Autor: Servio Tulio Guillén Burguete Fecha: 8 de febrero 2001

1. q?C
La decisión individual o en grupo como solución de
conflictos
Dr. Servio Tulio Guillén Burguete (sgbpumas.iingen.unam.mx )
Para ingresar como Académico de Número a la Academia Mexicana de Ingeniería
8 de febrero de 2001
Resumen
Decidir es resolver conflictos que en el nivel de las alternativas disponibles consisten
en tener que elegir una y desechar las demás, y que para resolverlos se trasladan a niveles
de objetivos, valores o intereses, tanto individuales como sociales. Consecuentemente, los
problemas de toma de decisiones, de elección social y de juegos, necesariamente
consideran mecanismos para resolver los conflictos que se presentan en sus respectivos
contextos, los cuales según el caso, van desde la "razón" de los individuos o grupos que
deciden, que en la jerga académica se le llama "racionalidad", hasta la negociación y el
arbitraje, pasando por mecanismos aleatorios, como el "volado", que garanticen cierta
equidad entre los miembros de un grupo. Se intenta identificar y comparar estos
mecanismos de solución de conflictos, lo cual ayuda a una visión unificada de diversas
teorías relacionadas con la decisión, los juegos y la elección social. En esta visión el
célebre teorema de imposibilidad de Arrow (1951) tiene una presencia preponderante,
pues hace explícitos conflictos entre valores propios de la democracia, que condenan a las
sociedades de seres racionales a que no todas elecciones sociales sean democráticas (al
menos hasta que alguien descubra un método para hacer comparaciones interpersonal de
la fuerza de la preferencia).
Introducción
La ciencia, manifestación por excelencia de la necesidad humana de conocer, no ha
olvidado de ningún modo esa actividad a veces íntima y en ocasiones social que
llamamos decidir, en la que los individuos y grupos tienen fatalmente que elegir
solamente uno de entre varios caminos alternativos para lograr sus objetivos. Hace más
de dos siglos el gran matemático y médico Suizo de origen Holandéz Daniel Bernoulli
(1738), autor del famoso "Principio de Bernoulli", inicio obligado para el aprendizaje de
la hidrodinámica, estudiando el comportamiento de los jugadores en los casinos, formuló
un modelo hasta ahora aceptado, que explica, en términos de una función, llamada de
utilidad, los distintos comportamientos de las personas ante el riesgo. Jean-Charles de
Borda (1781) al observar las elecciones en la Academia Francesa llegó a la conclusión
que el sistema de votaciones no siempre lleva a resultados que reflejan el consenso de los
electores, y poco después el Marqués de Condorcet (1785), filósofo, matemático y
revolucionario, en plena Revolución Francesa escribe un tratado sobre un tema que en
aquel momento era de gran actualidad, y que ahora también lo sigue siendo, de encontrar
un procedimiento que garantice una toma de decisiones en grupo que sea democrática, es
decir, que en todas las circunstancias se preserven valores como la equidad (igual trato),
la justicia (dar a cada uno lo que le pertenece) y la racionalidad (dotado de razón).
Las teorías y métodos que tienen que ver con las decisiones, particularmente los
modelos de la preferencia, tiene en general dos propósitos que se complementan, a veces

2. dificiles de separar, y que frecuentemente entran en conflicto. Por un lado hay un
propósito descriptivo, asociado a comprender cómo se toman las decisiones, que en su
forma extrema no intenta interferir en ellas, por irracionales o injustas que pudieran ser, y
por otro un propósito normativo, de prescribir cómo debieran ser las preferencias
individuales p los mecanismos que llevan a las decisiones colectivas, para que la
coherencia y otros valores, individuales o sociales, se preserven, o para que la preferencia
pueda ser representada mediante cierto tipo de modelo. Esta prescripción se hace
explícita mediante condiciones, que se acostumbra llamar axiomas, porque son puntos de
partida que se aceptan o no sin mediar demostración alguna. Por ejemplo, para que la
preferencia de un individuo se considere racional, resulta normal pedir que ella sea
asimétrica (si se prefiere a a b entonces no se prefiere b a a) y transitiva (si se prefiere a a
b y se prefiere b a c, entonces se prefiere a a c), porque si estas condiciones se violan la
preferencia dificilmente puede corresponder con una búsqueda de objetivos, y el
individuo es vulnerable a mecanismos que permiten a un agente externo aprovecharse de
las "irracionalidades" de su preferencia. A este respecto, hay que notar, sin embargo, que
no existe una convención universal para definir la racionalidad den el contexto de la toma
de decisiones, lo cual es innecesario porque las condiciones pueden cambiar de n
contexto al otro. También hay que notar que el calificativo de "irracional" tiene un
sentido técnico y no peyorativo; de hecho hay circunstancias en que aunque parezca
paradójico lo racional lleva a la irracionalidad (Fishburn, 1970).
La literatura sobre las decisiones tiene dos grandes vertientes, ambas importantes y
útiles para las aplicaciones, una empírica, que puede llamarse "informal", que aquí no
consideramos, constituida por reflexiones basadas en la experiencia de filósofos,
científicos, psicólogos, empresarios, especialistas en ayuda a la decisión, etc.(ver por
ejemplo J S Hammond et al), y otra, que puede llamarse "formal" o "científica",
constituida por métodos y modelos matemáticos que sintetizan lo que se podría llamar
conocimiento científico sobre la toma de decisiones.
Este ensayo intenta hacer explícitas diversas formas en que se presentan, trasladan,
resuelven y "resuelven" los conflictos propios de la toma de decisiones, según los tres
( grandes esquemas conocidos, a saber, la toma individual de decisiones, la elección social
y los llamados juegos, respectivamente. Esto no quiere decir que todas las situaciones de
toma de decisiones están adecuadamente modeladas por uno de estos esquemas, de hecho
la teoría tiene grandes huecos, como el que se refiere a la dinámica de las preferencias.
Como es de esperar, el primer apartado se dedica a las decisiones individuales,
concretamente a los modelos de preferencia, el cual muestra que el conflicto primario
entre las alternativas se traslada a espacios en los que la preferencia del tomador de
decisiones puede ser explorada, hacerse explícita y finalmente modelada, lo cual en
principio permite identificar esa "mejor" alternativa que se buscaba al principio. Este
primer apartado es indispensable para los otros dos porque las elecciones sociales y las
negociaciones son finalmente un sistema de decisiones individuales. Antes de ello una
aclaración: se considera que solamente los individuos deciden, por lo que al agruparse le
dan sentido a las decisiones en grupo, no a las decisiones de grupo. Los grupos y las
sociedades no deciden, sino que bajo las normas aceptadas por el grupo prefieren y eligen
sobre conjuntos de alternativas, como el formado por los candidatos a un puesto de
elección.

3. 3
Decisiones individuales
Por decisión individual se entiende un proceso que incluye: identificar o diseñar
cursos alternativos de acción para lograr ciertos objetivos, llamados objetivos de la
decisión, estimar la consecuencia correspondiente a cada curso de acción (usamos el
singular para agrupar todas las consecuencias asociadas a un curso de acción) y la
elección del "mejor" de estos cursos de acción, en el sentido de que el estimado de su
consecuencia es mejor que el de los otros cursos de acción. Algunas de estas fases del
proceso de toma de decisiones, en particular la estimación de las consecuencias y por
tanto del grado en que se logran los objetivos de la decisión, es asunto de áreas
específicas. De hecho, mucho del aprendizaje profesional es una capacitación para esta
fase de la toma de decisiones, en problemas concretos, como la construcción de puentes o
la cura de enfermedades.
Conviene clasificar a las decisiones individuales por la forma de los estimados de las
consecuencias: a) toma de decisiones bajo certeza, en que para cada curso de acción el
estimado de la consecuencia coincide con la consecuencia misma porque se conoce, o
porque las imprecisiones o dudas sobre las consecuencias no son relevantes para la
decisión; b) toma de decisiones bajo incertidumbre, en que para cada curso de acción el
estimado de la consecuencia es un conjunto de consecuencias, no habiendo una
distribución de probabilidad sobre dicho conjunto de consecuencias (porque, por ejemplo,
la consecuencia que ocurra depende también de decisiones de otro, situación estudiada
por la teoría de juegos); e) toma de decisiones bajo incertidumbre, en que para cada curso
de acción el estimado de la consecuencia es una distribución de probabilidad sobre el
conjunto de posibles consecuencias. Así, la preferencia del tomador de decisiones se
expresa sobre diversos tipos de conjuntos, el de las consecuencias si la toma de
decisiones es bajo certeza, el de los posibles subconjuntos de consecuencias si la toma de
decisiones es bajo incertidumbre, el de las distribuciones de probabilidad sobre
consecuencias, llamadas también loterías, si la toma de decisiones es bajo riesgo.
Para representar las preferencias usamos la siguiente notación. La preferencia débil
de la alternativa a sobre la alternativa b, significa que la alternativa a es al menos tan
preferida como la alternativa b y se denota por ab. Esta preferencia débil se puede
satisfacer de dos formas distintas, que la alternativa a sea estrictamente mejor que b, lo
que se llama preferencia fuerte o estricta y se denota por a>-b, o bien que entre ellas haya
indiferencia, lo que se denota por ab. Las preferencias de los actores que aparecen en
un determinado contexto se distinguen colocando subíndices a estos símbolos.
Los modelos de preferencia que se consideran a continuación tienen la característica
de estar axiomatizados, en el sentido de que se conocen las condiciones o axiomas que
debe cumplir la preferencia para que ella pueda ser representada por el modelo
correspondiente, sin que en los axiomas aparezcan conceptos o procedimientos ajenos al
acto mismo de preferir, propios de las herramientas de modelado, como podría ser los
números cardinales o los números borrosos. La axiomatización separa entonces
perfectamente el modelo de lo que se modela. Los siguientes dos axiomas están presentes
en todos los m modelos de preferencia que consideramos:
Independencia de alternativas irrelevantes: si algunas alternativas son eliminadas del
conjunto de alternativas A, entonces la preferencia sobre las alternativas que restan no
cambia.

