1. AUTORES:
ALEGRE, CLARA
ORTELLADO, YANINA
ZAMBÓN, NICOLÁS
INSTITUTO DE NIVEL TERCIARIO
“PROF. EDUARDO A. FRACCHIA”
TALLER I
Aplicaciones de la Integral Definida
PROPUESTA DIDÁCTICA

2. Introducción
Esta propuesta didáctica serealizaconmotivo delespaciocorrespondiente al
ProfesoradodeMatemáticas,denominado TALLERI: Aplicacionesdela
Integral Definida.
Comenzaremosutilizandola sumasuperior y la sumainferior deunafunción
definidaenunintervalo[a,b],asociadasaunaparticióndelmismo.Estassumas
sonaproximaciones al área que queremos calcular.
Luego,paraelcálculoexactodelárea utilizaremos ellímitedelasumatoriadelos
n rectángulos de aproximación,considerando el extremoderecho,izquierdo y
puntomedio.
Finalmente,concluimosconladefinicióndeIntegralDefinida,lacualseasociaal
valorexactodelárea quesepretende calcular.

3. Objetivos
 Explicitar Norma de P.
 Explicar Sumas de Riemann: suma de áreas de rectángulos de
aproximación.
 Explicar concepto de Notación Sigma.
 Calcular el límite de la sumatoria de rectángulos de aproximación
considerando extremos derecho e izquierdo y punto medio, en distintos
intervalos.
 Conceptualizar Integral Definida a partir del límite de sumatoria.
 Utilizar gráficos construidos mediante el software GeoGebra como
método de contrastación con los cálculos analíticos.

4. Desarrollo
Función: x3 + 8
Seanaliza enlosintervalos[0,2] y [-2,0]
Consideramos[0,2] :
SedivideelintervaloensubintervalosmediantelaparticiónP,el
conjuntodeparticiónes:
0; 0,5 ; 1 ; 1,5 ; 2
SedefinelanormadeunaparticiónP,comolalongituddelintervalo
máslargodelaparticiónysedenotallPll.

5. LallPllvaríacuandolosintervalossonirregulares.Enestecaso,
comolosintervalossonregulares,lallPllcoincidecon Δx.
Δx1 =x1 -x0 = o,5–0= 0,5
Δx2 =x2 -x1 = 1– 0,5= 0,5
Δx3 =x3 -x2 = 1,5 – 1= 0,5
Δx4 =x4 -x3 = 2 – 1,5= 0,5
Enestecaso:
llPll=máx. 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ; 0,5
Entonces: llPll=0,5

6. P definensubintervalos.Siencadasubintervaloseseleccionaun
puntoyseconstruyeunrectángulo,conelintervalo(Δx)comobasey
f(x)comoaltura,setienequeeláreadelrectánguloes f(x).Δx.
Comosetienennrectángulos,sesumantodaslasáreas.Estasumaque
dependedePydelasseleccionesdelospuntosquepuedenser
extremosderechos,izquierdosopuntosmedios,ladenominamos
SumasdeRiemannpara f en[a,b].
Estassumastomansunombredelmatemáticoalemán
BernhardRiemann.
Elproblemadeestemétododeintegraciónnuméricaesquealsumar
lasáreas delosrectángulosseobtieneunmargendeerrormuygrande
respectodelvalorrealdeláreabajolacurvaenelintervalodado.

7. CÁLCULO DE LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS
RECTÁNGULOS DE APROXIMACIÓN (Sumas de RIEMANN)
Por ExtremoDerecho:(error por exceso)
Área=f(2).0,5+f(1,5).0,5+f(1).0,5+f(0,5).0,5
Área=(23+8).0,5+(1,53+8).0,5+(13+ 8).0,5+(0,53 +8).0,5
Área = 22,25
En este caso, la Norma de P (ll P ll)
determina 4 subintervalos, en
consecuencia, se calcula el área de 4
rectángulos de aproximación.
Mientras más sean los
subintervalos determinados por
P, más nos aproximaremos al
valor real del área que
pretendemos calcular.

