"El presente artículo reporta un estudio exploratorio sobre el aprendizaje de habilidades matemáticas en el marco de un taller de la asignatura Cálculo I (Análisis Matemático en una variable), con uso del software Mathematica®, para las carreras de Ingeniería Industrial, Electrónica e Informática de la Universidad Nacional de La Matanza (UNLaM) realizado durante el año 2007. El propósito del estudio es obtener información sobre la relación entre la propuesta de trabajo para los alumnos en el taller, y más específicamente en lo que se refiere a las actividades, y el aprendizaje de habilidades. Presentamos aquí los criterios que se han considerado para el estudio, las características de las actividades del taller, de los instrumentos para la evaluación de las habilidades y el análisis de los resultados obtenidos."

1. Estudio sobre habilidades matemáticas para el Cálculo Diferencial en estudiantes de
Ingeniería.
Falsetti, Marcela – Favieri, Adriana – Scorzo, Roxana. – Williner, Betina.
Universidad Nacional de La Matanza – Departamento de Ingeniería e Investigaciones Tecnológicas.
Florencio Varela 1903- San Justo – Pcia. De Buenos Aires.
Resumen: El presente artículo reporta un estudio exploratorio sobre el aprendizaje de habilidades
matemáticas en el marco de un taller de la asignatura Cálculo I (Análisis Matemático en una variable), con
uso del software Mathematica®, para las carreras de Ingeniería Industrial, Electrónica e Informática de la
Universidad Nacional de La Matanza (UNLaM) realizado durante el año 2007. El propósito del estudio es
obtener información sobre la relación entre la propuesta de trabajo para los alumnos en el taller, y más
específicamente en lo que se refiere a las actividades, y el aprendizaje de habilidades. Presentamos aquí los
criterios que se han considerado para el estudio, las características de las actividades del taller, de los
instrumentos para la evaluación de las habilidades y el análisis de los resultados obtenidos.
Palabras claves: habilidades para el aprendizaje matemático-taller con uso de software-cálculo diferencial e
integral-matemática en carreras de ingeniería-
marcelacristinaf@yahoo.com.ar, adriana_favieri@yahoo.com.ar, rscorzo@yahoo.com.ar , bwilliner@yahoo.com.ar

2. Estudio sobre habilidades matemáticas para el Cálculo Diferencial en estudiantes de
Ingeniería
1. Introducción
El presente artículo reporta un estudio exploratorio sobre el aprendizaje de habilidades matemáticas en el
marco de un taller de la asignatura Cálculo I (Análisis Matemático en una variable), con uso del software
Mathematica, para las carreras de Ingeniería Industrial, Electrónica e Informática de la Universidad Nacional
de La Matanza (UNLaM) realizado durante el año 2007. Las nuevas tendencias para la formación de
ingenieros hacen particular hincapié en las competencias (CONFEDI, 2005), lo cual incorpora un nuevo
interés formativo, ya que no sólo interesa el contenido, la cantidad y la calidad de información, sino también
el saber hacer y desempeñarse, la capacidad de evocar lo aprendido, integrarlo con otros conocimientos y
aplicarlo a nuevos contextos y dar respuestas creativas a problemas profesionales. En relación con la
formación por competencias del ingeniero, consideramos que éstas están estrechamente relacionadas con las
habilidades, las cuales refieren a un conocimiento en la acción y para la acción, adquirido en un contexto
temático específico. Las habilidades, integradas en redes, o esquemas, conceptuales, procedimentales y
afectivas más complejas que resultan accesibles para distintos contextos, incluso diferentes a aquellos en los
que se ha aprendido, constituirían las competencias. Esta concepción estaría en concordancia con la siguiente
definición de competencia planteada por el International Bureau of Education Geneva (citado en Documento
de CONFEDI, 2005) “Una competencia corresponde a una combinación interrelacionada de destrezas
cognitivas y prácticas, conocimiento (incluyendo conocimiento tácito), motivación, valores, actitudes,
emociones y otras componentes que juntas pueden ser movilizadas para lograr una acción efectiva en un
contexto particular.”
Efectuamos este estudio, cuyos resultados reportamos en este artículo, con el propósito de obtener
información sobre la relación entre la propuesta de enseñanza en un taller de Cálculo I, y más
específicamente en lo que se refiere a las actividades para ser trabajadas en ese espacio, y el aprendizaje de
habilidades. En otros trabajos sobre habilidades matemáticas que hemos usado como referencia, las mismas
son consideradas en forma genérica (Mena y otros, 2006), sin embargo nosotros consideramos que la
manifestación correcta de una habilidad puede variar de acuerdo al contenido, por lo que su evaluación o
ponderación debería hacerse, en lo posible, de acuerdo a la asociación habilidad-contenido (ver Rodríguez y
otros, 2005) tal como será tratado aquí. Nos proponemos entonces mostrar el análisis de la habilidad por
contenido, realizado con el propósito de tener información sobre el alcance de las actividades propuestas.
