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Una serie de ejercicios de limites y continuidad resueltos para todo publico.

Ciencias
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𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒆ñ𝒂𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒆 π’–π’•π’Šπ’π’Šπ’›π’‚ 𝒆𝒍 π’”π’Šπ’ˆπ’–π’Šπ’†π’π’•π’† π’‘π’“π’π’„π’†π’…π’Šπ’Žπ’Šπ’†π’π’•π’ 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: 𝟐(πŸπ’™πŸ) βˆ’ 𝟐(πŸ•π’™) + 𝟐(πŸ“) β†’ (πŸ’π’™πŸ) βˆ’ 𝟐(πŸ•π’™) + (𝟏𝟎) 𝟐 β†’ (πŸπ’™ + 𝟐)(πŸπ’™ + πŸ“) 𝟐 βˆ— 𝟏 β†’ (πŸπ’™ βˆ’ 𝟐) 𝟐 βˆ— (πŸπ’™ βˆ’ πŸ“) 𝟏 β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟏)(πŸπ’™ βˆ’ πŸ“) (𝒙 βˆ’ 𝟏) β†’ (πŸπ’™ βˆ’ πŸ“) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐(𝟏) βˆ’ πŸ“) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐 βˆ’ πŸ“) = π’™πŸ + πŸ“π’™ + πŸ” 𝒙 + 𝟐 β†’ (𝒙 + πŸ‘)(𝒙 + 𝟐) 𝒙 + 𝟐 β†’ (𝒙 + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ (βˆ’πŸ + πŸ‘) = πŸ‘(πŸ‘π’™πŸ) + πŸ‘(πŸ–π’™) βˆ’ πŸ‘(πŸ‘) β†’ (πŸ—π’™πŸ) + πŸ‘(πŸ–π’™) βˆ’ (πŸ—) πŸ‘ β†’ (πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ—)(πŸ‘π’™ + 𝟏) πŸ‘ βˆ— 𝟏 β†’ (πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ—) πŸ‘ βˆ— (πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟏 β†’ (𝒙 βˆ’ πŸ‘)(πŸ‘π’™ + 𝟏) (πŸπ’™ + πŸ”) β†’ βˆ’πŸ(𝒙 βˆ’ πŸ‘)(πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟐(𝒙 + πŸ‘) β†’ βˆ’(πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟐 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ‘ βˆ’πŸ‘(βˆ’πŸ‘) βˆ’ 𝟏 𝟐 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ‘ βˆ’πŸπŸŽ 𝟐 = πŸ‘(πŸ‘π’™πŸ) βˆ’ πŸ‘(πŸπ’™) βˆ’ πŸ‘(𝟏) β†’ (πŸ—π’™πŸ) βˆ’ πŸ‘(πŸπ’™) βˆ’ (πŸ‘) πŸ‘ β†’ (πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ‘)(πŸ‘π’™ + 𝟏) πŸ‘ βˆ— 𝟏 β†’ (πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ‘) πŸ‘ βˆ— (πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟏 β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟏)(πŸ‘π’™ + 𝟏) π’™πŸ βˆ’ 𝒙 β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟏)(πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝒙(𝒙 βˆ’ 𝟏) β†’ (πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟏
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𝟐 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟐)(π’™πŸ + 𝒙 + 𝟏). (𝒙 βˆ’ 𝟐)(π’™πŸ + 𝒙 + 𝟏) (𝒙 βˆ’ 𝟐)(π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟐𝟐) β†’ (π’™πŸ + 𝒙 + 𝟏) (π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐𝟐 + 𝟐 + 𝟏) (𝟐𝟐 + 𝟐(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐𝟐 + 𝟐 + 𝟏) (𝟐𝟐 + 𝟐(𝟐) + 𝟐𝟐) = βˆ’πŸ 𝟏 𝟎 𝟎 βˆ’ 𝟐 βˆ’ πŸ‘ βˆ’πŸ 𝟏 βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟏 βˆ’ πŸ‘ 𝟎 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: (𝒙 + 𝟏)(π’™πŸ‘ βˆ’ π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ πŸ‘). (𝒙 + 𝟏)(π’™πŸ‘ βˆ’ π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ πŸ‘) (𝒙 + 𝟏) β†’ (π’™πŸ‘ βˆ’ π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ (βˆ’πŸπŸ‘ βˆ’ (βˆ’πŸ)𝟐 + (βˆ’πŸ) βˆ’ πŸ‘) = π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ‘ = 𝟏 𝟏 πŸ‘ βˆ’ πŸ’ 𝟎 𝟎 𝟏 πŸ‘ βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 πŸ‘ βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟎 πŸ‘ 𝟐 𝟏 πŸ‘ πŸ‘ 𝟏 𝟎 𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 π’‡π’‚π’„π’•π’π’“π’Šπ’›π’‚π’„π’Šπ’π’ 𝒄𝒐𝒏 π’“π’–π’‡π’‡π’Šπ’π’Š: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (πŸ‘π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟏). (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (πŸ‘π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟏) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 β†’ (πŸ‘π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (πŸ‘(𝟏)𝟐 + 𝟐(𝟏) + 𝟏) = π’™πŸ’ βˆ’ πŸπŸ’ π’™πŸ βˆ’ 𝟐𝟐 β†’ (π’™πŸ βˆ’ 𝟐𝟐 )(π’™πŸ + 𝟐𝟐 ) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 + 𝟐)(π’™πŸ + πŸ’) (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 + 𝟐) β†’ (𝒙 + 𝟐)(π’™πŸ + πŸ’) (𝒙 + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐 + 𝟐)(𝟐𝟐 + πŸ’) (𝟐 + 𝟐) β†’ (πŸ’)(πŸ–) (πŸ’) = βˆ’πŸ βˆ’πŸ 𝟏 βˆ’ 𝟎 𝟎 πŸ’ πŸ‘ βˆ’πŸ βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ‘ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ‘ 𝟎 βˆ’πŸ 𝟐 βˆ’ πŸ‘ 𝟏 βˆ’ 𝟐 πŸ‘ 𝟎 βˆ’πŸ βˆ’πŸ 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 βˆ’πŸ βˆ’ 𝟎 βˆ’ 𝟎 βˆ’ 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟎 βˆ’ 𝟎 βˆ’ 𝟏 𝟎 βˆ’πŸ 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟏 𝟎 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ + πŸ‘). 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’…π’†π’π’π’Žπ’Šπ’π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ 𝒙 + 𝟏). (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐(π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ + πŸ‘) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐(π’™πŸ βˆ’ 𝒙 + 𝟏) β†’ (π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ + πŸ‘) (π’™πŸ βˆ’ 𝒙 + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ (βˆ’πŸπŸ βˆ’ 𝟐(βˆ’πŸ) + πŸ‘) (βˆ’πŸπŸ βˆ’ (βˆ’πŸ) + 𝟏) β†’ 𝟏 + 𝟐 + πŸ‘ 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 = πŸ” πŸ‘ = 𝟏 𝒙 βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ 𝟏 β†’ πŸ‘ βˆ’ 𝒙 πŸ‘π’™ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ 𝟏 β†’ πŸ‘ βˆ’ 𝒙 πŸ‘π’™(𝒙 βˆ’ πŸ‘) β†’ 𝟏 πŸ‘π’™ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ 𝟏 πŸ‘(πŸ‘) =
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(πŸ‘πŸ + πŸ”π’‰ + π’‰πŸ ) βˆ’ πŸ— 𝒉 β†’ 𝒉(πŸ” + 𝒉) + πŸ— βˆ’ πŸ— 𝒉 β†’ 𝒉(πŸ” + 𝒉) + πŸ— βˆ’ πŸ— 𝒉 β†’ π₯𝐒𝐦 π’‰β†’πŸŽ πŸ” + 𝟎 = βˆšπ’™ βˆ’ βˆšπ’‚ 𝒙 βˆ’ 𝒂 βˆ— βˆšπ’™ + βˆšπ’‚ βˆšπ’™ + βˆšπ’‚ β†’ 𝒙 βˆ’ 𝒂 (𝒙 βˆ’ 𝒂)(βˆšπ’™ + βˆšπ’‚) β†’ 𝟏 (βˆšπ’™ + βˆšπ’‚) β†’ π₯𝐒𝐦 𝒙→𝒂 𝟏 (βˆšπ’‚ + βˆšπ’‚) = 𝒙 βˆ’ πŸ’ βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’ βˆ— βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’ βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’ β†’ (𝒙 βˆ’ πŸ’)(βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’) π’™πŸ βˆ’ πŸ’ β†’ (𝒙 βˆ’ πŸ’)(𝒙 + πŸ’)(βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’) π’™πŸ βˆ’ πŸ’(𝒙 + πŸ’) β†’ (π’™πŸ βˆ’ πŸ’)(βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’) π’™πŸ βˆ’ πŸ’(𝒙 + πŸ’) β†’ (βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’) (𝒙 + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (βˆšπŸ’ βˆ’ πŸ’) (𝟐 + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟎) (πŸ”) = 𝒙 βˆ’ 𝟏 βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏 βˆ— βˆšπ’™ + 𝟏 βˆšπ’™ + 𝟏 β†’ 𝒙 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™ + 𝟏) 𝒙 βˆ’ 𝟏 β†’ βˆšπ’™ + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ √𝟏 + 𝟏 β†’ 𝟏 + 𝟏 = 𝒙 βˆ’ πŸ’ βˆšπ’™ βˆ’ 𝟐 βˆ— βˆšπ’™ + 𝟐 βˆšπ’™ + 𝟐 β†’ 𝒙 βˆ’ πŸ’(βˆšπ’™ + 𝟐) 𝒙 βˆ’ πŸ’ β†’ (βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ (βˆšπŸ’ + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ (𝟐 + 𝟐) = 𝒙 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™πŸ + πŸ‘ + 𝟐) π’™πŸ + πŸ‘ βˆ’ πŸ’ β†’ 𝒙 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™πŸ + πŸ‘ + 𝟐) π’™πŸ βˆ’ 𝟏 β†’ 𝒙 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™πŸ + πŸ‘ + 𝟐) (𝒙 βˆ’ 𝟏)(𝒙 + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (√𝟏𝟐 + πŸ‘ + 𝟐) (𝟏 + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (βˆšπŸ’ + 𝟐) (𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (πŸ’) (𝟐) =
𝟐 βˆ’ βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ π’™πŸ βˆ’ πŸ’πŸ— βˆ— 𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ 𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ β†’ πŸ’ βˆ’ (𝒙 βˆ’ πŸ‘) (𝒙 + πŸ•)(𝒙 βˆ’ πŸ•)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ βˆ’πŸ(βˆ’π’™ + πŸ•) (𝒙 + πŸ•)(𝒙 βˆ’ πŸ•)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ 𝟏 (𝒙 + πŸ•)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• 𝟏 (πŸπŸ’)(𝟐 + βˆšπŸ• βˆ’ πŸ‘ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• 𝟏 (πŸπŸ’)(𝟐 + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• 𝟏 (πŸπŸ’)(πŸ’) = βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ βˆ’ πŸ‘ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ βˆ— βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘ βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘ β†’ πŸπ’™ + πŸ‘ βˆ’ πŸ— (𝒙 βˆ’ πŸ‘)(βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘) β†’ πŸπ’™ βˆ’ πŸ” (𝒙 βˆ’ πŸ‘)(βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘) β†’ 𝟐(𝒙 βˆ’ πŸ‘) (𝒙 βˆ’ πŸ‘)(βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ 𝟐 ( 𝟐(πŸ‘) + πŸ‘ + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ 𝟐 (βˆšπŸ— + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ 𝟐 πŸ” /𝟐 = √𝟏 + 𝒙 βˆ’ √𝟏 βˆ’ 𝒙 𝒙 βˆ— √𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙 √𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙 β†’ 𝟏 + 𝒙 βˆ’ (𝟏 βˆ’ 𝒙) 𝒙(√𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙) β†’ πŸπ’™ 𝒙(√𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙) β†’ 𝟐 (√𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 (√𝟏 + 𝟎 + √𝟏 βˆ’ 𝟎) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 (𝟏 + 𝟏) β†’ 𝟐 𝟐 = 𝒙 βˆ’ βˆšπ’™ + 𝟐 βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 βˆ’ πŸ‘ β†’ 𝒙 βˆ’ βˆšπ’™ + 𝟐 βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 βˆ’ πŸ‘ βˆ— (𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐)(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) (βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘)(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ π’™πŸ βˆ’ (𝒙 + 𝟐)(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) (πŸ’π’™ + 𝟏) βˆ’ πŸ—(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟐(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) πŸ’π’™ βˆ’ πŸ–(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐)
