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Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
b
a
H
COSenA 
b
c
H
CA
CosA 
c
a
CA
COTanA 
a
b
CO
HCscA 
c
b
CA
HSecA 
a
c
CO
CA
CotA 
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con razones trigonométricas.
 Reconocer las características de las 6 razones trigonométricas.
Razón Trigonométrica: Son aquellos números que
resultan de dividir dos lados de un triángulo
rectángulo.
Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados
de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa”
. a2
+ b2
= c2
Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo
rectángulo son complementarios”
. A + B = 90º
Definición De Las Razones Trigonométricas Para
Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en
“C”, se establecen las siguientes definiciones:
Sen =
Hipotenusa
OpuestoCateto
=
c
a
Cos =
Hipotenusa
AdyacenteCateto =
c
b
tg =
AdyacenteCateto
OpuestoCateto
=
b
a
Ctg =
OpuestoCateto
AdyacenteCateto
=
a
b
Sec =
AdyacenteCateto
Hipotenusa
=
b
c
csc =
OpuestoCateto
Hipotenusa
=
a
c
Razones Trigonométricas Recíprocas
Siendo  un ángulo agudo se cumple:
1csc.
1
csc  

 sen
sen
;
1sec.cos
cos
1
sec  

 ;
1.
1
 

 ctgtg
tg
ctg
Razones Trigonométricas De Ángulos
Complementarios
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su
suma es un ángulo recto.
En la figura se muestra:
 y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º)
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b
como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en
consecuencia:
 cos
c
b
sen ;  sen
c
a
cos
 ctg
a
b
tg  ;  tg
b
a
ctg 
 cscsec 
a
c
;  seccsc 
b
c
Debido a estas relaciones las co-razones son::
Semana Nº 3
Lic. Rodolfo Carrillo V. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
 seno y coseno.
 tangente y cotangente.
 secante y cosecante.
Teorema del complemento
   deocomplementRTcoαRT 
Se llaman co–razones trigonométricas una de la
otra.
NOTA:
 Si:








