este es un proyecto para la realizacion de un hiperbolografo, el como hacer un hiperbolografo de manera analitica y estructuralmente

1. GEOMETRIA ANALITICA
PROYECTO FINAL
(HIPERBOLOGRAFO)
PAULA GERALDINE ARIAS PEREZ
ALEJANDRO ZAMBRANO
JESSICA NIÑO
JORGE ENRIQUE GORDILLO ARDILA
ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERIA JULIO GARAVITO
Bogotá, 14 de mayo de 2014

2. OBJETIVO GENERAL
 Construir un aparato que trace una cónica y demostrarlo analíticamente.
MARCO TEORICO
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección
de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. Las
distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del
eje del cono. Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una
circunferencia; si se lo inclina ligeramente, se obtiene una elipse; cuando es
paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola y si corta a ambas
ramas del cono la curva es una hipérbola.
HIPERBOLA
La hipérbola es un lugar geométrico de los puntos P en el
plano, con la propiedad de que la diferencia positiva entre
las distancias de P a dos puntos fijos del plano (llamado
foco de la hipérbola) es constante.
Supongamos que los focos en este caso los nombraremos
como f1= (-c, 0) y f2=(c, 0) y llamemos 2a a la diferencia de
las distancias, entonces los puntos (x, y) de la hipérbola se
cumple que c > a.

3. ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA
 La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la
mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.
 El punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto
medio de los focos) se llama centro de la hipérbola.
 Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente
corta al eje real) se llaman vértices de la hipérbola.
 Se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las
distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se
le llama radios vectores del punto.
 El cociente e = c / a, que es un número mayor que 1, se llama
excentricidad de la hipérbola.
ECUACIONES DE LA HIPERBOLA
Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de
coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma canónica.
Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

4. APLICACIONES DE LA HIPÉRBOLA
La hipérbola tiene una propiedad interesante: Si unimos cualquier punto, P, de
la hipérbola con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la
tangente en ese punto, son iguales.
Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues
la emisión, de luz o sonido, desde el foco se refleja en la dirección de la recta
que une el otro foco con el punto.
Aplicada en astronomía: Trayectorias de cometas.
Un cuerpo celeste que provenga del exterior del sistema solar y sea atraído por
el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo como un foco al sol y saldrá
nuevamente del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.
En el siguiente esquema se puede ver cómo se pueden combinar las
propiedades ópticas de la parábola y la hipérbola para construir un telescopio.
En mecánica se usan en el diseño de estructuras hay algunas veces que los
resultados de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola.
Si usas una linterna (cuyo haz de luz es cónico) y la colocas paralela a una
pared, el borde de luz que se ve contra la pared es una perfecta hipérbola.

5. PLANTEAMIENTO MATEMÁTICO
Un punto C vértice opuesto a la base (eje x) de un triángulo isósceles de lados
congruentes de longitud se mueve sobre la recta , encuentre el lugar
geométrico del punto L vértice de un triángulo isósceles con la misma base y
lados congruentes de longitud √ .
 H se mueve en la recta
 Los puntos L y H son colineales, es decir están sobre la misma recta


 ;
Por lo tanto:

6. √
Igualando las dos ecuaciones:
Reemplazando:
Por lo tanto el lugar geométrico del punto L vértice de un triángulo isósceles, es
una hipérbola equilátera, con centro en el origen y , de ecuación:

7. CONSTRUCCION GEOGEBRA
1. Trazamos un segmento ̅̅̅̅ de longitud cualquiera
2. Hallamos el punto medio del segmento ̅̅̅̅ y hacemos una
circunferencia con centro en el punto medio M.

8. 3. Graficamos las rectas y
4. C, D, E y F son los puntos de intersección de las rectas y
con la circunferencia. Trazamos los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ para
hacer un cuadrado de lados congruentes.

9. 5. Colocamos un punto cualquiera H sobre el segmento ̅̅̅̅, hallamos el
punto medio del segmento ̅̅̅̅̅, y con la opción de compas hacemos una
circunferencia con radio ̅̅̅̅̅ y centro en H.
6. I y J son los puntos de intersección de la circunferencia con el segmento
̅̅̅̅, Trazamos los segmentos ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ y una recta que pase por el punto
H y perpendicular al segmento ̅̅̅̅.

10. 7. K es el punto de intersección del segmento AB y el segmento FC, con la
opción de compas trazamos una circunferencia de radio KC y centro en
J. L y N son los puntos de intersección de la circunferencia con la
perpendicular que pasa por el punto H.
8. Construimos el rombo de lados congruentes ILJN

11. 9. Por ultimo activamos el rastro de los puntos L y N y movemos el punto
H.

12. MAQUINA

14. CONCLUSIONES
 Aprendimos a construir un hiperbolografo y a entender como era su
funcionamiento analíticamente basándonos en el planteamiento
matemático de la hipérbola.

15. BIBLIOGRAFIA
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Las_conic
as_como_lugares_geometricos/Las_conicas_como_lugares_geometricos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola
http://www.geoan.com/conicas/ecuacion_hiperbola.html
http://www.buenastareas.com/ensayos/Aplicaciones-De-La-
Hiperbola/3268664.html
http://www.monografias.com/trabajos82/definicion-grandes-conicas/definicion-
grandes-conicas2.shtml#ixzz31ijc5CDw
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/hipasint.htm