4. 4
Orden débil: La relación de preferencia sobre el conjunto de alternativas es un
orden débil, es decir, la relación es completa (para todo par de alternativas a, b se cumple
que ab o bien que ba, o ambas, en cuyo caso a'-b) y transitiva (para alternativas a, b,
c cualesquiera, si ab y bc entonces ac).
Modelo ordinal
Un modelo ordinal de la preferencia sobre el conjunto A de alternativas es una
función real y sobre A tal que para todo par de alternativas a,b EA se cumple
ab su y(a) ~ v(b).
En este modelo, apropiado para toma de decisiones bajo certeza, cada alternativa aEA se
evalúa independientemente de las demás, dando una evaluación numérica y(a). La
función y se denomina función de valor y y(a) el valor de la alternativa a. La mejor
alternativa es la que hace máxima dicha función. Se puede comprobar directamente que
la función de valor no es única y que cualquier otra función sobre A también es una
función de valor sú está relacionada con y por una transformación monótona no
decreciente 1 . En otras palabras, la función y es única salvo transformaciones monótonas
no decrecientes, a la cual en teoría de la medición se denomina escala ordinal sobre A.
Ejemplos de este tipo de escalas son las usadas para medir calidad del aire, dureza de
materiales, etc.
Modelo de utilidad esperada
Sea un problema decisión bajo riesgo. Cada estimado de consecuencias es entonces
una distribución de probabilidad sobre el conjunto de consecuencias, C. El conjunto de
estas distribuciones de probabilidad se denota por P. El modelo de utilidad esperada tiene
la siguiente forma, donde u es una función real sobre C y a,beP dos alternativas
cualesquiera:
ab sú E(u, a) ~iE(u, b)
donde E(u, a) es el valor esperado de u para la distribución aEP,
E(u, a) = u(x)a(x) C discreto
XEC
E(u, a) = $u(x)da(x) C continuo
x€C
En este modelo la mejor alternativa es la que hace máximo el valor esperado de la
función de utilidad. La función de utilidad u no es única, pues por la linealidad del valor
esperado, cualquier otra función w sobre A es una función de utilidad su está relacionada
con u por una transformación afín positiva 2, por lo que de acuerdo con la clasificación de
escalas de la teoría de la medición, esta es una escala de intervalo sobre el conjunto A de
alternativas, que es el mismo tipo de escala en que se miden el tiempo del calendario, la
energía potencial y las escalas de temperatura no absoluta (centígrada y Fahrenheit). Al
considerar las ditribuciones de probabilidad que dan probabilidad uno a una alternativa,
resulta que toda función de utilidad es una función de valor. Sin embargo, no toda
w y y están relacionados por una transformación monótona no decreciente sú para todo a,bEA
v(a)~:v(b)w(a)~i w(b)
2
w y y están relacionados por una transformación afín positiva sú existen a, 3, cc'O, tal que w= cxu +

5. 11
función de valor es una función de utilidad (así como una transformación afin positiva es
una transformación monótona no decreciente, pero no recíprocamente).
Modelo aditivo de agregación de preferencias en problemas multicriterio
Un problema de toma de decisiones multicriterio consiste en que cada alternativa está
determinada por n atributos preferencialmente independientes desde el punto de vista de
las preferencias, de manera que respecto a cada atributo las alternativas en A se pueden
ordenar preferencialmente formando un orden débil. Los atributos que cumplen esto se
les llama criterios. Supóngase que el ordenamiento de cada criterio iEJ = {1, 2,..., n}
está dado por una función de valor y. Con solamente esta información sobre las
alternativas, el tomador de decisiones tiene que elegir la mejor. Este problema de toma de
decisiones se pude resolver mediante un procedimiento de agregación de criterios,
consistente en construir un orden débil que represente las preferencias del tomador de
decisiones, a partir de los n ordenes débiles correspondientes a los n criterios. Este
procedimiento de agregación de criterios puede representarse por una función y tal que
v(v j(.), v20,..., v(.)) representa este orden débil. Un procedimiento de agregación de
preferencias es aditivo si esta función tiene la forma
y(a) = v,(a)
¡El
La función aditiva de valor y no es única, pues se puede demostrar que (para dos o
más criterios) cualquier otra función aditiva sobre A
w(a) = w(a)
¡El
es equivalente a y su se relacionan por una transformación afin positiva, es decir, que
existen a, 13, a>O, tales que para todo iel se cumple w(a) = av,(a) + 13'.
Modelo de diferencia de valor
En las decisiones individuales multicriterio y en las decisiones en grupo aparece en
forma implícita o explícita algo que puede interpretarse como "fuerza de la preferencia".
Este tipo de relación binara está definida no sobre el conjunto de alternativas sino sobre
el conjunto de pares de alternativas y la denotamos por >-'. La expresión (a<—b)> '(c-cT)
significa que intercambiar b por a es preferido que intercambiar d por c. Bajo ciertas
condiciones, entre ellas que ' es un orden débil, esta relación se puede representar por
una función de diferencia de valor y sobre el conjunto de alternativas, en el sentido de
que si a, b, c, d son cuatro alternativas cualesquiera, se cumple
(a+-b) '(c+-d) su y(a) - y(a) ~ v(c) - v(d).
Se puede demostrar que la función de diferencia de valor y no es única, y que cualquier
otra función w sobre A es equivalente a y sú ellas están relacionadas por una
transformación afín positiva, por lo que la escala correspondiente es de intervalo.
Elecciones sociales
Elección social es un proceso tal que a partir de las preferencias de los n integrantes
de un grupo, sobre un conjunto dado y finito A de alternativas, se obtiene la preferencia
del grupo sobre este mismo conjunto de alternativas, a través de un procedimiento bien
definido, llamado constitución del grupo, o simplemente, constitución. En este proceso

6. cada individuo integrante del grupo revela su preferencia proporcionando el orden que
daría a las alternativas si él fuera el único responsable de elegir la mejor acción. Sea ?, el
orden débil que representa la preferencia del individuo i; a>-1b denota que para él a es al
menos tan preferida como b. Por ejemplo, si el conjunto de alternativas es {a,b,c,d,e} y
él cumple el orden débil a >- i d - b>-i e >-• c, entonces es abreviatura de esta cadena de
declaraciones. Ocasionalmente se muestran las preferencias del individuo en términos del
orden de la opción, así, a>- ,d b >- ie>- 1 c equivale a
1eta
opción : a
2a
opción : d, b
4' opción: e
5a opción : e.
Al conjunto de ordenamientos de los distintos individuos se le llama perfil de
preferencia del grupo o simplemente perfil. En estos términos, el problema se enuncia
formalmente como sigue. Dado un perfil, es decir, las preferencias , i=], 2..., n de los
n individuos, el problema es prescribir cómo derivar de ellas un orden de preferencias
para el grupo como un todo. Escribiremos g para este orden y, por supuesto, a gb para
declaraciones particulares de la preferencia del grupo. La constitución del grupo es el
sistema o mecanismo de votos por el cual i, , ..., se combinan para dar Esta
terminología enfatiza la intención de proveer un medio para construir g a partir de
cualquier orden de preferencia >-j,
La constitución más simple y aceptada para llegar a un acuerdo de grupo es la regla
de la mayoría simple, según la cual un grupo debería, como un todo, estrictamente
preferir a sobre b si la mayoría de sus miembros prefieren a a sobre b. Si el mismo
número prefiere a a sobre b, que b sobre a, entonces el grupo debe ser indiferente entre a
y b. Los miembros que son indiferentes entre a y b no son contados, por lo que no afectan
la preferencia del grupo.
Condorcet (1785) mostró con el siguiente ejemplo que esta regla tiene problemas:
sean tres individuos con tres alternativas a, b, e, los cuales cumplen las siguientes
preferencias estrictas:
individuo 1: a >- 1 b >- 1 C.
individuo 2 : b >- 2 C a.
individuo 3: e > 3 a > 3 b.
Usando > g para indicar la preferencia estricta para el grupo, la regla de la mayoría
simple conduce a lo siguiente:
a > g b (2 de 3 prefieren a sobre b)
b e (2 de 3 prefieren b sobre c)
e > g
a (2 de 3 prefieren c sobre a)
Por tanto, la preferencia del grupo resulta intransitiva, propiedad calificada de irracional
porque, igual que una preferencia individual intransitiva, ella puede ser aprovechada para
objetivos ajenos a esa preferencia. Por ejemplo, si las alternativas a, b, e son objetos
sujetos a intercambio económico, entonces quién posea dichos objetos se puede