1
1
1



CtgTg
SecCos
CscSen
 Si:     º90  RTcoRT
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES
A partir de estos se determinarán otros
adicionales como:
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
* CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento
mediante el cual se determinan los lados
faltantes de un triángulo rectángulo, en
términos de un lado que sí se conoce; y de un
ángulo agudo que también se conoce.
Criterio:
PROBLEMA DE CLASE
1. El gráfico ABCD es un cuadrado. Calcule
𝑡𝑎𝑛𝜃 – 𝑡𝑎𝑛𝛼.
A) 1 B) 2 C) ½ D)
1
3
E) ¼
2. Si a es un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo, tal que 5𝑠𝑒𝑐𝛼 = 13, halle el
valor de
3𝑠𝑒𝑛𝛼−4𝑐𝑜𝑠𝛼
5𝑠𝑒𝑛𝛼+4 𝑐𝑜𝑠𝛼
A)
5
12
B)
7
10
C)
3
10
D)
1
5
E)
2
5
3. Si un triángulo rectángulo ABC, recto
en A, tiene 5 cm de hipotenusa y se
cumple que 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2𝑠𝑒𝑛𝐶, halle el
valor de 𝑡𝑎𝑛𝐵 + 10𝑡𝑎𝑛𝐶.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9
4. El perímetro de un triángulo rectángulo
es 330 u. Si la tangente de uno de sus
ángulos agudos es
12
5
, halle la longitud
del cateto menor.
A) 45 u B) 50 u C) 52 u D) 55 u
E) 60 u
5. Del gráfico mostrado, calcule 𝑠𝑒𝑐𝜃 +
√5 𝑐𝑜𝑡𝜃.
45º
45º
1
1
2
30º
60º
1
2
3
37º
53º
3
5
4
26º30'
63º30'
1
5
2
8º
82º
1
7
16º
74º
7
25
24
5 2
22º30'
67º30'
1
4 + 2 2
2 + 1
15º
75º
6 - 2
4
6 + 2
18º30'
71º30'
1
10
3
30º 37º 45º 53º 60º
Sen
2
1
5
3
2
2
5
4
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3
Cos
2
3
5
4
2
2
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Tan
3
3
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3
1
3
4
3
Cot 3
3
4
1
4
3
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3
Sec
3
32
4
5
2
3
5
2
Csc 2
3
5
2
4
5
3
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conocido).(T.R
conocidoLado
odesconocidLado 
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3
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
A)
3
2
B)
7
2
C)
9
2
D)
5
2
E) 5
6. Del gráfico se cumple que
𝐴𝐻 = 3 𝑦 𝐻𝐶 = 2. Calcule 𝑐𝑜𝑠2
𝜃
A)
1
5
B)
2
5
C) ½ D)
3
4
E)
4
5
7. Si 𝛼 𝑦 𝜃 son ángulos agudos, tal que
3 𝑐𝑜𝑠𝜃
= √3
4
𝑦 2 𝑡𝑎𝑛𝛼
= 8√2 . calcule
53𝑐𝑜𝑠2
𝛼. 𝑡𝑎𝑛 2
𝜃.
A) 30 B) 45 C) 60 D) 20 E) 65
8. En el gráfico, AOB es un sector circular.
Si N es punto medio de 𝑂𝐵 𝑦 𝑂𝑀 =
2(𝐴𝑀), halle 𝑐𝑜𝑡𝛼.
A)
2√3−3
2
B)
2√3−2
3
C)
3√3−4
3
D)
3√2−2
3
E)
√3−1
2
9. En dos triángulos rectángulos
consideremos los ángulos agudos
𝛼 𝑦 𝛽, respectivamente.
Si 𝑠𝑒𝑛𝛼 = √
3
7
𝑦 𝑠𝑒𝑐𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝛼,
calcule el valor de 𝐸 =
12𝑡𝑎𝑛2 𝛼+9𝑡𝑎𝑛2 𝛽
3𝑐𝑠𝑐2 𝛼−𝑐𝑠𝑐2 𝛽
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 5
10. A partir del gráfico mostrado, calcule
𝑡𝑎𝑛𝛼 si 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
2
3
𝑦 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
3𝑎
3𝑏+2𝑎
,
además, 𝐵𝐷 = 𝐷𝐴 = 2𝑏 y 𝐶𝐻 = 2𝑎.
A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3
11. Halle el valor de
[(2 + √3) (
𝑠𝑒𝑛60º − 𝑠𝑒𝑛30º
𝑠𝑒𝑛60º + 𝑠𝑒𝑛30º
)]
2−√3
A) 2 − √3 B) 1 C) 2 + √3 D) √3 E) 2√3
12. Un poste se quiebra dejando en pie la
tercera parte de su altura total. Si, al
caer, su extremo superior describe un
arco de 4√3𝜋 𝑚 de longitud, halle la
distancia entre el pie del poste y el
extremo superior que está en el suelo.
A)8√3 𝑚 B) 18 m C) 9 m D) 6 m
E)6√3 𝑚
13. Del gráfico, calcule √13𝑐𝑜𝑠𝛼 + 3𝑡𝑎𝑛𝛼,
A) 3 B) 2 C) 5 D) 9/2 E) 11/3
Lic. Rodolfo Carrillo V. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría.
4
Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo
14. En la figura, 𝑀𝐴 = 2 𝑐𝑚 y 𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚.
Halle BC.
A)
√15−2√3
2
B)
√15−√3
2
C)
2√15−√3
2
D)
3(√15−√3)
2
E)
√15−√3
3
15. Del gráfico mostrado, 𝐴𝑀 = 20 𝑦
𝑁𝐶 = 23. Calcule 𝑐𝑜𝑡𝜃.
A)
2
5
B)
7
6
C)
7
5
D)
13
15
E)
5
6
16. De la figura, AH=15 cm. Halle HM.
A)
45
2
𝑐𝑚 B)
45
4
𝑐𝑚 C) 45 cm D)15√3 𝑐𝑚 E)
45√3
4
17. En el gráfico, el triángulo ABC es
equilátero y
𝐴𝑀
𝑀𝐵
=
5
3
. Calcule
𝑐𝑠𝑐𝛼 – 𝑐𝑜𝑡𝛼.
A)
√3
15
B)
√3
12
C)
√3
9
D)
√3
8
E)
√3
10
18. En la figura se tiene el triángulo
rectángulo BAC que es recto en A. Si
𝐶𝑄 = 𝑎 𝑐𝑚, 𝐴𝐵 = 𝑏 𝑐𝑚, halle el valor
de
𝑎
𝑏
.
A)
1
3
(3 − √3) B)
1
3
(3 + √3) C)
1
3
(6 − √3)
D)
1
3
(6 + √3) E)
1
3
√3
19. En el gráfico, halle 𝑡𝑎𝑛𝜃 si 𝐵𝐷 = 2(𝐷𝐶).
A) 2/13 B) 3/7 C) 4/13 D) 2/7 E) 5/13
20. Del gráfico, calcule 1– 𝑐𝑜𝑠𝜃 si 𝐶𝑀 =
√3, 𝐴𝑀 = 2 𝑦 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶.
A) 2/13 B) 11/13 C) 11/12 D) 2/5 E) 1/5
21. Si 𝛼 𝑦 𝜃 son ángulos agudos, tal que
3 𝑐𝑜𝑠𝜃
= √3
4
𝑦 2 𝑡𝑎𝑛𝛼
= 8√2 . calcule
53𝑐𝑜𝑠2
𝛼. 𝑡𝑎𝑛 2
𝜃.
A) 30 B) 45 C) 60 D) 20 E) 65

