Dinámica estructural con MATLAB

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EDICIÓN
1.
INGENIERÍA CIVIL.

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DINÁMICA ESTRUCTURAL
MÓDULO DE INTERACTIVO CON MATLAB
Proyecto para optar al Título de Ingeniero Civil.
ALEJANDRA MARCELA ESCALANTE GUTIÉRREZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL.
MATERIAL DIDÁCTICO PARA APOYAR EL
PROCESO ENSEÑANZA – APRENDIZAJE.
Esta no es una Licencia de Cultura Libre.
ATRIBUCIÓN - NO COMERCIAL – COMPARTIR IGUAL.

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DINÁMICA ESTRUCTURAL
MÓDULO INTERACTIVO CON MATLAB
Proyecto para optar al Título de Ingeniero Civil.
ALEJANDRA MARCELA ESCALANTE GUTIÉRREZ
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL.
TUTOR:
WILLIAM GOMEZ ZABALETA
INGENIERO CIVIL.
MATERIAL DIDÁCTICO PARA APOYAR EL
PROCESO ENSEÑANZA – APRENDIZAJE.

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DEDICATORIA
Dedico este proyecto a Dios porque ha estado conmigo en cada paso
que doy, cuidándome, guiándome y dándome fortaleza para
continuar.
A mis padres y hermana, pilares fundamentales de mi vida, quienes
a lo largo de mi vida han velado por mi bienestar y educación siendo
mi apoyo en todo momento con amor y cariño. Ellos ha sido mi guía y
el camino para llegar a este punto, que con su ejemplo, dedicación y
consejos nunca me dejaron mis brazos.

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MARCO CONCEPTUAL
- Aceleración: Magnitud física que mide la tasa de variación de la velocidad respecto del tiempo.
Las unidades para expresar la aceleración serán unidades de velocidad divididas por las unidades
de tiempo.
- Amortiguamiento: El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración libre disminuye en
amplitud; en este proceso la energía del sistema en vibración es disipada por varios mecanismos
los cuales pueden estar presentes simultáneamente.
- Amplitud del movimiento: Es la magnitud máxima del desplazamiento con respecto al equilibrio.
Se trata de la distancia que hay desde el punto de equilibrio (cero), hasta uno de los extremos
del movimiento, puede ser el punto positivo o el negativo.
- Análisis dinámico de estructuras: consiste en determinar la respuesta (desplazamientos,
velocidades y aceleraciones) de estructuras sometidas a excitaciones (acciones dinámicas).
- carga sísmica: Fuerza que ejerce un terremoto sobre una estructura.
- Desplazamiento: Distancia y la dirección de la posición final respecto a la posición inicial de un
objeto. Se hace en términos de la magnitud con su respectiva unidad de medida y la dirección.
El desplazamiento es una cantidad de tipo vectorial. Los vectores se describen a partir de la
magnitud y de la dirección.
- Dinámica Estructural: La dinámica estructural es un área del análisis mecánico de las
construcciones que estudia el efecto de las acciones externas que producen vibraciones. Su
desarrollo comienza en el siglo XIX con las investigaciones de Lord Rayleigh sobre los efectos del
sonido en cuerpos elásticos las cuales aún tienen validez.
Actualmente esta área de la Mecánica presenta un estado avanzado de desarrollo pues se ha
logrado establecer métodos de cálculo para estructuras lineales y no lineales sometidas a
acciones deterministas o aleatorias.
- Elasticidad: Propiedad mecánica de ciertos materiales de sufrir deformaciones reversibles cuando
se encuentran sujetos a la acción de fuerzas exteriores y de recuperar la forma original si estas
fuerzas exteriores se eliminan.
- Espectros de ductilidad: Ductilidad de desplazamientos es la relación entre el desplazamiento
máximo que experimenta la estructura y el desplazamiento de fluencia.
- Espectros de respuesta elástica: Parámetros de respuesta máxima para un sismo determinado y
usualmente incluyen varias curvas que consideran distintos factores de amortiguamiento. Se
utilizan fundamentalmente para estudiar las características del sismo y su efecto sobre las
estructuras.
- Espectros de respuesta inelástica: Parámetros de respuesta que supone el oscilador de un grado
de libertad exhibe comportamiento no-lineal, es decir que la estructura puede experimentar
deformaciones en rango plástico por acción de un sismo. Estos espectros representan la
ductilidad requerida por un sismo dado en función del periodo de vibración de la estructura y se
grafican usualmente para distintos niveles de resistencia. También, se construyen espectros de