7. 7
beneficiar indefinidamente mediante sucesivas transacciones: si el grupo posee a
entonces está dispuesto a pagar algo por cambiarlo por c, después de lo cual está
dispuesto a pagar algo por cambiarlo por b, después de lo cual está dispuesto a pagar algo
por cambiarlo por a, y así sucesivamente, mostrando con ello un comportamiento
irracional. En este caso particular esta "irracionalidad" de las preferencias del grupo se
puede resolver argumentando que, dado que las preferencias de los individuos son
simétricamente opuestas, el grupo como un todo debería ser indiferente entre las tres
alternativas. Para haber llegado a la solución anterior todos los individuos debieron
manifestar su preferencia sobre todas las alternativas; es decir, se debió conocer el perfil
del grupo para que las alternativas fueran comparadas simultáneamente.
Sin embargo, en la práctica las alternativas no se comparan simultáneamente, lo cual
introduce un elemento arbitrario en la constitución, el cual puede llegar a definir el
resultado de la elección: En la práctica es frecuente el siguiente procedimiento, el grupo
primero ordena las alternativas arbitrariamente, después proceda a comparar las
alternativas por pares, empezando por las dos primeras de este ordenamiento arbitrario, la
menos preferida se elimina y la otra se compara con la que sigue, hasta que todas han
sido eliminadas, excepto la ganadora. Esto es más económico que manejar el perfil del
grupo. Sin embargo, si las votaciones son reñidas esta constitución puede dar lugar a las
siguientes dos situaciones indeseables, las cuales se ilustran con el perfil del ejemplo de
Condorcet:
El resultado de la elección depende del orden arbitrario en que se examinen los
pares de alternativas: para el orden de comparaciones a, b, c gana c; para el orden
b, c, a gana a; para el orden a, c, b gana b.
El resultado de una votación es mejor para un individuo si miente que si vota
honestamente, lo que se llama voto táctico: si en el orden de votaciones a, b, c el
individuo 1 vota honestamente entonces, según el inciso anterior gana su peor
opción, c, pero si sabe de las preferencias de los individuos 2 y 3, entonces él
puede calcular que le conviene declarar b >- a>- 1 c, porque entonces el grupo
selecciona su segunda opción, b.
Estos inconvenientes no son propios de la regla de la mayoría simple. Todos los
esquemas de votos tienen el potencial para conducir a un comportamiento de grupo
"antidemocrático" o "irracional", como resulta del célebre teorema de Arrow:
Teorema de imposibilidad de Arrow
Teorema de Arrow. No existe una constitución que cumpla los siguientes axiomas:
Al. Ordenamiento débil: i, 2, ..., y son todos ordenes débiles, es decir, cada
relación binaria es completa y transitiva.
No trivialidad: Hay al menos dos miembros del grupo y más de tres alternativas.
Dominio universal: La constitución define g cualesquiera que sean
Independencia de alternativas irrelevantes: Suponga que algunas alternativas son
eliminadas del conjunto A. Si ningún individuo cambia sus preferencias entre las
alternativas que restan, entonces la preferencia del grupo sobre estas alternativas no
cambia.

8. 8
Principio de Pareto para preferencias estrictas: Sipara cada individuo i a>-1 b,
entonces el grupo cumple a>-g b.
Ningún dictador: No hay ningún individuo cuyas preferencias automáticamente se
conviertan en las preferencias del grupo independientemente de las preferencias de los
otros miembros del grupo.
El teorema afirma que para cada posible constitución existe al menos un conjunto de
posibles preferencias individuales tal que la construcción de g viola al menos un
axioma. Toda constitución tiene el potencial ser injusta o irracional.
Este resultado es para muchos desagradable y alarmante, porque aparentemente dice
que no existen sistemas de votación u otros método de agregación de la preferencia que
sean inequívocamente democráticos. Además, su esfera de influencia es más amplia de lo
que parece a primera vista. No escapan a sus implicaciones los sistemas de votación
usados en la práctica, alegando que ellos no requieren que los votantes declaren su
jerarquía completa de preferencia, sino solamente su primera o segunda opción. En la
formulación de Arrow la preferencia del grupo se obtiene por algún procedimiento de
agregación de los órdenes individuales, i, , ..., . Si en tal agregación parte de la
información acerca de los órdenes individuales no se usa, no importa, el teorema de
Arrow aún se aplica. Se aplica tanto en votaciones abiertas como secretas y sin importar
si las preferencias de los individuos tienen el mismo peso. Se aplica aún en el caso en que
los votantes desconozcan que están votando (como cuando ellos "revelan sus
preferencias" decidiendo comprar o no bienes a ciertos precios, con lo que los precios,
una vez que se ajusten a sus niveles de equilibrio, pueden verse como una elección
social).
Por lo anterior es entendible el gran esfuerzo que se ha dedicado en intentar
argumentar que ciertos axiomas de Arrow son inapropiados, que ellos no captan los
principios de equidad, democracia y justicia que se supone representan, y que, cuando
son modificados o descartados, la imposibilidad desaparece. Se comentan a continuación
cada uno de los axiomas de Arrow, excepto el del dominio universal, que se considera en
la siguiente sección. Se empieza por el menos controversial de los axiomas.
La inexistencia de dictadores es un axioma incontrovertible para la democracia y no
amerita comentarios. Unanimidad: si cada miembro prefiere a sobre b, entonces el grupo
debe preferir a sobre b. El principio de Pareto tiene un lugar central en la teoría de las
democracias, pues si los individuos prefieren a a b de manera unánime, entonces el grupo
como un todo también. Con argumentos matemáticos más sutiles, gran parte del resultado
de Arrow puede ser deducido sin utilizar el principio de Pareto en ninguna de las
versiones, por lo que este axioma no es la causa de la imposibilidad (Wilson 1972). La no
trivialidad está también libre de polémicas.
El axioma de "orden débil" es el más controversial. Primero, muchos argumentan que
las personas reales no son ideales de racionalidad, como observan Brandstatter et al
(1982) y Coman (1982). Sus preferencias pueden ser incomparables o intransitivas; pero,
siempre que ellas puedan suministrar la información necesaria para el sistema de
votación, cruzando una boleta o como sea, lo importante es que el sistema agregue sus
votos honestamente. Así, la condición de que las preferencias i, , ... , sean órdenes
débiles debería ser eliminada. Aunque desde el punto de vista descriptivo la tesis detrás
de esta sugerencia es atractiva, en realidad no remueve la imposibilidad porque a los

9. 01
individuos no se les puede impedir tener preferencias comparables y transitivas. En caso
de que no lo hagamos, la imposibilidad implícitamente continuará. En todo caso este
camino lleva a que solamente sociedades de individuos irracionales pueden ser
democráticas. Segundo, habría que preguntar si se necesita que sea un orden débil, y
si no sería suficiente para el grupo identificar las mejores opciones sin jerarquizar las
restantes. Sin embargo, en presencia del principio de independencia de alternativas
irrelevantes, encontrar una o varias mejores opciones es equivalente a encontrar una
jerarquía del grupo de decisión, y por ello g debiera ser un orden débil. Se ha dicho que
el procedimiento de agregación debería conducir no a un orden débil del grupo, sino a un
conjunto de elección del grupo, un conjunto entre las cuales la elección pudiera ser
tomada un poco arbitrariamente sin ningún riesgo de una elección no democrática. Se ha
encontrado que hay justamente la misma imposibilidad para definir tanto el conjunto de
elección como el orden débil del grupo (Plott, 1976).
En lo que toca al axioma de independencia de alternativas irrelevantes, desde un
punto de vista normativo no hay razón alguna que apoye que la preferencia de un grupo
entre dos alternativas debiera ser dependiente, de alguna manera, de la presencia de una
tercera.
Dos caminos para darle la vuelta al teorema de Arrow.
Para escapar a la imposibilidad del teorema de Arrow quedan solamente dos
caminos, los cuales se refieren a la constitución, uno es restringir su dominio a perfiles
"menos conflictivos" y el otro, ampliar el concepto de constitución en el sentido que
utilice más información preferencial que solamente el perfil del grupo, concretamente,
que use comparaciones interpersonales de la fuerza de la preferencia. Estas dos
posibilidades se consideran a continuación.
Restringir el perfil: preferencias unimodulares.
Sería deseable que una constitución democrática pudiera prescribir la preferencia del
grupo para cualquier conjunto concebible de preferencias individuales, por disparatadas
que fueran. Este deseo está expresado en el axioma del "dominio universal", que
demanda que cualesquiera que sean las preferencias individuales , la preferencia del
grupo g debe estar definida. Sin embargo, existen argumentos pragmáticos para relajar
este axioma. En realidad, aunque un conjunto particular de órdenes de preferencia ,
pueda ser concebible, podría ser que su ocurrencia sea muy improbable, pues
los grupos no se forman de manera totalmente aleatoria, sino que se conforman por algún
interés común. Esto sería aplicable a los miembros de un grupo directivo, quienes
comparten el interés por el éxito de la institución o compañía a la que pertenecen, aunque
tuvieran visiones muy diferentes acerca de qué es lo mejor para lograrlo. Similarmente,
en otros tipos de comités y grupos, las preferencias de sus miembros están probablemente
correlacionadas por algún interés común. Incluso en el contexto de las naciones, donde
los miembros están reunidos en virtud de una variedad de accidentes geográficos e
históricos, se puede argüir que existen valores universales que nutren un interés común y
que por tanto correlacionan las . De esta manera, habría que explorar si no se pierde
mucho si el axioma en cuestión fuera rehecho para restringir la atención a aquellos
perfiles que parezcan plausibles porque los conflictos inherente no son "demasiado
grandes".