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Razones trigonométricas en triángulos rectángulos

  • 1. 1 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo b a H COSenA  b c H CA CosA  c a CA COTanA  a b CO HCscA  c b CA HSecA  a c CO CA CotA  UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2018-II TRIGONOMETRÍA “RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO” Objetivos:  Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con razones trigonométricas.  Reconocer las características de las 6 razones trigonométricas. Razón Trigonométrica: Son aquellos números que resultan de dividir dos lados de un triángulo rectángulo. Teorema de Pitágoras: “La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa” . a2 + b2 = c2 Teorema: “Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios” . A + B = 90º Definición De Las Razones Trigonométricas Para Un Ángulo Agudo: Dado el triángulo ABC, recto en “C”, se establecen las siguientes definiciones: Sen = Hipotenusa OpuestoCateto = c a Cos = Hipotenusa AdyacenteCateto = c b tg = AdyacenteCateto OpuestoCateto = b a Ctg = OpuestoCateto AdyacenteCateto = a b Sec = AdyacenteCateto Hipotenusa = b c csc = OpuestoCateto Hipotenusa = a c Razones Trigonométricas Recíprocas Siendo  un ángulo agudo se cumple: 1csc. 1 csc     sen sen ; 1sec.cos cos 1 sec     ; 1. 1     ctgtg tg ctg Razones Trigonométricas De Ángulos Complementarios Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su suma es un ángulo recto. En la figura se muestra:  y : Son ángulos complementarios ( +  = 90º) Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como  y al ángulo opuesto al cateto a como  en consecuencia:  cos c b sen ;  sen c a cos  ctg a b tg  ;  tg b a ctg   cscsec  a c ;  seccsc  b c Debido a estas relaciones las co-razones son:: Semana Nº 3
  • 2. Lic. Rodolfo Carrillo V. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo  seno y coseno.  tangente y cotangente.  secante y cosecante. Teorema del complemento    deocomplementRTcoαRT  Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra. NOTA:  Si:         1 1 1    CtgTg SecCos CscSen  Si:     º90  RTcoRT TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES A partir de estos se determinarán otros adicionales como: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS * CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados faltantes de un triángulo rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se conoce. Criterio: PROBLEMA DE CLASE 1. El gráfico ABCD es un cuadrado. Calcule 𝑡𝑎𝑛𝜃 – 𝑡𝑎𝑛𝛼. A) 1 B) 2 C) ½ D) 1 3 E) ¼ 2. Si a es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, tal que 5𝑠𝑒𝑐𝛼 = 13, halle el valor de 3𝑠𝑒𝑛𝛼−4𝑐𝑜𝑠𝛼 5𝑠𝑒𝑛𝛼+4 𝑐𝑜𝑠𝛼 A) 5 12 B) 7 10 C) 3 10 D) 1 5 E) 2 5 3. Si un triángulo rectángulo ABC, recto en A, tiene 5 cm de hipotenusa y se cumple que 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 2𝑠𝑒𝑛𝐶, halle el valor de 𝑡𝑎𝑛𝐵 + 10𝑡𝑎𝑛𝐶. A) 3 B) 4 C) 5 D) 7 E) 9 4. El perímetro de un triángulo rectángulo es 330 u. Si la tangente de uno de sus ángulos agudos es 12 5 , halle la longitud del cateto menor. A) 45 u B) 50 u C) 52 u D) 55 u E) 60 u 5. Del gráfico mostrado, calcule 𝑠𝑒𝑐𝜃 + √5 𝑐𝑜𝑡𝜃. 45º 45º 1 1 2 30º 60º 1 2 3 37º 53º 3 5 4 26º30' 63º30' 1 5 2 8º 82º 1 7 16º 74º 7 25 24 5 2 22º30' 67º30' 1 4 + 2 2 2 + 1 15º 75º 6 - 2 4 6 + 2 18º30' 71º30' 1 10 3 30º 37º 45º 53º 60º Sen 2 1 5 3 2 2 5 4 2 3 Cos 2 3 5 4 2 2 5 3 2 1 Tan 3 3 4 3 1 3 4 3 Cot 3 3 4 1 4 3 3 3 Sec 3 32 4 5 2 3 5 2 Csc 2 3 5 2 4 5 3 32 conocido).(T.R conocidoLado odesconocidLado 