β†’ π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟐(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) πŸ’π’™ βˆ’ πŸ–(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 + 𝟏)(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) πŸ’(𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐 + 𝟏) ( πŸ’(𝟐) + 𝟏 + πŸ‘) πŸ’ (𝟐 + (𝟐) + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (πŸ‘)(πŸ‘ + πŸ‘) πŸ’(𝟐 + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ– πŸπŸ” /𝟐 = βˆšπ’™ + 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆšπ’™ + πŸ’ βˆ’ 𝟐 βˆ— (βˆšπ’™ + 𝟏 + 𝟏)(βˆšπ’™ + πŸ’ + 𝟐) (βˆšπ’™ + πŸ’ + 𝟐)(βˆšπ’™ + 𝟏 + 𝟏) β†’ 𝒙 + 𝟏 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™ + πŸ’ + 𝟐) 𝒙 + πŸ’ βˆ’ πŸ’(βˆšπ’™ + 𝟏 + 𝟏) β†’ βˆšπ’™ + πŸ’ + 𝟐 βˆšπ’™ + 𝟏 + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ √𝟎 + πŸ’ + 𝟐 √𝟎 + 𝟏 + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 + 𝟐 𝟏 + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ πŸ’ 𝟐 = √𝟐 + 𝒙 βˆ’ βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐 βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 βˆ’ βˆšπŸ“π’™ βˆ’ 𝟏 βˆ— (√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐)(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏) (βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏)(√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐) β†’ 𝟐 + 𝒙 βˆ’ πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐 πŸ’π’™ + 𝟏 βˆ’ πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏 β†’ πŸ’ βˆ’ πŸπ’™(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏) βˆ’π’™ + 𝟐(√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐) β†’ πŸ’ βˆ’ πŸπ’™ βˆ’π’™ + 𝟐 βˆ— (βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏) (√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐) β†’ 𝟐(𝟐 βˆ’ 𝒙) βˆ’π’™ + 𝟐 β†’ 𝟐 (βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏) (√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟐 ( πŸ’(𝟐) + 𝟏 + πŸ“(𝟐) βˆ’ 𝟏) (√𝟐 + 𝟐 + πŸ‘(𝟐) βˆ’ 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟐 (βˆšπŸ— + πŸ—) (βˆšπŸ’ + βˆšπŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟐 πŸ‘ + πŸ‘ 𝟐 + 𝟐 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟐 πŸ” πŸ’ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟏𝟐 πŸ’ = π’™πŸ (𝟏 βˆ’ 𝟏 𝒙 + 𝟐 π’™πŸ) π’™πŸ (πŸ‘ + 𝟐 𝒙 βˆ’ πŸ’ π’™πŸ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 – 𝟎 + 𝟎 π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž πŸ‘ + 𝟎 βˆ’ 𝟎 =
πŸ’π’™πŸ πŸ“π’™πŸ‘ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž πŸ’ πŸ“π’™ = π’™πŸ 𝒙 β†’ 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž ∞ = π’™πŸ βˆ’ πŸ“π’™ + πŸ” π’™πŸ π’™πŸ + πŸ’π’™ + πŸ’ π’™πŸ β†’ 𝟏 βˆ’ πŸ“ 𝒙 + πŸ” π’™πŸ 𝟏 + πŸ’ 𝒙 + πŸ’ π’™πŸ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 βˆ’ 𝟎 + 𝟎 𝟏 + 𝟎 + 𝟎 = π’™πŸ + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒙 βˆ’ 𝒏 β†’ π’™πŸ 𝒙 β†’ 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž ∞ = 𝒙 βˆ’ πŸ’ π’™πŸ + πŸ’π’™ + πŸ’ β†’ 𝒙 π’™πŸ β†’ 𝟏 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 ∞ =
πŸ‘ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ π’™πŸ π’™πŸ 𝟏 β†’ πŸ‘ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟎 βˆ’ πŸ‘ = βˆšπ’™ + πŸ’ πŸπ’™ + πŸ“ β†’ βˆšπ’™ + πŸ’ 𝒙 β†’ √ 𝒙 π’™πŸ + πŸ’ π’™πŸ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž √𝟎 + 𝟎 = 𝟎 𝟏 𝟐𝐱+πŸ“ β†’ 𝟏 πŸπ’™+πŸ“ 𝒙 β†’ 𝟏 𝟐+ πŸ“ 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 𝟐+ πŸ“ ∞ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 𝟐+𝟎 = 𝟏 𝟐 𝟎 βˆ— 𝟏 𝟐 β†’ 𝟎 𝟐 = 𝑺𝒆 π’…π’Šπ’—π’Šπ’…π’† 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 π’“π’‚π’Šπ’› 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† 𝒄𝒐𝒏 π’Žπ’‚π’šπ’π’“ 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆. √ 𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒙 β†’ √𝟏 + 𝟏 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž √𝟏 + 𝟎 = 𝟏 √ 𝒙 𝒙 β†’ √𝟏 = 𝟏 1-1 =
(βˆšπ’™πŸ + 𝒙 βˆ’ 𝒙)(βˆšπ’™πŸ + 𝒙 + 𝒙) βˆšπ’™πŸ + 𝒙 + 𝒙 β†’ π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ π’™πŸ βˆšπ’™πŸ + 𝒙 + 𝒙 β†’ 𝒙 π’™πŸ(𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ ) + 𝒙 β†’ 𝒙 𝒙 𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ + 𝒙 β†’ 𝒙 𝒙( 𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 √𝟏 + 𝟎 + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 𝟏 + 𝟏 = (βˆšπŸ’π’™πŸ + πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸπ’™)(βˆšπŸ’π’™πŸ + πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟏 + πŸπ’™) βˆšπŸ’π’™πŸ + πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟏 + πŸπ’™ β†’ (πŸ’π’™πŸ + πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ’π’™πŸ) π’™πŸ(πŸ’ + πŸ‘ 𝒙 ⁄ βˆ’ 𝟏 π’™πŸ ⁄ ) + πŸπ’™ β†’ 𝒙(πŸ‘ βˆ’ 𝟏 𝒙 ⁄ ) 𝒙( (πŸ’ + πŸ‘ 𝒙 ⁄ βˆ’ 𝟏 π’™πŸ ⁄ ) + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž πŸ‘ βˆ’ 𝟎 (πŸ’ + 𝟎 βˆ’ 𝟎) + 𝟐 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž πŸ‘ βˆ’ 𝟎 𝟐 + 𝟐 = (𝒙 βˆ’ βˆšπ’™πŸ + 𝒙)(𝒙 + βˆšπ’™πŸ + 𝒙) (𝒙 + βˆšπ’™πŸ + 𝒙) β†’ (π’™πŸ βˆ’ π’™πŸ + 𝒙) (𝒙 + π’™πŸ(𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ )) β†’ 𝒙 (𝒙 + 𝒙 𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ ) β†’ 𝒙 𝒙 (𝟏 + 𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 (𝟏 + √𝟏 + 𝟎) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 (𝟏 + 𝟏) = π’™πŸ + 𝒂𝒙 + 𝒃 βˆ’ π’™πŸ βˆ’ 𝒄𝒙 βˆ’ 𝒅 βˆšπ’™πŸ + 𝒂𝒙 + 𝒃 + βˆšπ’™πŸ + 𝒄𝒙 + 𝒅 β†’ 𝟏 π’™πŸ(𝟏 + 𝒂 𝒙 ⁄ + 𝒃 π’™πŸ ⁄ ) + π’™πŸ(𝟏 + 𝒄 𝒙 ⁄ + 𝒅 π’™πŸ ⁄ ) β†’ 𝒂𝒙 + 𝒃 βˆ’ 𝒄𝒙 βˆ’ 𝒅 π’™πŸ(𝟏 + 𝒂 𝒙 ⁄ + 𝒃 π’™πŸ ⁄ ) + π’™πŸ(𝟏 + 𝒄 𝒙 ⁄ + 𝒅 π’™πŸ ⁄ )
β†’ 𝒙(𝒂 + 𝒃 𝒙 ⁄ βˆ’ 𝒄 βˆ’ 𝒅 𝒙 ⁄ ) (𝒙 (𝟏 + 𝒂 𝒙 ⁄ + 𝒃 π’™πŸ ⁄ ) + 𝒙 (𝟏 + 𝒄 𝒙 ⁄ + 𝒅 π’™πŸ ⁄ )) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝒙(𝒂 + 𝟎 βˆ’ 𝒄 βˆ’ 𝟎) (𝒙 (𝟏 + 𝟎 + 𝟎) + 𝒙 (𝟏 + 𝟎 + 𝟎)) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝒙(𝒂 + 𝟎 βˆ’ 𝒄 βˆ’ 𝟎) πŸπ’™βˆšπŸ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝒂 + 𝟎 βˆ’ 𝒄 βˆ’ 𝟎 𝟐(𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝒂 βˆ’ 𝒄 𝟐 = √𝟏 + 𝒙 βˆ’ 𝟏 π’™πŸ βˆ— √𝟏 + 𝒙 + 𝟏 √𝟏 + 𝒙 + 𝟏 β†’ 𝟏 + 𝒙 βˆ’ 𝟏 π’™πŸ(√𝟏 + 𝒙 + 𝟏) β†’ 𝒙 π’™πŸ(√𝟏 + 𝒙 + 𝟏) β†’ 𝒙 𝒙(√𝟏 + 𝒙 + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 𝟎(√𝟏 + 𝟎 + 𝟏) β†’ 𝟏 𝟎(𝟏 + 𝟏) β†’ 𝟏 𝟎(𝟐) β†’ 𝟏 𝟎 = 𝑺𝒆 π’‚π’‘π’π’Šπ’„π’‚ 𝒆𝒍 π’Žπ’†π’•π’π’…π’ 𝒅𝒆 π’“π’–π’‡π’‡π’Šπ’π’Š 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓. 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 βˆ’ πŸ‘ βˆ’ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟐 𝟏 𝟐 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟐 𝟎 𝟏 πŸ‘ 𝟐 𝟏 πŸ‘ 𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸπŸ‘ πŸπŸ“ βˆ’ 𝟏𝟐 𝟏 𝟎 βˆ’ πŸπŸ‘ 𝟏𝟐 𝟏 𝟎 βˆ’ πŸπŸ‘ 𝟏𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟏𝟐 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟏𝟐 𝟎 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ + πŸ‘π’™ + 𝟐) 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’…π’†π’π’π’Žπ’Šπ’π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟏𝟐) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ + πŸ‘π’™ + 𝟐) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐(π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟏𝟐) β†’ (π’™πŸ + πŸ‘π’™ + 𝟐) (π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟏𝟐) β†’ (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟏) (𝒙 + πŸ’)(𝒙 βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟏 + 𝟐)(𝟏 + 𝟏) (𝟏 + πŸ’)(𝟏 βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ βˆ’ πŸ” 𝟏𝟎 /𝟐 =
𝑺𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆 𝒖𝒏 π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† 𝒅𝒆 π’Žπ’‚π’π’†π’“π’‚ 𝒒𝒖𝒆 π’šπŸ” π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’šπ’‚ 𝒂 𝒙 𝟏 + π’šπŸ” 𝟏 + π’šπŸ” πŸ‘ β†’ 𝟏 + π’šπŸ‘ 𝟏 + π’šπŸ β†’ (𝟏 βˆ’ π’š)(𝟏 + π’š + π’šπŸ) (𝟏 + π’š)(𝟏 βˆ’ π’š) β†’ (𝟏 + π’š + π’šπŸ) (𝟏 + π’š) β†’ π₯𝐒𝐦 π’šβ†’πŸ (𝟏 + 𝟏 + 𝟏𝟐) (𝟏 + 𝟏) β†’ (𝟏 + 𝟏 + 𝟏) (𝟏 + 𝟏) = 𝑺𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆 𝒖𝒏 π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† 𝒅𝒆 π’Žπ’‚π’π’†π’“π’‚ 𝒒𝒖𝒆 π’šπŸπŸ“ π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’šπ’‚ 𝒂 𝒙 𝟏 + π’šπŸπŸ“ πŸ‘ 𝟏 + π’šπŸπŸ“ πŸ“ β†’ 𝟏 + π’šπŸ“ 𝟏 + π’šπŸ‘ β†’ (𝟏 + π’š)(πŸπŸ’ βˆ’ πŸπŸ‘ π’š + 𝟏𝟐 π’šπŸ βˆ’ πŸπ’šπŸ‘ + π’šπŸ’) (𝟏 + π’š)(𝟏𝟐 βˆ’ π’š + π’šπŸ) β†’ β†’ π₯𝐒𝐦 π’šβ†’βˆ’πŸ (πŸπŸ’ βˆ’ πŸπŸ‘ (𝟏) + 𝟏𝟐 (𝟏)𝟐 βˆ’ 𝟏(𝟏)πŸ‘ + (𝟏)πŸ’ ) (𝟏𝟐 βˆ’ (𝟏) + (𝟏)𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’šβ†’βˆ’πŸ 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 = βˆšπ’™ + πŸ– βˆ’ βˆšπŸ–π’™ + 𝟏 βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 βˆ’ βˆšπŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘ βˆ— (βˆšπ’™ + πŸ– + βˆšπŸ–π’™ + 𝟏)(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) (βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘)(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ (𝒙 + πŸ–) βˆ’ (πŸ–π’™ + 𝟏)(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) ((πŸ“ βˆ’ 𝒙) βˆ’ (πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘)(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ βˆ’πŸ•π’™ + πŸ•(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) βˆ’πŸ–π’™ + πŸ–(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ πŸ•(βˆ’π’™ + 𝟏)(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) πŸ–(βˆ’π’™ + 𝟏)(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ πŸ•(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) πŸ–(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ•(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝟏 + πŸ•(𝟏) βˆ’ πŸ‘) πŸ–(√𝟏 + πŸ– + πŸ–(𝟏) + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ•(βˆšπŸ’ + πŸ’) πŸ–(√𝟏 + πŸ– + πŸ–(𝟏) + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ•(𝟐 + 𝟐) πŸ–(βˆšπŸ— + πŸ—) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ– πŸ–(πŸ‘ + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ– πŸ’πŸ– /πŸ’ =
