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Ecuaciones y elementos de la hipérbola
- 1. “Año del Fortalecimiento de la Soberanía Nacional” UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZAN FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN E.P MATEMÁTICA Y FÍSICA Tema: La hipérbola Curso: Soporte informático Docente: Dr. POZO ORTEGA, Fermín Integrantes: MARTINEZ GODOY, Sheyla Keith Huánuco – Perú - 2022
- 3. Llamaremos hipérbola al lugar geométrico de un punto P(x,y) en R^2 que se desplaza en el plano con la propiedad que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias de éste punto, a dos puntos fijos del plano (focos) es siempre igual a una cantidad constante, positiva 2A, siendo R^2 y A reales positivos. 𝐻 = {𝑝(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2/|𝑑 𝑝, 𝑓1 − 𝑑 𝑝, 𝑓2 | = ±2𝑎}
- 4. • F1 y f2 son focos, su distancia se denomina distancia focal, A punto medio de dicha distancia. • Recta que pasa por los focos de denomina eje focal. • V1 Y V2 son vertices de la hiperbola. • Longitud del eje transversal o focal = 2a. • Longitud del eje conjugado es = 2b. • Distancia focal = 2c . • L1 y L2 asíntotas de la hipérbola. |-------------2a------------| |-------------2b------------| • B1 y B2 cuerda focal. • L y R lado recto. • Excentricidad = 𝑐 𝑎 >
- 5. TEOREMA DE PITAGORAS 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 a a b b a b
- 6. FORMAS DE LA HIPERBOLA Cuando el eje focal esta en el eje de las abcisas Cuando el eje focal esta en el eje de las ordenadas De centro el (h,k) y eje focal paralelo al eje X De centro el (h,k) y eje focal paralelo al eje Y HIPERBOLA EQUILATERA PROPIEDAD INTRINSECA DE LA HIPERBOLA HIPERBOLA CONJUGADA Ecuacion genera;
- 8. Forma canónica TEOREMA. La ecuación de una hipérbola de centro en el origen y eje focal el eje X está dado por: 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 Por definición de la hipérbola se tiene: 𝒅 𝑷, 𝒇𝟏 − 𝒅 𝑷, 𝒇𝟐 = 𝟐𝒂 1 Donde: 𝒅 𝑷, 𝒇𝟏 = (𝒙 + 𝒄)𝟐𝒚𝟐 𝒅 𝑷, 𝒇𝟐 = (𝒙 − 𝒄)𝟐𝒚𝟐
- 9. Reemplazando : Demostración: 3 (𝒙 + 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 − (𝒙 − 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐=2a (𝒙 + 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 − (𝒙 − 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐=2a (𝒙 + 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 = 2a+ (𝒙 − 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 (𝒙 + 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 (𝒙 − 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 + (𝒙 − 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 𝒄𝒙 − 𝒂𝟐 = 𝒂 (𝒙 − 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 ( )𝟐 ( )𝟐 ( )𝟐 ( )𝟐 𝒙𝟐 + 𝟐𝒄𝒙 + 𝒄𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 (𝒙 − 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝟐𝒄𝒙 +𝒄𝟐 +𝒚𝟐 𝟒𝒄𝒙 = 𝟒𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 (𝒙 − 𝒄)𝟐 + 𝒚𝟐 𝟏 𝟒 ( )
