S

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-01 Ingreso Directo
Lado Inicial
Lado Terminal
0
A
B

A
B
0
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2017-III
TRIGONOMETRÍA
“Ángulo Trigonométrico”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con
ángulo trigonométrico.
 Reconocer al ángulo trigonométrico y los sentidos en que estos pueden ser generados: horario y
antihorario.
 Aplica proporcionalidad entre sistemas para transformar unidades de medidas angulares.
Ángulo Trigonométrico: al referirse a ángulo trigonométrico debemostener en cuenta el significado de
ángulo geométrico y observar lascaracterísticasde ambos.
Ángulo
Geometría Plana Trigonometría Plana
Definición
Abertura determinada por dos rayosa
partir de un mismo punto.
Abertura que se genera por el movimiento
de rotación de un rayo alrededor de su
origen, desde una posición inicial (lado
inicial) hasta una posición final (lado final)
Características
 Son estáticos
 No tienen sentido de giro, por lo
tanto no hay ángulosnegativos.
 Están limitados
( º360ricoTrigonométº0  águlo )
 Son móviles
 Su sentido de giro está definido:
 Los ángulos positivos tienen
sentido antihorario ().
 Los ángulos negativos tienen
sentido horario ().
 Su magnitudno tiene límites.
Nota: Para poder sumar o restar ángulos trigonométricos, estos deben estar orientados en el mismo
sentido. Si esto no ocurriese, se recomienda cambiar la rotación así:
Semana Nº 1

-  - 10º
Por ejemplo:
 10º -

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Sistemas de medición angular:
Para cualquier magnitud se necesita una unidad de medida, en los ángulos esto dependerá de la manera en
que es dividida la circunferencia.Entre los sistemas más usados tenemos:
Sistema Sexagesimal o Inglés (S): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
sexagesimal que equivale a la 360ava parte de la circunferencia.
Debemos tener en cuenta:
0
360060
´´´º´´´º 






cb
acbacba
Ejemplo: 28º30´27´´= 28 + 30´ + 27´´
Sistema Centesimal o Francés (C): es un sistema de medida angular cuya unidad fundamental es el grado
centesimal que equivale a la 400ava parte de la circunferencia.
Debemos tener en cuenta:
g
cb
ascmb
g
ascmb
g
a 






10000100
Ejemplo: 28g
30m
27s
= 28g
+ 30m
+ 27s
Sistema Radial o Circular (rad.): es el sistema de medida angular cuya unidadde medida es el radian (1 rad.)
Observación: 1 rad = 57º17´45`` 1rad > 1º > 1g
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Realizando la comparaciónentre los tres sistemas estudiados, aplicando proporcionalidadlegamosa la
siguiente conclusión: k
rad
RradCS
g
g


20
10º9
º
También una equivalencia de esta última relación es:
20
;10;9
k
RkCkS


109
CS
 ;

R
S 180
;

R
C 200
109
CS
 ;

R
S 180
;

R
C 200
PROBLEMA DE CLASE
1) La suma de las medidas de dos ángulos es
4080' y su diferencia es 40 𝑔
. Halle la medida
delmayor ángulo en radianes.
A)
13𝜋
45
𝑟𝑎𝑑 B)
17𝜋
45
𝑟𝑎𝑑 C)
45𝜋
13
𝑟𝑎𝑑 D)
45𝜋
17
𝑟𝑎𝑑E)
11𝜋
45
𝑟𝑎𝑑
2) ¿Cuántos radianes se deben aumentar alángulo
(
11000
3
)
𝑚
para obtener como resultado35,25º?
A)
𝜋
80
𝑟𝑎𝑑 B)
3𝜋
75
𝑟𝑎𝑑 C)
171𝜋
41
𝑟𝑎𝑑 D)
𝜋
25
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
40
𝑟𝑎𝑑
3) Con los datos que se muestran en el gráfico,
calcule x – y si 2x+3y=35.
A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

