Este documento describe métodos para calcular las raíces de una ecuación, incluyendo métodos gráficos, de bisección, punto fijo, Newton-Raphson y secante. También explica la importancia de determinar las raíces de una ecuación y reglas como el teorema de Bolzano para ayudar a identificarlas.

1. Calculo de Raíces de
una ecuación.
Alejandro Bolaños Ussa
Diego Muñoz
Dany Mauricio Mejía

2. • El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es
determinar los valores de x para los que se cumple:
f(x) = 0

3. Importancia
• La determinación de las raíces de una ecuación es uno de los
problemas más antiguos en matemáticas y se han realizado un
gran número de esfuerzos en este sentido. Su importancia
radica en que si podemos determinarlas raíces de una
ecuación también podemos determinar:
• máximos y mínimos
• valores propios de matrices
• resolver sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales

4. Cálculo de raíces de
ecuaciones
• Si f(x) es una función polinómica de grado 1 ó 2, conocemos
expresiones simples que nos permitirán determinar sus raíces
• Para polinomios de grado 3 ó 4 es necesario emplear métodos
complejos y laboriosos
• Sin embargo, si f(x) es de grado mayor de cuatro o bien no es
polinómica, no hay ninguna fórmula conocida que permita
determinar los ceros de la ecuación (excepto en casos muy
particulares).

5. Reglas para determinar las
raíces de una ecuación.
• Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar
las raíces de una ecuación:
• El teorema de Bolzano, que establece que si una función
continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [ a , b ] valores
de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz
en dicho intervalo.
• En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de
grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que
tendrá n raíces reales o complejas.
• La propiedad más importante que verifican las raíces racionales
de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz
racional de la ecuación de coeficientes enteros:

6. • …Por lo tanto, el denominador q divide al coeficientes an y el
numerador p divide al término independiente a0.
• Ejemplo: Calcular las raíces racionales de la ecuación:
•3x3 + 3x2 - x - 1 = 0
• Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3:
• y después multiplicamos por 32:
•y3 + 3y2 -3y -9 = 0

7. Ejemplo:
• con lo que los candidatos a raíz del polinomio son:
• Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real
es y = -3, es decir:

8. Métodos para encontrar raices
• Regla falsa
• Bisección
• Grafico
• Punto fijo
• Newton Raphson
• Secante

9. Definiciones
• Método de la Regla falsa:
• El método combina el método de bisección y el método de la
secante.
• Método de bisección, corte binario o punto medio
• El método de la bisección o corte binario es un método de
búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la
función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de
la función en el punto medio.
• Método gráfico
• Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos
ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer
grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este
tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes
cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y
comprobar si se cortan y, si es así, dónde

10. Definiciones
• Método del punto fijo
• Es un método iterativo que permite resolver sistemas de
ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede
utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x),
siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.
• Método de Newton Raphson
• Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más
usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el
método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino
que basa su fórmula en un proceso iterativo.
• Método de la Secante
• Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi
nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y
después el mismo método se va retroalimentando.

11. Regla de Ruffini
• En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de
la división de cualquier polinomio entre un binomio de la
forma (x-r) . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso
especial de «división sintética» (una división de polinomios en
donde el divisor es un «factor lineal»).1 El Algoritmo de
Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini
(también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo
de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite asimismo
localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios
de la forma (x-r) (siendo r un número entero) si es coherente.