10. lo
Un intento de restringir el dominio de los ordenamientos individuales en una forma
plausible, es pidiendo que el perfil cumpla la llamada condición de unimodularidad (un
solo máximo), definida como sigue: existe un ordenamiento de las alternativas, llamado
orden descriptivo subyacente, de modo que al recorrer las alternativas en ese orden o el
opuesto, a partir de la mejor alternativa, la preferencia se decrementa estrictamente hasta
alcanzar el extremo correspondiente, es decir, la gráfica de una función de valor que
modelara esta preferencia mostraría un solo máximo local al usar dicho orden subyacente
como eje horizontal. El orden descriptivo subyacente es común para todos los individuos,
pero sus órdenes de preferencia pueden diferir. La importancia de la condición de
unimodularidad es que si el número de miembros de un grupo es impar y sus preferencias
satisfacen dicha suposición, entonces la regla de la mayoría simple satisface el resto de
los axiomas de Arrow (Black (1958)). La imposibilidad parece desvanecerse, pero la
necesidad de un número impar de miembros del grupo sugiere que la unimodularidad no
es esencial en la búsqueda de una agregación democrática de preferencias. Se han hecho
esfuerzos por encontrar otros caminos para restringir el dominio de manera que g esté
definida solamente para algunos patrones plausibles de conflicto dentro de , 2,..., .
Desafortunadamente no se han encontrado aún restricciones convincentes, y quienes las
han buscado solo han encontrado nuevas formas de imposibilidad (Plott, 1976).
Usar más información sobre las preferencias: fuerza de la preferencia
La estrategia ahora es incluir en la constitución información adicional al solo
ordenamiento de las alternativas, concretamente la fuerza de las preferencias de los
miembros del grupo, cuidando que esta información o su obtención no contradigan los
axiomas de Arrow. La obtención de una función de diferencia de valor, la cual, como se
recuerda, modela la fuerza de la preferencia para un individuo, requiere introducir un
continuo que incluye alternativas inexistentes, las cuales podrían modificar las
preferencias sobre las alternativas reales. Una interpretación superficial puede concluir
que esto viola el axioma de la independencia de las alternativas irrelevantes, pero no es el
caso, porque la introducción de alternativas ficticias en la construcción de la función de
diferencia en preferencia se da en un proceso de aprendizaje y no de elección, siendo a
este último al que se le pide el cumplimiento de dicho axioma. Supóngase entonces que a
cada miembro del grupo se le pide establecer su función de diferencia de valor para las
alternativas; ¿podemos agregar éstas en una función de valor del grupo de una forma que
sea consistente con el espíritu de los axiomas de Arrow? La respuesta es afirmativa:
Teorema.
Sean vj(.), v20,. . . ,v,(.) funciones de diferencia de valor de los n miembros del grupo.
Sea vg(.......)
una función diferenciable n dimensional tal que al menos dos derivadas
parciales son positivas en todo su dominio y ninguna es negativa en ningún lado.
Entonces definiendo g por
a g b Vg (vi (a)),v2(a),. . . ,v(a)) ~ vg (vi (b),v2(b),. . . ,v(b))
resulta un procedimiento de agregación grupal que satisface lo siguiente:
(i) Orden Débil. g es de orden débil.
(ji) No trivialidad. g es definido para cualquier número de alternativas
(iii) Dominio Universal. g está definida cualesquiera que sean las funciones de
dferencia de valor vj(.),v2(.). .... v(.) dadas por los miembros del grupo.

11. 11
(iv) Relevancia Binaria. El ordenamiento de cualquier par (real!) de las alternativas
no depende de cuáles otras alternativas son factibles.
(y) Principio Pareto. Si, para todo individuo v'(a)>v(b), entonces a
(vi) No dictadura. No existe ningún individuo tal que para todos los pares de
alternativas, a, b, cuando él prefiere a sobre b, aunque sea ligeramente, el grupo
cumple a>-gb, cualquiera que sea la preferencia de los otros miembros.
Demostración en French (1988)
Keeney (1976) prueba un teorema muy similar a este. De hecho demuestra que si se
pide que vg (.,.. . . ,.) sea diferenciable, entonces la no negatividad de todas las derivadas
parciales, junto con la positividad de dos de ellas, son ambas suficientes y necesarias para
que se cumplan estas seis propiedades. La condición de "sólo dos derivadas parciales" es
un poco extraña; proscribe dictadores, pero permite que dos miembros del grupo puedan
formar una coalición dictatorial. Un requisito más natural sería que todas las derivadas
parciales fueran positivas.
Este teorema sugiere que si los miembros del grupo "votan" considerando sus fuerzas
de preferencia para las distintas alternativas, por medio de las funciones de diferencia de
valor, entonces existen procedimientos de agregación de preferencias que son acordes
con el espíritu de los axiomas de Arrow. Sin embargo, antes de festejar hay que notar una
afirmación muy importante implícita en el enunciado del teorema, de que es posible
comparar la fuerza de preferencia de una persona con la de otras, es decir que se pueden
responder preguntas del tipo ¿el individuo i prefiere a sobre b más de lo que el individuo
j prefiere c sobre d? Por ahora no existe ningún método satisfactorio de hacer
comparaciones interpersonales de preferencia, por lo que el teorema anterior no parece
dar una respuesta a la búsqueda de la democracia. De hecho, Arrow formuló el problema
de la elección social en términos de ordenes débiles, precisamente porque él pensó, como
muchos, que las comparaciones interpersonales no tienen sentido (Arrow, 1951, 1984).
Sin embargo, otros más pragmáticos argumentan que como no hay manera de avanzar, a
menos que se permitan comparaciones interpersonales, este camino debe ser seguido por
tortuoso que sea.
Antes de pasar al siguiente apartado, en busca de la democracia, como mnétodo pára
la solución de conflictos conviene observar en la elección social todos y cada uno de los
miembros toman su decisión votando sobre exactamente el mismo conjunto de
alternativas. Esto conduce a que la elección social tenga una estructura similar a una
decisión individual multicriterio, ya que se puede hacer corresponder a cada miembro del
grupo con un criterio y la constitución con el procedimiento de agregación de criterios. El
teorema de imposibilidad de Arrow se puede interpretar en el contexto multicriterio,
como que cualquier procedimiento de agregación de criterios que no sea trivial, es decir,
que no contenga un criterio "dictatorial", para que sea compatible con la racionalidad
expresada por el resto de los axiomas, debe utilizar más información que solamente los
ordenamientos del conjunto de alternativas según los distintos criterios (,equivalente a
una fuerza de la preferencia?). Otra similitud interesante es la presencia de escalas de
intervalo, por un lado en la agregación de funciones de valor en el caso aditivo, para la
toma de decisiones multicriterio, y por el otro en las funciones de diferencia de valor,
relacionadas con la fuerza de la preferencia, pertinentes en la elección social.