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aceleración, desplazamiento de fluencia o desplazamiento último de sistemas inelásticos, en
donde se consideran distintos niveles de ductilidad o distintos tipos de comportamiento histérico
de la estructura.
- Frecuencia: Magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier
fenómeno o suceso periódico.
- Masa: Cantidad de materia que posee un cuerpo.
- Periodo: El tiempo que tarda en reproducirse una oscilación o ciclo.
- Pórtico: Estructura formada por pilares y vigas que soporta las cargas de forjados.
- Resortes: Pieza elástica, doblada en espiral que recobra su posición inicial tras ser comprimida
por una fuerza externa. Elemento de metal que funciona como un mecanismo que se comprime,
se extiende, o gira cuando una fuerza igual o mayor se aplica.
- Respuesta dinámica: Cualquier magnitud que pueda caracterizar el efecto de una carga dinámica
sobre la estructura.
- Rigidez: Capacidad que tienen los elementos de las estructuras de aguantar los esfuerzos sin
perder su forma (deformarse) manteniendo sus uniones. Las estructuras rígidas se dice que son
indeformables. Las estructuras no rígidas pueden perder su forma tras un esfuerzo, se dice que
son deformables.
- Sismo-resistente: Es una vibración o movimiento ondulatorio del suelo que se presenta por la
súbita liberación de energía sísmica, que se acumula dentro de la tierra debido a fuertes tensiones
o presiones que ocurren en su interior.
- Sistemas Elásticos: Un material es elástico cuando recupera su forma original después de retirar
la carga aplicada si además existe una proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos se dice
que el material es lineal.
- Velocidad: es la magnitud física que expresa la variación de posición de un objeto en función del
tiempo, o distancia recorrida por un objeto en la unidad de tiempo.
- Vibración: Oscilación o movimiento repetitivo de un objeto alrededor de una posición de
equilibrio. La posición de equilibrio es la a la que llegará cuando la fuerza que actúa sobre él sea
cero.
- Vibración Libre: Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición
estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna. Para definir
la velocidad de un objeto debe considerarse no sólo la distancia que recorre por unidad de tiempo
sino también la dirección y el sentido del desplazamiento.
- Viga: Elemento estructural que normalmente se colocan en posición horizontal, que se apoyan
sobre los pilares, destinados a soportar cargas.
- Voladizo: Elemento estructural que sobre sale respecto a la pared que lo sostiene. Por su longitud
horizontal, funcionan como una viga, es decir, a flexión.

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INTRODUCCIÓN
En la ingeniería civil de hoy en día conocemos diversos métodos de aplicación y programas para los
distintos cálculos que se requieren en las construcciones que se realizan frecuentemente, pero estos
programas primero tienen que ser sometidos a pruebas y estudios que verifiquen su eficiencia y sus
resultados antes de aplicarlos en el campo real de ejecución.
Como sabemos esta ingeniería es la que se encarga de ejecutar y materializar todas las grandes
obras de las cuales somos testigos y de igual forma albergamos en ella. Por lo tanto, es necesario
que dichas estructuras cumplan con ciertos requisitos de resistencia, durabilidad y seguridad en su
tiempo de vida útil para que siempre se mantengan su uso.
Por ende, una de las ramas más importantes ramas de la ingeniería civil es la ingeniería estructural,
ya que es ella la encargada de analizar, modelar, diseñar, proyectar y ejecutar las edificaciones con
mayor uso y albergue por la sociedad, como hospitales, escuelas, universidades, centros comerciales,
estadios, edificios y viviendas. En este punto entendemos que tan importante es la ingeniería de
estructuras, por lo tanto, es necesario que todas las obras en nivel de diseño y modelación sean
sometidas a pruebas para medir su capacidad de resistir cargas, esfuerzo, deformaciones y
deflexiones. Esto nos permite saber que tanto puede soportar nuestra estructura y que materiales y
métodos constructivos utilizar en su ejecución.
Una de las ramas que conforman a la ingeniería estructural es la dinámica estructural, esta materia
se encarga de estudiar las cargas sísmicas y las vibraciones que estas generan, dichas vibraciones se
pueden determinar a través de los parámetros dinámicos que son la masa, rigidez y amortiguamiento
de las estructuras. Estas variables se estudian porque a lo largo del tiempo estas vibraciones pueden
llegar a afectar a las estructuras y esto se hace con el fin de que cualquier tipo de edificación soporte
estas cargas sísmicas brindado una mayor resistencia y rigidez, y con respecto a los materiales una
mayor ductilidad.
Uno de los métodos más conocido con las que se conocen estas cargas dinámicas y sus vibraciones
es por el espectro de respuesta el cual es un valor que se utiliza en los cálculos de ingeniería sísmica
y que a través de él se puede medir la reacción de una estructura ante la vibración del suelo en la
que está apoyada. Dicho espectro de respuesta es un gráfico que expresa las variables de
desplazamiento, velocidad y aceleración de la estructura.
También una de las herramientas más utilizadas el pregrado y postgrado en la ingeniería civil y que
está envuelta en la ingeniería estructural son las gráficas a través del programa de MATLAB utilizado
en el curso de dinámica estructural, el cual también sirve para reproducir y medir las gráficas que el
reproduce a través de las variables que se les introducen, sin embargo, este programa no tiene un
método definido por el cual el mismo ya sea capaz de realizar este proceso para las cargas sísmicas
que se generan en las estructuras.
Por lo cual, en el siguiente proyecto de investigación se busca simular o crear un partitivo de un
esquema educativo para cálculos de espectros dinámicos en las estructuras en el programa de
MATLAB con la finalidad que a través de las variables necesarias y fijas nos arroje respuestas y
graficas.
Con el propósito de tener una respuesta estructural para las cargas dinámicas que se pueden
presentar por medio de los sismos y las vibraciones que estos les generan a las edificaciones.

