Integral definida y área

10/29/15 110/29/15 1
 INTEGRACION POR PARTES
 INTEGRAL DEFINIDA
 AREAS DE CURVAS PLANAS EN
COORDENADAS RECTANGULARES

10/29/15 ING. CESAR ALBERTO SANCHEZ ESQUIVEL 210/29/15 ING. CESAR ALBERTO SANCHEZ ESQUIVEL 2
INTEGRACIÓN POR PARTES
1. El dv debe de poderse integrar
fácilmente
2. dx es siempre parte de dv
3. debe de ser igual o mas
simple que la integral inicial
∫vdu
∫∫ −= vduuvudv

Para elegir “u” se considera la
primera función que aparezca de
izquierda a derecha de acuerdo con:
I: funciones Inversas Trigonométricas;
L: funciones Logaritmo Neperiano;
A: funciones Algebraicas;
T: funciones Trigonométricas;
E: funciones Exponenciales.

Ejemplo 1
∫ dxxx ln ∫−= dx
x
xx
x
1
22
ln
22
∫−= dx
xx
x
22
ln
2
c
x
x
x
+−=
4
ln
2
22
xu ln= xdxdv =
dx
x
du
1
=
∫= xdxv
2
2
x
v =
∫−= xdx
x
x
2
1
2
ln
2
22
1
2
ln
22
xx
x −=

Ejemplo 2
∫ dxsenxx
xu =
dxdu =
dxsenxdv =
∫= senxdxv
xv cos−=
∫−−−= xdxxx coscos
∫+−= xdxxx coscos
csenxxx ++−= cos

Ejemplo 3 ∫∫ −= vduuvudv
∫ =dxxex
xu = dxedv x
=
dxdu =
∫= dxev x
x
ev =
∫− dxexe xx
cexe xx
+−=

Ejemplo 4
∫− xdxex
2
∫ =dxex x2
2
xu = dxedv x
=
xdxdu 2= ∫= dxev x
x
ev =
∫− xdxeex xx
22
x
ex2
xu =
dxdu =
dxedv x
=
∫= dxev x
x
ev =
=
[ ]∫−−= dxexeex xxx
22
∫+−= dxexeex xxx
222
cexeex xxx
++−= 222

Ejemplo 5 ∫∫ −= vduuvudv
∫ dxsenxex
xsenu = dxedv x
=
xdxdu cos= ∫= dxev x
x
ev =
∫−= dxxeesenx xx
cos
xu cos=
dxsenxdu −=
dxedv x
=
∫= dxev x
x
ev =
[ ]∫ −−−= dxsenxeexsenxe xxx
)(cos
[ ]∫+−= senxdxeexsenxe xxx
cos
∫−−= senxdxexesenxe xxx
cos∫ dxsenxex
cxesenxesenxdxesenxdxe xxxx
+−=+∫ ∫ cos
cxesenxesenxdxe xxx
+−=∫ cos2 c
xesenxe xx
+
−
=
2
cos
cxesenxe xx
+−= cos
2
1
2
1

INTEGRAL DEFINIDA
∫ −=
b
a
aFbFdxxf )()()(
La integral definida es el área bajo una curva

Ejemplo 1
∫ +−
2
1
2
)23( dxxx
2
1
23
2
2
3
3
x
xx
+−=






+−−+−= )1(2
2
)1(3
3
1
)2(2
2
)2(3
3
)2( 2323
=−+−+−=+−−+−= 2
2
3
3
1
46
3
8
)2
2
3
3
1
(46
3
8
6
1
−

Ejemplo 2
∫ +
2
0
22
)2( xdxx ∫ +=
2
0
22
2
2
)2( xdxx ∫ +=
2
0
22
2)2(
2
1
xdxx
2
0
32
3
)2(
2
1 +
=
x
6
)22( 32
+
=
6
)20( 32
+
−
3
104
6
8
36 =−

AREAS DE CURVAS PLANAS EN
COORDENADAS RECTANGULARES
dxxfA
b
a
∫= )(
∫=
b
a
dyyfA )(
Y=f (x)a b
∫=
b
a
ydxA
a
b X=f (y)
∫=
b
a
xdyA

Ejemplo 1
Encuentre el área limitada por la curva el eje x y las
rectas x= -1, x=3.
2
xy =
∫=
b
a
ydxA ∫−
=
3
1
2
dxxA
3
1
3
3 −
=
x
A
3
)1(
3
3 33
−
−=A
=+=
−
−=
3
1
3
27
3
)1(
3
27
A
2
3
28
u