12. 12
Juegos, negociación y arbitraje de Nash
Otra situación en la que varios individuos toman decisiones, diferente y más
compleja que la elección social, es una que se denomina juego, en la que cada miembro ¡
del grupo, llamado ahora jugador, es un tomador individual de decisiones con su propio
conjunto A 1 de posibles acciones alternativas, llamado especio de estrategias, y su propio
conjunto de consecuencias, C, solo que ahora la consecuencia cC1 que sufre cada
jugador depende no solo de su decisión a 1EA1, aquí llamada estrategia, sino también de
las estrategias de los demás jugadores. Para reducir la complejidad del problema se
supone que cada consecuencia de un jugador i, c, es un número real, que por convención
representa un pago. En este caso, un juego de n jugadores está dado por n parejas (A 1, K1)
(i = 1, . . . ,n) de conjuntos A y de funciones reales K1 sobre el producto cartesiano de los
conjuntos A 1, llamadas funciones de pago, donde K (aj, ..., a) es el pago del jugador i
dado que cada jugador j tomó la estrategia a EA 1,. Un juego en el que conviene a los
participantes formar alguna coalición para elegir sus respectivas estrategias, que
posiblemente incluye compartir pagos, se llama fue go cooperativo, en caso contrario se
denomina juego no cooperativo. Nos interesa solamente el primer caso, en que los
jugadores pueden encontrar ventajas mutuas por cooperar de alguna manera.
A partir de aquí nos restringimos a la teoría de negociación de Nash (1950) entre dos
jugadores, la cual es por mucho la más conocida, discutida e investigada de las teorías
sobre la negociación. Nash considera el siguiente esquema de negociación.. Dos
individuos, llamados 1 y 2, tienen funciones de utilidad u1(.) y u2(.), respectivamente,
sobre los pagos que pueden resultar de sus negociaciones. Se supone que las funciones de
utilidad uj(.) y U2(.) modelan sus preferencias en todos los detalles relevantes, incluyendo
los que tuvieran que ver con la propia negociación. Cada arreglo o negociación posible
está dado por un punto (x, y) en el plano real, cuyas coordenadas son las utilidades
esperadas de los individuos 1 y 2, respectivamente. Los dos individuos conocen el
conjunto de los posibles puntos de acuerdo, llamado región factible, R, dentro del cual se
encuentra un punto particular (x c, yc), conocido como el status quo, punto de conflicto o
punto de desacuerdo. Si 1 y 2 llegan a un acuerdo sobre un punto en R, entonces ellos
actuarán según lo que corresponda, con lo cual sus utilidades esperadas serán las dadas
por el punto convenido, pero si no llegan a un acuerdo, entonces, por defecto, sus
utilidades esperadas serán dadas por el punto de desacuerdo. Se supone que todo acuerdo
se cumple.
Con todas sus limitaciones, propias de modelar un sistema muy complejo, el esquema
de Nash permite encontrar condiciones de racionalidad y simetría que garantizan que
existe un único punto (x '',
y*) al cual los jugadores o negociadores eventualmente
llegarán, llamado el punto de acuerdo, y que puede ser determinado resolviendo un
problema de optimación. De esto se ocupa el siguiente teorema, el cual usa el concepto
de conjunto de negociación o conjunto de regateo, definido como la parte de la frontera
óptima de Pareto de R que domina al punto del status quo (fig 1), donde la dominación es
la relación:
(x, y) domina a(x', y') si (x > x',y ~ y') o (x ~ x',y >y')
(En el siguiente enunciado no se hace explícito que el conjunto R es cerrado, convexo y
acotado o, más precisamente, que la parte de la frontera óptima de Pareto, a la cual se
restringe la búsqueda, es continua y de extensión finita.)

13. la
13
IR
Fig 1. Negociación de Nash
Teorema de Nash
Teorema de Nash. Si el conjunto de negociación no es vacío y se cumplen los axiomas
A1-A4 siguientes, entonces existe un único punto (x, y) que hace máxima la función (x -
xc)(y - Ye) sobre R:
Al. Restricción a la frontera de Pareto. Los únicos posibles puntos de acuerdo son los
del conjunto de negociación, es decir, los que están en la frontera de Pareto y dominan al
status quo.
Simetría. Si la región factible es simétrica, es decir, (x, y) E R <=> (y, x) E R, y si el
status quo es simétrico, es decir, Xc = Yc, entonces el punto sobre el cual ellos acuerdan es
simétrico, es decir, x -
Invariabilidad bajo representaciones estratégicamente equivalentes. Sea un "nuevo"
problema de negociación obtenido del original transformando Ui(.) y u2(.) por una
transformación afin:
u(.)=a1u1 (.)+/31 ; u(.)=a2u2 (.)+ fil.
donde a1 , a2 >0. Entonces (aix* + fi ,a2y + fi2) es el punto en el cual ellos acuerdan
en el nuevo problema, donde (x*, y*) es el punto en el cual ellos acuerdan en el problema
original.
Independencia de las alternativas irrelevantes Si para dos problemas de negociación
se cumplen: a) la región factible del segundo es un subconjunto del primero, R'(-- R; b) el
punto del status quo (xc, Ye) es el mismo para ambos problemas, (x c, y)ER'; y c) el punto
(x*, y*) sobre el cual los negociadores acuerdan en el primer problema, también se
encuentra en R', entonces (x *, y*) es también el punto de acuerdo en el segundo
problema.

14. 14
Se encuentran demostraciones de este teorema en Nash (1950), Harsanyi (1977), Jones
(1980) o Thomas (1984).
Es de esperar que la interpretación descriptiva del teorema de Nash, de que los
negociadores por si solos llegarán al punto de acuerdo ( x*, y*) que indica el teorema,
tiene pocas posibilidades de éxito, pues los negociadores rara vez podrán ser tan
racionales como los axiomas suponen. La interpretación normativa es la que interviene
como marco para la negociación. A continuación se comentan los axiomas.
Al. La optimalidad de Pareto no es controversial desde el punto de vista normativo,
ya que todo jugador que sea racional restringirá su atención al conjunto de negociación.
Sin embargo, se puede argumentar que desde el punto de vista descriptivo esta es una
suposición incorrecta porque los procesos reales de negociación parecen terminar con
acuerdos que no son un óptimo de Pareto. A esto se puede replicar que los problemas
reales de negociación son tan complejas que la identificación de la frontera de Pareto es
en sí misma una tarea extremadamente dificil, e inexacta, porque, digamos, la falta en el
modelo de algún atributo de importancia, puede sugerir falsamente que el punto
seleccionado no es un óptimo de Pareto.
A2 El axioma de simetría expresa que si el problema es simétrico con respecto a los
dos individuos, entonces también lo es su acuerdo. La racionalidad detrás de esta
suposición es simple. Si cada uno espera que el otro sea tan racional como él mismo,
entonces cada uno debe esperar que sus tácticas de negociación sean exactamente las del
otro. Entonces, por la simetría de la región factible cada uno debe esperar llegar a un
arreglo simétrico. Hay que observar que en esta suposición la simetría es en términos de
utilidades esperadas, lo que no implica simetría en términos de los pagos físicos.
El axioma de invariabilidad bajo representaciones estratégicamente equivalentes,
es necesario para que sean coherentes el que un punto de acuerdo es una pareja de
utilidades esperadas y el que dos funciones de utilidad relacionadas por una
transformación afín necesariamente modelan la misma preferencia. Este axioma implica
que en la negociación no interviene ninguna comparación interpersonal de la fuerza de la
preferencia.
El axioma de independencia de las alternativas irrelevantes se debe cumplir en el
contexto de la negociación si es que las preferencias de los negociadores lo cumplen en
sus respectivos contextos.
Considérense dos negociadores que utilizan el esquema de Nash porque aceptan la
racionalidad del análisis de utilidad esperada, cada uno está convencido que los otros
axiomas de Nash codifican principios de racionalidad colectiva que se debieran seguir y
porque su problema se puede formular dentro del esquema correspondiente. Entonces, en
vez de perder tiempo negociando de una manera desestructurada, ellos podrían acordar
aplicar el procedimiento de Nash para prescribir un punto de acuerdo. En este contexto,
llamado de negociación, para distinguirlo del que consideramos a continuación, la teoría
de Nash sirve para aconsejar a cada individuo dónde él deberá esperar que estuviera el
punto de acuerdo si él cree que el otro es justamente tan racional como él mismo.
En este contexto, las funciones de utilidad empleadas deben representar sus
preferencias individuales y no más, y se supone que cada negociador intenta llegar a un
punto de acuerdo tal que el valor de el valor de su utilidad esperada sea la máxima. Los
negociadores tienen total libertad para elegir la escala y el origen de sus funciones de