-  - 10º
Por ejemplo:
 10º -
OBSERVACIÓN
RELACIÓN DE MINUTOS:
.
5027
mM
 . M: # MINUTOS SEXAGESIMALES
m: # MINUTOS CENTESIMALES
RELACIÓN DE SEGUNDOS:
.
25081
ba
 .
a: # SEGUNDOS SEXAGESIMALES
b: # SEGUNDOS CENTESIMALES
Sexagesimales Centesimales
# de grados S C
# de minutos 60 S 100 C
# de segundo 360 S 10000 C

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4) Un ángulo mide 𝑎′ 𝑦 𝑏 𝑚
en el sistema
sexagesimal y centesimal, Respectivamente. Si
𝑎𝑏−2𝑎2+𝑏2
𝑏−𝑎
= 208, calcule la medida en radianes.
A)
𝜋
100
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
180
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
360
𝑟𝑎𝑑 D)
𝜋
200
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
540
𝑟𝑎𝑑
5) En el gráfico, 𝛼 =
𝜋𝑥
48
𝑟𝑎𝑑; 𝛽 = (
𝑥
2
)
𝑔
𝑦 𝜃 =
(56 – 𝑥) º, halle la medida del ángulo 𝛽 en el
sistema radial.
A)
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
8
𝑟𝑎𝑑 D)
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
6) Si:

C
C
C
C
C
C
S
S
S
S
S
S






Hallar el númerode radianes de dicho
ángulo. Si: (S y C son lo conocido)
A) 
3600
441 B) 
3600
551 C) 
3600
361 D) 
3600
641 E) 
3600
241
7) Siendo  elnúmerode radianes de un ángulo
positivo, verifica la igualdad:
11.8.3 




Hallar: . Si:   
A)
9
32
B)
64
9
C)
32
9
D)
16
9
E)
9
64
8) Si la diferencia de dos ángulos es 100g y su
suma es 3𝜋 𝑟𝑎𝑑., entonces, las medidas
sexagesimales de dichos ángulos, respectivamente ,
son:
A) 315° y 225° B) 325° y 215° C) 300° y 240°
D) 290° Y 250° E) 315° y 235°
9) Si C y R son los números que representan las
medidas de un ángulo trigonométrico en los
sistemas centesimales y radial respectivamente,
tal que:
C = R + 2R2 + 3R3 + 4R4 + ……….
Calcular la medida del ángulo en el sistema
radial.
A) { rad
2
1,0  ; rad
2
1,01 




  } B)





  rad
2
1,0;rad
2
1,0
C)











 




  rad
2
1,01;rad
2
1,01 D)





  rad
2
;rad
2
10) Si se cumple:
 
222
2
222
111
12

























RCS
C
RCS
R
RCS
S
RCS
RCS
R

donde S, C y R son las medidas usuales del mismo
ángulo; entonces R es igual a:
a) rad
120
 b) rad
60
 c) rad
40
 d) rad
30
 e) rad
120
5
11) Si los ángulos congruentes de un triángulo
isósceles miden (6x)g , y (5𝑥 + 4)º , entonces el
complemento de la medida deltercer ánguloen
el sistema radiales a:
A) rad
10
 B) rad
5
 C) rad
12
 D) rad
20
 E) rad
8

12) De acuerdo a la figura,hallar el valor de “x”.
A) 45º B) 46º C) 43º D) 44º E) 42º
13) Si el gradoShary (1 𝑆ℎ
) equivale a la 960ava
parte de una vuelta ¿A cuántos grados Shary
equivale
𝜋
96
rad?
A) 6 𝑆ℎ
B) 37 𝑆ℎ
C) 5 𝑆ℎ
D) 7 𝑆ℎ
E) 𝜋 𝑆ℎ
14) Siendo X,Y, y Z números enteros, cumplen la
igualdad: ´´´. ZYXrad 
32