Dicha información serviría para ajustar las nuevas actividades del taller con un sustento empírico y teórico
sólido, de manera de orientarlas a la adquisición y fortalecimiento de las habilidades de estudio de la
Matemática.
2. Marco Teórico
Nuestro fundamento teórico está basado en tres pilares:
2.1. Habilidades matemáticas
2.2. Uso del software en la enseñanza de la matemática
2.3. El taller como espacio de aprendizaje.
2.1. Habilidades matemáticas
Una habilidad matemática es la capacidad de efectuar o realizar una tarea matemática eficientemente o de
actuar adecuadamente frente a una situación, en la que la Matemática esté involucrada, comprendiendo más
de una operación intelectual. En general, una habilidad nos permite realizar adecuadamente otras actividades
jerárquica y/o lógicamente asociadas. Las habilidades matemáticas a las que nos referiremos en este trabajo
pueden ser asociadas a las habilidades del dominio cognitivo que figuran en la “Taxonomía de Bloom” (ver
Cruz, 2005). La clasificación de Bloom se realiza en seis categorías básicas según la función de la acción en
la que la habilidad se manifiesta: conocimiento, comprensión, aplicación, análisis, síntesis, evaluación. Por
nuestro lado, decidimos utilizar la clasificación que realiza Delgado Rubí, citando también a Hernández,
Valverde y Rodríguez (Hernández y otros, 1998), agrupándolas no sólo de acuerdo al tipo de función que
realizan sino también al objeto matemático (propiedad, símbolo, artefacto de representación, etc.) con el que
se trata al realizar la acción.
• Habilidades conceptuales: aquellas que operan directamente con los conceptos (Identificar,
Fundamentar, Comparar, Demostrar)
• Habilidades traductoras : aquellas que permiten pasar de un dominio a otro del conocimiento
(Interpretar, Modelar, Recodificar)

3. •
•
•
Habilidades operativas : funcionan generalmente como auxiliares de otras más complejas y
están relacionadas con la ejecución en el plano material o verbal (Graficar, Algoritmizar,
Aproximar, Optimizar, Calcular)
Habilidades heurísticas: aquellas que emplean recursos heurísticos y que están presentes en un
pensamiento reflexivo, estructurado y creativo (Resolver, Analizar, Explorar)
Habilidades metacognitivas: las que son necesarias para la adquisición, empleo y control del
conocimiento y demás habilidades cognitivas (Planificar, Predecir, Verificar, Comprobar,
Controlar)
2.2. Uso del software en la enseñanza de la matemática
Numerosos trabajos de investigación reportan los cambios en la forma de trabajo y los logros en el
aprendizaje obtenidos al incorporar herramientas informáticas a la clase de Matemática (Figueroa y Mora
,2005; González y Calderón Montero ,2008; Hormigón ,2004,2007).Decidimos potenciar las tareas con el uso
de un software en el ambiente de trabajo tipo taller. Para ello se incorpora el Mathematica como herramienta
de trabajo, el cual es un potente software, que permite hacer cálculos rápidamente y gráficos precisos,
favoreciendo el análisis, la inferencia y la justificación de los temas estudiados. Con respecto al uso de la
computadora, Balacheff (1996) considera que el software tiene tres niveles de uso: puede ser utilizado por el
profesor en el proceso de enseñanza, como medio visual, tornando ciertas clases más operativas; ser utilizado
por el alumno como un medio para controlar resultados de ejercicios y, finalmente, hacer uso del mismo en el
laboratorio, aprendiendo sintaxis, comandos y resolver situaciones problemáticas en forma activa.
La función del profesor en este modelo es la de diseñar e implementar una situación, que en nuestro caso son
las actividades formuladas para movilizar cierto conocimiento enseñado en las clases de la asignatura. Por
eso en nuestra propuesta de taller lo importante no es sólo la entrega de un trabajo final sino observar,
asesorar y seguir todo el proceso que el alumno desarrolla a lo largo de esta experiencia nueva de aprendizaje
del Análisis Matemático.
2.3. El taller como espacio de aprendizaje.
El taller, como metodología de trabajo para el aprendizaje, es un tipo de actividad sumamente difundida.
