matematicas funciones

1. Propiedades de las funciones
Sesión 2.1 Presencial
 Continuidad
 Funciones crecientes y decrecientes
 Función acotada
 Extremos locales y absolutos
 Simetrías
 Asíntotas
 Funciones negativa y positivas

2. Introducción
2
A partir de la gráfica determine:
• Puntos de discontinuidad.
• Intervalos de monotonía.
• Cotas superior e inferior.
• Extremos locales y absolutos.
• Simetrías.
• Asíntotas.
• Los ceros de la función.
𝑦
𝑥

3. Investigue acerca de las discontinuidades que se
dan en cada caso:
1. Continuidad
3
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
𝑦
𝑥

4. Concepto geométrico de función continua
x
y
Continua en toda x Discontinuidad removible Discontinuidad removible
xa
f(a)
y
xa
y
x
y
a
Discontinuidad de salto Discontinuidad infinita
x
y
a
Resolver ejercicios 21, 22, 23 y 27. Pág. 102
4

5. 2. Intervalos de Monotonía
5
1
2
3
Una función f es creciente en un intervalo si,
para cualquiera dos puntos en el intervalo, un
cambio positivo en 𝑥 ocasiona un cambio positivo
en 𝑓 𝑥 .
Una función f es decreciente en un intervalo
si, para cualquiera dos puntos en el intervalo, un
cambio positivo en 𝑥 ocasiona un cambio negativo
en 𝑓 𝑥 .
Una función f es constante en un intervalo si,
para cualquiera dos puntos en el intervalo, un
cambio positivo en 𝑥 ocasiona un cambio nulo en
𝑓 𝑥 .

6. Determine los intervalos en que f es creciente,
decreciente o constante.
Ejemplo
6
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 2
𝑓 𝑥 =
𝑥2
𝑥2 − 1

7. 3. Concepto geométrico de acotamiento
No acotada por arriba
No acotada por debajo
x
y
Acotada por arriba
No acotada por debajo
x
y
No acotada por arriba
Acotada por debajo
y
x
Acotada
x
y
7

8. Acotamiento
8
Una función f está acotada por debajo si existe
algún número b que sea menor o igual a todo
número en el rango de f. Cualquiera de estos
números b se denomina cota inferior de f.
Una función f está acotada por arriba si existe
algún número B que sea mayor o igual a todo
número en el rango de f. Cualquiera de estos
números B se denomina cota superior de f.
Una función f está acotada si está acotada por
arriba y por debajo.
Desarrolle: el ejemplo 7 (página 95).
Resolver: ejercicios 21, 33 y 37. Pág. 102.
Use Winplot o el Derive.

9. x
y
P
Q
R
4. Extremos
Sea D el dominio de 𝑓.
para todo 𝑥D.
El número 𝑓 𝑐 se llama valor máximo absoluto de
𝑓en D.
Los valores máximo y mínimo se conocen
genéricamente como valores extremos absolutos
de 𝑓. 9
𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥
𝑓 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥
Se dice que cD es un punto de máximo absoluto de 𝑓 si:
Se dice que cD es un punto de mínimo absoluto
de 𝑓 si:
para todo 𝑥D.
El número f(c) se llama valor mínimo absoluto
de 𝑓 en D.

10. 𝑓 𝑐 ≥ 𝑓 𝑥
Se dice que c es un punto de máximo relativo o local de
𝑓 si:
para todo 𝑥 en algún intervalo abierto dentro del dominio
de 𝑓 que contiene a c.
Valores máximos y mínimos locales
Los valores máximo y mínimo locales se conocen
genéricamente como valores extremos locales de 𝑓.
10
𝑓 𝑐 ≤ 𝑓 𝑥
para todo 𝑥 en algún intervalo abierto dentro del dominio
de 𝑓 que contiene a c.
Se dice que c es un punto de mínimo relativo o local de
𝑓 si:

11. Ejemplo
11
A partir de la gráfica, determine los extremos
absolutos y locales

12. 𝑦
𝑥
5. Simetrías
Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica
𝑥 𝑓 𝑥
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
(−𝒙; 𝒚) (𝒙; 𝒚)
12
Las funciones
con
esta propiedad
reciben el
nombre de:
FUNCIONES
PARES
𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥
𝑥 ∈ Dom 𝑓
A. con respecto al eje 𝑦

13. Forma gráfica Forma numérica Forma algebraica
𝑥 𝑓 𝑥
-3 -27
-2 -8
-1 -1
1 1
2 8
3 27
Resolver el ejemplo 9 (página 98) u otros similares
B. Simetría con respecto al origen
13
Las funciones
con
esta propiedad
reciben el
nombre de:
FUNCIONES
IMPARES
𝑦
𝑥
( 𝒙; 𝒚)
(−𝒙; −𝒚)
𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥
𝑥 ∈ Dom 𝑓

14. Ejemplo
Determine si las siguientes funciones con las reglas
de correspondencia que se muestran son simétricas;
clasifique las mismas:
14
𝑎) 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 5𝑥2 + 4
𝑏) 𝑓 𝑥 =
𝑥3
𝑥2 + 4
𝑐) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1
𝑑) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 2

15. 𝑦
𝑥
6. Asíntotas
La recta 𝑦 = b es una asíntota
horizontal de la gráfica de una función
𝑦 = 𝑓 𝑥 , si 𝑓 𝑥 se aproxima a b
como límite, cuando 𝑥 tiende a +∞ o
–∞.
En la notación de límites:
La recta 𝑥 = a es una asíntota vertical
de la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓 𝑥 ,
si 𝑓 𝑥 tiende a +∞ o –∞, cuando 𝑥
se aproxima a a por cualquier
dirección.
En notación de límites:
15
lim
𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 𝑏 lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 𝑏
lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = ±∞ lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = ±∞
𝒚 = 𝒃
𝒙 = 𝒂
𝒙 = −𝒂

16. 7. Ceros de una función
Determinar los ceros de una función, es equivalente a
determinar las intersecciones 𝑥 de la gráfica de
𝑦 = 𝑓 𝑥 , o las soluciones de la ecuación 𝑓 𝑥 = 0.
a) Determine los ceros de
la función, cuya grafica se
presenta.
b) Determine los ceros de
las funciones con regla de
correspondencia:
16
1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑥 − 3
2) 𝑔 𝑥 = 4 − 𝑥2 − 2

17. 17
8. Intervalos positivos o negativos de una función
Determinar los intervalos donde una función es
positiva o negativa, es equivalente a determinar los
valores en el eje 𝑥 tal que 𝑓 𝑥 > 0 o 𝑓 𝑥 < 0 ,
respectivamente.
Ejemplo: Determine los intervalos donde 𝑓 es positiva y
los intervalos donde 𝑓 es negativa.
a) A partir de la gráfica
b) A partir de la regla de
correspondencia
𝑓 𝑥 =
(𝑥2 + 4𝑥) 𝑥 + 2
𝑥 − 3

18. 18
ClassPad
Graficando la función con
Para
modificar
la escala
1°
Seleccione
Opción y=
2°
Escribir
la
ecuación
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 4
𝑥 − 3
Dom 𝑓 = −2; 4 − {3}

19. 19
ClassPad
Seleccione

20. Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro
texto guía.
Ejercicios de la sección 1.2
Pág. 102 - 105
20
Bibliografía