para alumnos de 4to año de secundaria

1. PROFESOR: Marco Antonio
Zegarra Pareja

2. O Es una característica de la expresión algebraica, dada por el
exponente de sus letras, el cual debe ser un número entero
y positivo. El exponente permite además determinar el
número de soluciones que tiene una ecuación. El grado
puede ser relativo y absoluto.
− 6 푥3
No olvidar, el grado de
las expresiones
algebraicas lo definen
los exponentes de las
variables
coeficiente exponente
signo
parte lineal
¿Qué es grado?

3. GRADO
ABSOLUTO
GRADO
RELATIVO
DE MONOMIOS
DE
POLINOMIOS

4. MONOMIO
Es la mínima expresión algebraica formado por un solo término
algebraico.
GRADO ABSOLUTO (G.A)
Es la suma de los exponentes de todas las letras del
monomio.
Ejemplo:
푴 = 풙ퟐ풚ퟑ풛−ퟏ
G.A.M.: 2 + 3 – 1 =
4
GRADO RELATIVO (G.R)
Está dado por el exponente de una letra del monomio.
Ejemplo:
푴 = ퟒ풙ퟑ풚ퟓ풛ퟒ풘ퟐ
G.R.M. y = 5
G.R.M. x = 3
que se lee: “el grado relativo del
monomio respecto a la letra y es 5
y respecto a la letra x, es 3”.

5. POLINOMIO
Es una expresión algebraica que tiene 2 o más términos algebraicos.
Por convención, se denomina:
Binomio: cuando tiene 2 términos
Trinomio: cuando tiene 3 términos, etc.
GRADOS ABSOLUTO
DE UN
POLINOMIO(G.A.P.)
Está dado por el grado del término
que tiene mayor grado absoluto.
Ejemplo: Sea el polinomio:
푃 = 4푥2푦3푤4 + 3푥푦5푤 − 18푥6푦8푤7
G.A. de 4푥2푦3푤4 = 2 + 3 + 4 = 9
G.A. de 3푥푦5푤 = 1 + 5 + 1 = 7
G.A. de 18푥6푦8푤7 = 6 + 8 − 7 = 7
Luego: G.A.P. = 9
GRADO RELATIVO DE
UN
POLINOMIO(G.R.P.)
Está dado por el mayor exponente de
la letra referida en el problema. Así
en el polinomio del ejemplo anterior:
G.R.P. respecto a x = 6
G.R.P. respecto a y = 8
G.R.P. respecto a w = 7

6. A. Método clásico:
1. Se ordenan los polinomios, generalmente en forma descendente.
2. Se escribe éstos en línea horizontal, uno a continuación del otro y utilizando el
signo de la división aritmética.
3. Se divide el primer termino del dividendo, entre el primer término del divisor, lo
cual da el primer término del cociente.
4. Este primer término se multiplica por cada uno de los términos del divisor y se
resta de los correspondiente términos del dividendo.(se cambian de signo los
productos).
5. Se incorpora al residuo, el siguiente término del divisor. Se divide el primer
término del resto obtenido, entre el primer término del divisor y se obtiene el
segundo término del cociente.
6. Se procede como el paso 4, y así sucesivamente, hasta terminar la división.
6푥3 + 5푥2푦 − 26푥푦2 + 33푦3
−6푥3 + 9푥2푦 − 3푥푦2
14푥2푦 − 29푥푦2 + 33푦3
−14푥2푦 − 21푥푦2 + 7푦3
El cociente es: 3푥 + 7푦
El resto es: 8푥푦2 + 26푦3
−8푥푦2 + 26푦3
2푥2 − 3푥푦 + 푦2
3푥+7푦
Ejemplo:

7. B. Método de Horner:
1. Se escribe los coeficientes del dividendo en una fila de izquierda a derecha con su
propio signo.
2.Se escribe los coeficientes del divisor en una columna de arriba hacia abajo, a la
izquierda del primer término del dividendo; el primero de ellos con su propio signo y
los restantes con signos cambiados.
3.El primer término del dividendo se divide entre el primer término del divisor,
obteniéndose el primer término del cociente, el cual se anota en la última fila del
cuadro.
4.Se multiplica este término del cociente solamente por los términos del divisor a
los cuales se les cambio su signo, colocándose los resultados a partir de la segunda
columna a la derecha.
5.Se reduce la siguiente columna (efectuando la operación indicada) y se coloca este
resultado en la parte superior para dividirlo entre el primer coeficiente del divisor y
obtener el segundo termino del cociente.(en el ejemplo: +14 - 2 = +12).
6.Se multiplica este cociente por los términos del divisor a los cuales se cambio de
signo, colocándose los resultados a partir de la tercera columna a la derecha.
7.Se continúa este procedimiento hasta obtener un término debajo del último
término del dividendo, separando inmediatamente los términos del cociente y resto.
El número de términos del resto está dado por el número de términos que tiene el
último paso.
8.Se suma verticalmente obteniéndose los coeficientes del residuo. El grado del
cociente y del resto se obtiene tal como se indicó en el Método de Coeficientes
separados.