𝒔𝒆 π’Žπ’–π’π’•π’Šπ’‘π’π’Šπ’„π’‚ 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒐𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒅𝒂𝒅𝒂 βˆšπ’™ + πŸ• βˆ’ πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘ βˆšπ’™ + πŸ” βˆ’ 𝟐 πŸ‘ βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ βˆ— (βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘)((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) ((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐)(βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) 𝒙 + πŸ• βˆ’ πŸ—(πŸπ’™ βˆ’ πŸ‘)((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) 𝒙 + πŸ” βˆ’ πŸ–(πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“)(βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ 𝒙 + πŸ• βˆ’ πŸ—(πŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) 𝒙 + πŸ” βˆ’ πŸ–(πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“) β†’ βˆ’πŸπŸ•π’™ + πŸ‘πŸ’ βˆ’πŸπŸ‘π’™ + πŸ’πŸ” β†’ πŸπŸ•(βˆ’π’™ + 𝟐) πŸπŸ‘(βˆ’π’™ + 𝟐) βˆ— ((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) (βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ πŸπŸ•((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) πŸπŸ‘(βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ•((√𝟐 + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (√𝟐 + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ” βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (𝟐 𝟐(𝟐) βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) πŸπŸ‘ (√𝟐 + πŸ• + πŸ‘ 𝟐(𝟐) βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ•((βˆšπŸ– πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπŸ– πŸ‘ )(𝟐√𝟏 πŸ‘ ) + (πŸβˆšβˆ’πŸ πŸ‘ )𝟐 ) πŸπŸ‘(βˆšπŸ— + πŸ‘βˆšπŸ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ•(πŸ’ + πŸ’ + πŸ’) πŸπŸ‘(πŸ‘ + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ•(𝟏𝟐) πŸπŸ‘(πŸ”) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸŽπŸ’ πŸπŸ‘πŸ– /𝟐 = π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟏𝟎𝟐 πŸ”πŸ— /πŸ‘ =
𝟐 βˆ’ βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ π’™πŸ βˆ’ πŸ’πŸ— βˆ— 𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ 𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ β†’ πŸ’ βˆ’ (𝒙 βˆ’ πŸ‘) π’™πŸ βˆ’ πŸ’πŸ—(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ βˆ’π’™ + πŸ• π’™πŸ βˆ’ πŸ’πŸ—(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ βˆ’π’™ + πŸ• (𝒙 + πŸ•)(𝒙 βˆ’ πŸ•)(βˆ’πŸ)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ βˆ’πŸ (𝒙 + πŸ•)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ (πŸ• + πŸ•)(𝟐 + βˆšπŸ• βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ (πŸπŸ’)(𝟐 + βˆšπŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ (πŸπŸ’)(𝟐 + (𝟐)) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ (πŸπŸ’)(πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ πŸ“πŸ” = 𝒙 βˆ’ πŸ– βˆšπ’™ πŸ‘ βˆ’ 𝟐 β†’ 𝒙 βˆ’ πŸ–(βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) (βˆšπ’™ πŸ‘ βˆ’ 𝟐)(βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐) β†’ 𝒙 βˆ’ πŸ–(βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) (βˆšπ’™ πŸ‘ ) πŸ‘ βˆ’ πŸπŸ‘ β†’ 𝒙 βˆ’ πŸ–(βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) 𝒙 βˆ’ πŸ– β†’ (βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ– (βˆšπŸ– πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπŸ– πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ– (𝟐)𝟐 + 𝟐(𝟐) + 𝟐𝟐 ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ– πŸ’ + πŸ’ + πŸ’ = πŸ‘ βˆ’ βˆšπŸ“ + 𝒙 𝟏 βˆ’ βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 βˆ— (πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙)(𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙) (𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙)(πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙) β†’ πŸ— βˆ’ (πŸ“ + 𝒙)(𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙) 𝟏 βˆ’ (πŸ“ βˆ’ 𝒙)(πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙) β†’ πŸ’ + 𝒙(𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙) βˆ’πŸ(πŸ’ βˆ’ 𝒙)(πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙) β†’ βˆ’ (𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙) (πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ βˆ’ (𝟏 + πŸ“ βˆ’ πŸ’) (πŸ‘ + βˆšπŸ“ + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ βˆ’ (𝟏 + 𝟏) (πŸ‘ + βˆšπŸ—) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ βˆ’ (𝟏 + 𝟏) (πŸ‘ + πŸ‘) = βˆ’ 𝟐 πŸ” =
𝟏 βˆ’ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝒙) βˆ’ 𝒄𝒐𝒔(𝒙) β†’ 𝒄𝒐𝒔(𝒙) βˆ’ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝒙) βˆ’ 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝟏 β†’ βˆ’πŸ(𝒄𝒐𝒔(𝒙) βˆ’ 𝒔𝒆𝒏(𝒙)) 𝒄𝒐𝒔(𝒙)(𝒔𝒆𝒏(𝒙) βˆ’ 𝒄𝒐𝒔(𝒙)) β†’ π₯𝐒𝐦 𝒙→𝝅 πŸ’ βˆ’πŸ 𝟏 √𝟐 = πŸ‘ βˆ— 𝒙 𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ πŸ‘ βˆ— 𝟏 𝟏 β†’ πŸ‘ 𝟏 = 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙) 𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙) 𝒃𝒙 βˆ— 𝒂 𝒃 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 𝟏 βˆ— 𝒂 𝒃 = 𝟏 βˆ’ 𝒄𝒐𝒔𝒙 π’™πŸ(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ 𝟏 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— 𝟏 βˆ’ 𝒄𝒐𝒔𝒙 π’™πŸ βˆ— (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ 𝟏 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— π’”π’†π’πŸ 𝒙 π’™πŸ(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ 𝟏 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝟏 (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)
β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 𝟐 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 𝟏(𝟏 + 𝟏) β†’β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 𝟐 βˆ— 𝟏 𝟏(𝟐) β†’ 𝟏 𝟐 βˆ— 𝟏 𝟐 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 βˆ’ (𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙 π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 βˆ’ (𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— 𝟏 π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙(𝟏 βˆ’ 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) βˆ— 𝟏 π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙(𝟏 βˆ’ π’„π’π’”πŸ 𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) βˆ— 𝟏 π’™πŸ‘ β†’ π’”π’†π’πŸ‘ 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 𝟏(𝟏 + 𝟏) β†’ 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 𝟐 = πŸπŸ‘ βˆ’ π’„π’π’”πŸ‘ 𝒙 𝒙 π’”π’†π’πŸπ’™ β†’ (𝟏 βˆ’ 𝒄𝒐𝒔𝒙)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + π’„π’π’”πŸ 𝒙)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒙 π’”π’†π’πŸπ’™ (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ (𝟏 βˆ’ π’„π’π’”πŸ 𝒙)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + π’„π’π’”πŸ 𝒙) 𝒙 π’”π’†π’πŸπ’™ (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ π’”π’†π’πŸ 𝒙 𝒙. 𝟐. 𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + π’„π’π’”πŸ 𝒙) 𝟐. 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ (𝟏 + 𝟏 + 𝟏𝟐) 𝟐(𝟏). (𝟏 + 𝟏) = √𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 βˆ’ √𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐱 . √𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱 √𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱 β†’ 𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 βˆ’ 𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐱(√𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱) β†’ 𝟐𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐱(√𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱) β†’ 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐱 . 𝟐 (√𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 (√𝟏 + 𝟎 + 𝟏 βˆ’ 𝟎) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 𝟏 + 𝟏 β†’ 𝟐 𝟐 =
a b
𝒔𝒆𝒏(βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 βˆ’ 𝟐) 𝐱𝟐 βˆ— βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 + 𝟐 βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 + 𝟐 β†’ 𝒔𝒆𝒏(πŸ’ + 𝐱𝟐 βˆ’ πŸ’) 𝐱𝟐(βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 + 𝟐) β†’ π’”π’†π’πŸ(𝐱) 𝐱𝟐(βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 + 𝟐) β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝟏 (βˆšπŸ’ + π’™πŸ + 𝟐) β†’ lim π‘₯β†’0 1 βˆ— 1 βˆ— 1 √4 + 02 β†’ 1 βˆ— 1 βˆ— 1 2 = πŸ’ ( 𝒔𝒆𝒏(πŸ’π’™) πŸ’π’™ ) βˆ— πŸ‘ ( 𝒔𝒆𝒏(πŸ‘π’™) πŸ‘π’™ ) 𝟐 ( 𝒔𝒆𝒏(πŸπ’™) πŸπ’™ ) β†’ lim π‘₯β†’2 πŸ’ βˆ— πŸ‘ 𝟐 = (𝟏 + 𝒙 + πŸ“ 𝒙 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏) 𝒙+𝟏 β†’ ( 𝒙 + πŸ“ 𝒙 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏) β†’ ( 𝒙 + πŸ“ βˆ’ 𝒙 + 𝟏 𝒙 βˆ’ 𝟏 ) β†’ ( πŸ” 𝒙 βˆ’ 𝟏 )