8. Por ExtremoIzquierdo:(error por defecto)
Área=f (0).0,5+f(0,5).0,5+f(1).0,5+f (1,5).0,5
Área=(03+8).0,5+(0,53+8).0,5+(13+8).0,5+(1,53+8).0,5
Área = 18,25
Por PuntoMedio:
Área=f(0,25).0,5+f(0,75).0,5+ f(1,25).0,5+f(1,75).0,5
Área=(0,253+8).0,5+(0,753 +8).0,5+(1,25 3+8).0,5+(1,753+8).0,5
Área = 19,87
EL GRÁFICO CORRESPONDE AL CÁLCULO
POR EXTREMO IZQUIERDO
Al calcular el área sumando los rectángulos
de aproximación, el error que se comete es
menor si se considera el Punto Medio.

9. CÁLCULO DE ÁREAPORAPROXIMACIÓN
Sumas de Riemann
Cálculoporextremoderecho(SumaSuperior)
Para n= 8 Para n= 16

10. CÁLCULO DE ÁREAPORAPROXIMACIÓN
Sumas de Riemann
Cálculoporextremoizquierdo(SumaInferior)
Para n= 8
Para n= 16

11. NOTACIÓN SUMATORIA
SedenominaNotaciónSumatoriaoSigmaalasumadentérminos:
a1,a2,a3,….,an seescribe:
i = índicedesuma
ai = i-ésimotérminodelasuma
límiteinferior =1
límitesuperior=n
Loslímitesinferior y superior de lasumahan deserconstantes respecto del
índice desuma.Sinembargo, para el límite inferior cualquier entero menor o
igual queel límitesuperior es válido.

12. Propiedades de Sumatoria
Las siguientespropiedades se deducenusandolasleyes asociativa y
conmutativa de lasuma y la distributiva de lasuma respecto de la
multiplicación.
I. Enlaprimera propiedad, kesunaconstante:
II.Enlasegundapropiedad, seutiliza ladistributiva delasuma:

13. FÓRMULAS DE SUMA
Estasfórmulasseutilizanparacalcular,deformarápida,la
sumatoriade n términos.Seguidamente,mediantelaaplicación
dellímitesecalculacuando

14. CÁLCULO DE ÁREA MEDIANTE APLICACIÓN DE LÍMITE DE
SUMATORIA
Se emplea la siguiente ecuación:
Cuando
La Norma de P :
Siendo la función: x 3 + 8 y el intervalo [0,2]
Se considera xi : Entonces xi :
Se usan:
xi como Extremo Derecho
xi -1 como Extremo Izquierdo
xi - 1/2 como Punto Medio
Como la cantidad de los rectángulos de aproximación tiende a infinito, en
consecuencia, se obtiene el VALOR REAL DEL ÁREA.
Se utilizan los distintos extremos y punto medio sólo a efectos de comparar el
cálculo analítico, comprobándose de ese modo que en todos los casos el
resultado es el mismo. .

24. LaIntegralDefinidadeunafunciónenunintervalo[a,b]esel
número A quesatisfacelacondición:
Para cualquiereleccióndepuntosdelosintervalos:
extremoderecho(xi)
extremoizquierdo(xi-1)
puntomedio(xi–1/2 )
ElnúmeroAserepresentapor:
Se lee“integraldefdexdesdeahastab”.
Entonceselcálculodeláreabajounacurvaconsiderandocualquier
puntodelintervalo[a,b] esexacto,siserealizamedianteellímitede
sumatoriaqueesigualalaIntegralDefinida.

25. LeibnizcreóestesímboloparalaintegralenlaúltimapartedelsigloXVII.Elsímbolo
es unaSalargada de summa(palabralatinaparasuma).
Lanotacióndelaintegraldefinidaayudaatenerencuentaelsignificadodela
misma.Elsímbolohacereferenciaalhechodequeunaintegralesellímitedeuna
sumadetérminosdelaforma"f(x)porunapequeñadiferenciadex".Laexpresión
dx noseconsideraporseparado,notienesignificadoporsimismosinoqueforma
parte delaexpresióncompleta.
Laexpresióndx indica"unaporcióninfinitesimalmentepequeñadex"quese
multiplicaporunvalordelafunción.Estainterpretaciónayudaaentenderel
significadodelaIntegral Definida.

26. Recordemos que mediante las
Sumas de Riemann se obtuvieron
los siguientes cálculos de área:
Por Extremo Derecho: 22,25
Por Extremo Izquierdo: 18,25
Por Punto Medio: 19,87
Como se expresó anteriormente,
considerando el Punto medio se comete
un error menor respecto del valor real del
área . Asimismo , el error disminuye
cuando se incrementa el número de los
rectángulos de aproximación.