Sánchez Iniesta indica al respecto (1995): “Entendemos que el taller es un modo de organizar el proceso de
enseñanza / aprendizaje que se basa en la conjugación de la teoría y práctica para abordar la resolución de
un problema o el estudio de un contenido concreto y mediante la actividad participativa del alumno, a través
del ensayo creativo que éste hace de sus capacidades, conocimientos y destrezas, utilizando múltiples
recursos y materiales. Esto sobreentiende que los sujetos que aprenden son personajes activos en la
realización de las tareas y que el peso está en el “aprender haciendo”. Por su parte, Ander-Egg (1991)
define: “Es un procedimiento adecuado para desarrollar una estrategia didáctica, capaz de promover la
capacidad de aprender a aprender (autoformación)”. En el ámbito de un taller, la información y la teoría
circulan en la medida que el sujeto enfrentado a un asunto lo necesita y hace uso de las mismas y no por una
necesidad de transmisión por parte del docente que tiene que cumplir un programa. El asunto al que se
enfrenta un sujeto en situación de taller de aprendizaje puede ser: un problema, una consigna de trabajo, un
producto a realizar (texto literario, pintura, maqueta, etc.), un juego (como el ajedrez), etc.
Algunas características generales de esta metodología son:
• se lleva a cabo el enlace entre teoría y práctica sobre la base de planteos o tareas concretos,
• la explicación del experto para ayudar a realizar la tarea se realiza en forma diferenciada de acuerdo
a la demanda y necesidad del que aprende, es decir es una metodología que debe atender a la
diversidad,
• favorece el intercambio entre pares que realizan una misma tarea,
• favorece el uso de diferentes recursos (bibliográficos, utensilios, tecnológicos, etc.) de acuerdo a la
necesidad y capacidad del que aprende.
• “propicia la aplicación de los conocimientos ya adquiridos, a situaciones nuevas de aprendizaje,
favoreciendo así la funcionalidad de los mismos” (Sanchez Iniesta ,1995).
3. Nuestro Contexto
Consideramos que es conveniente tener conocimiento sobre la influencia de cierto tipo de actividades en el
aprendizaje matemático, dado que no es lo mismo diseñar y formular un ejercicio o problema pensando en
los conceptos involucrados que deben aprenderse, que hacerlo pensando además en qué habilidades pueden
ponerse en juego con ese ejercicio o problema. Por ello nos centramos en las actividades que deben realizar
los alumnos en modalidad de taller con uso del software Mathematica, que han sido confeccionadas por un
grupo de docentes que participan de este estudio. Estas actividades conforman una serie de tres trabajos
prácticos, de carácter obligatorio, a desarrollar en equipos de no más de tres integrantes., que deben ser

4. presentadas según un cronograma estipulado. Para efectuarlas el estudiante puede trabajar en los laboratorios
de la Universidad por su cuenta, contando con tutoriales e instructivos especialmente diseñados, o asistir a los
talleres en los cuales los profesores orientan sobre el uso del software, atienden las consultas y eventualmente
dan explicaciones complementarias de algunos temas de Cálculo Diferencial e Integral que los estudiantes
deberían conocer.
Cabe aclarar que al momento de iniciar este estudio dichas actividades ya estaban diseñadas y que el análisis
de las mismas y posterior evaluación de aprendizajes de habilidades se hizo sobre lo que ya había en marcha.
Este taller complementa las clases teórico-prácticas de la materia que se dictan en forma tradicional mediante
exposición dialogada. En las clases, los alumnos trabajan con una única guía de trabajos prácticos para toda
la cátedra y con bibliografía recomendada Stewart (1999), Larson y otros (2002), Piskunov (1977), entre
otros. El régimen de cursado de la asignatura es anual con dos exámenes parciales y con opción a promoción
si la nota de cada parcial es mayor o igual a siete.
4. Metodología utilizada para hacer el estudio propuesto.
La metodología de trabajo consistió en determinar el alcance de las actividades mediante la individualización
y análisis de las habilidades que ellas propiciaban, la evaluación de los trabajos prácticos, una posterior
entrevista individual y estructurada, que versó sobre los temas y habilidades tratadas en los trabajos prácticos,
y un análisis de resultados sobre la sistematización estadística.