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La Dinámica de Estructuras es un área del análisis mecánico de las construcciones que estudia el
efecto de las acciones externas que producen vibraciones. Es de gran importancia que hoy en día los
profesionales en ingeniería civil tengan los conocimientos básicos del comportamiento de los
elementos estructurales a causa de las cargas dinámicas a las que pueden ser afectadas. Por ello,
determinar la respuesta dinámica (cualquier magnitud que pueda caracterizar el efecto de una carga
dinámica sobre la estructura), se vuelve una variable importante para el análisis estructural con el fin
construir proyectos ingenieriles capases de resistir dichas cargas, es decir, ejecutar estructuras
sismorresistentes.
Los movimientos sísmicos del suelo constituyen una de las acciones dinámicas más severas entre las
que actúan sobre las estructuras. Actualmente, esta área presenta un estado avanzado de desarrollo,
pues se ha logrado establecer métodos de cálculo para estructuras lineales o no lineales sometidas
a acciones determinantes o aleatorias. Por ello, la aplicación del software MATLAB se convierte para
los estudiantes de la asignatura de dinámica estructural una herramienta capas de analizar la
respuesta dinámica que pueda tener los elementos estructurales (Vigas, pórticos, resortes)
conociendo su comportamiento a través de variables calculadas por medio de la programación
iterativa.
Debido a la influencia que ha tomado la dinámica estructural problemática, surge la idea de
desarrollar una programación educativa con los cálculos y análisis numéricos, gráficos de la respuesta
de elementos estructurales a causa de cargas dinámicas con la herramienta matemática MATLAB,
con la finalidad de que la comunidad estudiantil perteneciente al programa de ingeniería civil
conozcan y desarrollen métodos de aprendizaje para el ámbito profesional con ayuda de herramientas
para resolver problemas prácticos de ingeniería.

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MATLAB
La implementación del sistema de respuestas para cargas dinámicas
en estructuras es fundamental para la evolución de las obras
civiles, por lo cual, se busca estudiar y realizar una programación
en el software MATLAB que nos permita analizar, comprender y
ejecutar los valores necesarios para la modelación de esta
estructura en donde se vean comprometidas de todas sus
variables estén programadas en el de manera fija, facilitando
su uso y arrojando las gráficas deseadas.
Partiendo de esto lo que se busca es una interpretación
más sencilla del programa de MATLAB en donde la
comunidad estudiantil de dinámica estructural puede
comprender mejor la información y elaborar de
manera óptima los cálculos y graficas que se
presentan en ella, con el fin de garantizar un mejor
aprendizaje por medio del software, debido a que este combina un entorno de
escritorio perfeccionado para el análisis iterativo y los procesos de diseño con un
lenguaje de programación matemático, teniendo presente el análisis numérico,
cálculos y gráficos. MATLAB se utiliza para resolver problemas prácticos de ingeniería
y matemáticas, con un gran énfasis en aplicaciones de control y procesamiento de
señales. Las prestaciones más importantes de MATLAB son:
 Escritura del programa en lenguaje matemático.
 Implementación de las matrices como elemento básico del lenguaje, lo que permite una gran
reducción del código, al no necesitar implementar el cálculo matricial.
 Implementación de aritmética compleja.
 Un gran contenido de órdenes específicas, agrupadas en TOOLBOXES.
 Posibilidad de ampliar y adaptar el lenguaje, mediante ficheros de script y funciones.
En el ámbito académico y de investigación, es la herramienta estándar para los cursos introductorios
y avanzados de matemáticas, ingeniería e investigación.
MATLAB como cualquier lenguaje de programación proporcionan expresiones matemáticas, pero a
diferencia de la mayoría de ellos, las expresiones matemáticas que maneja involucran matrices
completas. Las expresiones se dividen en:
 Números
 Variables
 Operadores
 Funciones
Concluyendo así que MATLAB es una herramienta que se puede implementar en el ámbito educativo
especialmente en la asignatura correspondiente a dinámica estructural con el fin de conocer el
comportamiento de las estructuras, de esta manera diseñar y construir elementos sismorresistentes
en busca de cumplir con lo requerido en la Reglamento Colombiano de Construcción Sismo-Resistente
(NSR-10) con vigencia en Colombia.

