ESTUDIO DE TRAFICO PARA EL DISEÑO DE TIPOS DE VIAS.pptx
Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)
1. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alumno: Alexander Edison Calsin Condori
Incremento De Esfuerzo Vertical
En Una Masa De Suelo (∆𝝈)
2. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alumno: Alexander Edison Calsin Condori
3. Mecánica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones)
Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alumno: Alexander Edison Calsin Condori
➢ Partimos De La Fórmula De La Carga Puntual:
∆𝝈 =
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅𝑹𝟓 ; 𝑹𝟐
= 𝒓𝟐
+ 𝒛𝟐
; 𝒓𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
; 𝒅𝒑 = 𝝎𝒅𝒙𝒅𝒚
➢ Integramos a lo largo de cada punto de la cargar uniformemente distribuida.
∫ 𝒅(∆𝝈) = ∫ ∫
𝟑𝝎𝒛𝟑𝒅𝒙𝒅𝒚
𝟐𝝅(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟓
𝟐
𝒙
𝟎
𝒚
𝟎
➢ Primero integramos respecto de x:
𝐈 = ∫
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅𝑹𝟓𝟎
𝒅𝒙 = ∫
𝟑𝝎𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟓
𝟐
𝒅𝒙
𝒙
𝟎
𝒙
𝟎
𝒂𝟐
= 𝒚𝟐
+ 𝒛𝟐
; 𝒄 =
𝟑𝝎𝒛𝟑
𝟐𝝅
𝐈 = 𝒄 ∫
𝒅𝒙
(𝒙𝟐+𝒂𝟐)
𝟓
𝟐
𝒙
𝟎
𝑰𝟏 = ∫
𝒅𝒙
(𝒙𝟐+𝒂𝟐)
𝟓
𝟐
;
Transformamos la integral definida a una integral indefinida para facilitar cálculos posteriores.
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➢ Ahora operamos y aplicamos la propiedad en el término siguiente:
𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏
(
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝟏−[
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
]
𝟐
)
= 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
)
Finalmente: 𝟐𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝒙𝒚
𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚
𝟐)… 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝝓
➢ Reemplazamos “𝝓” en la 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟑) tenemos:
∆𝝈 =
𝝎
𝟒𝝅
[
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐) + 𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒛𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐) − 𝒙𝟐𝒚
𝟐)]
Donde: 𝝎0 =
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)+𝒙𝟐𝒚
𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟐𝒛𝟐
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒙𝒚𝒛√𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐
𝒛𝟐(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)−𝒙𝟐𝒚
𝟐)
. 𝛁𝝈 = 𝝎𝝎0 donde; 𝝎0: Coeficiente de influencia (factor de influencia)
➢ Para los ábacos de Fadum reemplazamos {
𝒎 = 𝒙
𝒛
⁄
𝒏 =
𝒚
𝒛
⁄
tenemos:
. ∆𝝈 =
𝝎
𝟒𝝅
[
𝟐𝒎𝒏√𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
(𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏)+𝒎𝟐𝒏𝟐
𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟐
𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 (
𝟐𝒎𝒏√𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏
(𝒎𝟐+𝒏𝟐+𝟏)−𝒎𝟐𝒏𝟐)] ; Demostrado
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Esfuerzo debido a una carga lineal de longitud finita
➢ Partimos de la fórmula de la Carga puntual:
∆𝝈 =
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅𝑹𝟓 𝑹𝟐
= 𝒓𝟐
+ 𝒛𝟐
𝒓𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
➢ Integramos a lo largo de cada punto de la cargar linealmente distribuida.
∫ 𝒅(∆𝝈) = ∫
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅𝑹𝟓𝟎
𝒅𝒚 = ∫
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅(𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐)
𝟓
𝟐
𝒅𝒚
𝒚
𝟎
𝒚
𝟎
𝒂𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝒛𝟐
; 𝒄 =
𝟑𝑷𝒛𝟑
𝟐𝝅
∆𝝈 = 𝒄 ∫
𝒅𝒚
(𝒚𝟐+𝒂𝟐)
𝟓
𝟐
𝒚
𝟎
𝑰𝟏 = ∫
𝒅𝒚
(𝒚𝟐+𝒂𝟐)
𝟓
𝟐
; Transformamos a una integral definida para facilitar cálculos posteriores.
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Esfuerzo debido a un área circularmente
Cargada
𝝎: 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆
𝝎 =
𝒑
𝑨
;𝑨: 𝑨𝒓𝒆𝒂 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍
𝑷 = 𝝎𝑨
𝑷 = [𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶]𝝎 …(1)
𝒅𝑨 = 𝒅𝒓(𝒓𝒅𝜶)
𝒅𝑨 = 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜶
➢ Partimos de la fórmula de la Carga puntual:
∆𝝈 =
𝟑𝑷
𝟐𝝅
𝟏
𝒛𝟐 [
𝟏
𝟏+(
𝒓
𝒛
)
𝟐]
𝟓
𝟐
… (𝟐)
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DEMOSTRAR LA FÓRMULA
[
√
( )
(
√
( )
)]
APARTIR DE LA INTEGRACIÓN DOBLE: