 𝟏
𝟗 𝟏𝟏𝟕 𝟏
𝟏𝟑 −𝟏𝟕𝟑 𝟏
𝟑 −𝟕𝟑
𝟗 𝟏𝟏𝟕
𝟏𝟑 −𝟏𝟕𝟑
∆ 𝑩= −𝟐𝟏
∆ 𝑪=
𝟑 𝟖 −𝟕𝟑
𝟗 𝟔 𝟏𝟏𝟕
𝟏𝟑 −𝟐 −𝟏𝟕𝟑
→ ∆ 𝑪=
𝟑 𝟖 −𝟕𝟑
𝟗 𝟔 𝟏𝟏𝟕
𝟏𝟑 −𝟐 −𝟏𝟕𝟑
𝟑 𝟖
𝟗 𝟔
𝟏𝟑 −𝟐
∆ 𝑪= −𝟐𝟐𝟎
𝑨 =
∆ 𝑨
∆ 𝑺
=
𝟑
𝟏𝟑
; 𝑩 =
∆ 𝑩
∆ 𝑺
= −
𝟐𝟏
𝟏𝟑
; 𝑪 = −
𝟐𝟐𝟎
𝟏𝟑
Ahora se debe sustituir estos valores en la ecuación general,
es decir:

5. Solución al Problema Nº 3
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥2 + 𝑦2 +
3
13
𝑥 + −
21
13
𝑦 −
220
13
= 0
𝟏𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟑𝒚 𝟐
+ 𝟑𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎
Luego la ecuación de la circunferencia es:
𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎
Para llevarla a la ecuación ordinaria o usual se agrupa términos en
«x» y en «y» y se busca configurarlo como trinomios notables, es
decir:
𝟏𝟑𝒙 𝟐 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝟏𝒚 − 𝟐𝟐𝟎 = 𝟎
𝟏𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟏𝟑𝒚 𝟐
− 𝟐𝟏𝒚 = 𝟐𝟐𝟎 → 𝟏𝟑 𝒙 𝟐
+
𝟑
𝟏𝟑
𝒙 + 𝟏𝟑 𝒚 𝟐
−
𝟐𝟏
𝟏𝟑
𝒚 = 𝟐𝟐𝟎
13 𝑥2
+
3
13
𝑥 +
9
676
− 13 ·
9
676
+ 13 𝑦2
−
21
13
𝑦 +
441
676
− 13 ·
441
676
= 220
13 𝑥 +
3
26
2
+ 13 𝑦 −
21
26
2
= 200 +
117
676
+
5733
676
𝑥 +
3
26
2
+ 𝑦 −
21
26
2
=
5425
338

6. Gráfica del Problema Nº 3
Para la representación gráfica utilizamos el software Geogebra