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MÓDULO DE RIGIDEZ K
En la ingeniería estructural se estudian muchas variables que determinan el comportamiento de un de una
estructura y que características puede presentar según a que este sometida, fuerzas, cargas, esfuerzos,
deformaciones y deflexiones, entre otras. Por eso, en la rama de la dinámica estructural se determina estudia
ciertas variables que determinan el comportamiento de una estructura cuando es sometida a movimientos
sísmicos o cargas dinámicas que generan un desplazamiento, velocidad, o aceleraciones a la edificación que se
está estudiando.
Partiendo de este concepto podemos decir que, en la dinámica estructural estaría el comportamiento
de dichas edificaciones partiendo ciertas variables que afecten o estén relacionadas con su
desplazamiento, una de ellas es la rigidez, la variable K, que en ella se define la capacidad que posee
un elemento estructural en resistir esfuerzos sometidas hacia ella sin causar deformaciones
permisibles que logren afectarla. Esta variable se puede conocer midiendo las fuerzas aplicadas y la
deformación que generan. Por eso la rigidez (K) tiene unidades de fuerza por longitudinales.
La K de rigidez de una estructura se puede conocer por el tipo de material de que este fabricada y
también por la forma y geometría que esta posea, se dice esto porque la rigidez K se halla de igual
forma mediante fórmulas que relacionan la longitud, la altura, el módulo de elasticidad y la inercia
del material de cualquier tipo de estructura. Por este motivo esta variable está involucrada con las
características de la estructura en sí, una viga, un pórtico, una cercha entre otras, poseen esta
variable que depende el material que se maneje o utilice puede variar.
Pero la rigidez K no solo está ligada intrincadamente con el material que se utilice, si no también, de
las otras variables que se desprenden de ella y que de esta forma se relación con la estructura cuando
esta ya es sometidas a cargas dinámicas y los que ellas pueden producir en dicha estructura. Como
la frecuencia natural Wn, el periodo de oscilación de la estructura P, y la frecuencia de oscilación de
la estructura F; esto cuando son sometidas cargas dinámicas y se producen sus respectivos
movimientos y desplazamientos durante esté.
Las variables mencionadas anteriormente van ligadas directamente con el comportamiento que
tienen las estructuras al someterse a cargas dinámicas, ya que, estas pertenecen al fenómeno de
vibración libre amortiguada y vibración libre no amortiguada, de igual forma en la ecuación de
movimiento, en el sistema masa resorte, en las vibraciones armónicas de un sistema no amortiguado
y de las vibraciones armónicas de un sistema con amortiguación.
Una de sus utilizaciones más importantes de la rigidez es en la relación masa y rigidez, que entre ella
se observa el resultado de del Wn (frecuencia natural), este dato es ponderante en la ingeniería
estructural y sobre todo en dinámica estructural porque nos ayuda a obtener las respuestas de la
ecuación de movimiento, dicha ecuación, nos permite conocer el resultado del desplazamiento, la
velocidad y la aceleración de la estructura cuando está sometida a cargas dinámicas. Con la ayuda
del software de Matlab nos permite graficar estas tres variables y evaluar el comportamiento de
nuestra estructura en sus puntos más críticos.
Esta ecuación y las gráficas que resultan de está son importantes en la dinámica estructural porque
nos permiten conocer el comportamiento que poseen las edificaciones a la hora de ser sometidas a
cargas y vibraciones sísmicas; y sus características en el desplazamiento, velocidad y aceleración.
Dándonos a conocer un resulto aproximado a la realidad de cómo se debería comportar la estructura,
sus características y que tanto podría soportar.

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MÓDULO 1:
MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
RESORTES

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VIBRACIÓN LIBRE
Una vibración es el movimiento oscilatorio de un cuerpo (o sistema de cuerpos conectados) desplazado
desde una posición de equilibrio.
Las vibraciones son libres cuando no existen fuerzas o acciones exteriores directamente aplicadas al
sistema a lo largo del tiempo.
 Periodo de vibración: Es el intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo
completo de movimiento.
 Frecuencia: Es el número de ciclos por unidad de tiempo.
 Amplitud de vibración: Es el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio.
SISTEMA MASA – RESORTE*
El sistema masa resorte está compuesto por una masa puntual, un resorte ideal y un punto de sujeción del
resorte. El resorte ideal puede ser un resorte de alto coeficiente de elasticidad y que no se deforma en el rango
de estiramiento del resorte.
Si estiramos o comprimimos el resorte de constante k solidario con una partícula de masa m y lo soltamos
veremos que el resorte empieza a oscilar. A partir de la medida del periodo de dichas oscilaciones, podemos
determinar la constante elástica del resorte. Aplicamos la segunda ley de Newton al sistema formado por la
partícula de masa m y el resorte de constante k.
La ecuación de fuerzas del sistema masa resorte es: 𝒎𝒂 = – 𝒌𝒙
Donde:
- x es la posición de la masa respecto a la línea de equilibrio de fuerzas del sistema.
- k es la constante de elasticidad del resorte.
- m la masa del cuerpo que es sometido a esta oscilación.
El desplazamiento x se mide desde la posición O de equilibrio en la que el muelle se encuentra sin deformar.
Cuando el muelle está comprimido (x<0) ejerce una fuerza sobre la partícula dirigida hacia la derecha. Cuando
el muelle está estirado (x>0) el muelle ejerce una fuerza hacia la izquierda.
Esta ecuación puede escribirse como: 𝒙 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏(𝒘𝒕 + ø)
Donde:
- A es la máxima amplitud de la oscilación
- w es la velocidad angular.
La frecuencia angular, se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporción del cambio de
ángulo.
𝒘𝟐
=
𝒌
𝒎
→ 𝒘 = √
𝒌
𝒘
La ecuación el periodo de oscilación del sistema que es dado por:
𝑻 = 𝟐𝝅√
𝒎
𝒌