β†’ ( ((𝟏 + πŸ” 𝒙 βˆ’ 𝟏 ) π’™βˆ’πŸ πŸ” ) πŸ” π’™βˆ’πŸ ) 𝒙+𝟏 β†’ 𝒆 π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž ( πŸ” π’™βˆ’πŸ ) (𝒙+𝟏) β†’ ( πŸ” 𝒙 βˆ’ 𝟏 ) (𝒙 + 𝟏) β†’ πŸ”π’™ + πŸ” 𝒙 βˆ’ 𝟏 β†’ πŸ”π’™ 𝒙 β†’ πŸ” = βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ + 𝟐 π’™πŸ βˆ’ πŸ‘π’™ + 𝟐 βˆ— ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐 ) ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) 𝒙 βˆ’ 𝟏𝟎 βˆ’ πŸ– π’™πŸ βˆ’ πŸ‘π’™ + 𝟐 ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ 𝒙 βˆ’ πŸπŸ– (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ πŸ—(𝒙 βˆ’ 𝟐) (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ πŸ— (𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ— (𝟐 βˆ’ 𝟏) ((√𝟐 βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (√𝟐 βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ— (𝟏)((βˆ’πŸ)𝟐 βˆ’ (βˆ’πŸ)(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ— (𝟏)(πŸ’ + πŸ’ + πŸ’) =
βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ + 𝟐 π’™πŸ βˆ’ πŸ‘π’™ + 𝟐 βˆ— ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐 ) ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) 𝒙 βˆ’ πŸ— βˆ’ πŸ– π’™πŸ βˆ’ πŸ‘π’™ + 𝟐 ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ 𝒙 βˆ’ πŸπŸ• (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ πŸπŸ•(𝒙 βˆ’ 𝟏) (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ πŸπŸ• (𝒙 βˆ’ 𝟐) ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ• (𝟏 βˆ’ 𝟐) ((√𝟐 βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (√𝟐 βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ• (βˆ’πŸ)((βˆ’πŸ)𝟐 βˆ’ (βˆ’πŸ)(𝟐) + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ• (βˆ’πŸ)(πŸ’ + πŸ’ + πŸ’) = βˆ’ Puntos de corte: 1,-1 Para 1
lim π‘₯β†’ 1βˆ’ f(x) = lim π‘₯β†’ 1+ f(x) lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯ + 𝐡 = lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 + 2π‘₯ + 3 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴(1) + 𝐡 = lim π‘₯β†’ 1+ (1)2 + 2(1) + 3 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴 + 𝐡 = lim π‘₯β†’ 1+ 6 β†’ 𝐴 + 𝐡 = 6 Para -1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ f(x) = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ f(x) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ βˆ’π‘₯2 + 2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯ + 𝐡 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ βˆ’(βˆ’1)2 + 2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴(βˆ’1) + 𝐡 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ βˆ’ 𝐴 + 𝐡 β†’ βˆ’π΄ + 𝐡 = 1 Sistema de ecuaciones: βˆ’A + B =1 A+ B =6 0+2𝑏=7 β†’ 𝑏 = 7 2 Para despejar A: βˆ’A + ( 7 2 ) = 1 β†’ βˆ’2𝐴 + 7 = 2 β†’ βˆ’2𝐴 = 2 βˆ’ 7 β†’ 𝐴 = βˆ’5 βˆ’2 β†’ 𝐴 = 5 2 Puntos de corte: 1,-1 Para 1
lim π‘₯β†’ 1βˆ’ f(x) = lim π‘₯β†’ 1+ f(x) lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯5 + 𝐡π‘₯4 βˆ’ 𝐴π‘₯ βˆ’ 𝐡 π‘₯2 βˆ’ 1 = lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯(π‘₯4 βˆ’ 1) + 𝐡(π‘₯4 βˆ’ 1) π‘₯2 βˆ’ 1 = lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯(π‘₯2 βˆ’ 1)(π‘₯2 + 1) π‘₯2 βˆ’ 1 + 𝐡(π‘₯2 βˆ’ 1)(π‘₯2 + 1) π‘₯2 βˆ’ 1 = lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯(π‘₯2 + 1) + 𝐡(π‘₯2 + 1)= lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴(1)(12 + 1) + 𝐡(12 + 1)= lim π‘₯β†’ 1+ 12 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴(2) + 𝐡(2) = lim π‘₯β†’ 1+ 1 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 2𝐴 + 2𝐡 = lim π‘₯β†’ 1+ 1 β†’ 2𝐴 + 2𝐡 = 1 Para -1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 𝑓(π‘₯) = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝑓(π‘₯) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯5+𝐡π‘₯4βˆ’π΄π‘₯βˆ’π΅ π‘₯2βˆ’1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯(π‘₯4βˆ’1)+𝐡(π‘₯4βˆ’1) π‘₯2βˆ’1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯(π‘₯2 βˆ’ 1)(π‘₯2 + 1) π‘₯2 βˆ’ 1 + 𝐡(π‘₯2 βˆ’ 1)(π‘₯2 + 1) π‘₯2 βˆ’ 1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯(π‘₯2 + 1) + 𝐡(π‘₯2 + 1) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ (βˆ’1)2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴(βˆ’1)((βˆ’1)2 + 1) + 𝐡((βˆ’1)2 + 1) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 0 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ βˆ’ 𝐴(2) + 𝐡(2) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 0 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ βˆ’ 2𝐴 + 2𝐡 β†’ βˆ’2𝐴 + 2𝐡 = 0
Sistema de ecuaciones: 2A+2B=1 βˆ’2A+2B= 0 0+4𝑏=1 β†’ 4𝐡 = 1 β†’ 𝐡 = 1 4 β†’ 𝑩 = 𝟏 πŸ’ Para despejar A: A + B = 0 β†’ 𝐴 + 1 4 = 0 β†’ 4𝐴 + 1 = 0 β†’ 4𝐴 = βˆ’1 β†’ 𝐴 = βˆ’1 4 β†’ 𝐴 = βˆ’1 4 Puntos de corte: βˆ’πŸ π’š 𝟏 Para βˆ’πŸ π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ πŸβˆ’ f(x) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝟏+ f(x) π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ πŸβˆ’ π’™πŸ‘ βˆ’ 𝟏 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝟏+ 𝒂𝒙 + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ πŸβˆ’ βˆ’πŸπŸ‘ βˆ’ 𝟏 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝟏+ 𝒂(βˆ’πŸ) + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ πŸβˆ’ βˆ’ 𝟐 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝟏+ βˆ’ 𝒂 + 𝒃 β†’ βˆ’π’‚ + 𝒃 = βˆ’πŸ Para 𝟏 π₯𝐒𝐦 𝒙→ πŸβˆ’ f(x) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝟏+ f(x) π₯𝐒𝐦 𝒙→ πŸβˆ’ 𝒂𝒙 + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝟏+ π’™πŸ + 𝟏 π₯𝐒𝐦 𝒙→ πŸβˆ’ 𝒂(𝟏) + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝟏+ (𝟏)𝟐 + 𝟏
π₯𝐒𝐦 𝒙→ πŸβˆ’ 𝒂 + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝟏+ 𝟐 β†’ 𝒂 + 𝒃 = 𝟐 Sistema de ecuaciones: βˆ’πš+𝐛 =βˆ’πŸ 𝐚+𝐛 = 𝟐 𝟎+πŸπ’ƒ=𝟎 β†’ πŸπ’ƒ = 𝟎 β†’ 𝒃 = 𝟎 𝟐 β†’ 𝒃 = 𝟎 Para despejar a: βˆ’πš + 𝟎 = βˆ’πŸ β†’ βˆ’πš = βˆ’πŸ β†’ βˆ’πŸ(βˆ’πš) = βˆ’πŸ(βˆ’πŸ) β†’ 𝐚 = 𝟐 Puntos de corte: 𝝅 𝟐 π’š βˆ’ 𝝅 𝟐 Para βˆ’ 𝝅 𝟐 π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’ π…βˆ’ 𝟐 f(x) = π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’ 𝝅+ 𝟐 f(x) π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 βˆ’ πŸπ’”π’†π’(𝒙) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 𝒂 𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ π…βˆ’ 𝟐 βˆ’ πŸπ’”π’†π’ (βˆ’ 𝝅 𝟐 ) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝝅+ 𝟐 𝒂 𝒔𝒆𝒏 (βˆ’ 𝝅 𝟐 ) + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ π…βˆ’ 𝟐 βˆ’ 𝟐(βˆ’πŸ) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝝅+ 𝟐 𝒂 (βˆ’πŸ) + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ π…βˆ’ 𝟐 𝟐 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝝅+ 𝟐 βˆ’ 𝒂 + 𝒃 β†’ -a+b = 2 v
Para 𝝅 𝟐 π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 f(x) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 f(x) π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 𝒂 𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙) π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 𝒂 𝒔𝒆𝒏 ( 𝝅 𝟐 ) + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 𝐜𝐨𝐬 ( 𝝅 𝟐 ) π₯𝐒𝐦 π’™β†’π…βˆ’ 𝟐 𝒂 (𝟏) + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 𝟎 π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 𝒂 + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 𝟎 β†’ a+b = 0 Sistema de ecuaciones: 𝐚+𝐛 = 𝟎 βˆ’πš+𝐛 = 𝟐 𝟎+πŸπ’ƒ=𝟐 β†’ πŸπ’ƒ = 𝟐 β†’ 𝒃 = 𝟐 𝟐 β†’ 𝒃 = 𝟏 Para despejar a: a + b = 0 β†’ 𝒂 + 𝟏 = 𝟎 β†’ 𝒂 = βˆ’πŸ

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  • 1. 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒓 𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒆ñ𝒂𝒍𝒂𝒅𝒐 𝒔𝒆 π’–π’•π’Šπ’π’Šπ’›π’‚ 𝒆𝒍 π’”π’Šπ’ˆπ’–π’Šπ’†π’π’•π’† π’‘π’“π’π’„π’†π’…π’Šπ’Žπ’Šπ’†π’π’•π’ 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: 𝟐(πŸπ’™πŸ) βˆ’ 𝟐(πŸ•π’™) + 𝟐(πŸ“) β†’ (πŸ’π’™πŸ) βˆ’ 𝟐(πŸ•π’™) + (𝟏𝟎) 𝟐 β†’ (πŸπ’™ + 𝟐)(πŸπ’™ + πŸ“) 𝟐 βˆ— 𝟏 β†’ (πŸπ’™ βˆ’ 𝟐) 𝟐 βˆ— (πŸπ’™ βˆ’ πŸ“) 𝟏 β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟏)(πŸπ’™ βˆ’ πŸ“) (𝒙 βˆ’ 𝟏) β†’ (πŸπ’™ βˆ’ πŸ“) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐(𝟏) βˆ’ πŸ“) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐 βˆ’ πŸ“) = π’™πŸ + πŸ“π’™ + πŸ” 𝒙 + 𝟐 β†’ (𝒙 + πŸ‘)(𝒙 + 𝟐) 𝒙 + 𝟐 β†’ (𝒙 + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ (βˆ’πŸ + πŸ‘) = πŸ‘(πŸ‘π’™πŸ) + πŸ‘(πŸ–π’™) βˆ’ πŸ‘(πŸ‘) β†’ (πŸ—π’™πŸ) + πŸ‘(πŸ–π’™) βˆ’ (πŸ—) πŸ‘ β†’ (πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ—)(πŸ‘π’™ + 𝟏) πŸ‘ βˆ— 𝟏 β†’ (πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ—) πŸ‘ βˆ— (πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟏 β†’ (𝒙 βˆ’ πŸ‘)(πŸ‘π’™ + 𝟏) (πŸπ’™ + πŸ”) β†’ βˆ’πŸ(𝒙 βˆ’ πŸ‘)(πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟐(𝒙 + πŸ‘) β†’ βˆ’(πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟐 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ‘ βˆ’πŸ‘(βˆ’πŸ‘) βˆ’ 𝟏 𝟐 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ‘ βˆ’πŸπŸŽ 𝟐 = πŸ‘(πŸ‘π’™πŸ) βˆ’ πŸ‘(πŸπ’™) βˆ’ πŸ‘(𝟏) β†’ (πŸ—π’™πŸ) βˆ’ πŸ‘(πŸπ’™) βˆ’ (πŸ‘) πŸ‘ β†’ (πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ‘)(πŸ‘π’™ + 𝟏) πŸ‘ βˆ— 𝟏 β†’ (πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ‘) πŸ‘ βˆ— (πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟏 β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟏)(πŸ‘π’™ + 𝟏) π’™πŸ βˆ’ 𝒙 β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟏)(πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝒙(𝒙 βˆ’ 𝟏) β†’ (πŸ‘π’™ + 𝟏) 𝟏
