Ecuaciones cuadráticas por el método de completar el trinomio.

1. Números y
Funciones
Ecuaciones
Cuadráticas con por el
Método de Completar
un Trinomio.

2. Proceso para resolver una
Ecuación Cuadrática
completando un cuadrado

3. 1.- Dividimos toda la Ecuación
para el coeficiente de 풙ퟐ
 ퟔ풙ퟐ + ퟏퟏ풙 − ퟏퟎ = ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
−
ퟏퟎ
ퟔ
= ퟎ

4. 2.- Pasamos el término independiente al
Segundo miembro.
 ퟔ풙ퟐ + ퟏퟏ풙 − ퟏퟎ = ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
−
ퟏퟎ
ퟔ
= ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
= +
ퟏퟎ
ퟔ

5. 3.- Calculamos k que es la mitad del
coeficiente de x.
 ퟔ풙ퟐ + ퟏퟏ풙 − ퟏퟎ = ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
−
ퟏퟎ
ퟔ
= ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
= +
ퟏퟎ
ퟔ

ퟏퟏ
ퟔ
∗
ퟏ
ퟐ
=
ퟏퟏ
ퟏퟐ

6. 4.- Sumamos
풌ퟐ 퐚 퐚퐦퐛퐨퐬 퐥퐚퐝퐨퐬 퐝퐞 퐥퐚 퐞퐜퐮퐚퐜퐢ó퐧.
 ퟔ풙ퟐ + ퟏퟏ풙 − ퟏퟎ = ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
−
ퟏퟎ
ퟔ
= ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
= +
ퟏퟎ
ퟔ

ퟏퟏ
ퟔ
∗
ퟏ
ퟐ
=
ퟏퟏ
ퟏퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+
ퟏퟐퟏ
ퟏퟒퟒ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ=
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ

7. 5.- Factoramos el lado izquierdo de la
ecuación, es un cuadrado perfecto
(풙 + 풌)ퟐ.
 ퟔ풙ퟐ + ퟏퟏ풙 − ퟏퟎ = ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
−
ퟏퟎ
ퟔ
= ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
= +
ퟏퟎ
ퟔ

ퟏퟏ
ퟔ
∗
ퟏ
ퟐ
=
ퟏퟏ
ퟏퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= +
ퟏퟎ
ퟔ
+
ퟏퟏ
ퟏퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+
ퟏퟐퟏ
ퟏퟒퟒ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ=
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 (풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ=
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ

8. 6.-Extraemos las raíz cuadrada de ambos
miembros de la ecuación.
 ퟔ풙ퟐ + ퟏퟏ풙 − ퟏퟎ = ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
−
ퟏퟎ
ퟔ
= ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
= +
ퟏퟎ
ퟔ

ퟏퟏ
ퟔ
∗
ퟏ
ퟐ
=
ퟏퟏ
ퟏퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= +
ퟏퟎ
ퟔ
+
ퟏퟏ
ퟏퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
ퟏퟏ
ퟏퟐ
+ (
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
ퟏퟏ
ퟏퟐ
+ (
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+
ퟏퟐퟏ
ퟏퟒퟒ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
ퟏퟏ
ퟏퟐ
+ (
)ퟐ=
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 (풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ=
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 (풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ =
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= ±
ퟏퟗ
ퟏퟐ

9. 7.- Obtenemos dos ecuaciones simples.
 ퟔ풙ퟐ + ퟏퟏ풙 − ퟏퟎ = ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
−
ퟏퟎ
ퟔ
= ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
= +
ퟏퟎ
ퟔ

ퟏퟏ
ퟔ
∗
ퟏ
ퟐ
=
ퟏퟏ
ퟏퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= +
ퟏퟎ
ퟔ
+
ퟏퟏ
ퟏퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+
ퟏퟐퟏ
ퟏퟒퟒ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ=
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 (풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ=
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 (풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ =
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= ±
ퟏퟗ
ퟏퟐ
 풙ퟏ +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= +
ퟏퟗ
ퟏퟐ
풙ퟐ +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= −
ퟏퟗ
ퟏퟐ

10. 8.- Resolvemos las ecuaciones simples y
encontramos las soluciones.
 ퟔ풙ퟐ + ퟏퟏ풙 − ퟏퟎ = ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
−
ퟏퟎ
ퟔ
= ퟎ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
= +
ퟏퟎ
ퟔ

ퟏퟏ
ퟔ
∗
ퟏ
ퟐ
=
ퟏퟏ
ퟏퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= +
ퟏퟎ
ퟔ
+
ퟏퟏ
ퟏퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ= +
ퟏퟎ
ퟔ
+
ퟏퟐퟏ
ퟏퟒퟒ

ퟔ풙ퟐ
ퟔ
+
ퟏퟏ풙
ퟔ
+ (
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ=
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 (풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ=
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 (풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
)ퟐ =
ퟑퟔퟏ
ퟏퟒퟒ
 풙 +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= ±
ퟏퟗ
ퟏퟐ
풙ퟏ +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= +
ퟏퟗ
ퟏퟐ
풙ퟐ +
ퟏퟏ
ퟏퟐ
= −
ퟏퟗ
ퟏퟐ
풙ퟏ =
ퟏퟗ
ퟏퟐ
−
ퟏퟏ
ퟏퟐ
풙ퟐ = −
ퟏퟗ
ퟏퟐ
−
ퟏퟏ
ퟏퟐ
풙ퟏ =
ퟖ
ퟏퟐ
=
ퟐ
ퟑ
풙ퟐ = −
ퟑퟎ
ퟏퟐ
= −
ퟓ
ퟐ