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La frecuencia de oscilación del sistema:
𝑭 =
𝟏
𝟐𝝅
√
𝒌
𝒎
→ 𝑭 =
𝟏
𝑻
La velocidad de la partícula se obtiene derivando x respecto del tiempo.
𝒗(𝒕) = 𝑨 𝒘 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕 )
La aceleración a se obtiene derivando la velocidad respecto del tiempo.
𝒂(𝒕) = −𝑨 · 𝒘𝟐
𝒔𝒆𝒏(𝒘𝒕)
El resorte es un elemento muy común en máquinas. Tiene una longitud normal, en ausencia de
fuerzas externas. Cuando se le aplican fuerzas se deforma alargándose o acortándose en una
magnitud “x” llamada “deformación”. Cada resorte se caracteriza mediante una constante “k” que es
igual a la fuerza por unidad de deformación que hay que aplicarle. La fuerza que ejercerá el resorte
es igual y opuesta a la fuerza externa aplicada (si el resorte deformado está en reposo) y se llama
fuerza recuperadora elástica.
1. SISTEMA DE RESORTE EN SERIE
Un sistema de resortes que actúan en “serie”, cuando la fuerza
aplicada a cada uno de los resortes es igual.
2. SISTEMA DE RESORTE EN PARALELO.
El sistema de resortes que actúa en paralelo es aquel donde la
deformación que sufren todos es igual.
Cuando el desplazamiento es máximo
(alcanza su amplitud), la velocidad es nula (la
partícula está instantáneamente en reposo).
- Deformación de los resortes:
δ1 =
𝐹
𝑘1
; δ2 =
𝐹
𝑘2
𝛿𝑡 = 𝐹(
1
𝑘1
+
1
𝑘2
+ ⋯ +
1
𝑘𝑛
)
- Resorte equivalente:
𝑘𝑒 =
𝐹
𝐹(
1
𝑘1
+
1
𝑘2
+ ⋯ +
1
𝑘𝑛
)
→ 𝑘𝑒 =
1
1
𝑘1
+
1
𝑘2
𝑘𝑒 =
𝑘1𝑘2
𝑘1 + 𝑘2
- Deformación de los resortes:
F1 = 𝛿 𝑘1 ; F2 = 𝛿 𝑘2
- Resorte equivalente:
𝑘𝑒 =
𝐹𝑇
𝛿
→ 𝑘𝑒 =
𝛿(𝑘1 + 𝑘2)
𝛿
𝑘𝑒 = (𝑘1 + 𝑘2)

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La ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke, establece la relación entre el alargamiento o estiramiento longitudinal y
la fuerza aplicada. La elasticidad es la propiedad física en la que los objetos con capaces de cambiar de forma cuando actúa
una fuerza de deformación sobre un objeto. El objeto tiene la capacidad de regresar a su forma original cuando cesa la
deformación. Los materiales pueden ser elásticos o inelásticos.
La ley de Hooke establece que el alargamiento de un resorte es directamente proporcional
al módulo de la fuerza que se le aplique, siempre y cuando no se deforme permanentemente
en dicho resorte.
F=k⋅(x−x0)
donde:
- F es el módulo de la fuerza que se aplica sobre el resorte.
- k es la constante elástica del resorte, que relaciona fuerza y alargamiento. Cuanto
mayor es su valor más trabajo costará estirar el resorte.
- x0 es la longitud del muelle sin aplicar la fuerza.
- x es la longitud del muelle con la fuerza aplicada.

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PROGRAMACIÓN SISTEMA MASA-RESORTE CON MATLAB
MANUAL DE USO
1. Ingresar al documento correspondiente al módulo 1 – Resortes.
2. Abrir principal en MATLAB.
3. Clic en Run principal o presionar la tecla F5.
4. Seleccionar Change Folder.
5. Seleccionar la Cantidad de Resortes a la cual se desea trabajar.
6. Después de elegir el número de resortes, se debe determinar el tipo de caso (posición de
los resortes).
7. El usuario debe ingresar los siguientes datos:
- Rigidez de los resortes.
- Masa.
- Amplitud.
- Intervalo de tiempo.
NOTA:
La programación esta limita de uno (1)
a seis (6) números de resortes.
NOTA:
La masa estará ubicada al final del sistema.

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8. Volver a seleccionar el caso.
9. Clic en Calcular
10. La Interfaz mostrara los siguientes resultados y gráficas:
10.1 Resultados:
- Frecuencia angular.
- Frecuencia
- Periodo.
10.2 Gráficas:
- Tiempo Vs. Desplazamiento.
- Tiempo Vs. Velocidad.
- Tiempo Vs. Aceleración.
11. Para finalizar, clic en Principal para salir de la interfaz y volver a la casilla de presentación.

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CASOS DE RESORTES:
Número de resortes: 1
Caso 1: Serie
Caso 2: Paralelo
Caso 1: Caso 2:
Caso 3: Caso 4:
Caso 1: Caso 2:

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Caso 3: Caso 4:
Caso 1: Caso 2:
Caso 3: Caso 4:
Caso 5: Caso 6:
Caso 7: Caso 8:

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Caso 1: Caso 2:
Caso 3: Caso 4:
Caso 5: Caso 6:
Caso 7: Caso 8:
Caso 9: Caso 10:
Caso 11: Caso 12:
Caso 13:

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MÓDULO 2:
VIGAS Y PÓRTICOS

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VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADO*
El sistema de marco mostrado es sacado de su posición de equilibrio por la aplicación de una fuerza o un
desplazamiento, debido a las fuerzas de restitución el sistema entra en vibración.
La ecuación que representa el movimiento de un sistema sin amortiguamiento y que no está sometido a la
acción de una fuerza externa es:
𝒎. ü + 𝒌. 𝒖 = 𝟎
ü + 𝒘𝒏
𝟐
. 𝒖 = 𝟎
Donde por conveniencia ωn es la frecuencia natural o frecuencia circular natural en vibración libre del
sistema y es igual:
𝒘𝒏 = √
𝒌
𝒎
De acuerdo con la teoría de ecuaciones diferenciales la ecuación anterior es una EDH de segundo
orden con coeficientes constantes y su solución es:
𝒖(𝒕) = 𝑨 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒏. 𝒕) + 𝑩 𝒔𝒆𝒏(𝒘𝒏. 𝒕)
Donde A y B representan dos constantes de integración. La velocidad y la aceleración del bloque son
determinadas derivando sucesivamente, lo que da:
𝑣 = ˙𝑥 = 𝐴𝜔𝑛 𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑛𝑡) − 𝐵𝜔𝑛 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑛𝑡)
𝑎 = ¨𝑥 = −𝐴 𝑤𝑛
2
𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑛𝑡) − 𝐵𝑤𝑛
2
𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑛𝑡)
El tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo
de vibración libre es denominado periodo natural de vibración:
𝑻𝒏 =
𝟐𝝅
𝒘𝒏
La frecuencia cíclica natural de vibración es definida como el número de
ciclos que se repiten en 1 segundo de tiempo y su valor es:
𝐹𝑛 =
1
𝑇

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Las propiedades de vibración natural dependen de la masa y rigidez de la estructura.
x (t) =𝑣0𝑤 𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡)+ 𝑥0cos(𝜔𝑡)
Esta ecuación nos proporciona el desplazamiento de la masa m en función del tiempo t, y representa la
respuesta a una vibración libre llamada vibración armónica.
El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo:

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VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA*
La masa m se desliza sin fricción sobre la superficie horizontal y su posición
está descrita por la coordenada en x. El resorte tiene una constante de
rigidez k y el amortiguador una constante c.
Fa – fuerza producida por el amortiguador, N.
c – constante del amortiguador. (s/m)
ü - velocidad relativa entre los extremos del
amortiguador, m/s
La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es:
𝑚 ü + 𝑐𝑢′
+ 𝑘𝑢 = 0
- Dividiendo la ecuación por la masa se obtiene:
ü + 2𝜉 𝜔𝑛𝑢′
+ 𝜔𝑛
2
𝑢 = 0
Razón de amortiguamiento crítico: 𝜉 =
𝑐
𝑐𝑐𝑟
Coeficiente de amortiguamiento crítico:
𝑐𝑐𝑟 = 2𝑚 𝜔𝑛 → 𝑐𝑐𝑟 =
2𝑘
𝜔𝑛
Las soluciones de la ecuación diferencial dependerán de los valores que tome la razón de amortiguamiento.
 Sistema con amortiguamiento crítico ξ=1 (c=Ccr): El sistema retorna a su posición inicial de
equilibrio sin oscilar.
 Sistema Sobreamortiguado ξ >1(c>Ccr): El sistema no oscila, pero retorna a su posición de
equilibrio lentamente.
 Sistema Subamortiguado ξ <1(c<Ccr): El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio
con una amplitud que decrece progresivamente.
En mediciones experimentales se han identificado valores de ξ entre 0.02 y 0.05 para los materiales estructurales
típicos.
“Cuando en una estructura, o un oscilador, se presentan movimientos de oscilación, estos tienden a ir
disminuyendo con el tiempo hasta llegar a un punto de reposo. Esto se debe al amortiguamiento que
se presenta en ellos, disipando la energía originada por las oscilaciones.
Las causas de este amortiguamiento están asociadas con diferentes fenómenos dentro de los cuales
se puede contar con la fricción de la masa sobre la superficie de apoyo, el efecto del aire que rodea a
la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el movimiento, la no linealidad del material del resorte,
entre otros”- (García, Luis, 1998).
Ilustración 1. Sistema elástico amortiguado
de un grado de libertad (Gómez, 2007)
𝑭𝒂 = 𝒄ü

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Los tipos de movimiento resultante en vibración amortiguada dependen de los parámetros de amortiguamiento:
Sistema subamortiguado (ξ <1) la solución de la ecuación diferencial es la siguiente:
𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜉𝜔𝑡
[𝑢0𝐶𝑜𝑠(𝜔𝐷𝑡) + (
𝑢′
𝑜 + 𝜉 𝜔𝑛 𝑢0
𝑤𝐷
) 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝐷𝑡)]
Frecuencia natural de la vibración amortiguada (ωD )
𝜔𝐷 = 𝜔𝑛√1 − 𝜉2
Periodo natural de vibración amortiguado
𝑇𝐷 =
2𝜋
𝜔𝐷
El efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres puede apreciarse en el siguiente esquema:
Para la mayoría de las estructuras ingenieriles ωD y TD son aproximadamente iguales a ωn y Tn.

