2° SEM32 WORD PLANEACIÓN PROYECTOS DARUKEL 23-24.docx
Conicas (1)
1. Profesora:
Castro, Gabriela SECCIONES CÓNICAS
Ciudad Guayana, Marzo de 2016
UNIVERSIDAD CATÓLICA ANDRÉS BELLO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
ASIGNATURA: CÁLCULO I
2. ELEMENTOS DE LAS
CÓNICAS:
Una superficie
cónica de
revolución está
engendrada por la
rotación de una
recta alrededor de
otra recta fija,
llamada eje, a la
que corta de modo
oblicuo.
5. ELEMENTOS DE LAS
CÓNICAS:
Las hojas son las
dos partes en las
que el vértice
divide a la
superficie cónica
de revolución.
6. ELEMENTOS DE LAS
CÓNICAS:
Se denomina
sección cónica a la
curva intersección
de un cono con un
plano que no pasa
por su vértice.
En función de la relación existente entre el ángulo de
conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje
del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones
cónicas.
8. LA CIRCUNFERENCIA
Una circunferencia es el lugar geométrico
de los puntos P(x,y) que equidistas de un
punto fijo C llamado centro.
d(P,C)=r
Sea P(x,y) un punto cualquiera verificando d(P,C)=r, siendo r
el radio y C(x0,Y0) el centro. De la fórmula de distancia de
dos punto se tiene
Y elevando al cuadrado se obtiene la ecuación de la
circunferencia
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen se tiene
la ecuación reducida
𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟
𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
9. RECTA TANGENTE A UNA
CIRCUNFERENCIA
Si desde un punto P(x,y) trazamos una recta t, será
tangente a una circunferencia cuando la distancia del
centro a la recta coincida con el radio.
La recta es tangente si
d(C,t)=radio
La recta se llama exterior si
d=(C,t)>radio
La recta se llama secante si
d=(C,t)<radio
10. LA ELIPSE
Una elipse es el lugar geométrico de los P(x,y) cuya suma de distancias
a dos puntos fijos F y F’ (focos) es constante.
𝑃𝐹 + 𝑃𝐹′ = 2𝑎
La ecuación reducida de una elipse cuando los ejes están situados en
el eje Ox y 𝑃𝐹 + 𝑃𝐹′ = 2𝑎 correspode a:
a es el semieje mayor
b es el semieje menor
Focos F(c,0) y F’(-c,0)
Vértices A, A’, B y B’
En el gráfico se tiene :
BF=a OB=b OC=c
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 1
11. LA ELIPSE
Excentricidad
Llamamos excentricidad e de
una elipse al cociente entre la
distancia focal y el eje real
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
𝑎2−𝑏2
𝑎
Cambio de centro
La ecuación de la tangente
a la elipse en el punto P
es:
Ecuación de la tangente
La ecuación de la elipse
cuando el centro esta en
el punto O(u,v) es:
𝑥 − 𝑢 2
𝑎2 +
𝑦 − 𝑣 2
𝑏2 = 1
𝑥0 𝑥
𝑎2 +
𝑦0 𝑦
𝑏2 = 1
12. LA HIPÉRBOLA
Una hipérbola es el lugar geométrico de los P(x,y) cuya diferencia
de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos) es constante.
𝑃𝐹 − 𝑃𝐹′ = ±2𝑎
La ecuación reducida de una Hipérbola cuando los ejes están
situados en el eje Ox y 𝑃𝐹 − 𝑃𝐹′
= ±2𝑎 correspode a:
a es el semieje mayor
b es el semieje menor
Focos F(c,0) y F’(-c,0)
Vértices A, A’, B y B’
B y B’ son los corte de la circunferencia con centro en A y radio
c
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
13. LA HIPÉRBOLA
Excentricidad
Llamamos excentricidad e de
una hipérbola al cociente entre
la distancia focal y el eje real
𝑒 =
𝑐
𝑎
> 1
Cambio de centro
La ecuación de la tangente
a la hipérbola en el punto
P es:
Ecuación de la tangente
La ecuación de la
hipérbola cuando el
centro esta en el punto
O(u,v) es:
𝑥 − 𝑢 2
𝑎2 −
𝑦 − 𝑣 2
𝑏2 = 1
𝑥0 𝑥
𝑎2 −
𝑦0 𝑦
𝑏2 = 1
14. LA PARÁBOLA
Una parábola es el lugar geométrico de los P(x,y) que equidistan de una
recta fija 𝛿(directriz) y de un punto fijo F(foco).
𝑃𝐹 = 𝑑(𝑃, 𝛿)
La ecuación reducida de una Parábola cuando los ejes están situados en el
eje Ox y directriz δ = 𝑥 = −
𝑝
2
correspode a:
La recta VF es el eje
Foco F (p/2,0)
El vertice es V(0,0)
directriz δ = 𝑥 = −
𝑝
2
𝑉𝐹 = −
𝑝
2
Si trasladamos una parábola al vértice V(u,v) su ecuación, es:
𝑦2
= 2𝑝𝑥
𝑦 − 𝑢 2
= 2𝑝 𝑥 − 𝑣
15. REFERENCIAS
Cónicas (2014), recuperado el 14/03/2016 de:
http://www.vitutor.com/geo/coni/f_1.html
González, J. Las Cónicas (2004), recuperado el
14/03/2016 de:
http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_
1/conicas.pdf
