LÓGICA PROPORCIONAL

1. CONECTORES
• ´´: equivale a la negación, se lee ´no´, No, No es verdad que, Es falso que, No
ocurre que No es el caso que,
• ´´: equivale a la conjunción, se lee ´y´, Pero, Sin embargo, Además, No obstante,
Aunque, A la vez, También, comas y puntos seguidos
• ´´: equivale a la disyunción inclusiva, se lee ´o´
• ‘∆’ : equivale a la disyunción exclusiva , se lee ´o p o q´
• ´´: equivale a la condicional, se lee ´si … entonces ….´, Porque, Puesto que,
Cuando, Cada vez que, por tanto, por consiguiente, de ahí que, en consecuencia,
así pues, por consiguiente, por lo tanto, por eso, por lo que sigue, por esta razón,
entonces, entonces resulta que, de manera que.
• ´´: equivale a la bicondicional, se lee ´si y solo si´, Cuando y solamente cuando,
Entonces y solamente entonces
Leyes lógicas
ley
Involución o Doble
negación
~(~p) ≡ p
Idempotencia p ^ p ≡ p
p v p ≡ p
Leyes conmutativas p ^ q ≡ q ^p
p v q ≡ q v p
Leyes Asociativas ( p ^ q ) ^ r ≡ p ^ ( q ^ r )
( p v q ) v r ≡ p v ( q v r )
Leyes distributivas r v ( p ^ q ) ≡ ( r v p ) ^ (r v q )
r ^ ( p v q ) ≡ ( r ^ p ) v (r ^ q )

2. p→(q ^ r) ≡ (p→q) ^ (p→r)
p→(q v r) ≡ (p→q) v (p→r)
Leyes de Morgan ~( p ^ q ) ≡ ~p v ~q
~( p v q ) ≡ ~p ^ ~q
Leyes del condicional p →q ≡ ~p v q
~ (p →q) ≡ p ^ ~q
Leyes del bicondicional p ↔ q ≡ ( p → q ) ^ ( q → p )
p ↔ q ≡ ( p ^ q ) v ( ~p ^ ~q )
Leyes de la absorción p ^ ( p v q ) ≡ p
p ^ ( ~p v q ) ≡ p ^ q
p v ( p ^ q ) ≡ p
p v ( ~ p ^ q ) ≡ p v q
Leyes de transposición p → q ≡ ~ q → ~p
p ↔ q ≡ ~ q ↔ ~p
Ley de exportación ( p ^ q ) → r ≡ p → ( q → r)
Formas Formales
Conjunción
V ^ p ≡ p
F ^ p ≡ F
Formas Formales
Disyunción
F v p ≡ p
V v p ≡ V
Tercio excluido p v ~p ≡ V
p ^ ~p ≡ F

3. LEYES DE INFERENCIA LÓGICA
Demonstration directa
Modus Ponendo Ponens MPP
𝑝 → 𝑞
𝑝
≡ 𝑞
~𝑞 → 𝑟
~𝑞
≡ 𝑟
𝑝 ∧ 𝑞
( 𝑝 ∧ 𝑞) → ~𝑠
≡ ~𝑠