Para obtener datos sobre las habilidades matemáticas a desarrollar se han realizado las siguientes acciones:
4.1. Análisis preliminar de las actividades propuestas identificando las habilidades propiciadas por ellas.
4.2. Elaboración del instrumento para evaluar habilidades más propiciadas por los trabajos prácticos.
4.3. Análisis de los trabajos prácticos realizados por los alumnos.
4.1. Análisis preliminar de las actividades propuestas.
4.1.1. Habilidades que se debían poner en juego en las diferentes actividades.
Trabajo práctico Nº 1:
Tareas a realizar
Habilidades que se espera que desarrollen
•Definición de funciones en
•Identificar, a través del conjunto de puntos dados, cuáles no
Matemática.
pertenecen al dominio de la función y, por ese motivo, no
realizar el cálculo de la imagen correspondiente.
•Cálculo de imágenes.
•Cálculo de dominio de funciones. •Controlar, una vez realizado el cálculo de imágenes, si son
números reales, de no ser así •Fundamentar la respuesta
•Gráfico de funciones
trigonométricas
•Analizar los distintos tipos de funciones para luego plantear la
•Comparación de gráficos según
operación que permite •Calcular sus dominios
ciertas transformaciones
•Identificar tipos de traslación/cambios amplitud de funciones
geométricas
trigonométricas y luego •Comparar
Trabajo práctico Nº 2:
•Cálculo de: dominio de funciones, •Analizar los diferentes tipos de funciones para luego plantear
intervalos de positividad y la operación que permite •Calcular el dominio.
negatividad, asíntotas, gráfico de la •Calcular intervalos de positividad y negatividad
función.
•Controlar resultados arrojados por el software y la respuesta
correcta (el software manifiesta dificultades en la resolución de
desigualdades no polinómicas)
•Clasificar puntos de discontinuidad
•Deducir la existencia de asíntota vertical
•Calcular asíntotas.
•Controlar lo obtenido analítica y gráficamente
Trabajo práctico Nº 3:
•Explorar funciones que lo ayuden a decidir por la veracidad o
•Análisis de proposiciones sobre
puntos extremos y de inflexión de
no de las premisas propuestas.
una función.
•Fundamentar la respuesta elegida.
•Uso de contraejemplos.
•Identificar extremos relativos y puntos de inflexión.
•Estudio completo de función
•Calcular puntos críticos y puntos de inflexión.
definida por intervalos.
•Controlar y •Comparar la respuesta obtenida por el software y
lo observado en el gráfico.
•Analizar las diferentes fórmulas por ramas de una función para

5. luego plantear la operación para •Calcular el dominio
•Calcular puntos críticos y puntos de inflexión y luego
•Controlar que pertenezcan a la rama correspondiente
4.1.2. Selección de las habilidades a estudiar.
Elegimos para el estudio, y de acuerdo a este análisis preliminar, las habilidades que más frecuentemente se
presentan. En este caso: identificar, analizar, deducir, comparar, todas ellas de tipo conceptuales y controlar,
de tipo metacognitiva.
4.1.3. Desagregación de las habilidades de acuerdo al contenido.
De las habilidades elegidas para su estudio, recordamos la explicación brindada por Delgado Rubí, a las que
incorporamos “analizar”:
IDENTIFICAR: Consiste en distinguir el objeto de estudio matemático sobre la base de rasgos fundamentales
o en determinar si el objeto pertenece a un conjunto de objetos con determinadas características.
ANALIZAR: Consiste en examinar o estudiar un objeto matemático o una situación determinada considerando
partes de la misma.
COMPARAR: Es establecer una relación cuantitativa o cualitativa que hay entre dos entes matemáticos de un
mismo conjunto o clase.
DEDUCIR: Es hacer uso de algún esquema lógico (por ejemplo reglas de inferencia), para extraer alguna
conclusión.
CONTROLAR: Consiste en monitorear y regular, es evaluar un conjunto de informaciones con relación a
objetivos prefijados, a los efectos de tomar decisiones.
Consideramos que las habilidades están ligadas al contenido, es decir que no es lo mismo identificar el
dominio de una función que identificar un punto extremo de la misma por lo que las hemos desagregado de la
siguiente forma:
Identificar
Controlar
Deducir
Analizar
Comparar
Dominio de
funciones
Uso de la definición de
dominio
Dominio de
funciones.
Definiciones
Paridad de
funciones
Empleo de la definición
de puntos extremos y
puntos de inflexión
Características
globales de funciones a
partir de pocos datos
puntuales.
Existencia de puntos
extremos y puntos de
inflexión.
Casos de
discontinuidad
Transformaciones
de los gráficos de
funciones
La relación entre la
sintaxis del programa
con los resultados
matemáticos esperados.
Gráficos vinculados
con transformaciones
geométricas de
funciones.