- 10. 𝒄𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒄𝒙𝒂𝟐 + 𝒂𝟒 = 𝒂𝟐(𝒙𝟐 − 𝟐𝐜𝐱 + 𝒄𝟐 + 𝒚𝟐) Donde: 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 Por lo tanto: 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝒄𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒄𝒙𝒂𝟐 + 𝒂𝟒 = 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝟐𝒄𝒙𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐𝒙𝟐 − 𝒙𝟐𝒂𝟐 − 𝒚𝟐𝒂𝟐 = 𝒄𝟐𝒂𝟐 − 𝒂𝟒 𝒙𝟐 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐𝒂𝟐 = 𝒂𝟐(𝒄𝟐 − 𝒂𝟐) 𝒙𝟐𝒃𝟐 − 𝒚𝟐𝒂𝟐 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 𝒙𝟐𝒃𝟐 𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝒚𝟐𝒂𝟐 𝒂𝟐𝒃𝟐 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 𝒂𝟐𝒃𝟐
- 11. 𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑞𝑞𝑞 Ecuación canónica TEOREMA. La ecuación de una hipérbola de centro en el origen y eje focal el eje Y está dado por: 𝑯: 𝒚𝟐 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 Por definición de la hipérbola se tiene: 𝒅 𝒇𝟏, 𝑷 − 𝒅 𝒇𝟐; 𝑷 = 𝟐𝒂 Donde: 𝒅 𝒇𝟏, 𝑷 = 𝒙𝟐 + (𝒚 + 𝒄)𝟐 𝒅 𝒇𝟐, 𝑷 = 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝒄)𝟐
- 12. Reemplazando : 𝒙𝟐 + (𝒚 + 𝒄)𝟐 = 𝟐𝐚 + 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝒄)𝟐 𝒙𝟐 + (𝒚 + 𝒄)𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝒄)𝟐 + 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝒄)𝟐 𝒄𝒚 − 𝒂𝟐 = 𝒂 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝒄)𝟐 𝒄𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐𝒄𝒚𝒂𝟐 + 𝒂𝟒 = 𝒂𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 −𝟐𝒄𝒚 + 𝒄𝟐 ) ( )𝟐 ( )𝟐 ( )𝟐 ( )𝟐 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒄𝒚 + 𝒄𝟐 = 𝟒𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝒄)𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒄𝒚 +𝒄𝟐 𝟏 𝟒 ( ) 𝟒𝒄𝒚 = 𝟒𝒂𝟐 + 𝟒𝒂 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝒄)𝟐 𝒙𝟐 + (𝒚 + 𝒄)𝟐 − 𝒙𝟐 + (𝒚 − 𝒄)𝟐 = 𝟐𝒂
- 13. Donde: 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 𝒚𝟐𝒃𝟐 − 𝒙𝟐𝒂𝟐 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 Por lo tanto: 𝑯: 𝒚𝟐 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝒚𝟐𝒃𝟐 𝒂𝟐𝒃𝟐 − 𝒙𝟐𝒂𝟐 𝒂𝟐𝒃𝟐 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 𝒂𝟐𝒃𝟐 𝒄𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐𝒄𝒚𝒂𝟐 + 𝒂𝟒 = 𝒙𝟐 𝒂𝟐 + 𝒚𝟐 𝒂𝟐 − 𝟐𝒄𝒚𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 𝒂𝟐 𝒄𝟐𝒚𝟐 − 𝒚𝟐𝒂𝟐 − 𝒙𝟐𝒂𝟐 = 𝒄𝟐𝒂𝟐 − 𝒂𝟒 𝒚𝟐 (𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 ) − 𝒙𝟐 𝒂𝟐 = 𝒂𝟐 (𝒄𝟐 − 𝒂𝟐 )