15. 15
utilidad. También se supone que las funciones de utilidad u1 (.)
y u2 (.) de los individuos
son conocidas por ambos, para que ellos puedan verificar el cumplimiento de los axiomas
y calcular el punto de acuerdo previsto por el teorema. El individuo 1 sabe, o puede
calcular su función de utilidad u1 (.), pues representa sus propia preferencia, pero el
individuo 2 puede conocer u1 (.) solamente si el individuo 1 honestamente se la revela.
Las dificultades empiezan del hecho de que se puede demostrar que en general un
negociador toma ventaja si revela una función de utilidad más propensa al riesgo, es
decir, más convexa que la verdadera (Roth, 1979; Peters y Tijs, 1981), por lo que el
procedimiento de negociación de Nash desalienta al individuo 1 a ser honesto, justo como
la regla de la mayoría simple anima al voto táctico en el ejemplo de Condorcet.
El incentivo a ser deshonesto es importante, porque entonces sería irracional ser
honesto. Para resolver este conflicto se podría pensar en que ambos negociadores
establecieran un sistema de recompensas para que la racionalidad individual anime a ser
honesto, y con ello que cada individuo revele sus verdaderas creencias. Pero para que un
sistema de estos funcione se requiere que las recompensas excedan los beneficios que el
individuo puede alcanzar negociando, lo cual en general resultará excesivamente caro. En
vez de tal sistema de recompensas se podría pensar en que hubiera una confianza mutua
tal que cada individuo crea que el otro es honesto, por lo que entonces el procedimiento
de Nash parecería prescribir un punto satisfactorio de acuerdo. El problema para un
negociador es que, si cree en la honestidad de su oponente, entonces necesariamente
creerá en su irracionalidad, en cuyo caso querrá negociar de manera tal que aprovechara
su irracionalidad, lo que es contrario al tenor general del enfoque de Nash. Están en
conflicto difícil de salvar la honestidad y al racionalidad.
Supóngase que por las dificultades anteriores, o por las que sean, los dos
negociadores llegan a un desacuerdo. Puesto que ambos son conscientes de que cualquier
punto en el conjunto negociador es mejor que el punto del status quo, ellos pueden
decidir salir del punto muerto pidiendo a una tercera persona, llamado árbitro, que
interprete los axiomas de Nash como principios codificadores de una negociación
equitativa, justa y racional, e imponga el punto de acuerdo ( x *, y*) de la teoría de Nah
como la solución arbitradadel descuerdo. A este contexto se le llama arbitraje.
En el contexto del arbitraje esta necesidad de determinar previament3 el punto del
status quo,no es tan clara,
Ejemplo 1. Negociar para compartir el riesgo
Este ejemplo ilustra cómo sería la negociación en el contexto de Nash de dos
individuos que en forma aislada no están dispuestos a enfrentar un riesgo, pero sí en
forma compartida. Sean dos individuos A, B cuyas funciones de utilidad sobre el dinero
son respectivamente
í4x+60 si x<-20
u (x) y UB (100) +1 u1 (-60) = —10
x si x > —20
2
y un negocio que requiere una inversión inicial de 60$, y cuyo pronóstico indica una
probabilidad 0.5 de perder dicha inversión inicial y una probabilidad 0.5 de ganar 160$
(por simplicidad, considerar precios constantes). Este negocio equivale a una lotería que
da probabilidad 0.5 de ganar 100$ y probabilidad 0.5 de perder 60$, lo que se denota por

16. 16
(1 ,-60$; ,i oos)
Ninguno de los individuos A, B entraría solo a este negocio porque en ambos casos la
utilidad esperada de no entrar, es decir, del estatus quo, dada por UA(0)=O, UB(0) = O es
mayor que la utilidad esperada por entrar al negocio:
— uA (- 60)+ — uA (l00)= - 40, — uB (- 60)+ — uB (100)= - 10
A partir de estos datos determinemos la región factible, la cual está formada por el
del status quo, que en este caso es el punto (0, 0), y los puntos de acuerdo (x, y) en que es
atractivo para ambos entrar al negocio compartiendo los gastos y las eventuales
ganancias, donde (x, y) significa que para obtener los 60$ de inversión inicial el individuo
A aporta x y el individuo B aporta 60 - x, y que de los 100$ de ganancias netas, si las
hubiera, el individuo A recibirá y, mientras que B recibirá 100 -
y. Un punto de acuerdo
(x, y) es factible si ambos individuos tienen una utilidad esperada mayor que la del status
quo, que en este ejemplo significa
1 1
EuA (x,y) = —u(—x)+—u(y) ~> 01
Eu(x,y)= u(-60+x)+'uJ (100—y)>0.
Para aplicar el esquema de Nash a este problema es necesario expresar los puntos de
acuerdo no en el plano (x, y) de la distribución de los gastos y las ganancias entre los
jugadores, sino en el plano (EUA, EUB) de las utilidades esperadas. Después la región
factible en este plano está formada por los puntos (EuA(x, y), EUB(X, y)) que pueden ser
alcanzados por alguna repartición (x,y) que da valores esperados no negativos. Después
de unos cálculos (White, 1976), se llega a que la región factible es el triángulo AOB con
vértices A(0, 10), 0(0, 0), B(10, 0). El vértice A(0, 10) es donde A obtiene su máxima
utilidad esperada, el punto 0(0, 0) es el status quo y el vértice B(10, 0) es donde B
obtiene su máxima utilidad esperada, respectivamente (fig 2).

17. región facti
punto s
quo
17
Fig 2. La región factible en el espacio (EUA, EUB)
Es evidente que ambos individuos estarán siempre de acuerdo en moverse sobre la
región factible en direcciones en que ninguno de los valores esperados disminuye, es
decir, hacia la derecha y hacia arriba. Resulta entonces que el acuerdo al que se llegue
será necesariamente estará en la línea AB, que es precisamente el conjunto de negociación
en este problema. Esto implica, por ejemplo, que el punto (2, 6), que se obtiene para
x=24, y =40, nunca será el punto de acuerdo porque al no estar en la línea, existen otros
mejores para ambos individuos.
El individuo A prefiere estar lo más cerca posible del punto A, mientras B prefiere
estar lo más cerca de B que se pueda. Sus preferencia están en conflicto. Por cumplir los
axiomas correspondientes, este ejemplo se ajusta al esquema de negociación de Nash, el
cual pronostica que el punto de acuerdo es el que hace máximo (x - x)(y - yc), que en
nuestro ejemplo es el que tiene utilidades esperadas (5,5). Este punto corresponde a que
los individuos A y B enfrentan respectivamente las loterías
<1,20$;1,30$> y
Este ejemplo confirma que la simetría en las utilidades no implica simetría en los pagos.
Ejemio 2. La batalla de los sexos
El siguiente ejemplo, conocido como la batalla de los sexos, ha sido usado en
diversas variantes para discutir asuntos sobre los juegos y la negociación: Dos
enamorados están comprometidos y usualmente van a todos lados juntos. Casualmente el
varón, que llamaremos simplemente él, encuentra accidentalmente dos boletos para la
final de fútbol, juego que, siguiendo el estereotipo cultural usual, a él le apasiona pero a
ella le parece detestable. Para su desgracia, su novia, que llamaremos sencillamente ella,
con la esperanza de introducir a su novio en la ópera, la cual a ella la enloquece pero a él
le parece aburridísima, compra dos boletos para la única función de su ópera preferida sin
saber de los planes de él, la cual será presentada justamente la misma noche del partido
de fútbol. Para llegar a un acuerdo ellos empiezan considerando dos posibilidades, ir
juntos al fútbol o a la ópera. La situación se pone tensa y uno de los dos, ya de no buen

18. 18
humor, propone una tercera, que es ir separadamente esa noche cada quién a su
espectáculo favorito. Ambos explotan y la discusión rápidamente se convierte en riña de
enamorados. Llega la noche del partido y la ópera, y ellos no han arreglado sus
diferencias. ¿Qué debería hacer cada uno? El podría ir al partido; o podría ir a esperarla
afuera de la ópera con la esperanza de contentarla y galantemente acompañarla a la ópera.
Ella podría ir a la ópera; o podría ir al estadio a tratar de encontrarlo para hacer las paces.
Sus opciones, con las consecuencias que resultan, se muestran en la tabla 1, en donde se
indica la utilidad que cada uno asocia a las consecuencias (por simplicidad el
planteamiento no considera la posibilidad de no encontrarse y estar separados en el
mismo espectáculo), lo cual se refleja en la tabla.
Tabla 1. Matriz de pagos del problema "la batalla de los sexos"
Estrategia de ella
Estrategia de él: Ella va a la ópera Ella va al fútbol
Él va a la ópera Ella perfecto, él aburrido, Desastre total para ambos
pero al menos están juntos
(4,2) (0,0)
Él va al futbol Ambos ven su espectáculo Ella aburrida, él perfecto, pero
favorito, pero separados ... al menos están juntos
(1,1) (2,4)
De la tabla se observa que ellos tienen incentivos para cooperar, pues asistir juntos a
cualquiera de los dos espectáculos es para ambos mejor que ir separados cada uno al que
más le gusta. Además, aunque él y ella piensen sobre su problema separadamente, no
existe un método por el cual a través de una decisión individual puedan asegurar una
determinada consecuencia. Se trata entonces de un juego cooperativo.
A este caso, como en muchos otros, le falta un detalle para ajustarse al esquema de
negociación de Nash: le falta el punto del status quo, el cual debe ser determinado si se
pretende continuar la negociación de Nash.
El problema de definir el punto del status quo
Tanto en la negociación como en el arbitraje de Nash se supone que hay un status
quo claro, impuesto externamente por el contexto físico. Así fue en el primer ejemplo
pero no en el segundo, en el cual la consecuencia del no acuerdo depende de lo que cada
individuo decida hacer. Cuando el punto del status quo no está definido por el contexto
físico, este puede ser determinado por una diversidad de formas. En el contexto de la
negociación, en principio no hay grandes problemas, cada negociador puede escoger su
estrategia según la filosofia que desee, pero los enfoques no bayesianos que use deben ser
acordes con la teoría de utilidad esperada, implícita en la teoría de Nash. En el ejemplo de
batalla de los sexos esta recomendación implica que cada uno debe especificar al
espectáculo al que asistirá si no llegan a un acuerdo, no habiendo duda que ambos lo
cumplirán (lo cual podría no ser la mejor forma de empezar a negociar ... ).
En el contexto del arbitraj e esta necesidad de determinar previamente el punto del
status quo no es tan clara, particularmente si es obligatorio para los dos negociadores