Los resultados
obtenidos numérica o
algebraicamente con
resultados obtenidos
gráficamente
Discontinuidades
Puntos de inflexión
Puntos extremos y
puntos críticos
Puntos de inflexión
Los resultados del
programa en relación
con características de la
función exponencial
Que el resultado
numérico esté dentro de
los valores posibles de
acuerdo a la situación
.
Puntos extremos y
puntos críticos
4.2. Elaboración del instrumento para evaluar las habilidades antes mencionadas
Diseño de la entrevista: Esta evaluación fue al final de la realización del taller y luego de la entrega de los
trabajos prácticos. Esta instancia fue predominantemente oral y se les permitió, a los alumnos, hacer uso del
software. Se decidió con los datos de esta instancia oral, complementar la información que se tenía de los
trabajos prácticos, que habían sido escritos, para sobrepasar las posibles dificultades en el uso correcto de los
símbolos y para que el docente interactuara con el estudiante y tener un acceso más directo a lo conceptual.
Para esta instancia se diseñaron unas planillas estructuradas. Planteamos un cuestionario precisando a qué
habilidad o habilidades apuntaba cada pregunta y anticipando posibles respuestas a las mismas para poder
luego clasificarlas según cuatro categorías (Bien, Mal, Regular, No responde). Dado que había que
entrevistar a muchos alumnos en distintos horarios, para que no hubiese pasaje de información entre los
alumnos, las planillas no tenían las mismas preguntas aunque compartían el formato y el nivel de dificultad.

6. En todas las planillas había preguntas o tareas que apuntaban a las cinco habilidades estudiadas, aunque no a
los mismos contenidos.
Exponemos ejemplos de las preguntas formuladas a los alumnos en esta instancia, asociadas a la habilidad a
la que apuntaban y al contenido al que referían (una pregunta puede abarcar más de una habilidad).
I
D
E
N
T
I
F
I
C
A
R
Dominio
Si al calcular la imagen de un número a través de una función la
respuesta del software es un número imaginario ¿Qué significa?
Paridad
Si una función par con dominio en R tiene un máximo en (1,2)
¿posee otro extremo? Si es así ¿es máximo o mínimo?
Transformación gráfica de funciones
¿Qué movimientos se realizaron en la función y = ln x para
obtener la función y = -ln(x-3)? (grafícalas con el programa)
Discontinuidades
¿Qué procedimiento tienes que realizar con el Mathematica
para calcular las discontinuidades de una función?
Puntos de Inflexión
Puntos extremos
Definición de dominio
C
O
N
T
R
O
L
A
R
¿Puede una función tener derivada segunda nula en un punto y
no ser éste punto de inflexión? Da un ejemplo usando el
programa
Da un ejemplo, si es que existe, de una función que tenga un
extremo relativo en un punto y que en dicho punto tenga una
tangente vertical. En caso de no existir explica.
¿Por qué el Mathematica devuelve imágenes complejas en
algunos casos?
C
O
M
¿Todos los puntos obtenidos por el programa donde la derivada
se anula son extremos?¿Puede existir algún extremo más que el
programa no calcule? Explicar
Relación entre la sintaxis del programa y
los resultados esperados
¿Cómo te das cuenta en el Mathematica si te equivocaste al
definir una función?
Controlar los resultados del programa
con las características de la función
exponencial
Sabemos que el Mathematica manifiesta algunos problemas en
la resolución de desigualdades ¿cómo puedes controlar el
resultado obtenido al resolver e1/x>0?
Controlar que los resultados estén dentro
de los valores posibles
D
E
D
U
C
I
R
A
N
A
L
I
Z
A
R
Definición de puntos extremos y puntos
de inflexión
Características globales de funciones a
partir de pocos datos puntuales
Cuando tenemos una función definida por partes ¿todos los
puntos obtenidos por el programa cuya derivada segunda es
cero o no existe son posibles puntos de inflexión?
Si una función par con dominio en R tiene un máximo en (1,2)
¿posee otro extremo? Si es así ¿es máximo o mínimo?
Dominio de funciones
¿Qué comandos utilizarías del Mathematica para hallar el
dominio de f ( x ) =
Casos de discontinuidad
Definiciones
1
x − 3x + 2
2
?
¿Cuál sería el procedimiento correcto, o la secuencia de
comandos necesarios para encontrar el dominio de funciones,
sin olvidarse los casos posibles?
¿Qué diferencia hay entre intervalo de crecimiento y conjunto
de positividad?