;Calcular x XZY 5
A) 2 B) 4 C) 20 D) 5 E) 6
15) Si S y C son la medida de un ángulo en los
sistemas sexagesimal y centesimal
respectivamente y cumplen:
... 32
1111
CCCS
Calcular la medida circular de dicho ángulo
A) B) C) D)  E) 

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16) Siendo S, C y R lo convencional para un
mismo ángulo, calcule “R” siendoS y C las
raíces de la ecuación: 3x2 - 19x + 30 = 0
A) B)  C) D)  E) 
17) De la figura mostrada, Calcular: “9-10”
A) 90 B) 180 C) 360 D) 900 E) 1800
18) Determine la medida circular de un ángulo
que verifica:
S
C
ostérn
RRR




















 min""...........
2
1
1
1
1
1
1
1
a) rad
n
10
1)( 
b)
10
n
c)
9
n
d)
9
1n
e) 9n
19) Determinar la medida en el sistema
centesimal para un ángulocuyas medidas en
los sistemas convencionales cumplen la
relación:
A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36
20) Señale la medida circular del ángulocuyos
números de grados sexagesimales y
centesimales se expresan como:
S = 1 + 3 + 5 + 7 + …; C = 2 + 4 + 6 + 8 + …
Teniendo ambos igual cantidad de sumandos:
a) rad
20
3
b) rad
20
7 c) rad
10
9 d) rad
20
9 e) rad
23
5
21) El doble del número de grados sexagesimales de
un ángulo disminuido en su número de grados
centesimales es a 8 como es 3 a 4. Calcular la medida
radial del ángulo quecumpledichacondición.
a) rad
20
3 b)
40
3 c)
50
3 d)
80
3 e)
100
3
22) Se crea un nuevo sistema de medición
angular “R” tal que su unidad (1R) es la 240
ava parte del ángulo de una vuelta. Exprese en
el sistema “R” un ánguloque mide rad
4

.
a) 27R b) 30R c) 32R d) 36R e) 40R
23) Calcular la medida radial de un ángulopara
el cualse cumple: 27S + 13 = 81C siendoS y
C lo convencional para el mismo ángulo.
A) B) C) D) E)
24) Si:
Calcular: a + b + c
A) 9 B)15 C) 18 D) 21 E) 2
25) Si (30,34)º = 𝐴º𝐵′𝐶", Calcule A+B+C
A) 74 B) 90 C) 85 D) 80 E) 75
26) Reduzca la siguiente expresión
1 𝑔
1 𝑚
1 𝑚 +
2 𝑔
2 𝑚
2 𝑚 +
3 𝑔
3 𝑚
3 𝑚 +
4 𝑔
4 𝑚
4 𝑚 + ⋯
202 𝑔
202 𝑚
202 𝑚
101
A) 102 B) 200 C) 101 D) 100 E) 202
27) De la siguiente igualdad
𝑎 𝑔
𝑏 𝑚
𝑐𝑠
= 45 𝑔
28 𝑚
63𝑠
+ 28 𝑔
63 𝑚
45𝑠
+ 63 𝑔
45 𝑚
28𝑠
Calcule a – b – c
A) 32 B) 60 C) 54 D) 64 E) 52
28) Si 𝐿1 // 𝐿2 , calcule 𝑎.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2/3 E) 3/2
29) Se crea un nuevosistema de medición
angular,cuya unidad (1u) es la séptima parte
delángulo de media vuelta. Simplifique la
expresión
7 𝑢
3
+
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
7 𝑢
3
+ 50 𝑔
A) 1/2 B) 12/7 C) 1/3 D) 2 E) 3
30) Calcule elvalor de la siguiente expresión
𝑥° + 𝑥′
𝑥 𝑔
− 39𝑥 𝑚
A) 40/27 B) 25/27 C) 50/27 D) 20/27 E) 23/27
 
4 3 2S C 20R 12 3 2S C R
9 10 5
    

5
 3
20
 5
12
 2
9
 3
10

  
g o
x 2 x 1 x abc  