1. DUALIDAD KERR/CFT
HERRAMIENTAS PARA SU
COMPRENSIÓN
Alejo Hernández - DF - FCE - UNLP

2. DUALIDAD GAUGE/
GRAVEDAD

3. JUAN MARTÍN
MALDACENA
THE LARGE N LIMIT OF
SUPERCONFORMAL FIELD THEORIES
AND SUPERGRAVITY

4. […] EL TRABAJO
DE MALDACENA
ABRIÓ LAS
COMPUERTAS.
A. Polyakov

5. DUALIDAD GAUGE/GRAVEDAD
CÓMO SE DEFINE?
▸ La dualidad Gauge/Gravedad,
también conocida como dualidad
AdS/CFT o Principio Holográfico,
establece una relación entre dos
teorías
▸ Teoría Cuántica de Campos (QFT)
en un espacio-tiempo d
dimensional
▸ Teoría de Gravedad en un espacio-
tiempo (d+1) dimensional cuya
frontera asintótica es d dimensional

6. DUALIDAD GAUGE/GRAVEDAD
POR QUÉ RESULTA ÚTIL?
▸ Se trata de una dualidad
débil-fuerte
▸ Cuando los Campos en la
Teoría Cuántica están
fuertemente acoplados,
aquellos en la Teoría de
Gravedad no lo están y
viceversa

7. Shebeke - Rashad Alakbarov

8. DUALIDAD GAUGE/GRAVEDAD
APLICACIONES
▸ Teorías de Campos en acoplamiento
fuerte:
▸ QCD (Quark-Gluon plasma)
▸ AdS/CMT (Superconductores,
Superfluídos, Metales Extraños)
▸ Teorías de Gravedad en el régimen
cuántico:
▸ Espacio-tiempo cuánticos
▸ Paradoja de la información en
agujeros negros

9. DUALIDAD KERR/
CFT

10. DUALIDAD
KERR/CFT
PROPUESTA POR ANDREW
STROMINGER ET AL. EN 2008 Y
PROFUNDIZADA EN LAS CARGÉSE
LECTURES DE 2010

11. DUALIDAD KERR/CFT
POR QUÉ ME INTERESA ESTUDIARLA?
▸ Porque comprende los
conceptos básicos que me
permitirán profundizar en el área
de la dualidad Gauge/Gravedad,
QFT y Teoría de Cuerdas
▸ Porque constituye una
realización de la dualidad
Gauge/Gravedad que emplea
una métrica existente en el
Universo
Orchid - Fabian Oefner

12. DUALIDAD KERR/CFT
HOJA DE RUTA
▸ Identificaremos la geometría correspondiente
a la región cercana al horizonte de un agujero
negro rotante
▸ Encontraremos la familia de geometrías que
asintóticamente se ven igual que esta
▸ Hallaremos los cambios de variables
(difeomorfismos) que respeten la forma
asintótica
▸ Calcularemos las cargas de Noether asociadas
a estas simetrías y calcularemos sus corchetes
de Dirac
▸ Mediante el formalismo canónico,
cuantizaremos las cargas

13. J. D. BROWN &
MARC HENNEAUX
CENTRAL CHARGES IN THE CANONICAL
REALIZATION OF ASYMPTOTIC SYMMETRIES: AN
EXAMPLE FROM THREE DIMENSIONAL GRAVITY

14. GEOMETRÍA DE
KERR

15. GEOMETRÍA DE
KERR
PROPUESTA POR ROY
KERR EN 1963

17. […] LA SOLUCIÓN DE
KERR HA SOBREPASADO EL
MERO INTERÉS TEÓRICO:
POSEE PROPIEDADES QUE
TIENEN UN AURA
MILAGROSA SOBRE SÍ.
S. Chandrasekhar

18. GEOMETRÍA DE
KERR
DESCRIBE EL COMPORTAMIENTO
DEL ESPACIO-TIEMPO EN TORNO A
UN AGUJERO NEGRO ROTANTE QUE
NO POSEE CARGA

19. GEOMETRÍA DE KERR
FORMULACIÓN GEOMÉTRICA
ds2
=
⇢2
dt a sin2
(✓) d
2
+
⇢2
dr2
+
sin2
(✓)
⇢2
(r2
+ a2
) d a dt
2
+ ⇢2
d✓2
La métrica en coordenadas de Boyer-Lindquist resulta
donde
= r2
2Mr + a2
, ⇢2
= r2
+ a2
cos2
(✓) , a = J/M