- 14. ASINTOTAS DE LA HIPERBOLA 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 Primera forma 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝟏 = 𝒚𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝟏 = 𝒚𝟐 𝒃𝟐 𝒚 𝒃 = ± 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝟏 𝒚 𝒃 = ± 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒙 𝒂 . 𝒂 𝒙 𝒚 𝒃 = ± 𝒙 𝒂 𝟏 − 𝒂 𝒙 𝒚 = ± 𝒃𝒙 𝒂 𝟏 − 𝒂 𝒙 𝒙 = ∞ 𝒚 = ± 𝒃𝒙 𝒂 Segunda forma 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝒃𝟐𝒙𝟐 − 𝒂𝟐𝒚𝟐 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 Las ecuaciones de las asíntotas se obtienen haciendo: 𝒂𝟐 𝒃𝟐 = 𝟎 𝒃𝟐 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 𝒚𝟐 = 𝟎 (𝐛𝐱 + 𝒂𝒚) (𝐛𝐱 − 𝒂𝒚) = 𝟎 𝐛𝐱 ± 𝒂𝒚 = 𝟎 Como:
- 15. Forma ordinaria TEOREM A.- La ecuación de una hipérbola de centro el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: 𝑯: (𝒙 − 𝒉)𝟐 𝒂𝟐 − (𝒚 − 𝒌)𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 En el plano X’ CY’ la ecuación de la hipérbola es: Demostración 𝑯: 𝒙′𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚′𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 Como: x '= x - h , y ' = y - k Entonces: 𝑯: (𝒙 − 𝒉)𝟐 𝒂𝟐 − (𝒚 − 𝒌)𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏
- 16. vertices 𝒗𝟏 𝒉 − 𝒂, 𝒌 𝒗𝟐(𝒉 + 𝒂, 𝒌) Focos 𝑭𝟏 𝒉 − 𝒄, 𝒌 𝑭𝟐(𝒉 − 𝒄, 𝒌) Eje focal 𝒚 = 𝒌 Eje conjugado 𝒙 = 𝒉 Excentricidad 𝒆 = 𝒄 𝒂 Lado recto 𝑳𝑹 = 𝟐𝒃𝟐 𝒂𝟐 Ecuacion de las asintotas 𝒚 − 𝒙 = ± 𝒃 𝒂 𝒙 − 𝒉 ELEMENTOS
- 17. TEOREMA.- La ecuación de una hipérbola de centro C(h,k) y eje focal paralelo al eje Y es de la forma: 𝑯: (𝒚 − 𝒌)𝟐 𝒂𝟐 − (𝒙 − 𝒉)𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 La ecuación del sistema X’ CY’ en la forma canónica es: 𝑯: 𝒚′𝟐 𝒂𝟐 − 𝒙′𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 Por traslación del eje: x '= x - h , y ' = y - k Donde : 𝑯: (𝒚 − 𝒌)𝟐 𝒂𝟐 − (𝒙 − 𝒉)𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏
- 18. vertices 𝒗𝟏 𝒉, 𝒌 − 𝒂 𝒗𝟐(𝒉, 𝒌 + 𝒂) Focos 𝑭𝟏 𝒉, 𝒌 − 𝒄 𝑭𝟐(𝒉, 𝒌 + 𝒄) Eje focal 𝒙 = 𝒉 Eje conjugado 𝒚 = 𝒌 Excentricidad 𝒆 = 𝒄 𝒂 > 𝟏 Lado recto 𝑳𝑹 = 𝟐𝒃𝟐 𝒂𝟐 Ecuacion de las asintotas 𝒚 − 𝒙 = ± 𝒂 𝒃 𝒙 − 𝒉 ELEMENTOS
- 19. } ECUACIÓN GENERAL 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐+𝑪𝒙 + 𝑫𝒚 + 𝑬 = 𝟎 𝑯: (𝒙 − 𝒉)𝟐 𝒂𝟐 − (𝒚 − 𝒌)𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝒃𝟐 (𝒙 − 𝒉)𝟐− 𝒂𝟐(𝒚 − 𝒌)𝟐= 𝒂𝟐𝒃𝟐 𝒃𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉𝟐) − 𝒂𝟐(𝒚𝟐−𝟐𝒚𝒌 + 𝒌𝟐) = 𝒂𝟐𝒃𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒉𝒃𝟐 + 𝒉𝟐 𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚𝒌𝒂𝟐 + 𝒌𝟐 𝒂𝟐 = 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟐 − 𝒂𝟐 𝒚𝟐 − 𝟐𝒉𝒃𝟐 𝒙 + 𝟐𝒌𝒂𝒚𝟐 +𝒂𝟐 𝒌𝟐 + 𝒃𝟐 𝒉𝟐 −𝒂𝟐 𝒃𝟐 = 0 } } } } } 𝑨 𝑩 𝑪 𝑫 𝑬 CENTRO: −𝟐𝒉𝒃𝟐 = 𝒄 𝒉 = − 𝒄 𝒂 𝟐𝒌𝒂𝟐 = 𝒅 𝒌 = − 𝒅 𝒃 𝒉𝒌 = (− 𝒄 𝒂 ; 𝒅 𝒃 )