7. Gráficos
en
relación
transformaciones geométricas
P
A
R
A
R
con
Compara con Mathematica ex con e-1/2x. Extrae conclusiones
4.2.1. Aplicación de la entrevista:
El lugar donde ésta se llevó a cabo fue en los laboratorios de Computación de la Universidad donde está
instalado el software Mathematica. Se entrevistaron 243 alumnos de las asignaturas Cálculo I o Análisis
Matemático I de las carreras de Ingeniería Industrial, Electrónica o Informática de la Universidad Nacional
de La Matanza. Los alumnos debían primero esbozar una respuesta por escrito, pudiendo en esta instancia
usar el software, y luego explicar oralmente la respuesta a un profesor quien, en ese momento, calificaba el
nivel de desarrollo de cada habilidad vinculada, según cuatro categorías (Bien, Mal, Regular, No responde),
marcándola en la planilla mencionada (una por alumno).
4.3. Análisis de los trabajos prácticos realizados por los alumnos: Hemos trabajado con muestras aleatorias
de los trabajos prácticos, es decir fueron elegidos al azar 39 conjuntos de los tres trabajos prácticos hechos a
lo largo del año, un total de 117 producciones analizadas.
5. Sistematización y análisis de datos sobre el desempeño de los
estudiantes en relación con el aprendizaje de habilidades.
Como explicamos anteriormente realizamos el análisis de 117 producciones escritas. En cuanto a las
entrevistas, examinamos un total de 243 entrevistas personales que no son necesariamente de los mismos
alumnos de los cuales se tienen datos en los trabajos prácticos.
Las categorías en ambos casos son las mismas: Mal o No responde, Regular, Bien, de acuerdo a las
respuestas dadas para cada ejercicio solicitado en los trabajos o entrevista.
Hemos realizado un análisis, en el cual se presenta el comportamiento de las variables consideradas y la
relación que puede apreciarse entre ellas. Cabe aclarar que, en el caso de las entrevistas, los datos
presentados son frecuencias relativas porcentuales sobre la cantidad de alumnos que contestó alguna pregunta
relacionada con la habilidad-contenido. Así, por ejemplo, fueron 72 alumnos los que contestaron alguna
pregunta referida a identificar dominio de una función. De esa totalidad, el 7% contestó mal (M), el 21%
regular (R) y el 72% bien (B). No es la misma situación en los trabajos prácticos, donde para las 117
producciones analizadas estudiamos todos los casos habilidad-contenido.
Mostraremos en paralelo el análisis para ambos instrumentos para cada habilidad:
IDENTIFICAR
Trabajos prácticos
Entrevistas
1
00
1
00
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
Dominio
M
23
Paridad
5
Transf.
Discontinuid
Funciones
ades
1
0
31
P.inflexión
41
28
R
33
1
3
39
23
33
41
B
47
82
51
46
26
31
Observando el histograma puede apreciarse:
Dificultades en la identificación de dominio,
manifestado en el cálculo indiscriminado de
imágenes, sin reconocer si los valores solicitados
pertenecían o no al dominio de la función.
Desempeño aceptable en paridad y transformaciones
de funciones, aunque se aprecia dificultad en la
explicación de la influencia de los parámetros en la
transformación del gráfico.
En cuanto a la identificación de puntos de inflexión,
no se reconocieron todas las condiciones necesarias
Transf.funci
Dominio
Paridad
Discont
Pinflexión
M
7
2
4
0
0
1
8
R
21
1
4
21
23
47
41
B
72
84
75
77
53
41
P.críticos
ones
P.críticos
En general los alumnos no presentan dificultades
en esta habilidad, siendo los de mayor desarrollo
identificar dominios, paridad, transformaciones de
funciones y discontinuidades.
Sin embargo es más parejo el desarrollo de la
habilidad en relación a los puntos de inflexión y
puntos críticos.

8. en la definición para este tipo de puntos.
Algo similar sucedió con los puntos críticos
considerando sólo aquellos de primera derivada nula
y no aquellos en los cuales no existe la derivada.
Puede observarse una mejora en la manifestación de la habilidad identificar en la entrevista final, siendo los
niveles más altos los relacionados con los conceptos de dominio, paridad, transformación de funciones y
discontinuidades. Estos conceptos se desarrollan durante todo el año en el aula, y se complementan en el
taller con el manejo del software. La agilización de los cálculos a la hora de ecuaciones o inecuaciones
permite poner el acento en los significados. Las dificultades manifestadas en identificar puntos críticos,
extremos y de inflexión, podría deberse a que la actividad propuesta exigía el uso de los conceptos y no la
solución mecánica.