  • 2. β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ πŸ‘(𝟏) + 𝟏 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ’ 𝟏 = π’™πŸ‘ βˆ’ πŸπŸ• π’™πŸ βˆ’ πŸ— β†’ π’™πŸ‘ βˆ’ πŸ‘πŸ‘ π’™πŸ βˆ’ πŸ‘πŸ β†’ (𝒙 βˆ’ πŸ‘)(π’™πŸ + πŸ‘π’™ + πŸ—) (𝒙 + πŸ‘)(𝒙 βˆ’ πŸ‘) β†’ (π’™πŸ + πŸ‘π’™ + πŸ—) (𝒙 + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ (πŸ‘πŸ + πŸ‘(πŸ‘) + πŸ—) (πŸ‘ + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ πŸπŸ• πŸ” /πŸ‘ = (𝒙 + 𝟐)(π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ + πŸ’) 𝒙 + 𝟐 β†’ (π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ ((βˆ’πŸ)𝟐 βˆ’ 𝟐(βˆ’πŸ) + πŸ’) = π’‚πŸ + πŸπ’‚π’™ + π’™πŸ βˆ’ π’‚πŸ 𝒙 β†’ πŸπ’‚π’™ + π’™πŸ 𝒙 β†’ 𝒙(πŸπ’‚ + 𝒙) 𝒙 β†’ πŸπ’‚ + 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ πŸπ’‚ + 𝟎 = 𝟏 𝟏 𝟎 βˆ’ πŸ‘ 𝟐 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟐 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 βˆ’ 𝟏 𝟏 𝟎 βˆ’ 𝟏 𝟎 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)(π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ 𝟐). 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’…π’†π’π’π’Žπ’Šπ’π’‚π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)(π’™πŸ βˆ’ 𝟏). (𝒙 βˆ’ 𝟏)(π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ 𝟐) (𝒙 βˆ’ 𝟏)(π’™πŸ βˆ’ 𝟏) β†’ (𝒙 + 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟏) (𝒙 + 𝟏)(𝒙 βˆ’ 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟏 + 𝟐) (𝟏 + 𝟏) =
  • 3. 𝟐 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟎 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟐)(π’™πŸ + 𝒙 + 𝟏). (𝒙 βˆ’ 𝟐)(π’™πŸ + 𝒙 + 𝟏) (𝒙 βˆ’ 𝟐)(π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟐𝟐) β†’ (π’™πŸ + 𝒙 + 𝟏) (π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐𝟐 + 𝟐 + 𝟏) (𝟐𝟐 + 𝟐(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐𝟐 + 𝟐 + 𝟏) (𝟐𝟐 + 𝟐(𝟐) + 𝟐𝟐) = βˆ’πŸ 𝟏 𝟎 𝟎 βˆ’ 𝟐 βˆ’ πŸ‘ βˆ’πŸ 𝟏 βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟏 βˆ’ πŸ‘ 𝟎 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: (𝒙 + 𝟏)(π’™πŸ‘ βˆ’ π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ πŸ‘). (𝒙 + 𝟏)(π’™πŸ‘ βˆ’ π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ πŸ‘) (𝒙 + 𝟏) β†’ (π’™πŸ‘ βˆ’ π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ (βˆ’πŸπŸ‘ βˆ’ (βˆ’πŸ)𝟐 + (βˆ’πŸ) βˆ’ πŸ‘) = π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ‘ = 𝟏 𝟏 πŸ‘ βˆ’ πŸ’ 𝟎 𝟎 𝟏 πŸ‘ βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 πŸ‘ βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟎 πŸ‘ 𝟐 𝟏 πŸ‘ πŸ‘ 𝟏 𝟎 𝟎
  • 4. 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 π’‡π’‚π’„π’•π’π’“π’Šπ’›π’‚π’„π’Šπ’π’ 𝒄𝒐𝒏 π’“π’–π’‡π’‡π’Šπ’π’Š: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (πŸ‘π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟏). (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (πŸ‘π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟏) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 β†’ (πŸ‘π’™πŸ + πŸπ’™ + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (πŸ‘(𝟏)𝟐 + 𝟐(𝟏) + 𝟏) = π’™πŸ’ βˆ’ πŸπŸ’ π’™πŸ βˆ’ 𝟐𝟐 β†’ (π’™πŸ βˆ’ 𝟐𝟐 )(π’™πŸ + 𝟐𝟐 ) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 + 𝟐)(π’™πŸ + πŸ’) (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 + 𝟐) β†’ (𝒙 + 𝟐)(π’™πŸ + πŸ’) (𝒙 + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐 + 𝟐)(𝟐𝟐 + πŸ’) (𝟐 + 𝟐) β†’ (πŸ’)(πŸ–) (πŸ’) = βˆ’πŸ βˆ’πŸ 𝟏 βˆ’ 𝟎 𝟎 πŸ’ πŸ‘ βˆ’πŸ βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ‘ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ‘ 𝟎 βˆ’πŸ 𝟐 βˆ’ πŸ‘ 𝟏 βˆ’ 𝟐 πŸ‘ 𝟎 βˆ’πŸ βˆ’πŸ 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 βˆ’πŸ βˆ’ 𝟎 βˆ’ 𝟎 βˆ’ 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟎 βˆ’ 𝟎 βˆ’ 𝟏 𝟎 βˆ’πŸ 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟏 𝟏 𝟎 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ + πŸ‘). 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’…π’†π’π’π’Žπ’Šπ’π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ 𝒙 + 𝟏). (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐(π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ + πŸ‘) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐(π’™πŸ βˆ’ 𝒙 + 𝟏) β†’ (π’™πŸ βˆ’ πŸπ’™ + πŸ‘) (π’™πŸ βˆ’ 𝒙 + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’πŸ (βˆ’πŸπŸ βˆ’ 𝟐(βˆ’πŸ) + πŸ‘) (βˆ’πŸπŸ βˆ’ (βˆ’πŸ) + 𝟏) β†’ 𝟏 + 𝟐 + πŸ‘ 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 = πŸ” πŸ‘ = 𝟏 𝒙 βˆ’ 𝟏 πŸ‘ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ 𝟏 β†’ πŸ‘ βˆ’ 𝒙 πŸ‘π’™ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ 𝟏 β†’ πŸ‘ βˆ’ 𝒙 πŸ‘π’™(𝒙 βˆ’ πŸ‘) β†’ 𝟏 πŸ‘π’™ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ 𝟏 πŸ‘(πŸ‘) =
  • 5. ( 𝟏 𝒙 βˆ’ 𝟐 βˆ’ πŸ“ (𝒙 + πŸ‘)(𝒙 βˆ’ 𝟐) ) β†’ ( (𝒙 + πŸ‘) βˆ’ πŸ“ (𝒙 + πŸ‘)(𝒙 βˆ’ 𝟐) ) β†’ ( (𝒙 βˆ’ 𝟐) (𝒙 + πŸ‘)(𝒙 βˆ’ 𝟐) ) β†’ ( 𝟏 (𝒙 + πŸ‘) ) β†’ π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝟐 ( 𝟏 (𝟐 + πŸ‘) ) = ( πŸ’ π’™πŸ βˆ’ πŸ’ βˆ’ 𝟏 𝒙 βˆ’ 𝟐 ) β†’ πŸ’ (𝒙 + 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟐) βˆ’ 𝟏 𝒙 βˆ’ 𝟐 β†’ πŸ’ βˆ’ (𝒙 + 𝟐) (𝒙 + 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟐) β†’ βˆ’(βˆ’π’™ + 𝟐) (𝒙 + 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟐) β†’ 𝟏 (𝒙 + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟏 (𝟐 + 𝟐) = π’™πŸ‘ βˆ’ π’‚πŸ‘ 𝒙 βˆ’ 𝒂 β†’ (𝒙 + 𝒂)(π’™πŸ βˆ’ 𝒂𝒙 + π’‚πŸ) 𝒙 + 𝒂 β†’ (π’™πŸ βˆ’ 𝒂𝒙 + π’‚πŸ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’π’‚ (βˆ’π’‚πŸ βˆ’ 𝒂(βˆ’π’‚) + π’‚πŸ) = (𝒙 βˆ’ 𝒂)πŸ‘ 𝒙 βˆ’ 𝒂 β†’ (𝒙 βˆ’ 𝒂)(π’™πŸ + 𝒂𝒙 + π’‚πŸ ) 𝒙 βˆ’ 𝒂 β†’ (π’™πŸ + 𝒂𝒙 + π’‚πŸ) β†’ π₯𝐒𝐦 𝒙→𝒂 (π’‚πŸ + 𝒂(𝒂) + π’‚πŸ) = (𝒙 βˆ’ 𝒂)(π’™πŸ‘ + π’‚π’™πŸ + 𝒂𝒙 + π’‚πŸ 𝒙 + π’‚πŸ‘) 𝒙 βˆ’ 𝒂 β†’ (π’™πŸ‘ + π’‚π’™πŸ + 𝒂𝒙 + π’‚πŸ 𝒙 + π’‚πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝒂 (π’‚πŸ‘ + (𝒂)π’‚πŸ + 𝒂(𝒂) + π’‚πŸ (𝒂) + π’‚πŸ‘) =
  • 6. (πŸ‘πŸ + πŸ”π’‰ + π’‰πŸ ) βˆ’ πŸ— 𝒉 β†’ 𝒉(πŸ” + 𝒉) + πŸ— βˆ’ πŸ— 𝒉 β†’ 𝒉(πŸ” + 𝒉) + πŸ— βˆ’ πŸ— 𝒉 β†’ π₯𝐒𝐦 π’‰β†’πŸŽ πŸ” + 𝟎 = βˆšπ’™ βˆ’ βˆšπ’‚ 𝒙 βˆ’ 𝒂 βˆ— βˆšπ’™ + βˆšπ’‚ βˆšπ’™ + βˆšπ’‚ β†’ 𝒙 βˆ’ 𝒂 (𝒙 βˆ’ 𝒂)(βˆšπ’™ + βˆšπ’‚) β†’ 𝟏 (βˆšπ’™ + βˆšπ’‚) β†’ π₯𝐒𝐦 𝒙→𝒂 𝟏 (βˆšπ’‚ + βˆšπ’‚) = 𝒙 βˆ’ πŸ’ βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’ βˆ— βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’ βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’ β†’ (𝒙 βˆ’ πŸ’)(βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’) π’™πŸ βˆ’ πŸ’ β†’ (𝒙 βˆ’ πŸ’)(𝒙 + πŸ’)(βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’) π’™πŸ βˆ’ πŸ’(𝒙 + πŸ’) β†’ (π’™πŸ βˆ’ πŸ’)(βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’) π’™πŸ βˆ’ πŸ’(𝒙 + πŸ’) β†’ (βˆšπ’™πŸ βˆ’ πŸ’) (𝒙 + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (βˆšπŸ’ βˆ’ πŸ’) (𝟐 + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟎) (πŸ”) = 𝒙 βˆ’ 𝟏 βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏 βˆ— βˆšπ’™ + 𝟏 βˆšπ’™ + 𝟏 β†’ 𝒙 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™ + 𝟏) 𝒙 βˆ’ 𝟏 β†’ βˆšπ’™ + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ √𝟏 + 𝟏 β†’ 𝟏 + 𝟏 = 𝒙 βˆ’ πŸ’ βˆšπ’™ βˆ’ 𝟐 βˆ— βˆšπ’™ + 𝟐 βˆšπ’™ + 𝟐 β†’ 𝒙 βˆ’ πŸ’(βˆšπ’™ + 𝟐) 𝒙 βˆ’ πŸ’ β†’ (βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ (βˆšπŸ’ + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ (𝟐 + 𝟐) = 𝒙 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™πŸ + πŸ‘ + 𝟐) π’™πŸ + πŸ‘ βˆ’ πŸ’ β†’ 𝒙 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™πŸ + πŸ‘ + 𝟐) π’™πŸ βˆ’ 𝟏 β†’ 𝒙 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™πŸ + πŸ‘ + 𝟐) (𝒙 βˆ’ 𝟏)(𝒙 + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (√𝟏𝟐 + πŸ‘ + 𝟐) (𝟏 + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (βˆšπŸ’ + 𝟐) (𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (πŸ’) (𝟐) =
  • 7. 𝟐 βˆ’ βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ π’™πŸ βˆ’ πŸ’πŸ— βˆ— 𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ 𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ β†’ πŸ’ βˆ’ (𝒙 βˆ’ πŸ‘) (𝒙 + πŸ•)(𝒙 βˆ’ πŸ•)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ βˆ’πŸ(βˆ’π’™ + πŸ•) (𝒙 + πŸ•)(𝒙 βˆ’ πŸ•)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ 𝟏 (𝒙 + πŸ•)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• 𝟏 (πŸπŸ’)(𝟐 + βˆšπŸ• βˆ’ πŸ‘ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• 𝟏 (πŸπŸ’)(𝟐 + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• 𝟏 (πŸπŸ’)(πŸ’) = βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ βˆ’ πŸ‘ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ βˆ— βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘ βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘ β†’ πŸπ’™ + πŸ‘ βˆ’ πŸ— (𝒙 βˆ’ πŸ‘)(βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘) β†’ πŸπ’™ βˆ’ πŸ” (𝒙 βˆ’ πŸ‘)(βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘) β†’ 𝟐(𝒙 βˆ’ πŸ‘) (𝒙 βˆ’ πŸ‘)(βˆšπŸπ’™ + πŸ‘ + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ 𝟐 ( 𝟐(πŸ‘) + πŸ‘ + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ 𝟐 (βˆšπŸ— + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ‘ 𝟐 πŸ” /𝟐 = √𝟏 + 𝒙 βˆ’ √𝟏 βˆ’ 𝒙 𝒙 βˆ— √𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙 √𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙 β†’ 𝟏 + 𝒙 βˆ’ (𝟏 βˆ’ 𝒙) 𝒙(√𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙) β†’ πŸπ’™ 𝒙(√𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙) β†’ 𝟐 (√𝟏 + 𝒙 + √𝟏 βˆ’ 𝒙) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 (√𝟏 + 𝟎 + √𝟏 βˆ’ 𝟎) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 (𝟏 + 𝟏) β†’ 𝟐 𝟐 = 𝒙 βˆ’ βˆšπ’™ + 𝟐 βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 βˆ’ πŸ‘ β†’ 𝒙 βˆ’ βˆšπ’™ + 𝟐 βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 βˆ’ πŸ‘ βˆ— (𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐)(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) (βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘)(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ π’™πŸ βˆ’ (𝒙 + 𝟐)(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) (πŸ’π’™ + 𝟏) βˆ’ πŸ—(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟐(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) πŸ’π’™ βˆ’ πŸ–(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐)