8. 8푥5 + 14푥4 + 5푥3 + 16푥2 + 3푥 + 2 ∶ 4푥2 + 푥 + 3
Nuestro resultado debe cumplir con los siguientes grados
° 푞 = ° 퐷 − ° 푑 = 5 − 2 = 3
° 푟 = ° 푑 − 1 = 2 − 1 = 1
 Grado del cociente :
 Grado del residuo :
Procedimiento:
.. 12 -4 +8
4 8 +14 +5 +16 +3 +2
-1 -2 -6
-
3
-9
+1 +3
-2 -6
2 +3 -1 +2 4 -4
-
3
cociente resto
• Cociente:
푄 푥 = 2푥3 + 3푥2 − 푥 + 2
• Resto:
푅 푥 = 4푥 − 4

9. O Este método se utiliza para dividir
polinomios cuando el divisor es un
binomio de primer grado.
O Se presenta tres casos:
1º Cuando el divisor es de forma 푥 ± 푏
2º Cuando el divisor es de la forma 푎푥 ±

10. 1. Se escribe los coeficientes del dividendo en línea horizontal. Completando
previamente, si fuese necesario.
2. Se escribe el término independiente del divisor, con signo cambiado, un lugar a
la izquierda y un lugar abajo del primer coeficiente del dividendo.
3. Se multiplica como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer
coeficiente del cociente, es igual al primer coeficiente del dividendo.
4. Para obtener los coeficientes del cociente, se separa la última columna, la cual
constituye el resto.
Ejemplo: 4푥4 − 5푥3 + 6푥2 + 7푥 + 8 ∶ 푥 + 1
Procedimiento
4 -5 +6 +7 +8
-1 -4 +9 -15 +8
4 -9 +15 -8 +16
Coeficientes del cociente
resto
Grado del
cociente: ° 푞 = ° 퐷 − ° 푑 = 4 − 1 = 3
∴ Cociente:
4푥3 − 9푥2 + 15푥 − 8
Resto: 16
*

11. 1. Se transforma el divisor a la primera forma, sacando en factor común el primer coeficiente
del divisor:
푎푥 ± 푏 = 푎 푥 ±
푏
푎
2. Se divide entre 푥 ±
푏
푎
operando como el primer caso.
3. Los coeficientes del cociente obtenido son divididos entre el coeficiente de “x” del divisor.
4. El resto obtenido no se altera.
Ejemplo: 18푥5 − 29푥3 − 5푥2 − 12푥 − 16 ÷ 3푥 + 2
Procedimiento: Factorizando el denominador: 3푥 + 2 = 3 푥 +
2
3
18 0 -29 -5 -12 -16
−
2
3
-12 +8
18 -12
+14 -6
+12
+21 +9 -18
-4
Resto
Coeficientes del cociente
por 3
Grado del cociente
° 푞 = ° 퐷 − ° 푑 = 5 − 1 = 4
Verdaderos coeficientes del
coc1i8en−te1:2 − 21 + 9 − 18
3
= 6 − 4 − 7 + 3 − 6
∴ 퐶표푐푖푒푛푡푒:
푞 = 6푥4 − 4푥3 − 7푥2 + 3푥 − 6
Resto: r = - 4
x

12. La resolución sólo es posible por el método de Ruffini cuando los exponentes de la variable
del dividendo son múltiplos enteros de la variable del divisor.
El procedimiento se explica a través del siguiente ejemplo:
6푥36 + 17푥27 − 16푥18 + 17푥9 + 12 ÷ 3푥9 + 1
Procedimiento:
1. Se observa que los coeficientes de la variable del dividendo sean múltiplos del exponente
de la
v2a. rSiaeb flaec dtoerl izdaivieslo dr.ivisor:
3 푥9 +
1
3
3. Se divide como en el primer caso.
4. Cada uno de los coeficientes del cociente obtenido, se divide entre coeficiente de “x” del
divisor.
6 +17 -16 +17 +12
−
1
3
-2 -5
6 +15
+7 -8
-21 +24 +4
Resto
Coeficientes del cociente
por 3
Grado del cociente
° 푞 = ° 퐷 − ° 푑 = 36 − 9 =27
Verdaderos coeficientes del
coci6e+nt1e5: − 21 + 24
3
= 2 + 5 − 7 + 8
∴ 퐶표푐푖푒푛푡푒:
푞 = 2푥27 + 5푥18 − 7푥9 + 8
Resto: r = + 4
x

13. Consiste en hallar el residuo de una división sin realizar la división.
“El resto de dividir un polinomio en "푥", racional y entero, entre un binomio de la forma 푎푥 ± 푏 ,
es igual al valor numérico que adquiere dicho polinomio cuando se reemplaza en él "푥" por ±푏
푎 .
REGLA: Para hallar el resto se procede así:
1) Se iguala el divisor a cero:
푎푥 ± 푏 = 0
2) Se despeja “x”
푥 =
±푏
푎
3) Se reemplaza en el polinomio dividendo la
variable “x” por:
±푏
푎
se efectúa operaciones, el resultado es el
valor del resto.
푟 = 푃 ±
푏
푎
Ejemplo: Hallar el resto:
6푥4 + 3푥3 − 19푥2 + 14푥 − 15 ÷ 2푥 − 3
Procedimiento:
1° 2푥 − 3 = 0 ⇒ 푥 =
3
2
2°
푟 = 푃
3
2
= 6
3
2
4
+ 3
3
2
3
−19
3
2
2
+ 14
3
2
− 15
푟 = 15/4

14. Ejemplo:2
O Hallar el resto
6푥3 + 19푥2 + 18푥 + 9 ÷ 3푥 +5
Resolución
Procedimiento:
1°
3푥 + 5 = 0 ⇒ 푥 = −
5
3
2° 푟 = 푃 −
5
3
= 6 −
5
3
3
+ 19 −
5
3
2
+ 18 −
5
3
+9
푟 = 6 −
125
27
+ 19
25
9
+ 18 −
5
3
+ 9
푟 = −
750
27
+
475
9
−
90
3
+9 푟 = 4

15.  Binomio al cuadrado:
Suma de binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el
doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
풂 + 풃 ퟐ = 풂ퟐ + ퟐ풂풃 + 풃ퟐ
풙 + ퟑ ퟐ = 풙ퟐ + ퟐ풙ퟑ + ퟑퟐ = 풙ퟐ + ퟔ풙 + ퟗ
Resta de binomio al cuadrado
Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el
doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
풂 − 풃 ퟐ = 풂ퟐ − ퟐ풂풃 + 풃ퟐ
ퟐ풙 − ퟑ ퟐ = ퟐ풙 ퟐ − ퟐ. ퟐ풙. ퟑ + ퟑퟐ = ퟒ풙ퟐ − ퟏퟐ풙 + ퟗ
 Suma por diferencia:
Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
풂 + 풃 . 풂 − 풃 = 풂ퟐ − 풃ퟐ
풂 + 풃 . 풂 − 풃 = 풂ퟐ + 풂풃 − 풂풃 + 풃ퟐ = 풂ퟐ − 풃ퟐ
Comprobación
ퟐ풙 + ퟓ . ퟐ풙 − ퟓ = ퟐ풙 ퟐ − ퟓ ퟐ = ퟒ풙ퟐ − ퟐퟓ
Ejemplo
Ejemplo
Ejemplo

