Este documento presenta 4 problemas de matemáticas que involucran funciones, probabilidad, ecuaciones diferenciales y optimización. Los problemas incluyen determinar si una función es una densidad de probabilidad, calcular la probabilidad entre valores, encontrar el valor esperado de una variable, modelar el crecimiento de una epidemia, representar gráficamente una función, calcular la altura de saltos decrecientes de una pelota, determinar la distancia total recorrida por la pelota, y encontrar los valores óptimos de variables para maximizar una función de producción.

1. Instrucciones:
Resuelve los siguientes problemas. Justifica cada una de tus respuestas.
1. Dada la siguiente función:
a. Comprueba que es una función de densidad de probabilidad si
b. La probabilidad de que x quede entre a y b está dada por
c. Determina el valor esperado de x, el cual está dado por
2. El modelo de epidemias asume que la enfermedad se extiende a un ritmo
proporcional al producto del número total infectado y al número no infectado
todavía. Sea x el número de individuos recientemente infectados en un
momento t de una comunidad de n individuos susceptibles. Así el modelo
matemático para representar esta epidemia está dado a través de la
siguiente ecuación diferencial

2. Encuentra el número de individuos recientemente infectados. Considera
una comunidad de 1,000 individuos en un tiempo de 10 días a un ritmo de
crecimiento de la epidemia del 15%. Representa gráficamente la función.
3. Una pelota se deja caer de 6 metros y empieza a botar. La altura de cada
salto es de 3/4 la altura del salto anterior. Encuentra:
La secuencia que representa este
a. Comportamiento.
b. La serie que representa la distancia total vertical recorrida.
c. Encuentra la distancia vertical total recorrida por la pelota.
4. La función de producción de una compañía está dada por P(x,y)= 0.54x 2-
0.02x3+1.98y2-0.09y3, donde x y y son las cantidades de trabajo y capital,
respectivamente, y P es la cantidad producida. Encuentra los valores de x y
y que maximizan la producción de esta compañía.