2. Proposición (o enunciado) es una afirmación verbal a la que
puede asociarse un valor de verdad, es decir, puede ser
verdadera o falsa, por ejemplo:
Hace calor José estudia El es feliz Oruro es una
ciudad con clima frío
Las proposiciones pueden ser simples como las de los
ejemplos anteriores o compuestas, que se pueden unir a
través de conectores (conectivas)
José estudia y es feliz Hace calor o estoy muy abrigado
Si llueve entonces me mojo
3. • El álgebra proposicional es la representación del lenguaje usual tomando
como elemento básico una representación matemática de las frases
declarativas que definen las operaciones básicas del álgebra proposicional.
Para representar proposiciones se utilizarán letras: p, q, r, s,….Las
operaciones básicas son:
• Negación ~ (⌐)
• Conjunción
• . Disyunción
• Disyunción exclusiva
• Condicional →
• Bicondicional
• Negación conjunta ↓
4. • LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSISIONES Las proposiciones, bajo la
ley de equivalencia lógica (≡), cumplen las siguientes leyes:
• LEYES DE IDEMPOTENCIA
• p v p ≡ p p p ≡ p
• LEYES ASOCIATIVAS ( p q) r ≡ p (q r) ( p v q) r ≡ p v (q v r)
• LEYES CONMUTATIVAS p q ≡ q p p v q ≡ q v p
• LEYES DE IDENTIDAD p v f ≡ p ; p v ≡ v ; p v ≡ p ; p f ≡ f
• LEYES DE MORGAN ~ ( p q) ≡ ~ p v ~ q ~ ( p v q) ≡ ~ p ~ q
• LEYES DISTRIBUTIVAS p (q v r) ≡ ( p q) v ( p r) p v (q r) ≡
• ( p v q) ( p v r)
• DEFINICIÓN DE CONDICIONAL Y BICONDICIONAL) p → q ≡ p v q
• p ↔ q ≡ p → q q → p p ↔ q ≡ p v q q v p
5. • Idempotente.- (Idem) Las variables
redundantes en una cadena de conjuntivos
• o dsyuntivos se eliminan.
• a) (p Ù p) ↔ p
• Ejemplo: Mariela estudia. Y Mariela
trabaja y estudia
• Equivale: Mariela estudia y trabaja
6. • Conmutación.- (Conm.) Si los conjuntivos, disyuntivos y bicondicionales
• permutan sus respectivos componentes, sus equivalentes significan lo
mismo.
• a) (p Ùq) ↔ (q Ù p)
• Ejemplo: La pizarra es negra y la tiza blanca
• Equivale: La tiza es blanca y la pizarra es negra
• b) (p v q) ↔ (q V p)
• Ejemplo: Estas preocupado o estas enfermo
• Equivale: Estas enfermo o estás preocupado
• c) (p ↔ q) ↔ (q ↔ p)
• Ejemplo: Anibal viajará a la Argentina si y sólo si obtiene su visa
• Equivale: Anibal obtiene su visa si y sólo si viajará a la Argentina
7. • Morgan.- (D.M.) Se niegan las proposiciones conjuntivas o disyuntivas y las
• cambiamos. La conjunción por la disyunción o la disyunción por la conjunción,
• negando cada uno de los componentes.
• a) (p Ù q) ↔ ~(~ p v ~q)
• Ejemplo: En invierno nieva y hace frio
• Equivale: No es el caso que en invierno no nieva o no haga frio
•
• b) (p V q) ↔ ~(~p Ù ~q)
• Ejemplo: Hace frío o helada
• Equivale: No es el caso que no haga frio y no haga helada
• c) ~(p Ù q) ↔ ~p V ~ q
• Ejemplo: No es el caso que Estefano estudie y juege
• Equivale: Estefano no estudia o no juega
•
• d) ~ (p Ú q) ↔ (~p Ù ~ q)
• Ejemplo: No es el caso que viajes al sur o te quedes en el Rimac
• Equivale: O no viajes al sur y no te quedes en el Rimac
8. • Condicional.- (Def. Cond.)
• a) Es la definición del esquema condicional por medio del disyuntivo. Se niega
el antecedente (p) y el condicional (→) cambia por el disyuntivo (V)
• (p → q) ↔ (~p v q)
• Ejemplo: Si Kant es un filósofo entonces es idealista
• Equivale: Kant no es un filósofo o es un idealista
•
• b) Es la definición del esquema condicional por medio del conjuntivo. Se niega
• toda la expresión y el esquema condicional se cambia por el conjuntivo a la
• vez que se niega el consecuente.
• (p → q) ↔ ~(p Ù ~q)
•
• Ejemplo: Si Rosa gana el concurso de pintura entonces viajará a Europa
• Equivale: No es posible que Rosa gane el concurso de pintura y no viaje a
• Europa.
9. • Bicondicional (Def. Bicond.)
• a) Indica que un esquema bicondicional puede transformarse en dos condicionales donde
uno de los miembros implica a otro y viceversa.
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• (p ↔ q) ↔ (p → q) Ù (q → p)
• Ejemplo: Una figura geométrica tiene tres ángulos si y sólo si es un triángulo
• Equivale: Si una figura geométrica tiene tres ángulos entonces es un triángulo y si es un
triángulo entonces es una figura geométrica que tiene tres ángulos.
•
• b) Indica que un esquema bicondicional puede transformarse en una disyunción
• de conjunciones afirmando los dos componentes conjuntamente o negando los dos
componentes también conjuntamente.
• (p ↔ q) ↔ (p Ù q) Ú (~p Ù ~q)
• Ejemplo: Un número es positivo si y sólo si es mayor que cero.
• Equivale: Un número es positivo y es mayor que cero, o un número no es positivo y no es
mayor que cero.
•