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MÓDULO DE RIGIDEZ K DE SISTEMAS ELASTICOS - VIGAS
MÓDULO DE RIGIDEZ K PARA PORTICOS

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PROGRAMACIÓN SISTEMA VIGAS Y PÓRTICOS CON MATLAB
MANUAL DE USO
1. Ingresar al documento correspondiente al módulo 2 – Amortiguamiento.
2. Abrir principal en MATLAB.
5. Seleccionar el Tipo de Sistema a trabajar:
- Pórtico.
- Viga.
SISTEMA VIGA
1. Al dar clic en el sistema Viga, tendrá la siguiente ventana:

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2. Se debe escoger un caso estipulado por el programa, el cual se encuentra en la parte
superior de la ventana.
- Módulo de Elasticidad.
- Masa.
- Luz (Distancia entre apoyos).
- La Razón de amortiguamiento critico (ξ)
4. El usuario tiene la posibilidad de determinar la sección transversal (área) del
elemento es circular o rectangular.
- Circular: Ingresar el radio.
- Rectangular: ingresar la base y altura.
5. Volver a seleccionar tipo de sección a trabajar, con el fin de calcular la inercia.
6. Ingresar las condiciones iniciales del sistema:
- Tiempo (t).
- Velocidad Inicial (Vo).
- Desplazamiento Inicial (Uo).
7. Seleccionar el Caso al cual se desea establecer los cálculos.
8. Dar clic en calcular.

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9. El programa visualizara las gráficas correspondientes al comportamiento del sistema de
Viga.
- Tiempo Vs Desplazamiento.
- Tiempo Vs Velocidad.
- Tiempo Vs Aceleración.
10. Finalmente, para salir de la ventana del sistema de vigas el usuario deberá dar clic en la
casilla Principal.
SISTEMA PÓRTICO.
1. Al dar clic en el sistema Pórtico, tendrá la siguiente ventana:

28
2. Se debe escoger un caso estipulado por el programa, el cual se encuentra en la parte
superior de la ventana.
- Módulo de Elasticidad de la viga y las columnas.
- Masa.
- Dimensiones:
a) Viga: Luz – Distancia entre apoyos.
b) Columnas: Altura
- La Razón de amortiguamiento critico (ξ)
4. Determinar la sección transversal (área) de los elementos:
- Circular: Ingresar el radio.
- Rectangular: ingresar la base y altura.
5. Volver a seleccionar tipo de sección a trabajar, con el fin de calcular la inercia.
6. Ingresar las condiciones iniciales del sistema:
- Tiempo (t).
- Velocidad Inicial (Vo).
- Desplazamiento Inicial (Uo).
7. Seleccionar el Caso al cual se desea establecer los cálculos.
8. Dar clic en calcular.

29
9. El programa visualizara las gráficas correspondientes al comportamiento del sistema de
Viga.
- Tiempo Vs Desplazamiento.
- Tiempo Vs Velocidad.
- Tiempo Vs Aceleración.
10. Finalmente, para salir de la ventana del sistema de vigas el usuario deberá dar clic en la
casilla Principal.

30
MÓDULO 3:
MÉTODOS BASADOS EN LA INTERPOLACIÓN DE
LA EXCITACIÓN

31
ESPECTRO DE RESPUESTA
Un espectro de respuesta es un valor utilizado en los cálculos de Ingeniería Sísmica, que
mide la reacción de una estructura ante la vibración del suelo que la soporta. Se denomina
“de respuesta” ya que lo que mide es como responde la estructura a las acciones que se le
inducen desde el exterior.
Para explicar el procedimiento de construcción de un espectro de respuesta consideremos
una serie de estructuras con diferentes periodos de vibración (T), y con igual factor de
amortiguamiento. Si sometemos todos estos osciladores a la acción de un mismo terremoto
(utilizando un registro de aceleraciones, cada uno de ellos exhibirá una respuesta diferente,
la cual puede representarse), por ejemplo, a través de la historia de desplazamientos. Una
vez que hemos calculado la respuesta de los osciladores es posible determinar el máximo
de cada uno de ellos y volcarlos en un gráfico en función del periodo de vibración, para
obtener así un espectro de respuesta.
Una de las metodologías sobre la lectura del espectro de respuesta es el método basado
en la interpolación de la excitación.
MÉTODOS BASADOS EN LA INTERPOLACIÓN DE LA EXCITACIÓN
En el caso de los sistemas lineales es posible desarrollar un procedimiento numérico muy
eficiente mediante la interpolación de la excitación en cada intervalo de tiempo y el
desarrollo de la solución exacta. Si los intervalos de tiempo son cortos, la interpolación lineal
es satisfactoria.
En la siguiente imagen se muestra que durante el intervalo de tiempo ti ≤ t ≤ ti+1, la
función de excitación está dada por:

32
Donde Δ pi = pi+1 − pi y la variable de tiempo τ varía de 0 a ti. Por simplicidad algebraica,
se consideran primero los sistemas sin amortiguamiento; más tarde, el procedimiento se
ampliará para incluir este parámetro. La ecuación por resolver es:
Sometida a las condiciones iniciales u(0) = ui y ú(0) = ui. La respuesta u(τ) durante el
intervalo de tiempo 0 ≤ τ ≤ ti es la suma de tres partes: primero la vibración libre debida al
desplazamiento inicial ui y la velocidad úi en τ = 0, segundo la respuesta a la fuerza de paso
pi con condiciones iniciales nulas y tercero la respuesta a la fuerza incremental (pi/ti) τ con
condiciones iniciales nulas.
Al adaptar las soluciones disponibles para estos tres casos en los siguientes puntos
respectivamente, se obtiene:
Si se evalúan estas ecuaciones en τ = ti, se obtiene el desplazamiento ui+1 y velocidad úi+1
en el instante i + 1:
Estas ecuaciones se pueden reescribirse después de sustituir la ecuación como fórmulas de
recurrencia:

33
Al repetir la deducción anterior para los sistemas amortiguados por debajo del nivel crítico
(es decir, ζ < 1), se observa que son aplicables a los sistemas amortiguados con las
expresiones para los coeficientes A, B, … , D’ dadas en la tabla 5.2.1. Los coeficientes
dependen de los parámetros del sistema ωn, k y ζ, y del intervalo de tiempo t ≡ ti. Como
las fórmulas de recurrencia provienen de la solución exacta de la ecuación de movimiento,
la única restricción en el tamaño del paso de tiempo t es que permita una aproximación
cercana a la función de excitación y que proporcione resultados de respuesta en intervalos
de tiempo lo suficientemente cercanos de manera que no se pierdan los picos de:
La respuesta. Este procedimiento numérico es de gran utilidad cuando la excitación se define
en intervalos de tiempo espaciados de tal forma (como en la aceleración del suelo en un
sismo) que la interpolación lineal es en esencia perfecta. Si el paso de tiempo Δt es
constante, los coeficientes A, B, C, D′ necesitan calcularse sólo una vez. La solución exacta
de la ecuación de movimiento necesaria en este procedimiento numérico es factible sólo
para los sistemas lineales. Está convenientemente desarrollada para los sistemas de 1GDL,
como se mostró con anterioridad, pero no sería práctica para los sistemas de VGDL a menos
que su respuesta se obtenga mediante la superposición de respuestas modales.

34
PROGRAMACIÓN RESPUESTA DINÁMICA
MANUAL DE USO
1. Ingresar al documento correspondiente al módulo 3 – Sismo.
2. Abrir Sismo en MATLAB.
5. Clic en Inicio.
- Masa.
- Intervalo de tiempo.
- Incremento de tiempo.
- Razón de amortiguamiento crítico.

35
7. Al ingresar los datos, el programa calculara las variables del método de la interpolación de
la excitación.
8. En la programación del documento Terremoto, se debe ingresar el sismo a trabajar en el
formato txt obteniendo los datos del desplazamiento y velocidad, en la ecuación determinada
para hayas la fuerzas (p).
9. De acuerdo a los datos calculados se obtendrá la gráfica con la respuesta dinámica causada
por un sismo.

36
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
- Dinámica de Estructuras (Cuarta Edición)
Autor: Anil K. Chopra.
- Dinámica de Estructuras con Matlab.
Autor: Dr. Roberto Aguiar Falconi.
- Dinámica Estructural Aplicada al Diseño Sísmico (1998)
Autor: Luis Enrique García Reyes.
- Análisis de Estructuras Bajo Acciones Dinámicas.
Autor: Arturo M. Cassano
(http://www.edutecne.utn.edu.ar/guias_de_estudio/estruc_dinam.pdf)
- Introducción a la Dinámica Estructural
Autor: Ing. Rafael Salinas Basualdo.
(https://www.institutoconstruir.org/centrocivil/SISMORESISTENTE/Antisismica-DINAMICA-
ESTRUCTURAL-ING_SALINAS.pdf).
- Matlab e Interfaces Gráficas (CONATEC 2002)
Autor: M. C. José Jaime Esqueda Elizondo
(ftp://ftp.unicauca.edu.co/Facultades/FIET/DEIC/Materias/Identificacion/matlab_seminar/docs/Matlab
6xConatec.pdf)
- La ciencia y el arte de la dinámica estructural.
- Introducción a la Dinámica de Estructuras
Autor: Jorge Eduardo Hurtado Gómez.
(http://bdigital.unal.edu.co/9915/6/9589322581.2000.pdf)
- Espectros de Respuesta y de Diseño (Universidad Nacional de Cuyo/2002)
Autor: Francisco Crisafulli y Elbio Villafañe.
(http://blog.uca.edu.ni/estructuras/files/2011/02/espectros-de-respuesta-y-de-dise%C3%B1o.pdf)
- Resorte en Física (31 de agosto de 2011)
Publicado por: Mónica González
(https://fisica.laguia2000.com/dinamica-clasica/leyes-de-newton/resorte-en-fisica)
- Sistemas de Resortes en “Serie” y “Paralelo”. Determinación de la Constante del Resorte.
Autor: José María Rico Martínez.
(http://www.fimee.ugto.mx/profesores/chema/documentos/Vibraciones%20Mec%C3%A1nicas/Siste
mas%20de%20un%20Grado%20de%20Libertad/Resortes%20en%20Serie%2020%20y%2
0Paralelo.pdf)
- Conceptos básicos de Dinámica Estructural.
- http://nereida.deioc.ull.es/~pcgull/ihiu01/cdrom/matlab/contenido/node2.html

Dinámica estructural con MATLAB

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