  • 8. β†’ π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟐(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) πŸ’π’™ βˆ’ πŸ–(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 + 𝟏)(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ‘) πŸ’(𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 + βˆšπ’™ + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟐 + 𝟏) ( πŸ’(𝟐) + 𝟏 + πŸ‘) πŸ’ (𝟐 + (𝟐) + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (πŸ‘)(πŸ‘ + πŸ‘) πŸ’(𝟐 + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ– πŸπŸ” /𝟐 = βˆšπ’™ + 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆšπ’™ + πŸ’ βˆ’ 𝟐 βˆ— (βˆšπ’™ + 𝟏 + 𝟏)(βˆšπ’™ + πŸ’ + 𝟐) (βˆšπ’™ + πŸ’ + 𝟐)(βˆšπ’™ + 𝟏 + 𝟏) β†’ 𝒙 + 𝟏 βˆ’ 𝟏(βˆšπ’™ + πŸ’ + 𝟐) 𝒙 + πŸ’ βˆ’ πŸ’(βˆšπ’™ + 𝟏 + 𝟏) β†’ βˆšπ’™ + πŸ’ + 𝟐 βˆšπ’™ + 𝟏 + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ √𝟎 + πŸ’ + 𝟐 √𝟎 + 𝟏 + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 + 𝟐 𝟏 + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ πŸ’ 𝟐 = √𝟐 + 𝒙 βˆ’ βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐 βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 βˆ’ βˆšπŸ“π’™ βˆ’ 𝟏 βˆ— (√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐)(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏) (βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏)(√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐) β†’ 𝟐 + 𝒙 βˆ’ πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐 πŸ’π’™ + 𝟏 βˆ’ πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏 β†’ πŸ’ βˆ’ πŸπ’™(βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏) βˆ’π’™ + 𝟐(√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐) β†’ πŸ’ βˆ’ πŸπ’™ βˆ’π’™ + 𝟐 βˆ— (βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏) (√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐) β†’ 𝟐(𝟐 βˆ’ 𝒙) βˆ’π’™ + 𝟐 β†’ 𝟐 (βˆšπŸ’π’™ + 𝟏 + πŸ“π’™ βˆ’ 𝟏) (√𝟐 + 𝒙 + βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟐 ( πŸ’(𝟐) + 𝟏 + πŸ“(𝟐) βˆ’ 𝟏) (√𝟐 + 𝟐 + πŸ‘(𝟐) βˆ’ 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟐 (βˆšπŸ— + πŸ—) (βˆšπŸ’ + βˆšπŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟐 πŸ‘ + πŸ‘ 𝟐 + 𝟐 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟐 πŸ” πŸ’ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟏𝟐 πŸ’ = π’™πŸ (𝟏 βˆ’ 𝟏 𝒙 + 𝟐 π’™πŸ) π’™πŸ (πŸ‘ + 𝟐 𝒙 βˆ’ πŸ’ π’™πŸ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 – 𝟎 + 𝟎 π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž πŸ‘ + 𝟎 βˆ’ 𝟎 =
  • 9. πŸ’π’™πŸ πŸ“π’™πŸ‘ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž πŸ’ πŸ“π’™ = π’™πŸ 𝒙 β†’ 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž ∞ = π’™πŸ βˆ’ πŸ“π’™ + πŸ” π’™πŸ π’™πŸ + πŸ’π’™ + πŸ’ π’™πŸ β†’ 𝟏 βˆ’ πŸ“ 𝒙 + πŸ” π’™πŸ 𝟏 + πŸ’ 𝒙 + πŸ’ π’™πŸ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 βˆ’ 𝟎 + 𝟎 𝟏 + 𝟎 + 𝟎 = π’™πŸ + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒙 βˆ’ 𝒏 β†’ π’™πŸ 𝒙 β†’ 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž ∞ = 𝒙 βˆ’ πŸ’ π’™πŸ + πŸ’π’™ + πŸ’ β†’ 𝒙 π’™πŸ β†’ 𝟏 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 ∞ =
  • 10. πŸ‘ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ π’™πŸ π’™πŸ 𝟏 β†’ πŸ‘ 𝒙 βˆ’ πŸ‘ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟎 βˆ’ πŸ‘ = βˆšπ’™ + πŸ’ πŸπ’™ + πŸ“ β†’ βˆšπ’™ + πŸ’ 𝒙 β†’ √ 𝒙 π’™πŸ + πŸ’ π’™πŸ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž √𝟎 + 𝟎 = 𝟎 𝟏 𝟐𝐱+πŸ“ β†’ 𝟏 πŸπ’™+πŸ“ 𝒙 β†’ 𝟏 𝟐+ πŸ“ 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 𝟐+ πŸ“ ∞ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 𝟐+𝟎 = 𝟏 𝟐 𝟎 βˆ— 𝟏 𝟐 β†’ 𝟎 𝟐 = 𝑺𝒆 π’…π’Šπ’—π’Šπ’…π’† 𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 π’“π’‚π’Šπ’› 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† 𝒄𝒐𝒏 π’Žπ’‚π’šπ’π’“ 𝒆𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆. √ 𝒙 𝒙 + 𝟏 𝒙 β†’ √𝟏 + 𝟏 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž √𝟏 + 𝟎 = 𝟏 √ 𝒙 𝒙 β†’ √𝟏 = 𝟏 1-1 =
  • 11. (βˆšπ’™πŸ + 𝒙 βˆ’ 𝒙)(βˆšπ’™πŸ + 𝒙 + 𝒙) βˆšπ’™πŸ + 𝒙 + 𝒙 β†’ π’™πŸ + 𝒙 βˆ’ π’™πŸ βˆšπ’™πŸ + 𝒙 + 𝒙 β†’ 𝒙 π’™πŸ(𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ ) + 𝒙 β†’ 𝒙 𝒙 𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ + 𝒙 β†’ 𝒙 𝒙( 𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 √𝟏 + 𝟎 + 𝟏 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 𝟏 + 𝟏 = (βˆšπŸ’π’™πŸ + πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸπ’™)(βˆšπŸ’π’™πŸ + πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟏 + πŸπ’™) βˆšπŸ’π’™πŸ + πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟏 + πŸπ’™ β†’ (πŸ’π’™πŸ + πŸ‘π’™ βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸ’π’™πŸ) π’™πŸ(πŸ’ + πŸ‘ 𝒙 ⁄ βˆ’ 𝟏 π’™πŸ ⁄ ) + πŸπ’™ β†’ 𝒙(πŸ‘ βˆ’ 𝟏 𝒙 ⁄ ) 𝒙( (πŸ’ + πŸ‘ 𝒙 ⁄ βˆ’ 𝟏 π’™πŸ ⁄ ) + 𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž πŸ‘ βˆ’ 𝟎 (πŸ’ + 𝟎 βˆ’ 𝟎) + 𝟐 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž πŸ‘ βˆ’ 𝟎 𝟐 + 𝟐 = (𝒙 βˆ’ βˆšπ’™πŸ + 𝒙)(𝒙 + βˆšπ’™πŸ + 𝒙) (𝒙 + βˆšπ’™πŸ + 𝒙) β†’ (π’™πŸ βˆ’ π’™πŸ + 𝒙) (𝒙 + π’™πŸ(𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ )) β†’ 𝒙 (𝒙 + 𝒙 𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ ) β†’ 𝒙 𝒙 (𝟏 + 𝟏 + 𝟏 𝒙 ⁄ ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 (𝟏 + √𝟏 + 𝟎) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝟏 (𝟏 + 𝟏) = π’™πŸ + 𝒂𝒙 + 𝒃 βˆ’ π’™πŸ βˆ’ 𝒄𝒙 βˆ’ 𝒅 βˆšπ’™πŸ + 𝒂𝒙 + 𝒃 + βˆšπ’™πŸ + 𝒄𝒙 + 𝒅 β†’ 𝟏 π’™πŸ(𝟏 + 𝒂 𝒙 ⁄ + 𝒃 π’™πŸ ⁄ ) + π’™πŸ(𝟏 + 𝒄 𝒙 ⁄ + 𝒅 π’™πŸ ⁄ ) β†’ 𝒂𝒙 + 𝒃 βˆ’ 𝒄𝒙 βˆ’ 𝒅 π’™πŸ(𝟏 + 𝒂 𝒙 ⁄ + 𝒃 π’™πŸ ⁄ ) + π’™πŸ(𝟏 + 𝒄 𝒙 ⁄ + 𝒅 π’™πŸ ⁄ )
  • 12. β†’ 𝒙(𝒂 + 𝒃 𝒙 ⁄ βˆ’ 𝒄 βˆ’ 𝒅 𝒙 ⁄ ) (𝒙 (𝟏 + 𝒂 𝒙 ⁄ + 𝒃 π’™πŸ ⁄ ) + 𝒙 (𝟏 + 𝒄 𝒙 ⁄ + 𝒅 π’™πŸ ⁄ )) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝒙(𝒂 + 𝟎 βˆ’ 𝒄 βˆ’ 𝟎) (𝒙 (𝟏 + 𝟎 + 𝟎) + 𝒙 (𝟏 + 𝟎 + 𝟎)) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝒙(𝒂 + 𝟎 βˆ’ 𝒄 βˆ’ 𝟎) πŸπ’™βˆšπŸ β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝒂 + 𝟎 βˆ’ 𝒄 βˆ’ 𝟎 𝟐(𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž 𝒂 βˆ’ 𝒄 𝟐 = √𝟏 + 𝒙 βˆ’ 𝟏 π’™πŸ βˆ— √𝟏 + 𝒙 + 𝟏 √𝟏 + 𝒙 + 𝟏 β†’ 𝟏 + 𝒙 βˆ’ 𝟏 π’™πŸ(√𝟏 + 𝒙 + 𝟏) β†’ 𝒙 π’™πŸ(√𝟏 + 𝒙 + 𝟏) β†’ 𝒙 𝒙(√𝟏 + 𝒙 + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 𝟎(√𝟏 + 𝟎 + 𝟏) β†’ 𝟏 𝟎(𝟏 + 𝟏) β†’ 𝟏 𝟎(𝟐) β†’ 𝟏 𝟎 = 𝑺𝒆 π’‚π’‘π’π’Šπ’„π’‚ 𝒆𝒍 π’Žπ’†π’•π’π’…π’ 𝒅𝒆 π’“π’–π’‡π’‡π’Šπ’π’Š 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓. 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 βˆ’ πŸ‘ βˆ’ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟐 𝟏 𝟐 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟐 𝟎 𝟏 πŸ‘ 𝟐 𝟏 πŸ‘ 𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟏 βˆ’ πŸπŸ‘ πŸπŸ“ βˆ’ 𝟏𝟐 𝟏 𝟎 βˆ’ πŸπŸ‘ 𝟏𝟐 𝟏 𝟎 βˆ’ πŸπŸ‘ 𝟏𝟐 𝟎 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟏𝟐 𝟏 𝟏 βˆ’ 𝟏𝟐 𝟎 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ + πŸ‘π’™ + 𝟐) 𝑹𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 π’…π’†π’π’π’Žπ’Šπ’π’‚π’…π’π’“: (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟏𝟐) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐 (π’™πŸ + πŸ‘π’™ + 𝟐) (𝒙 βˆ’ 𝟏)𝟐(π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟏𝟐) β†’ (π’™πŸ + πŸ‘π’™ + 𝟐) (π’™πŸ βˆ’ 𝒙 βˆ’ 𝟏𝟐) β†’ (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟏) (𝒙 + πŸ’)(𝒙 βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ (𝟏 + 𝟐)(𝟏 + 𝟏) (𝟏 + πŸ’)(𝟏 βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ βˆ’ πŸ” 𝟏𝟎 /𝟐 =