CONTROLAR
Trabajos prácticos
Entrevistas
10
0
1
00
8
0
80
60
6
0
40
4
0
20
2
0
0
0
rdos/ f u xpo
n.e ne rdos d
entrode
R su os
e ltad
rdo de
s ntrode
p gram
ro
a
valores p
osible
s
28
3
8
4
9
M
6
11
4
47
17
46
36
1
6
1
8
R
14
36
28
18
39
26
36
4
6
3
3
B
80
53
68
35
44
D in
om io
Extre os y pi
m
S táxis
in
M
18
28
R
28
B
54
D inio
om
En general se observa poco control de los alumnos
sobre los resultados arrojados por el software.
Puede apreciarse una mejora en el control de la
definición de dominio a través de la realización de
los tres trabajos.
En cuanto al control al hallar puntos extremos y de
inflexión, más de la mitad del alumnado no
calcularon el mínimo en el punto de no existencia de
la derivada, a pesar de tener el gráfico de la función
que evidenciaba dicho extremo.
También fue importante el porcentaje de alumnos
que no controló si los resultados obtenidos al
resolver ecuaciones eran válidos, hecho que motivó
el hallazgo de puntos de inflexión en intervalos no
correspondientes.
Con respecto a la sintaxis propia del software, este
control fue muy escaso, casi un 64% de los alumnos
dejan como resultados de imágenes las “palabras”
que les brindaba el software.
Extrem y p
os i
S xis
intá
ncial
va
lores po
sible
s
En general el alumno tiende a aceptar los
resultados que “devuelve” el software sin pensar si
existe o no coherencia con lo que sabe o está
resolviendo.
Puede evidenciarse un progreso en control del
dominio de funciones, ya que alrededor del 80%
respondió correctamente.
En cuanto a los puntos extremos y de inflexión,
solo un 50% logró el objetivo propuesto.
Durante las entrevistas se manifestó una mejora en
el control de la sintaxis del programa, evidencia
del trabajo continuado durante el año.
Con respecto al control de resultados del
Mathematica en comparación a la función
exponencial, aproximadamente el 60% de los
alumnos no pudo realizarlo, a pesar de contar con
los elementos necesarios para ello.
También fue escaso el porcentaje de alumnos que
controlaron si los resultados obtenidos pertenecían
al intervalo correspondiente.
Aunque en la entrevista se observa una mejoría en los resultados, creemos que los alumnos no están
acostumbrados a tener visión retrospectiva para revisar pertinencia y adecuación de las respuestas, ya sean
propias o arrojadas por el software. El diseño de las actividades los obligó a repensar respuestas, controlar
resultados y a verificar soluciones que pueden llegar a ser erróneas.
ANALIZAR
Trabajos prácticos
Entrevistas

9. 100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
Di sconti n.
Domi ni o
Di sconti n.
Domi ni o
M
23
18
M
3
5
R
31
56
R
28
15
B
46
26
B
70
80
Con respecto a analizar dominio las dificultades
mayores se dieron en el primer trabajo, ya que la
mayoría de los alumnos no sabían qué ecuación o
desigualdad debían plantear. En cuanto al análisis de
las discontinuidades, el error más frecuente fue no
tener en cuenta la lateralidad en los límites.
Puede observarse una mejora en analizar de dominio
y discontinuidades de funciones.
Esta habilidad requiere mayor elaboración personal que uso del software, lo que pudo evidenciarse en la
corrección de los trabajos en la que los errores estaban relacionados con los conceptos y no con el uso del
Mathematica. La mejora en el desarrollo de esta habilidad podría estar relacionada en el trabajo sobre los
conceptos, tanto en el aula como en el taller con el uso del software.
DEDUCIR
Trabajos prácticos
Entrevistas
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
M
P.I P.cr íti co
R
B
28
51
21
Ante la proposición “Si un punto tiene derivada
primera (o segunda) cero entonces es extremo (o
punto de inflexión)”, los alumnos debían contestar
verdadero o falso, justificando en cada caso. Como
observamos en el histograma, la mayoría contestó M
o R. Uno de los errores más frecuentes fue responder
verdadero y brindar un ejemplo para justificar.
0
M
Car act gr al es
R
B
6
23
71
Consideramos “deducir características globales de
funciones” a: dada una consigna que brinda ciertas
características de una función (por ejemplo
paridad)
deducir, a partir de ellas, otras
particularidades El 71% de los alumnos pudo
deducir estas características mencionadas con los
datos proporcionados. Los alumnos entrevistados
podían ayudarse graficando en Mathematica
diferentes situaciones. Este pudo haber sido un
factor que favoreció la calidad de las respuestas
brindadas. Así mismo los conceptos involucrados
son muy trabajados durante todo el año.

