matematica 2

1. DERIVADAS
1) Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 =
8
𝑥2+4
en el punto (2,1).
SOLUCION
Se conoce que mL1=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
, de donde
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
16𝑥
(𝑥2+4)2
Luego mL1=−
16𝑥
(𝑥2+4)2 = −
32
82
= −
32
64
= −
1
2
L1: y-1= −
1
2
(x-2), de donde L1: x+2y =4
2) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva x5 + y5 – 2xy = 0 en el punto (1,1).
SOLUCION
En primer lugar calculamos la derivada, es decir:
x5 + y5 – 2xy = 0 5x4 + 5y4 𝑑𝑦
𝑑𝑥
-2y -2x
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
(5y4 – 2x)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2y – 5x4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑦−5𝑥4
5𝑦4−2𝑥
pero como mL1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑦−5𝑥4
5𝑦4−2𝑥
=
2−5
5−2
= -1
además L1: y – y0 = mL1(x – x0) , de donde L1: x + y -2 =0
X=2
X=2
P (1,1) P (1,1)

2. 3) Hallar la ecuación de la tangente a la curva x2y = x + 1 cuya inclinación es de 45°.
SOLUCION
Como 45° es el ángulo de inclinación de L1, entonces:
mL1 = tg 45° = 1 mL1 = 1 … (1)
también x2y = x + 1 y =
𝑥+1
𝑥2
=
1
𝑥
+
1
𝑥2
, derivando
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
1
𝑥2
-
2
𝑥3
mL1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
1
𝑎2
-
2
𝑎3
… (2)
Igualando (2) y (1) se tiene: -
1
𝑎2
-
2
𝑎3
= 1 de donde a3 + a + 2 = 0 a = -1
como p(a,b) pertenece a la curva b =
𝑎+1
𝑎2
para a = -1, b = 0 P(-1,0),
L1: y – 0 = 1(x + 1), de donde L1: x – y + 1 = 0
4) Encontrar una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva
3y = x3 – 3x2 + 6x + 4 que sean paralelas a la recta 2x – y + 3 = 0.
SOLUCION
Se sabe que L1 // L: 2x – y + 3 = 0 mL1 = mL = 2 … (1)
Además 3y = x3 – 3x2 + 6x + 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= x2 – 2x + 2
como mL1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= a2 – 2a + 2 … (2)
Ahora igualando (1) y (2) se tiene: a2 – 2a + 2 a(a - 2) = 0 a = 0, a = 2
además el punto p(a, b) pertenece a la curva entonces:
3b = a3 – 3a2 + 6a + 4 para a = 0 b =
4
3
p (0,
4
3
)
X=a
P(a, b)

3. L1: y -
4
3
= 2(x - 0), de donde L1: 2x – y +
4
3
= 0
para a = 2, b = 4 p(2, 4), Ll
1 = y – 4 = 2(x - 2), de donde Ll
1: 2x – y = 0
5) Si una recta tangente curva x4 – 2x2 – x + y = 0 en el punto (-1, 0) es también tangente a
la misma curva en el punto P(a, b), hallar las coordenadas de P.
SOLUCION
Como mL1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (1 + 4x – 4x3) = 1 … (1)
mL1 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1 + 4a - 4a3 … (2)
igualando (1) y (2) se tiene: 1 + 4a - 4a3 = 1 (1 – a2) = 0 a = ± 1 a = 1
como P(a,b) es punto de la curva entonces: a4 – 2a2 – a + b = 0 para a = 1 b = 2
El punto es P (1, 2)
p (-1, 0)
p (-1, 0)
p (a, b)