  • 13. 𝑺𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆 𝒖𝒏 π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† 𝒅𝒆 π’Žπ’‚π’π’†π’“π’‚ 𝒒𝒖𝒆 π’šπŸ” π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’šπ’‚ 𝒂 𝒙 𝟏 + π’šπŸ” 𝟏 + π’šπŸ” πŸ‘ β†’ 𝟏 + π’šπŸ‘ 𝟏 + π’šπŸ β†’ (𝟏 βˆ’ π’š)(𝟏 + π’š + π’šπŸ) (𝟏 + π’š)(𝟏 βˆ’ π’š) β†’ (𝟏 + π’š + π’šπŸ) (𝟏 + π’š) β†’ π₯𝐒𝐦 π’šβ†’πŸ (𝟏 + 𝟏 + 𝟏𝟐) (𝟏 + 𝟏) β†’ (𝟏 + 𝟏 + 𝟏) (𝟏 + 𝟏) = 𝑺𝒆 𝒉𝒂𝒄𝒆 𝒖𝒏 π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† 𝒅𝒆 π’Žπ’‚π’π’†π’“π’‚ 𝒒𝒖𝒆 π’šπŸπŸ“ π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’šπ’‚ 𝒂 𝒙 𝟏 + π’šπŸπŸ“ πŸ‘ 𝟏 + π’šπŸπŸ“ πŸ“ β†’ 𝟏 + π’šπŸ“ 𝟏 + π’šπŸ‘ β†’ (𝟏 + π’š)(πŸπŸ’ βˆ’ πŸπŸ‘ π’š + 𝟏𝟐 π’šπŸ βˆ’ πŸπ’šπŸ‘ + π’šπŸ’) (𝟏 + π’š)(𝟏𝟐 βˆ’ π’š + π’šπŸ) β†’ β†’ π₯𝐒𝐦 π’šβ†’βˆ’πŸ (πŸπŸ’ βˆ’ πŸπŸ‘ (𝟏) + 𝟏𝟐 (𝟏)𝟐 βˆ’ 𝟏(𝟏)πŸ‘ + (𝟏)πŸ’ ) (𝟏𝟐 βˆ’ (𝟏) + (𝟏)𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’šβ†’βˆ’πŸ 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 𝟏 + 𝟏 + 𝟏 = βˆšπ’™ + πŸ– βˆ’ βˆšπŸ–π’™ + 𝟏 βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 βˆ’ βˆšπŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘ βˆ— (βˆšπ’™ + πŸ– + βˆšπŸ–π’™ + 𝟏)(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) (βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘)(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ (𝒙 + πŸ–) βˆ’ (πŸ–π’™ + 𝟏)(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) ((πŸ“ βˆ’ 𝒙) βˆ’ (πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘)(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ βˆ’πŸ•π’™ + πŸ•(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) βˆ’πŸ–π’™ + πŸ–(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ πŸ•(βˆ’π’™ + 𝟏)(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) πŸ–(βˆ’π’™ + 𝟏)(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ πŸ•(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 + πŸ•π’™ βˆ’ πŸ‘) πŸ–(βˆšπ’™ + πŸ– + πŸ–π’™ + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ•(βˆšπŸ“ βˆ’ 𝟏 + πŸ•(𝟏) βˆ’ πŸ‘) πŸ–(√𝟏 + πŸ– + πŸ–(𝟏) + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ•(βˆšπŸ’ + πŸ’) πŸ–(√𝟏 + πŸ– + πŸ–(𝟏) + 𝟏) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ•(𝟐 + 𝟐) πŸ–(βˆšπŸ— + πŸ—) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ– πŸ–(πŸ‘ + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ– πŸ’πŸ– /πŸ’ =
  • 14. 𝒔𝒆 π’Žπ’–π’π’•π’Šπ’‘π’π’Šπ’„π’‚ 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒅𝒐𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒋𝒖𝒅𝒂𝒅𝒂 βˆšπ’™ + πŸ• βˆ’ πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘ βˆšπ’™ + πŸ” βˆ’ 𝟐 πŸ‘ βˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ βˆ— (βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘)((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) ((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐)(βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) 𝒙 + πŸ• βˆ’ πŸ—(πŸπ’™ βˆ’ πŸ‘)((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) 𝒙 + πŸ” βˆ’ πŸ–(πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“)(βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ 𝒙 + πŸ• βˆ’ πŸ—(πŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) 𝒙 + πŸ” βˆ’ πŸ–(πŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“) β†’ βˆ’πŸπŸ•π’™ + πŸ‘πŸ’ βˆ’πŸπŸ‘π’™ + πŸ’πŸ” β†’ πŸπŸ•(βˆ’π’™ + 𝟐) πŸπŸ‘(βˆ’π’™ + 𝟐) βˆ— ((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) (βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ πŸπŸ•((βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπ’™ + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (πŸβˆšπŸ‘π’™ βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) πŸπŸ‘(βˆšπ’™ + πŸ• + πŸ‘βˆšπŸπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ•((√𝟐 + πŸ” πŸ‘ )𝟐 + (√𝟐 + πŸ” πŸ‘ )(πŸβˆšπŸ” βˆ’ πŸ“ πŸ‘ ) + (𝟐 𝟐(𝟐) βˆ’ πŸ“ πŸ‘ )𝟐 ) πŸπŸ‘ (√𝟐 + πŸ• + πŸ‘ 𝟐(𝟐) βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ•((βˆšπŸ– πŸ‘ )𝟐 + (βˆšπŸ– πŸ‘ )(𝟐√𝟏 πŸ‘ ) + (πŸβˆšβˆ’πŸ πŸ‘ )𝟐 ) πŸπŸ‘(βˆšπŸ— + πŸ‘βˆšπŸ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ•(πŸ’ + πŸ’ + πŸ’) πŸπŸ‘(πŸ‘ + πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ•(𝟏𝟐) πŸπŸ‘(πŸ”) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸŽπŸ’ πŸπŸ‘πŸ– /𝟐 = π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ 𝟏𝟎𝟐 πŸ”πŸ— /πŸ‘ =
  • 15. 𝟐 βˆ’ βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ π’™πŸ βˆ’ πŸ’πŸ— βˆ— 𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ 𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘ β†’ πŸ’ βˆ’ (𝒙 βˆ’ πŸ‘) π’™πŸ βˆ’ πŸ’πŸ—(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ βˆ’π’™ + πŸ• π’™πŸ βˆ’ πŸ’πŸ—(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ βˆ’π’™ + πŸ• (𝒙 + πŸ•)(𝒙 βˆ’ πŸ•)(βˆ’πŸ)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ βˆ’πŸ (𝒙 + πŸ•)(𝟐 + βˆšπ’™ βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ (πŸ• + πŸ•)(𝟐 + βˆšπŸ• βˆ’ πŸ‘) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ (πŸπŸ’)(𝟐 + βˆšπŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ (πŸπŸ’)(𝟐 + (𝟐)) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ (πŸπŸ’)(πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ• βˆ’πŸ πŸ“πŸ” = 𝒙 βˆ’ πŸ– βˆšπ’™ πŸ‘ βˆ’ 𝟐 β†’ 𝒙 βˆ’ πŸ–(βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) (βˆšπ’™ πŸ‘ βˆ’ 𝟐)(βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐) β†’ 𝒙 βˆ’ πŸ–(βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) (βˆšπ’™ πŸ‘ ) πŸ‘ βˆ’ πŸπŸ‘ β†’ 𝒙 βˆ’ πŸ–(βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) 𝒙 βˆ’ πŸ– β†’ (βˆšπ’™ πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπ’™ πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ– (βˆšπŸ– πŸ‘ ) 𝟐 + 𝟐(βˆšπŸ– πŸ‘ ) + 𝟐𝟐 ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ– (𝟐)𝟐 + 𝟐(𝟐) + 𝟐𝟐 ) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ– πŸ’ + πŸ’ + πŸ’ = πŸ‘ βˆ’ βˆšπŸ“ + 𝒙 𝟏 βˆ’ βˆšπŸ“ βˆ’ 𝒙 βˆ— (πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙)(𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙) (𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙)(πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙) β†’ πŸ— βˆ’ (πŸ“ + 𝒙)(𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙) 𝟏 βˆ’ (πŸ“ βˆ’ 𝒙)(πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙) β†’ πŸ’ + 𝒙(𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙) βˆ’πŸ(πŸ’ βˆ’ 𝒙)(πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙) β†’ βˆ’ (𝟏 + πŸ“ βˆ’ 𝒙) (πŸ‘ + βˆšπŸ“ + 𝒙) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ βˆ’ (𝟏 + πŸ“ βˆ’ πŸ’) (πŸ‘ + βˆšπŸ“ + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ βˆ’ (𝟏 + 𝟏) (πŸ‘ + βˆšπŸ—) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ’ βˆ’ (𝟏 + 𝟏) (πŸ‘ + πŸ‘) = βˆ’ 𝟐 πŸ” =
  • 16. 𝟏 βˆ’ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝒙) βˆ’ 𝒄𝒐𝒔(𝒙) β†’ 𝒄𝒐𝒔(𝒙) βˆ’ 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝒔𝒆𝒏(𝒙) βˆ’ 𝒄𝒐𝒔(𝒙) 𝟏 β†’ βˆ’πŸ(𝒄𝒐𝒔(𝒙) βˆ’ 𝒔𝒆𝒏(𝒙)) 𝒄𝒐𝒔(𝒙)(𝒔𝒆𝒏(𝒙) βˆ’ 𝒄𝒐𝒔(𝒙)) β†’ π₯𝐒𝐦 𝒙→𝝅 πŸ’ βˆ’πŸ 𝟏 √𝟐 = πŸ‘ βˆ— 𝒙 𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒙 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ πŸ‘ βˆ— 𝟏 𝟏 β†’ πŸ‘ 𝟏 = 𝒔𝒆𝒏(𝒂𝒙) 𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏(𝒃𝒙) 𝒃𝒙 βˆ— 𝒂 𝒃 β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 𝟏 βˆ— 𝒂 𝒃 = 𝟏 βˆ’ 𝒄𝒐𝒔𝒙 π’™πŸ(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ 𝟏 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— 𝟏 βˆ’ 𝒄𝒐𝒔𝒙 π’™πŸ βˆ— (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ 𝟏 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— π’”π’†π’πŸ 𝒙 π’™πŸ(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ 𝟏 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝟏 (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)
  • 17. β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 𝟐 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 𝟏(𝟏 + 𝟏) β†’β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 𝟐 βˆ— 𝟏 𝟏(𝟐) β†’ 𝟏 𝟐 βˆ— 𝟏 𝟐 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝟏 π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 βˆ’ (𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙 π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 βˆ’ (𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— 𝟏 π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙(𝟏 βˆ’ 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙 βˆ— (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) βˆ— 𝟏 π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙(𝟏 βˆ’ π’„π’π’”πŸ 𝒙) 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) βˆ— 𝟏 π’™πŸ‘ β†’ π’”π’†π’πŸ‘ 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)π’™πŸ‘ β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 𝟏(𝟏 + 𝟏) β†’ 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 βˆ— 𝟏 𝟐 = πŸπŸ‘ βˆ’ π’„π’π’”πŸ‘ 𝒙 𝒙 π’”π’†π’πŸπ’™ β†’ (𝟏 βˆ’ 𝒄𝒐𝒔𝒙)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + π’„π’π’”πŸ 𝒙)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒙 π’”π’†π’πŸπ’™ (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ (𝟏 βˆ’ π’„π’π’”πŸ 𝒙)(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + π’„π’π’”πŸ 𝒙) 𝒙 π’”π’†π’πŸπ’™ (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ π’”π’†π’πŸ 𝒙 𝒙. 𝟐. 𝒔𝒆𝒏𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙(𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 + π’„π’π’”πŸ 𝒙) 𝟐. 𝒄𝒐𝒔𝒙 (𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝒙) β†’ (𝟏 + 𝟏 + 𝟏𝟐) 𝟐(𝟏). (𝟏 + 𝟏) = √𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 βˆ’ √𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐱 . √𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱 √𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + √𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱 β†’ 𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 βˆ’ 𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐱(√𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱) β†’ 𝟐𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐱(√𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱) β†’ 𝐬𝐞𝐧𝐱 𝐱 . 𝟐 (√𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝐱 + 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧𝐱) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 (√𝟏 + 𝟎 + 𝟏 βˆ’ 𝟎) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸŽ 𝟐 𝟏 + 𝟏 β†’ 𝟐 𝟐 =
  • 18.