4. Modus Tollendo Tollens MTT
𝑝 → 𝑞
~𝑞
≡ ~𝑝
𝑞 → ~𝑟
𝑟
≡ ~𝑞
~𝑟 → ~(𝑝 ∨ 𝑠)
𝑝 ∨ 𝑠
≡ 𝑟

5. Modus Tollendo Ponens MTP
𝑝 ∨ 𝑞
~𝑝
≡ 𝑞
𝑞 ∨ ~𝑟
𝑟
≡ 𝑞
𝑝 ^ 𝑞
~( 𝑝 ^ 𝑞) ∨ ~𝑠
≡ ~𝑠

6. Ley de Adjunción A o Ley de Conjunción LC
𝑝
𝑞
≡ 𝑝 ^ 𝑞
~𝑟
𝑝 ∨ 𝑞
≡ ~𝑟 ^ ( 𝑝 ∨ 𝑞)

7. Ley de Simplificación S
𝑝 ^ 𝑞
≡ 𝑝
≡ 𝑞

8. Ley de Silogismo Hipotetico SH
𝑝 → 𝑞
𝑞 → 𝑟
≡ 𝑝 → 𝑟
~𝑟 → ~𝑞
( 𝑠 ^ 𝑝) → ~𝑟
≡ ( 𝑠 ^ 𝑝) → ~𝑞

9. Ley de Dilema constructivo DC
𝑝 → 𝑟
𝑞 → ~𝑠
𝑝 ∨ 𝑞
≡ 𝑟 ∨ ~ 𝑠
~𝑟 → 𝑝
𝑠 → (𝑞^𝑡)
𝑠 ∨ ~𝑟
≡ 𝑝 ∨ (𝑞^𝑡)

10. Ley de adición LA
𝑝
≡ 𝑝 ∨ ~𝑞
~𝑟
≡ ~𝑟 ∨ (𝑡^𝑠)

11. Ejemplos 1
Dem:~𝑝 ^~𝑞
1 ~𝑟 ∨ ~𝑠
2 ~𝑠 → ~𝑝
3 ~𝑟 → 𝑞
4 ~𝑞
5 ~(~𝑟) MTT 3,4
6 𝑟 DOBLE NEG
7 ~𝑠 MTP 1,6
8 ~𝑝 MPP 2,7
9 ~𝑝 ^~𝑞 A 8,4

12. Ejemplos 2
Dem:~𝑞
1 𝑝 → ~𝑞
2 (𝑝 ^ 𝑟) ∨ 𝑠
3 𝑠 → (𝑡 ∨ 𝑢)
4 ~𝑡 ^ ~𝑢
5 ~(𝑡 ∨ 𝑢) ley de Morgan 4 inv.
6 ~𝑠 MTT 3,5
7 𝑝 ^ 𝑟 MTP 2,6
8 𝑝 S 7
9 ~𝑞 MPP 1,8

13. Ejemplos 3
Dem:~𝑟
1 𝑝 → ~𝑞
2 ~𝑞 → ~𝑠
3 ( 𝑝 → ~𝑠) → ~𝑡
4 𝑟 → 𝑡
5 (𝑝 → ~𝑠) SH 1,2
6 ~𝑡 MPP 3,5
7 ~ 𝑟 MTT 2,6

14. Ejemplos 4
Dem: 𝑝^𝑞
1 ( 𝑞^𝑝) ∨ 𝑟
2 𝑠 → ~𝑟
3 𝑡 → ~𝑟
4 𝑠 ∨ 𝑡
5 ~𝑟 ∨ ~𝑟 DC 2,3,4 Dilem cons.
6 ~𝑟 LSD 5
7 𝑞 ^ 𝑝 MTP 1,6
8 𝑝 ^ 𝑞 Conmutativa 7
Ley de idempotencia = ley de simplificación disyuntiva

15. Ejemplos 5
Dem: 𝑠 ∨ 𝑡
1 ( 𝑝 → 𝑟) → (~𝑎 ∨ 𝑏 )
2 𝑝 → 𝑞
3 𝑏 → 𝑠
4 𝑞 → 𝑟
5 ~𝑎 → 𝑠
6 𝑝 → 𝑟 SH 2,4
7 ~𝑎 ∨ 𝑏 MPP 1,6
8 𝑠 ∨ 𝑠 DC 3,5,7
9 𝑠 LSD 8
10 𝑠 ∨ 𝑡 LA 9

16. Algebra de conjuntos
( A )  A ...................................................... Involución.
A  A  A, A  A  A ……………………… Idempotencia
A  B  B  A …………………………………Conmutativa
A  B  B  A …………………………………Conmutativa
( A  B )  C  A  ( B  C ) ………………Asociativa
(A  B )  C  A  ( B  C ) ……………….Asociativa.
A  ( B  C )  (A  B)  (A  C ) ……. …Distributiva
A  ( B  C )  (A  B)  (A  C ) ………. Distributiva
( A  B )  A  B …………………………… De Morgan
( A  B )  A   B ………………………….. De Morgan
A  B  A’  B …………………………………. Condicional
A  (A  B)  A ………………………………… Absorción
A  (A  B)  A ………………………………… Absorción
A  (A’  B)  A  B ………………………….. Absorción
A  (A’  B)  A  B ………………………….. Absorción
A’ (A  B)  A’  B ………………………….. Absorción
A’  (A  B)  A’  B …………………………. Absorción
A  B  (A  B)  (A’  B’ ) ………………….Bicondicional
A  U  U …………………………………… Identidad
A    A -------------------------------- Identidad
A     ……………………………………. Identidad
A  U  A ------------------------------- Identidad
A’  A   ------------------------------- Complemento
A’  A  U------------------------------- Complemento
U’  ------------------------------------ Complemento
’  U ------------------------------------ Complemento
A-B  A  B’ ---------------------------- Resta