16.  Binomio al cubo:
Suma de binomio al cubo
Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por
el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
풂 + 풃 ퟑ = 풂ퟑ + ퟑ. 풂ퟐ . 풃 + ퟑ. 풂. 풃ퟐ + 풃ퟑ
풙 + ퟑ ퟑ = 풙ퟑ + ퟑ. 풙ퟐ . ퟑ + ퟑ. 풙. ퟑퟐ + ퟑퟑ = 풙ퟑ + ퟗ풙ퟐ + ퟐퟕ풙 + ퟗ
Resta de binomio al cubo
Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero
por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
풂 − 풃 ퟑ = 풂ퟑ − ퟑ. 풂ퟐ . 풃 + ퟑ. 풂. 풃ퟐ − 풃ퟑ
ퟐ풙 − ퟑ ퟑ = ퟐ풙 ퟑ − ퟑ. ퟐ풙 ퟐ . ퟑ + ퟑ. ퟐ풙. ퟑퟐ − ퟑퟑ = ퟖ풙ퟑ − ퟑퟔ풙ퟐ + ퟓퟒ풙 − ퟐퟕ
 Trinomio al cuadrado:
Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el
cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el
tercero, más el doble del segundo por el tercero.
풂 + 풃 + 풄 ퟐ = 풂ퟐ + 풃ퟐ + 풄ퟐ + ퟐ. 풂. 풃 + ퟐ. 풂. 풄 + ퟐ. 풃. 풄
풙ퟐ − 풙 + ퟏ
ퟐ
= 풙ퟐ ퟐ
+ −풙 ퟐ + ퟏퟐ + ퟐ. 풙ퟐ. −풙 + ퟐ. 풙ퟐ. ퟏ + ퟐ. −풙 . ퟏ
= 풙ퟒ +풙ퟐ + ퟏ − ퟐ풙ퟑ + ퟐ풙ퟐ − ퟐ풙
= 풙ퟒ − ퟐ풙ퟑ + ퟑ풙ퟐ − ퟐ풙 + ퟏ
Ejemplo
Ejemplo
Ejm.

17.  Suma de cubos:
풂ퟑ + 풃ퟑ = 풂 + 풃 . 풂ퟐ − 풂풃 + 풃ퟐ
ퟖퟑ + ퟐퟕ = ퟐ풙 + ퟑ . ퟒ풙ퟐ − ퟔ풙 + ퟗ
 Diferencia de cubos:
풂ퟑ − 풃ퟑ = 풂 − 풃 . 풂ퟐ + 풂풃 + 풃ퟐ
ퟖퟑ − ퟐퟕ = ퟐ풙 − ퟑ . ퟒ풙ퟐ + ퟔ풙 + ퟗ
 Cocientes notables:
풂ퟐ − 풃ퟐ
풂 + 풃
= 풂 − 풃
풂ퟐ − 풃ퟐ
풂 − 풃
= 풂 + 풃
풂ퟑ − 풃ퟑ
풂 − 풃
= 풂ퟐ + 풂풃 + 풃ퟐ 풂ퟑ + 풃ퟑ
풂 + 풃
= 풂ퟐ − 풂풃 + 풃ퟐ
Ejm.
Ejm.

18. Son del tipo:
0 0 2 ax  bx c  a 
1) Ecuaciones incompletas (b = 0 ó c =
o)
ax2  bx  c  0
1.1) Cuando b = 0
Ejemplo:
2 8 0 2 x  
Se resuelve como si
fuese de primer grado
2
x
2 8
4
2


x
2 1 x 
2 2 x  
1.2) Cuando c = 0
Ejemplo:
2 8 0 2 x  x 
Se saca factor
común a «x»
x 2x8 0
2x8 0
x  0
x  4

19. 2) Ecuaciones completas:
Ejemplo:
2 5 3 0 2 x  x  
Se aplica la fórmula:
b  5
4 2   
b b a c
a
x
2

a  2
c  3
5 5 4.2.( 3) 2    
2.2
x 
5  25  24
4
x 
 5  7
4
x 
 57
4
x
 57
4
x
2
4
x 
12
4
x
1
2
x 
x3
a,b,c  0

20. Se llama DISCRIMINANTE de una ecuación de segundo grado al valor:
b 4a c 2   
El nº de soluciones de una ecuación de segundo grado dependerá del
SIGNO del Determinante.

Si:
> 0 Tiene 2 soluciones reales distintas
 = 0 Tiene 1 solución DOBLE
 < 0 No tiene solución

21. A partir de la fórmula se obtienen las siguientes propiedades
1) Suma de raíces:
b
a
x x

  1 2
2) Producto de raíces:
c
a
x  x  1 2

22. Es un método que permite factorizar trinomios de la forma:
• Se descomponen en dos factores los términos extremos.
• Se realiza un producto en aspa y los resultados se adicionan, dicho resultado
debe ser idéntico al término central del trinomio dado.
• Los factores se escriben en forma horizontal.
TRINOMIO DE LA FORMA : ax2 + b x + c
FACTORIZAREMOS: 6풙ퟐ- 7xy – 20
풚ퟐ
Aplicamos el método del aspa simple :
6풙ퟐ - 7xy – 20 풚ퟐ
3x +4y
2x -5y
6 풙ퟐ
- 7xy – 20 푦2 = (3x + 4y)(2x – 5y) R.