27. Función: x3 + 8
Consideramos[-2,0] :
SedivideelintervaloensubintervalosmediantelaparticiónP,el
conjuntodeparticiónes:
-2; -1,5; -1; -0,5 ; 0
Análogamente sedeterminaque:
llPll=máx. 0,5 ; 0,5 ; 0,5 ; 0,5
Entonces: llPll=0,5

28. CÁLCULO DE LA SUMA DE LAS ÁREAS DE LOS
RECTÁNGULOS DE APROXIMACIÓN (Sumas de RIEMANN)
Por Extremo Derecho: (error por exceso)
Área = f(0).0,5 + f(-0,5).0,5 + f(-1).0,5 + f(-1,5).0,5
Área = (03+8).0,5 + [(-0,5) 3 + 8]. 0,5 + [(-1) 3 + 8].0,5 + [(-1,5) 3 + 8]. 0,5
Área = 13,75
En este caso, la Norma de P (ll P ll)
determina 4 subintervalos, en
consecuencia, se calcula el área de 4
rectángulos de aproximación.
Mientras más sean los
subintervalos determinados por
P, más nos aproximaremos al
valor real del área que
pretendemos calcular.

29. Por ExtremoIzquierdo:(errorpordefecto)
Área =f(-2).0,5+f(-1,5).0,5+f(-1).0,5+f(-0,5).0,5
Área =[(-2)3 +8].0,5+[(-1,5)3 +8].0,5+[(-1)3 +8].0,5+[(-0,5)3 +8].0,5
Área = 9,75
EL GRÁFICO CORRESPONDE AL CÁLCULO
POR EXTREMO IZQUIERDO
Por PuntoMedio:
Área= f(-1,75).0,5+f(-1,25).0,5+f(-0,75).0,5+f(-0,25).0,5
Área=[(-1,75)3 +8].0,5+[(-1,25)3 +8].0,5+[(-0,75)3 +8].0,5+[(-0,25)3 +8].0,5
Área = 12,125
Al calcular el área sumando los rectángulos
de aproximación, el error que se comete es
menor si se considera el Punto Medio.

30. CÁLCULO DE ÁREAPORAPROXIMACIÓN
Sumas de Riemann
Cálculoporextremoizquierdo(SumaInferior)
Para n= 16
Para n= 32

31. CÁLCULO DE ÁREAPORAPROXIMACIÓN
Sumas de Riemann
Cálculoporextremoderecho(SumaSuperior)
Para n= 16 Para n= 32

32. CÁLCULO DE ÁREA MEDIANTE APLICACIÓN DE LÍMITE DE
SUMATORIA
Se emplea la siguiente ecuación:
Sea la función: x3 + 8
Se considera un intervalo [a , b] que no inicia en el origen: [-2,0]
En este caso se considera que xi =
Entonces : xi =
Se usa xi como Extremo Derecho, xi -1 como Extremo Izquierdo y
xi - 1/2 como Punto Medio del i-ésimo subintervalo a efectos de comparar el
cálculo analítico .

39. Recordemos que mediante las
Sumas de Riemann se obtuvieron
los siguientes cálculos de área:
Por Extremo Derecho: 13,75
Por Extremo Izquierdo: 9,75
Por Punto Medio: 12,125
Como se expresó anteriormente,
considerando el Punto medio se comete
un error menor respecto del valor real del
área . Asimismo , el error disminuye
cuando se incrementa el número de los
rectángulos de aproximación.

40. Conclusión
ConlaintegraldeRiemannhemosvistosuimportanciaencuantoapodercalcular
áreas, supusoun gran avance para lasmatemáticasy seincorporóalasbasesde
lamatemáticaactual.
La notación deintegralcreada por Leibniz estanútilysignificativaquesu
desarrollo puedeconsiderarse unapiedra angularenlahistoriadelamatemática
y laciencia.
Gracias a losaportesdeéstos yotros matemáticos esposibleestablecerqueel
valordelárea debajo delagráfica de unafunción sepuedecalcular
aproximadamente pormediodesumasobienexactamentecomoellímitedeuna
sumatoria,quenoesotracosa que loque sedenominaIntegralDefinida.

41. Bibliografía
http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm
http://calculointegral-itcm.infored.mx/811923_1-3-Suma-de-
Riemann.html