  • 3. Lic. Rodolfo Carrillo V. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo A) 3 2 B) 7 2 C) 9 2 D) 5 2 E) 5 6. Del gráfico se cumple que 𝐴𝐻 = 3 𝑦 𝐻𝐶 = 2. Calcule 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 A) 1 5 B) 2 5 C) ½ D) 3 4 E) 4 5 7. Si 𝛼 𝑦 𝜃 son ángulos agudos, tal que 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 = √3 4 𝑦 2 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 8√2 . calcule 53𝑐𝑜𝑠2 𝛼. 𝑡𝑎𝑛 2 𝜃. A) 30 B) 45 C) 60 D) 20 E) 65 8. En el gráfico, AOB es un sector circular. Si N es punto medio de 𝑂𝐵 𝑦 𝑂𝑀 = 2(𝐴𝑀), halle 𝑐𝑜𝑡𝛼. A) 2√3−3 2 B) 2√3−2 3 C) 3√3−4 3 D) 3√2−2 3 E) √3−1 2 9. En dos triángulos rectángulos consideremos los ángulos agudos 𝛼 𝑦 𝛽, respectivamente. Si 𝑠𝑒𝑛𝛼 = √ 3 7 𝑦 𝑠𝑒𝑐𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝛼, calcule el valor de 𝐸 = 12𝑡𝑎𝑛2 𝛼+9𝑡𝑎𝑛2 𝛽 3𝑐𝑠𝑐2 𝛼−𝑐𝑠𝑐2 𝛽 A) 4 B) 3 C) 2 D) 1 E) 5 10. A partir del gráfico mostrado, calcule 𝑡𝑎𝑛𝛼 si 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 2 3 𝑦 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 3𝑎 3𝑏+2𝑎 , además, 𝐵𝐷 = 𝐷𝐴 = 2𝑏 y 𝐶𝐻 = 2𝑎. A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 3 11. Halle el valor de [(2 + √3) ( 𝑠𝑒𝑛60º − 𝑠𝑒𝑛30º 𝑠𝑒𝑛60º + 𝑠𝑒𝑛30º )] 2−√3 A) 2 − √3 B) 1 C) 2 + √3 D) √3 E) 2√3 12. Un poste se quiebra dejando en pie la tercera parte de su altura total. Si, al caer, su extremo superior describe un arco de 4√3𝜋 𝑚 de longitud, halle la distancia entre el pie del poste y el extremo superior que está en el suelo. A)8√3 𝑚 B) 18 m C) 9 m D) 6 m E)6√3 𝑚 13. Del gráfico, calcule √13𝑐𝑜𝑠𝛼 + 3𝑡𝑎𝑛𝛼, A) 3 B) 2 C) 5 D) 9/2 E) 11/3
  • 4. Lic. Rodolfo Carrillo V. WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-03 Ingreso Directo 14. En la figura, 𝑀𝐴 = 2 𝑐𝑚 y 𝐴𝐵 = 4 𝑐𝑚. Halle BC. A) √15−2√3 2 B) √15−√3 2 C) 2√15−√3 2 D) 3(√15−√3) 2 E) √15−√3 3 15. Del gráfico mostrado, 𝐴𝑀 = 20 𝑦 𝑁𝐶 = 23. Calcule 𝑐𝑜𝑡𝜃. A) 2 5 B) 7 6 C) 7 5 D) 13 15 E) 5 6 16. De la figura, AH=15 cm. Halle HM. A) 45 2 𝑐𝑚 B) 45 4 𝑐𝑚 C) 45 cm D)15√3 𝑐𝑚 E) 45√3 4 17. En el gráfico, el triángulo ABC es equilátero y 𝐴𝑀 𝑀𝐵 = 5 3 . Calcule 𝑐𝑠𝑐𝛼 – 𝑐𝑜𝑡𝛼. A) √3 15 B) √3 12 C) √3 9 D) √3 8 E) √3 10 18. En la figura se tiene el triángulo rectángulo BAC que es recto en A. Si 𝐶𝑄 = 𝑎 𝑐𝑚, 𝐴𝐵 = 𝑏 𝑐𝑚, halle el valor de 𝑎 𝑏 . A) 1 3 (3 − √3) B) 1 3 (3 + √3) C) 1 3 (6 − √3) D) 1 3 (6 + √3) E) 1 3 √3 19. En el gráfico, halle 𝑡𝑎𝑛𝜃 si 𝐵𝐷 = 2(𝐷𝐶). A) 2/13 B) 3/7 C) 4/13 D) 2/7 E) 5/13 20. Del gráfico, calcule 1– 𝑐𝑜𝑠𝜃 si 𝐶𝑀 = √3, 𝐴𝑀 = 2 𝑦 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶. A) 2/13 B) 11/13 C) 11/12 D) 2/5 E) 1/5 21. Si 𝛼 𝑦 𝜃 son ángulos agudos, tal que 3 𝑐𝑜𝑠𝜃 = √3 4 𝑦 2 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 8√2 . calcule 53𝑐𝑜𝑠2 𝛼. 𝑡𝑎𝑛 2 𝜃. A) 30 B) 45 C) 60 D) 20 E) 65