  • 19. a b
  • 20. 𝒔𝒆𝒏(βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 βˆ’ 𝟐) 𝐱𝟐 βˆ— βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 + 𝟐 βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 + 𝟐 β†’ 𝒔𝒆𝒏(πŸ’ + 𝐱𝟐 βˆ’ πŸ’) 𝐱𝟐(βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 + 𝟐) β†’ π’”π’†π’πŸ(𝐱) 𝐱𝟐(βˆšπŸ’ + 𝐱𝟐 + 𝟐) β†’ 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒙 βˆ— 𝟏 (βˆšπŸ’ + π’™πŸ + 𝟐) β†’ lim π‘₯β†’0 1 βˆ— 1 βˆ— 1 √4 + 02 β†’ 1 βˆ— 1 βˆ— 1 2 = πŸ’ ( 𝒔𝒆𝒏(πŸ’π’™) πŸ’π’™ ) βˆ— πŸ‘ ( 𝒔𝒆𝒏(πŸ‘π’™) πŸ‘π’™ ) 𝟐 ( 𝒔𝒆𝒏(πŸπ’™) πŸπ’™ ) β†’ lim π‘₯β†’2 πŸ’ βˆ— πŸ‘ 𝟐 = (𝟏 + 𝒙 + πŸ“ 𝒙 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏) 𝒙+𝟏 β†’ ( 𝒙 + πŸ“ 𝒙 βˆ’ 𝟏 βˆ’ 𝟏) β†’ ( 𝒙 + πŸ“ βˆ’ 𝒙 + 𝟏 𝒙 βˆ’ 𝟏 ) β†’ ( πŸ” 𝒙 βˆ’ 𝟏 )
  • 21. β†’ ( ((𝟏 + πŸ” 𝒙 βˆ’ 𝟏 ) π’™βˆ’πŸ πŸ” ) πŸ” π’™βˆ’πŸ ) 𝒙+𝟏 β†’ 𝒆 π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆž ( πŸ” π’™βˆ’πŸ ) (𝒙+𝟏) β†’ ( πŸ” 𝒙 βˆ’ 𝟏 ) (𝒙 + 𝟏) β†’ πŸ”π’™ + πŸ” 𝒙 βˆ’ 𝟏 β†’ πŸ”π’™ 𝒙 β†’ πŸ” = βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ + 𝟐 π’™πŸ βˆ’ πŸ‘π’™ + 𝟐 βˆ— ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐 ) ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) 𝒙 βˆ’ 𝟏𝟎 βˆ’ πŸ– π’™πŸ βˆ’ πŸ‘π’™ + 𝟐 ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ 𝒙 βˆ’ πŸπŸ– (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ πŸ—(𝒙 βˆ’ 𝟐) (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ πŸ— (𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ— (𝟐 βˆ’ 𝟏) ((√𝟐 βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (√𝟐 βˆ’ 𝟏𝟎 πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ— (𝟏)((βˆ’πŸ)𝟐 βˆ’ (βˆ’πŸ)(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸ— (𝟏)(πŸ’ + πŸ’ + πŸ’) =
  • 22. βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ + 𝟐 π’™πŸ βˆ’ πŸ‘π’™ + 𝟐 βˆ— ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐 ) ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) 𝒙 βˆ’ πŸ— βˆ’ πŸ– π’™πŸ βˆ’ πŸ‘π’™ + 𝟐 ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ 𝒙 βˆ’ πŸπŸ• (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ πŸπŸ•(𝒙 βˆ’ 𝟏) (𝒙 βˆ’ 𝟐)(𝒙 βˆ’ 𝟏) ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ πŸπŸ• (𝒙 βˆ’ 𝟐) ((βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (βˆšπ’™ βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + 𝟐𝟐) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ• (𝟏 βˆ’ 𝟐) ((√𝟐 βˆ’ πŸ— πŸ‘ ) 𝟐 βˆ’ (√𝟐 βˆ’ πŸ— πŸ‘ )(𝟐) + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ• (βˆ’πŸ)((βˆ’πŸ)𝟐 βˆ’ (βˆ’πŸ)(𝟐) + πŸ’) β†’ π₯𝐒𝐦 π’™β†’πŸ πŸπŸ• (βˆ’πŸ)(πŸ’ + πŸ’ + πŸ’) = βˆ’ Puntos de corte: 1,-1 Para 1
  • 23. lim π‘₯β†’ 1βˆ’ f(x) = lim π‘₯β†’ 1+ f(x) lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯ + 𝐡 = lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 + 2π‘₯ + 3 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴(1) + 𝐡 = lim π‘₯β†’ 1+ (1)2 + 2(1) + 3 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴 + 𝐡 = lim π‘₯β†’ 1+ 6 β†’ 𝐴 + 𝐡 = 6 Para -1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ f(x) = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ f(x) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ βˆ’π‘₯2 + 2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯ + 𝐡 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ βˆ’(βˆ’1)2 + 2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴(βˆ’1) + 𝐡 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ βˆ’ 𝐴 + 𝐡 β†’ βˆ’π΄ + 𝐡 = 1 Sistema de ecuaciones: βˆ’A + B =1 A+ B =6 0+2𝑏=7 β†’ 𝑏 = 7 2 Para despejar A: βˆ’A + ( 7 2 ) = 1 β†’ βˆ’2𝐴 + 7 = 2 β†’ βˆ’2𝐴 = 2 βˆ’ 7 β†’ 𝐴 = βˆ’5 βˆ’2 β†’ 𝐴 = 5 2 Puntos de corte: 1,-1 Para 1
  • 24. lim π‘₯β†’ 1βˆ’ f(x) = lim π‘₯β†’ 1+ f(x) lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯5 + 𝐡π‘₯4 βˆ’ 𝐴π‘₯ βˆ’ 𝐡 π‘₯2 βˆ’ 1 = lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯(π‘₯4 βˆ’ 1) + 𝐡(π‘₯4 βˆ’ 1) π‘₯2 βˆ’ 1 = lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯(π‘₯2 βˆ’ 1)(π‘₯2 + 1) π‘₯2 βˆ’ 1 + 𝐡(π‘₯2 βˆ’ 1)(π‘₯2 + 1) π‘₯2 βˆ’ 1 = lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴π‘₯(π‘₯2 + 1) + 𝐡(π‘₯2 + 1)= lim π‘₯β†’ 1+ π‘₯2 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴(1)(12 + 1) + 𝐡(12 + 1)= lim π‘₯β†’ 1+ 12 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 𝐴(2) + 𝐡(2) = lim π‘₯β†’ 1+ 1 lim π‘₯β†’ 1βˆ’ 2𝐴 + 2𝐡 = lim π‘₯β†’ 1+ 1 β†’ 2𝐴 + 2𝐡 = 1 Para -1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 𝑓(π‘₯) = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝑓(π‘₯) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯5+𝐡π‘₯4βˆ’π΄π‘₯βˆ’π΅ π‘₯2βˆ’1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯(π‘₯4βˆ’1)+𝐡(π‘₯4βˆ’1) π‘₯2βˆ’1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯(π‘₯2 βˆ’ 1)(π‘₯2 + 1) π‘₯2 βˆ’ 1 + 𝐡(π‘₯2 βˆ’ 1)(π‘₯2 + 1) π‘₯2 βˆ’ 1 lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴π‘₯(π‘₯2 + 1) + 𝐡(π‘₯2 + 1) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 1 βˆ’ (βˆ’1)2 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ 𝐴(βˆ’1)((βˆ’1)2 + 1) + 𝐡((βˆ’1)2 + 1) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 0 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ βˆ’ 𝐴(2) + 𝐡(2) lim π‘₯β†’ βˆ’1βˆ’ 0 = lim π‘₯β†’ βˆ’1+ βˆ’ 2𝐴 + 2𝐡 β†’ βˆ’2𝐴 + 2𝐡 = 0
  • 25. Sistema de ecuaciones: 2A+2B=1 βˆ’2A+2B= 0 0+4𝑏=1 β†’ 4𝐡 = 1 β†’ 𝐡 = 1 4 β†’ 𝑩 = 𝟏 πŸ’ Para despejar A: A + B = 0 β†’ 𝐴 + 1 4 = 0 β†’ 4𝐴 + 1 = 0 β†’ 4𝐴 = βˆ’1 β†’ 𝐴 = βˆ’1 4 β†’ 𝐴 = βˆ’1 4 Puntos de corte: βˆ’πŸ π’š 𝟏 Para βˆ’πŸ π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ πŸβˆ’ f(x) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝟏+ f(x) π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ πŸβˆ’ π’™πŸ‘ βˆ’ 𝟏 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝟏+ 𝒂𝒙 + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ πŸβˆ’ βˆ’πŸπŸ‘ βˆ’ 𝟏 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝟏+ 𝒂(βˆ’πŸ) + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ πŸβˆ’ βˆ’ 𝟐 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝟏+ βˆ’ 𝒂 + 𝒃 β†’ βˆ’π’‚ + 𝒃 = βˆ’πŸ Para 𝟏 π₯𝐒𝐦 𝒙→ πŸβˆ’ f(x) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝟏+ f(x) π₯𝐒𝐦 𝒙→ πŸβˆ’ 𝒂𝒙 + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝟏+ π’™πŸ + 𝟏 π₯𝐒𝐦 𝒙→ πŸβˆ’ 𝒂(𝟏) + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝟏+ (𝟏)𝟐 + 𝟏
  • 26. π₯𝐒𝐦 𝒙→ πŸβˆ’ 𝒂 + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝟏+ 𝟐 β†’ 𝒂 + 𝒃 = 𝟐 Sistema de ecuaciones: βˆ’πš+𝐛 =βˆ’πŸ 𝐚+𝐛 = 𝟐 𝟎+πŸπ’ƒ=𝟎 β†’ πŸπ’ƒ = 𝟎 β†’ 𝒃 = 𝟎 𝟐 β†’ 𝒃 = 𝟎 Para despejar a: βˆ’πš + 𝟎 = βˆ’πŸ β†’ βˆ’πš = βˆ’πŸ β†’ βˆ’πŸ(βˆ’πš) = βˆ’πŸ(βˆ’πŸ) β†’ 𝐚 = 𝟐 Puntos de corte: 𝝅 𝟐 π’š βˆ’ 𝝅 𝟐 Para βˆ’ 𝝅 𝟐 π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’ π…βˆ’ 𝟐 f(x) = π₯𝐒𝐦 π’™β†’βˆ’ 𝝅+ 𝟐 f(x) π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 βˆ’ πŸπ’”π’†π’(𝒙) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 𝒂 𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ π…βˆ’ 𝟐 βˆ’ πŸπ’”π’†π’ (βˆ’ 𝝅 𝟐 ) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝝅+ 𝟐 𝒂 𝒔𝒆𝒏 (βˆ’ 𝝅 𝟐 ) + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ π…βˆ’ 𝟐 βˆ’ 𝟐(βˆ’πŸ) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝝅+ 𝟐 𝒂 (βˆ’πŸ) + 𝒃 π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ π…βˆ’ 𝟐 𝟐 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ βˆ’ 𝝅+ 𝟐 βˆ’ 𝒂 + 𝒃 β†’ -a+b = 2 v
  • 27. Para 𝝅 𝟐 π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 f(x) = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 f(x) π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 𝒂 𝒔𝒆𝒏(𝒙) + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙) π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 𝒂 𝒔𝒆𝒏 ( 𝝅 𝟐 ) + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 𝐜𝐨𝐬 ( 𝝅 𝟐 ) π₯𝐒𝐦 π’™β†’π…βˆ’ 𝟐 𝒂 (𝟏) + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 𝟎 π₯𝐒𝐦 𝒙→ π…βˆ’ 𝟐 𝒂 + 𝒃 = π₯𝐒𝐦 𝒙→ 𝝅+ 𝟐 𝟎 β†’ a+b = 0 Sistema de ecuaciones: 𝐚+𝐛 = 𝟎 βˆ’πš+𝐛 = 𝟐 𝟎+πŸπ’ƒ=𝟐 β†’ πŸπ’ƒ = 𝟐 β†’ 𝒃 = 𝟐 𝟐 β†’ 𝒃 = 𝟏 Para despejar a: a + b = 0 β†’ 𝒂 + 𝟏 = 𝟎 β†’ 𝒂 = βˆ’πŸ