- 20. HIPERBOLA EQUILATERA Las hipérbolas equiláteras o rectángulos se caracterizan por tener sus ejes transverso y conjugado de igual longitud Es decir: a = b, luego si la ecuación de la hipérbola es. 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝑯: 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝒂𝟐 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒂𝟐 = 𝟏 𝑯: 𝒙𝟐 −𝒚𝟐 𝒂𝟐 = 𝟏 𝑯: 𝒙𝟐−𝒚𝟐= 𝒂𝟐
- 21. ECUACION SIMPLE DE LA ECUACION EQUILATERA 𝑯: 𝑿. 𝒀 = 𝑲 𝑯: 𝒙𝟐 −𝒚𝟐 = 𝒂𝟐 𝒙 = 𝒙, 𝐜𝐨𝐬 −𝟒𝟓° − 𝒚,𝒔𝒆𝒏(−𝟒𝟓°) y= 𝒙, 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° + 𝒚, 𝒄𝒐𝒔(−𝟒𝟓°) 𝒙 = 𝒙, 𝟐 𝟐 + 𝒚, 𝟐 𝟐 𝒚 = 𝒙, − 𝟐 𝟐 + 𝒚, 𝟐 𝟐 ) 𝒙 = 𝟐 𝟐 (𝒙, + 𝒚,) 𝒚 = 𝟐 𝟐 (𝒚, − 𝒙, ) 𝟐 𝟐 𝒙, + 𝒚, 𝟐 − 𝟐 𝟐 𝒚, − 𝒙, 𝟐 = 𝒂𝟐 𝟏 𝟐 𝒙,𝟐 + 𝟐𝒚,𝒙, + 𝒚,𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒚,𝟐 − 𝟐𝒙,𝒚, + 𝒙,𝟐 = 𝒂𝟐 𝟏 𝟐 𝒙,𝟐 + 𝒚, 𝒙, + 𝟏 𝟐 𝒚,𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒚,𝟐 + 𝒙, 𝒚, − 𝟏 𝟐 𝒙,𝟐 = 𝒂𝟐 𝒚,𝒙, + 𝒙,𝒚, = 𝒂𝟐 𝟐𝒙,𝒚, = 𝒂𝟐 𝒙, 𝒚, = 𝒂𝟐 𝟐 𝑯: 𝑿. 𝒀 = 𝑲 Rotando:
- 22. HIPERBOLA CONJUGADA Dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra. Se dice entonces que cada hipérbola es conjugada con respecto de la otra. Si la ecuación de una hipérbola es 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝑯: 𝒚𝟐 𝒃𝟐 − 𝒙𝟐 𝒂𝟐 = 𝟏
- 23. TANGENTE A UNA HIPERBOLA En la ecuación de la hipérbola se considera dos puntos y p1 y p2 diferentes. La recta que pasa por P1y p2 se llama recta secante. 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝒍𝟏 = 𝒃𝟐𝒙𝟏𝒙 − 𝒂𝟐𝒚𝟏𝒚 = 𝒂𝟐𝒃𝟐 P1= 𝒙𝟏; 𝒚𝟏 P2= 𝒙𝟐; 𝒚𝟐 𝒙𝟏 𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟏 𝟐 𝒃 𝟐 = 𝒙𝟐 𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝟐 𝒃 𝟐 𝒙𝟏 𝟐 𝒂𝟐 − 𝒙𝟐 𝟐 𝒂 𝟐 = 𝒚𝟏 𝟐 𝒃𝟐 − 𝒚𝟐 𝟐 𝒃 𝟐 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒂𝟐 = 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 𝒃𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝒚𝟏 − 𝒚𝟐 𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 𝒃𝟐 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 𝒂𝟐 𝒚𝟏 + 𝒚𝟐 = 𝒎𝒍 𝒙𝟏 = 𝒙𝟐 𝒚𝟏 = 𝒚𝟐 𝒃𝟐𝒙𝟏 𝒂𝟐𝒚𝟏 = 𝒎𝒍 Punto imaginario.
- 24. 𝒃𝟐𝒙𝟏 𝒂𝟐𝒚𝟏 = 𝒎𝒍 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎𝑳 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒃𝟐𝒙𝟏 𝒂𝟐𝒚𝟏 𝒙 − 𝒙𝟏 𝒂𝟐𝒚𝟏𝒚 − 𝒂𝟐𝒚𝟏 𝟐 = 𝒃𝟐𝒙𝟏𝒙 − 𝒃𝟐𝒙𝟏 𝟐 𝒃𝟐𝒙𝟏 𝟐 − 𝒂𝟐𝒚𝟏 𝟐 = 𝒃𝟐𝒙𝟏𝒙 − 𝒂𝟐𝒚𝟏𝒚 𝑯: 𝒙𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝒂𝟐𝒃𝟐( 𝒙𝟏 𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚𝟏 𝟐 𝒃𝟐 ) = 𝒃𝟐𝒙𝟏𝒙 − 𝒂𝟐𝒚𝟏𝒚 𝒂𝟐𝒃𝟐 = 𝒃𝟐𝒙𝟏𝒙 − 𝒂𝟐𝒚𝟏𝒚
- 25. PROPIEDAD INTRICECA DE LA HIPERBOLA 𝑯: 𝒙,𝟐 𝒂𝟐 − 𝒚,𝟐 𝒃𝟐 = 𝟏 𝒙′ = 𝒅 𝒑𝟏𝑳𝟐 𝑥′ , 𝑦′ 𝑥′ 𝑦′ 𝐿2 𝐿1 𝒚′ = 𝒅 𝒑𝟏𝑳𝟏