19. aceptar el punto del status quo que el árbitro decida, pues en tal caso sus respectivas
estrategias de descuerdo son redundantes. Pero como no existe posibilidad de descuerdo,
resulta arbitrario introducir un punto de status quo en el arbitraje, dado que las partes
involucradas saben que este nunca ocurrirá, lo cual lleva a la pregunta de con qué
enfoque el árbitro debería fijar el punto del status quo. Se han propuesto dos enfoques,
generalmente en conflicto: a) que el punto del status quo refleje las fueras relativas de las
posiciones de negociación de los dos participantes; b) que debe ser "equitativo y justo" en
algún otro sentido.
La suposición en la teoría de Nash de que cada negociador dispone de una función de
utilidad, hace que esta teoría sea inapropiada si uno de los negociadores es un grupo,
como un sindicato de empleados negociando con el patrón, pues carece de sentido hablar
de una función de utilidad grupal, obtenida de agregar un conjunto de funciones de
utilidad. Si más de dos individuos están involucrados, entonces debe usarse una
generalización de la teoría de Nash para dos personas al caso de n personas (ver por
ejemplo Luce y Raffia, 1957).
Conclusiones
Las teorías sobre la decisión, la elección social y de juegos son un conjunto de
métodos por los cuales se pueden investigar los conflictos que entraña una situación. Sus
objetivos son dar luz sobre la resolución de los conflictos, cualquiera que sea el punto de
vista tomado por el tomador de decisiones o el jugador. Su objetivo central no es
aconsejar a un actor particular sobre cómo decidir o elegir sus estrategias. Así, en el caso
de los juegos toma la actitud de que, si se supone que los jugadores siempre se comportan
"racionalmente" y que ellos poseen las capacidades intelectuales requeridas para
aprovechar todas las oportunidades que se le presentan con la información de que
disponen, y que además, tanto en racionalidad como en intelectualidad ningún jugador es
inferior a otro, entonces cualquier conflicto que se encuentre en el análisis debe ser
inherente a la situación, con independencia de los actores que participan. Estas
suposiciones son defendibles con el propósito de investigar el conflicto, pero para los
propósitos de aconsejar a un jugador en un juego real, estas suposiciones, son
inapropiadas.
Puede decirse que en términos generales la racionalidad es el instrumento básico para
la solución de los conflictos inherentes a las decisiones, principalmente las individuales,
entendiendo por racionalidad el cumplimiento de ciertos axiomas, particularmente el que
pide que la preferencia sea un orden débil y el de la independencia de las alternativas
irrelevantes. Este sentido de racionalidad en general exige al tomador de decisiones una
capacidad de discriminación preferencial mayor de la que es capaz en un determinado
momento, pero en principio sirve para orientarlo en un proceso de aprendizaje, previo a la
decisión propiamente, en el que identifica y precisa mejor su preferencia.
En la elección social la constitución del grupo es el procedimiento que resuelve los
conflictos entre las preferencias de los miembros del grupo. Idealmente, una constitución
cumple esta función cualesquiera que sea el perfil del grupo, y todos sus miembros, aún
los perdedores, están de acuerdo que el procedimiento que llevó a la elección es
satisfactorio, en algún sentido de equidad, igualdad y racionalidad. La dificultad para
alcanzar este ideal está en la medición y comparación interpersonal de la fuerza de la
preferencia.

20. 20
En los juegos cooperativos la constitución es sustituida por un procedimiento de
negociación o arbitraje, tal que aunque a miembros particulares del grupo pueda
disgustarles el curso de acción resultante de la votación, negociación o arbitraje, todos
están de acuerdo en que el procedimiento que llevó a esa elección es satisfactorio en
algún sentido de equidad, igualdad o racionalidad; como en el caso de la elección social,
este ideal está lejos de cumplirse. En los juegos aparece un nuevo mecanismo para
resolver los conflictos entre los jugadores: el azar.
Es importante que mecanismos como los mencionados no suplanten alguno de los
dos aspectos básicos de la decisión, le estimación de las consecuencias de los cursos de
acción y el proceso de elección. El fenómeno de eludir la responsabilidad de una
decisión, a través de ceder a un mecanismo externo parte o la totalidad del proceso de
elección, puede ser evidente, como en casos patológicos que incluyen consultas a
oráculos y horóscopos, pero puede ser muy sutil y estar disfrazado de prescripciones para
la racionalidad. La aleatorización puede estar en este caso. Una circunstancia en que
puede ser aceptable la aleatorización es en los juegos cooperativos, cuando dos o más
jugadores adoptan una estrategia conjunta de aleatorización y hacen un llamado al azar
para que arbitre entre los intereses en conflicto de los jugadores cooperativos. Pero aún
aquí este mecanismo puede ser cuestionable: La aleatorización hace inevitable el uso de
la teoría de utilidad. Entonces la actitud de cada jugador ante el riesgo sería modelada y
afectaría la solución. Entre más adverso al riesgo es un jugador, mayor será el costo que
él le asigna a la aleatorización conjunta. Entonces, si los jugadores tienen diferentes
actitudes ante el riesgo, la introducción de la aleatorización tendrá diferentes costos para
ellos, lo cual lleva al dificil terreno de las comparaciones interpersonales de la fuerza de
la preferencia.
Referencias
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22. o
La decisión individual o en grupo como
solución de problemas
Temas.
Decisión individual
Elección social
Juegos

23. u 1)
Los tres contextos de la toma de decisiones
Decisión individual
{
Un decisor* selecciona una
alternativa de un conjunto de
elección (conjunto excluyente
y exhaustivo)
Decisiones en grupo:
Elección social
{ n
decisores eligen una
alternativa (o un orden) de un
mismo conjunto de elección
Un sistema de n decisores
Juego individuales: la decisión de
L cada uno afecta a todos
*Decjsor = tomador de decisiones

24. Decisión individual
Etapa cero: Especificar el conjunto de
elección de la decisión
Identificar o diseñar dos o más cursos alternativos de acción
o en su defecto
diseñar uno tan bueno que no tenga sentido dedicar recursos y
tiempo a diseñar otros

25. Decisión individual
Etapa uno: estimar la consecuencia de cada curso de
acción
Forma de la respuesta
según el tipo de problema:
Certeza (un elemento de C)
¿Qué consecuencia habría Incertidumbre (un
si llevo a cabo el curso de - subconjunto de C)
acción a? Riesgo (una distribución de
probabilidad sobre C)
Información "objetiva"
Alternativa = curso de acción + el estimado de su
consecuencia

26. Decisión individual
Etapa dos y última: explorar la preferencia hasta
encontrar la mejor alternativa del conjunto de elección
Si el decisor no sabe cuál es la mejor alternativa (que es el caso
que interesa) se explorar su preferencia sobre A:
efrre4wLaI :
Posibles respuestas:
Pr
/
¿Qué alternativa
prefiere entre a y b?
Prefiero a a
Soy indiferente:
Prefiero b a a:
No lo sé
(incomparabilidad)
a?b
fe4e4o/
Información "subjetiva"

27. Decisión individual
Dos axiomas de racionalidad
1. Orden débil: es un orden débil si
transitiva: para tres alternativas cualesquiera a, b, c, si ab y
bc entonces ac (no hay ciclos)
completa: para todo par de alternativas a, b se cumple ab o
bien b a, o ambas (en este último caso a b): No hay
incomparabilidades
2. Independencia de las alternativas irrelevantes: Sialgunas
alternativas se elimin de A. entonces la preferencia sobre las
alternativas que restan no cambia.

28. Decisión individual
Propiedad de los órdenes débiles
Si es un orden débil: no haya ciclos ni interrupciones y las
alternativas se pueden ordenar
Ejemplo. El orden débil dado por a >- d b>- e >- cequivale a
lera opción : a
2a opción: d,b
4a opción: e
5a opción: c.