20. GEOMETRÍA DE KERR
ANILLO DE SINGULARIDADES Y HORIZONTES DE EVENTOS
A su vez, como la censura cósmica prohibe la existencia
de singularidades desnudas, esto establece una cota para
el momento angular, i.e,
La raíz de rho define el anillo de singularidades
= 0 =) r± = M ±
p
M2 a2
a  M =) J  M2
Las raíces de Delta definen los horizontes de eventos
⇢ = 0 =) r = 0 y ✓ =
⇡
2

21. GEOMETRÍA DE KERR
ESTRUCTURA CAUSAL DEL ESPACIO DE KERR
= a2
sin2
(✓)

23. GEOMETRÍA DE
KERR EXTREMA

24. GEOMETRÍA DE KERR
MÉTRICA PARA UN AGUJERO DE KERR EXTREMO
ds2
=
⇢2
⇣
dˆt a sin2
(✓) dˆ
⌘2
+
⇢2
dˆr2
+
sin2
(✓)
⇢2
⇣
(ˆr2
+ a2
) dˆ a dˆt
⌘2
+ ⇢2
d✓2
Para un agujero negro de Kerr extremo, a=M, la métrica
adopta la forma
= (ˆr a)
2
, ⇢2
= ˆr2
+ a2
cos2
(✓)
donde ahora

25. GEOMETRÍA
LÍMITE NHEK

27. OH MY GOD! IT’S
FULL OF STARS!
David Bowman

28. GEOMETRÍA DE KERR
LÍMITE CERCANO AL HORIZONTE PARA UN AGUJERO DE KERR EXTREMO
Luego, realizamos el cambio de variables
r =
ˆr M
M
t =
ˆt
2M
= ˆ
ˆt
2M
manteniendo fijas las nuevas coordenadas mientras
hacemos tender lambda a 0 y obtenemos así la métrica NHEK
ds2
NHEK = 2 ⌦2
J

dr2
r2
+ d✓2
r2
dt2
+ ⇤2
(d + rdt)
2
en la que
⌦2
=
1 + cos2
(✓)
2
, ⇤ =
sin(✓)
⌦2

29. GRUPO ASINTÓTICO
DE SIMETRÍAS

30. GRUPO ASINTÓTICO DE SIMETRÍAS
DEFINICIÓN
▸ Dada una métrica con ciertas condiciones de contorno, definimos
su Grupo Asintótico de Simetrías (ASG) como el grupo cociente
▸ Los difeomorfismos permitidos son aquellos que preservan la
forma asintótica de la métrica
▸ Los difeomorfismos triviales son aquellos que no son físicamente
relevantes,i.e., no presentan contribuciones asintóticas
ASG =
Difeomorfismos permitidos
Difeomorfismos triviales

31. GRUPO ASINTÓTICO DE SIMETRÍAS
MÉTRICA NHEK Y CONDICIONES DE CONTORNO
0
B
B
@
htt = O (r2
) ht = O (1) ht✓ = O (1/r) htr = O (1/r2
)
h t = ht h = O (1) h ✓ = O (1/r) h r = O (1/r)
h✓t = ht✓ h✓ = h ✓ h✓✓ = O (1/r) h✓r = O (1/r2
)
hrt = htr hr = h r hr✓ = h✓r hrr = O (1/r3
)
1
C
C
A
Dada la métrica NHEK
donde
ds2
NHEK = 2 ⌦2
J

dr2
r2
+ d✓2
r2
dt2
+ ⇤2
(d + rdt)
2
gµ⌫ ! gµ⌫ + hµ⌫
Estudiamos sus deformaciones

32. GRUPO ASINTÓTICO DE SIMETRÍAS
ASG PARA LA MÉTRICA NHEK
⇠ = ✏( ) @ r ✏0
( ) @r
Establecidas las condiciones de contorno, el difeomorfismo
más general que las preserva es
De esta manera, descartando los términos asociados con
difeomorfismos triviales, tenemos
⇠ =
⇥
✏( ) + O (1/r2
)
⇤
@ + [ r ✏0
( ) + O (1)] @r
+
⇥
C + O (1/r3
)
⇤
@t + [O (1/r)] @✓

33. GRUPO ASINTÓTICO DE SIMETRÍAS
ÁLGEBRA DE LIE PARA LOS GENERADORES DEL ASG
⇠n = ⇠(✏n) = e in
@ inr e in
@r
i [⇠n, ⇠m] = (m n) ⇠m+n
Realizando un desarrollo de Fourier sobre la función angular
obtenemos los generadores del ASG en términos de un
entero n
✏( ) ! ✏n( ) = e in
y con ellos calculamos el álgebra de Lie del ASG, el cual
resulta ser un álgebra de Witt