10. En el caso de deducir, los conceptos trabajados en los dos casos fueron diferentes. En los trabajos no se
plantearon ejercicios para que el alumno deduzca características globales de una función a partir de diferentes
datos, sin embargo, el trabajo en detalle con ciertos conceptos permitió que frente a situaciones planteadas en
la defensa bien distintas a las resueltas en los trabajos, pero vinculadas con conceptos básicos como paridad,
asíntotas, discontinuidades, puntos críticos, el alumno pudo dar respuesta y en todos los casos apoyándose
con el software.
COMPARAR
Trabajos prácticos
Entrevistas
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
Gr áf i cos/ tr ansf
Def i ni ci ones
Rdos anal íti cos/ Rdos
gr áf i cos
Gr áf i cos/ tr ansf
Def i ni ci ones
Rdos anal íti cos/ Rdos
gr áf i cos
M
5
46
49
M
5
14
16
R
41
33
36
R
20
37
34
B
54
21
15
B
75
49
50
No hubo dificultades en comparar transformaciones
de funciones en forma analítica y gráfica, aunque
observamos problemas en cuanto a expresar de
manera coloquial las conclusiones extraídas.
En el caso de definiciones, muchos alumnos
confunden intervalo de crecimiento con conjunto de
positividad y puntos críticos con extremos.
En cuanto a comparar resultados analíticos con
gráficos usando función exponencial el desempeño
no fue aceptable; no han podido comparar el
resultado analítico del software con el gráfico,
respondiendo erróneamente.
Observamos que el 75% de los alumnos no tienen
dificultades al reconocer los movimientos que se
efectúan en una gráfica, ya que el uso del software
facilita la visualización de gráficos.
Se evidencian dificultades en la de definiciones, e
intervalo de crecimiento con conjunto de
positividad y puntos críticos con extremos.
Puede apreciarse un desarrollo aceptable en la
comparación de los resultados analíticos con los
gráficos.
Se han incrementado los porcentajes de desarrollo de esta habilidad, que podría atribuirse al uso del software,
el cual facilita la realización de gráficos y la modificación de parámetros, haciendo que la comparación
resulte rápida y eficaz, permitiendo extraer conclusiones con mayor certeza.
6. Conclusiones.
A través de este trabajo hemos podido desarrollar una metodología para estudiar la función y alcance de las
actividades propuestas y tener un acercamiento al grado de aprendizaje de las habilidades propiciadas por las
mismas. Consideramos que queda en evidencia que el estudio de una habilidad en estrecha relación con
contenidos claves para la asignatura, provee una mejor información sobre el desarrollo de la misma y los
aprendizajes de los conceptos.
Los resultados de la entrevista final, nos permiten inferir que aquellas habilidades que fueron promovidas por
las actividades del taller durante el año con mayor frecuencia, han mejorado los porcentajes de desarrollo y
que en esto el uso del software ha jugado un papel importante, especialmente en habilidades como controlar
y comparar. También cabe mencionar que estos avances se manifestaron en relación a todos los contenidos
considerados, aún en los tratados en las actividades iniciales del taller (del TP 1), como por ejemplo
“identificar si un valor pertenece o no al dominio de una función”.
Pudimos observar, en el transcurso de este estudio, la potencialidad didáctica del uso del software. A través
de la visualización, usando gráficos, y el ahorro de los cálculos simbólicos y numéricos que realiza el

11. programa sin esfuerzo por parte del alumno, se tiene más oportunidad para que el estudiante ponga el acento
en los conceptos, en las deducciones, en la construcción y empleo de ejemplos y contraejemplos, etc.
Este análisis nos invita a reformular la planificación de las actividades del taller de informática, haciendo
especial énfasis en un diseño que favorezca el desarrollo de habilidades matemáticas, se afiancen los
conceptos y se amplíe el espectro de las mismas a través del uso del software Mathematica. Otro aspecto a
tener en cuenta como objetivo futuro es fomentar más habilidades conceptuales, metacognitivas y
heurísticas, y registrar su desarrollo y evolución tanto en forma grupal como individual, no sólo porcentual.
Finalmente nos proponemos también un seguimiento más personalizado de los alumnos, es decir
pretendemos a futuro comparar el desarrollo de habilidades en los trabajos prácticos, la entrevista personal de
cada uno, con el desempeño del mismo en los exámenes parciales, que en el presente estudio no se ha tenido
en cuenta.
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