29. Decisión individual
Modelos normativos de preferencia
Nombre del modelo Modelo
Ordinal a?b <=> y(a)~ v(b)
Utilidad esperada a?bE(u, a)~ E(u, b)
De dferencia de valor (a<—b).>"-.'(c<—d) <c:>v(a)-v(a) ~ v(c)-v(d)
Problemas m ulticriterio, agregación de preferencias:
v(v 1(.), v2(.), ... , v(.))
Modelo aditivo de agregación de preferencias:
y(a) = vi(a)
Mecanismo de solución de los conflictos: racionalidad

30. Elección social
El problema de la elección social
Perfil (del grupo):
Constitución
Preferencia del
grupo sobre A:
>->- >-'-'2, ... >-r g
Se busca una constitución que para cualquier perfil todos
los miembros del grupo (incluyendo perdedores) aceptan
que el procedimiento que llevó a la elección es equitativo,
igualitario, racional (en algún sentido)

31. Elección social
Ejemplo de constitución: la regla de la mayoría simple
La constitución más simple y aceptada es la la regla de la
mayoría simple:
Un grupo debería preferir a sobre b si la mayoría de sus
miembros prefieren a a sobre b
Si el mismo número prefiere a a sobre b, que b sobre a, entonces
el grupo debe ser indiferente entre a y b
Por tanto los miembros que son indiferentes entre a y b no se
cuentan y no afectan la preferencia del grupo

32. Elección social
Hay problemas con la regla de la mayoría
simple (Condorcet, 1785):
Preferencia del grupo
Perfil: sobre {a, b, c}
Individuo 1
Individuo 2
Individuo 3
a>-1b>-1c Constitución
a
b
c
a>gb por2!3
b> gC por 2/3
C>ga por 2/3
Aquí la intrasitividad se puede resolver (?): como las
preferencias son simetricamente opuestas, el grupo
como un todo debería ser indiferente entre las tres
alternativas

33. Elección social
Un anticipo: fuerza de la preferencia
1 2 3
b c
Ganaría b
c
c 0 aÓ b

34. Elección social
Elección por pares: deshonestidad y voto táctico
Orden de las
Ganacomparaciones
El resultado depende del
* a, b, C C orden arbitrario en que se
b, C. a a ordenen las alternativas
a,c,b b
Voto táctico: si en * el individuo 1 sabe de las preferencias de
los individuos 2 y 3, entonces puede calcular que al votar
deshonestamente, b>-1a>-1c, entonces en vez de ganar su peor
opción, c, gana su segunda opción, b

35. Elección social
Teorema de imposibilidad de Arrow (195 1)
No existe una constitución que cumpla:
Dominio universal: La constitución define g para todo perfil
Ordenamiento débil: •••, Y g son ordenes débiles
Independencia de alternativas irrelevantes: Si algunas alternativas se
eliminan de A y nadie cambia sus preferencias sobre las que quedan,
entonces tampoco la preferencia del grupo sobre estas no cambia
Principio de Pareto para preferencias estrictas: Sicada individuo i
a>-i b, entonces para el grupo a>g b.
Ningún dictador: No hay individuo cuyas preferencias se conviertan
automáticamente en las del grupo
No trivialidad: Hay al menos 2 miembros del grupo y 3 alternativas

36. Elección social
Primer camino: restringir el dominio de la constitución
Teorema de Black (1958). Si:
el número de miembros de un grupo es impar
sus preferencias satisfacen la condición de unimodularidad
entonces la regla de la mayoría simple satisface los axiomas de
Arrow, excepto desde luego el del dominio universal

37. Elección social
Condición de unimodularidad
Condición de unimodularidad: hay un ordenamiento de las
alternativas, el orden subyacente, tal que al recorrer las
alternativas en ese orden o el opuesto a partir de la mejor, la
preferencia se decrementa monótonamente
m 2 1 1 m 1
Orden subyacente de las alternativas

38. Elección social
Segundo camino: más información preferencial
Teorema (Keeney, 1976). Sean
v1(.), v2(.),... ,v,,(.) funciones de diferencia de valor
Vg(•••••) una función diferenciable n dimensional tal que al menos
dos derivadas parciales son positivas en todo su dominio y ninguna
es negativa en ningún lado
Entonces definiendo g por
a g bvg(vj(a)),v2(a),. . .,vn(a))vg(vi(b),V2(b),...,v,(b»
es un procedimiento de agregación grupal que satisface los axiomas
del teorema de Arrow

39. Juegos
Juegos
Juego: Un sistema de n decisores individuales (jugadores); la
decisión (estrategia) de cada uno afecta a todos
Juego cooperativo: juego en el que conviene a los participantes
formar alguna coalición para elegir sus respectivas estrategias

40. Negociación de Nash
Esquema de negociación de Nash (2 negociadores)
Dos individuos, 1 y 2, tienen funciones de utilidad u1(.) y u2(.)
Cada arreglo o negociación posible está bien representado por una
pareja (x, y) de utilidades esperadas
(Por tanto el jugador 1 desea aumentar el valor de x y el 2 el valor
dey)
(x, y) domina a (x', y') si (x > x', y y') o (x x', y > y')
Los dos individuos conocen el conjunto de los posibles puntos de
acuerdo o región factible, el cual incluye un punto particular, el
status quo, que es el que ocurrirá si no llegan a un acuerdo.
Conjunto de negociación o de regateo: la parte de la frontera óptima
de Pareto que domina al status quo.

41. Negociación de Nash
Negociación de Nash
Utilidad esperada del individuo 2
Conjunto de
Pareto (P-S)
Utilidad esperada del individuo 1
tito de
iación
•R)

42. Negociación de Nash
Teorema de Nash (1950)
Teorema. Si el conjunto de negociación no es vacío y se cumplen los
axiomas siguientes, entonces existe un único punto (x*, y *) que hace
maxima la funcion (x - - y) sobre R:
Restricción a la frontera de Negociación. Los posibles puntos de
acuerdo son los del conjunto de negociación
Simetría. Si la región factible y el status quo son simétricos, entonces
también lo es el punto de acuerdo: (x, y)R (y, x)R, x = implica
x * = y *
Invariabilidad bajo cambios de escala de las funciones de utilidad
Independencia de las alternativas irrelevantes

43. Negociación de Nash
Ejemplo 1. Negociar para compartir el riesgo
uA(x)= 4x+ 60 six< -20; uA(x)=x six ~-20
uB(x)= 3x+60 six<-30; uB(x) = x six ~-30
Negocio con inversión inicial de 60$, probabilidad 0.5 de
perder la inversión inicial y probabilidad 0.5 de ganar 160$:
<0.55-60$; 0.5, 100$>
0.5uA(-60) + uA(100) = - 40, 0.5uB(-60) + uB(100) = - 10
El punto de acuerdo (x, y) significa: de los 60$ iniciales A
aporta x y B 60 - x; las de ganancias netas, 100$, si las
hubiera, el A recibirá y, mientras que B recibirá 100 -
y.

44. Utilidad esperada del individuo 2
Status A
quo Utilidad esperada del individuo 1

45. now
Utilidad esperada del individuo 2
Status A
quo Utilidad esperada del individuo 1

46. fr
Estrategia de ella
Estrategia de Ella va a la ópera Ella va al fútbol
él:
Él va a la ópera Ella perfecto, él Desastre
aburrido
(41,2) (090)
Ir
Él va al fútbol Ambos van a su Ella aburrida, él
espectáculo perfecto
favorito separados (29 4)
(1,1)

47. Negociación de Nash
Negociación y arbitraje
Condición para la negociación y el arbitraje: hay
acuerdos que mejoran el status quo desde los puntos de
vista de todos los negociadores
Negociación: La negociación se realiza sin intervención
de agentes externos
Arbitraje: Si la negociación fracasa hay incentivos para
buscar un tercero, un árbitro

48. Conclusiones 1
t 1-
Mecanismos para resolver conflictos:
Decisiones individuales Racionalidad (orden débil, etc.)
Elección social Constitución (leyes)
Juegos Explotar estructura (simetrías),
negociación, arbitraje

49. LA DECISION INDIVIDUAL O EN GRUPO COMO
SOLUCION DE CONFLICTOS.
Resumen:
Decidir es elegir una de entre varias alternativas, con lo cual
se adopta una solución a un conflicto entre valores, objetivos o
intereses, sean individuales o sociales. Consecuentemente,
las teorías y métodos que se ocupan de la decisión, como los
métodos de toma de decisiones multicriterio, la teoría de la
elección social y la teoría de juegos, necesariamente utilizan
mecanismos para resolver los conflictos que se presentan en
sus respectivos contextos, los cuales según el caso, van
desde la "razón" de quién o quiénes deciden, que en la jerga
académica se le llama "racionalidad", hasta la negociación
entre los miembros de un grupo y el arbitraje, pasando por el
uso de mecanismos aleatorios, como el "volado", que en las
decisiones en grupo pueden garantizar cierta equidad entre
sus miembros , como un árbitro externo no sesgado a favor o
en contra de ninguno de sus miembros. Se presenta una forma
de analizar y comparar entre sí estos mecanismos de solución
de conflictos, la cual permite una visión unificada de diversas
teorías relacionadas con la decisión, la negociación y los
juegos.