34. CARGAS
ASOCIADAS

35. TEOREMA DE
NOETHER
SI UN SISTEMA PRESENTA UNA
SIMETRÍA CONTINUA, ASOCIADA A
LA MISMA HABRÁ UNA CARGA
CONSERVADA

36. ÁLGEBRA DE CARGAS
CÁLCULO DE CARGAS ASOCIADAS CON LAS SIMETRÍAS ASINTÓTICAS
Q⇠ =
Z
V olumen
X +
Z
Borde
C
Las cargas asociadas con los generadores del ASG tienen la
forma general
pero debido a los vínculos que presenta la Teoría, la integral
de volumen se anula y las contribuciones son sólo términos
de borde, i.e.,
Q⇠ =
Z
Borde
C

37. ÁLGEBRA DE
CARGAS

38. ÁLGEBRA DE CARGAS
ESTRUCTURA DEL ÁLGEBRA DE CARGAS CLÁSICO
{Q⇠, }DB = L Q⇠
{Q⇠, Q⌘}DB = Q[⇠,⌘] + c⇠⌘
Por otra parte, las cargas así obtenidas satisfacen
Así, usando cargas asociadas a distintas simetrías y la
identidad de Jacobi podemos obtener el álgebra de cargas
clásico
el cual presenta una extensión central que nos interesa
calcular

39. ÁLGEBRA DE CARGAS
CÁLCULO DE LA EXTENSIÓN CENTRAL
c⇠⌘ =
1
8⇡G
Z
@ ⌃
K⌘(L⇠g, g)
K⌘(h, g) =
1
4
[⌘⌫
rµ
h ⌘⌫
r hµ
+ ⌘ r⌫
hµ
+
1
2
hr⌫
⌘µ
+
1
2
h ⌫
(rµ
⌘ r ⌘µ
)]✏↵ µ⌫dx↵
^ dx
La extensión central viene dada por una integral de
superficie
donde

40. ÁLGEBRA DE CARGAS
ÁLGEBRA DE CARGAS CLÁSICO PARA NHEK
Finalmente, el álgebra de cargas clásico asociado con la
descomposición de Fourier de los generadores del ASG
adopta la forma
Hasta aquí el análisis ha sido puramente clásico y
equivalente a lo hecho en el trabajo de Brown y Henneaux.
{Q⇠m
, Q⌘n
}DB = Q[⇠m,⌘n] iJ m3
+ 2m m+n

41. CUANTIZACIÓN DE
LA TEORÍA

42. CUANTIZACIÓN
CANÓNICA
USAMOS EL PROCEDIMIENTO
IDEADO POR P. A. M. DIRAC EN SU
TESIS DOCTORAL DE 1926 PARA
CUANTIZAR LA TEORÍA

43. CUANTIZACIÓN DE LA TEORÍA
ADIMENSIONALIZACIÓN DE LAS CARGAS Y CUANTIFICACIÓN
~ Ln = Q⇠n +
3
2
J n
{·, ·}DB !
i
~
[·, ·]
Redefinimos las cargas clásicas para adimensionalizarlas
y luego empleamos la receta canónica de Dirac para cuantizar,
pasando de corchetes clásicos a conmutadores
donde ahora los L son operadores que actúan en un espacio
de Hilbert

44. CUANTIZACIÓN DE LA TEORÍA
ÁLGEBRA DE VIRASORO
[Lm, Ln] = (m n) Lm+n +
J
~
m (m2
1) m+n
c =
12J
~
Así definidos, los operadores forman un álgebra de Witt que
presenta una extensión central, i.e.,
Si tomamos como carga central de la teoría a
este álgebra extendido resulta ser una copia del álgebra de
Virasoro.

45. CONCLUSIONES

46. CONCLUSIONES
QUÉ SE PUEDE DECIR SOBRE LO ENCONTRADO?
▸ Los estados cuánticos de la Teoría de
gravedad forman una representación del
álgebra de Virasoro, lo cual nos permite
establecer un vínculo con una CFT en 2D
▸ Si bien la teoría dual es una CFT en 2D,
no tenemos más detalles acerca de ella
(simetrías internas, contenido de campos)
▸ Como los agujeros negros de Kerr existen
en el Universo, la estructura encontrada
surge como límite de un sistema físico
realizable y esto no es común en la
dualidad.

47. DESARROLLOS
FUTUROS

48. DESARROLLOS FUTUROS
Y AHORA.. QUÉ?
▸ La idea principal es alejarse del
límite extremo y acoplar algún
campo EM de forma tal de que nos
permita ver hasta que punto se
mantiene la dualidad
▸ Lo aprendido en este trabajo sirve
de base para hacer cálculos en
otras realizaciones de la dualidad.
En particular, estamos estudiando
una posible realización dual del
efecto Hall cuántico en conjunto
con el Sr. Tobías Canavesi

49. C’EST FINI
MUCHAS GRACIAS