Ejemplo 2
x
ey =Encuentre el área limitada por la curva , el eje de
las x y las rectas x= 0, x= 2
∫=
b
a
ydxA ∫=
2
0
dxeA x
2
0
x
e= 02
ee −=
138.7 −= 2
38.6 u=

Ejemplo 3
Encuentre el área limitada por la curva , el eje x y las
rectas x=1, x = -2
2
)1( −= xy
2
9uA =

10/29/15 ING. CESAR ALBERTO SANCHEZ ESQUIVEL 16
Ejemplo 4
Encuentre el área limitada por la curva el eje de las
y y las rectas y=0 , y=7
13
−= xy
13
+= yx
13
+= yx
3 1+= yx
∫=
b
a
dyyfA )( dyyA ∫ +=
7
0
3 1
∫ +=
7
0
3
1
)1( dyyA
4
)10(3
4
)17(3 3
4
3
4
+
−
+
=A
7
0
3
4
3
4
4
)1(3
3
4
)1( +
=
+
=
yy
4
)1(3
4
)8(3 3
4
3
4
−=A
==−=−= 2
4
45
4
3
4
48
4
3
4
)16(3
uA
2
25.11 u

Ejemplo 5
Encuentre el área comprendida entre la curva el eje x
y las rectas x= -2, x= 2
42
+= xy
∫−
+=
2
2
2
)4( dxxA
∫∫ −−
+=
2
2
2
2
2
4dxdxxA
2
2
3
4
3
−+= x
x ))2(4
3
)2(
()2(4
3
2 33
−+
−
−+=
8
3
8
8
3
8
)8
3
8
(8
3
8
+++=−
−
−+
2
3
64
u=

Ejemplo 6
Encuentre el área comprendida entre la curva el eje y, y las rectas
y= 1, y= 3
2
yx =
∫=
b
a
xdyA ∫=
3
1
2
dyyA
3
1
3
3
y
A =
3
1
3
3 33
−=
3
1
9 −= 2
3
26
u= 2
66.8 u=

Ejemplo 7
Encuentre el área comprendida entre la curva y = ln x, el eje x
y las rectas x =1, x=4
∫=
4
1
ln xdxA∫=
b
a
ydxA
xvdx
x
du
dxdvxu
==
==
1
ln
∫−= dx
x
xxx
1
ln 4
1ln xxx −=
)11ln1(44ln4 −−−=
144ln4 +−= 34ln4 −= 2
54.2 u=

Ejemplo 8
Calcular el área de una arcada de la función y= sen x y el eje x
∫=
b
a
ydxA ∫=
π
0
senxdxA π
0cos xA −=
)0cos(cos −−−= π
)1()1( −−−−=
11+= 2
2u=

Ejemplo 9
Encuentre el área limitada por la curva y el eje de las x.

Área entre curvas
∫ −=
b
a
is dxyyA )(
∫ −=
b
a
id dyxxA )(
a
b
a
b
Con respecto a “x”
Con respecto a ”y”
Ejemplo 10

Ejemplo 9
xy 62
=yx 62
=
∫ −=
b
a
is dxyyA )(
Calcular el área comprendida entre las curvas
con respecto al eje x.
6
∫ −=
6
0
2
)
6
6( dx
x
xA ∫∫ −=
6
0
2
6
0
2
1
6
1
)6( dxxdxxA
36
1
6)6(
6
1 36
0
2
1 x
dxx −= ∫ 18
2
3
)6(
6
1 32
3
xx
−=
6
0
32
3
189
)6( xx
−=








−−−=
18
0
9
)0*6(
18
6
9
)6*6( 32
3
32
3
18
216
9
36 2
3
−=
18
216
9
216
−= 2
12u=

Ejemplo 10
042
=− xy 42 −=− xyEncuentre el área entre la curva la recta
respecto a y.
2
4
4
2
+
==
y
x
y
x ∫ −=
b
a
id dyxxA )(
∫−
−
+
=
4
2
2
)
42
4
( dy
yy
A ∫−
−+=
4
2
2
)
4
2
2
( dy
yy
4
2
32
12
2
4 −
−+=
y
y
y
12
)2(
)2(2
4
)2(
(
12
4
4*2
4
4 3232
−
−−+
−
−−+=
)
12
8
41(
12
64
84 +−−−+=
2
9u=

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