Este documento presenta diferentes aplicaciones de ecuaciones diferenciales en áreas como crecimiento de poblaciones, trayectorias ortogonales, geometría y propagación de enfermedades. Explica cómo ecuaciones diferenciales separables, homogéneas, lineales y de Bernoulli se pueden utilizar para modelar estos fenómenos. Proporciona ejemplos detallados de cada tipo de ecuación diferencial con soluciones matemáticas.

1. APLICACIONES
DE
ECUACIONES
DIFERENCIALES

2. ***ECUACIONES DIFERENCIALES***
*SEPARABLES*
 Aplicación en el crecimiento de poblaciones
Si una reservación africana puede mantener una
manada de elefantes y actualmente tiene una
manada de 250, que crece exponencialmente a
12% al año, halle el tamaño de la manada dentro
de 8 años.
SOLUCION:

3.  Donde:
M: es el tamaño de la población máxima
y: es el tamaño normal de la población
k: es la razón de crecimiento
Separando las variables e integrando

5. Sustituyendo y = 250 en t =0
A = 350
Sustituyendo en la solución de la ecuación
diferencial
y = 600 - 350 (0.38289) = 466 elefantes

6. ***ECUACIONES DIFERENCIALES***
*HOMOGENEAS*
 Aplicación en trayectorias ortogonales
Encuentra las trayectoria ortogonales de:
Formulación matemática. Hay dos maneras de
determinar la ecuación diferencial de la familia.
Primera manera. Resolver c para obtener

7. Derivando con respecto a x, tenemos:
o´
Segunda manera. Derivando con
respecto a x encontramos:

8. eliminando centre la ultima ecuación y la dada,
encontramos la ecuación como antes.
La familia de las trayectoria ortogonales tiene asi
la ecuación diferencial:
Resultado una ecuación diferencial homogénea
utilizado y=ux se puede demostrar que:

9. ***ECUACIONES DIFERENCIALES***
*LINEALES*
 Aplicaciones en la geometría
La pendiente en cualquier punto de una curva es
2x+3y. Si la curva pasa por el origen, determine
su ecuación.
Formulación matemática: la pendiente en (x,y)es
de dy/dx. Luego

10. es la ecuación diferencial requerida, la cual se
resuelve sujeta y(0)=0.
Solución. La ecuación:
Escrita como una ecuación lineal de primer orden:
Tiene el factor integrante:

11. De donde:
Así puesto que y(0)=0, c=
Encontramos:

12. ***ECUACIONES DIFERENCIALES***
*BERNOULLI*
Aplicación en la propagación de enfermedades.
La velocidad de propagación es proporcional a la
probabilidad de que un individuo infecte a otro
multiplicado por el numero de individuos
infectados N

13. La probabilidad (P) de que un individuo infecte a
otro es proporcional a la relación entre individuos
sanos (Nº-N) y la cantidad total Nº de individuos
P = (Nº - N)/Nº
dN/dt = N.(Nº - N)/Nº
dN/dt = N - N²/Nº
dN/dt - N = (1/Nº).N²
Ahí tienen la ecuación de Bernoulli para ß = 2