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1. Análisis de redes eléctricas
Transformada inversa de Laplace

2. Contenido – semana 3:
1. Transformada inversa de Laplace
Propiedades de la transformada de Laplace.
2. Fracciones parciales
Ejemplos.
3. Actividad en clase

3. 𝑓(𝑡) ℒ 𝐹(𝑠)
𝑖(𝑡) ℒ 𝐼(𝑠)
𝑒(𝑡) ℒ 𝐸(𝑠)
Corriente
TRANSFORMADA DE LAPLACE
¿?
𝑒(𝑡)
𝑖(𝑡)
Tensión
Transformadade Laplace
𝐹 𝑠 = න
0
∞
𝑓 𝑡 . 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

4. TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE
ℒ ℒ
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔)
Función Escalón 𝑢(𝑡)
1
𝑠
Función Impulso 𝛿(𝑡)
1
Función Exponencial e−at
.𝑢(𝑡)
1
𝑠 + a
Función Rampa 𝑡. 𝑢(𝑡)
1
𝑠2
𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔)
Función Seno 𝑠𝑒𝑛(𝜔0
𝑡).𝑢(𝑡)
𝜔0
𝑆2 + 𝜔0
2
Función Coseno 𝑐𝑜𝑠(𝜔0
𝑡).𝑢(𝑡)
𝑠
𝑆2 + 𝜔0
2
𝑠𝑒𝑛(𝜔0
𝑡). 𝑒−𝑎𝑡 𝑢(𝑡)
𝜔0
(𝑆 + 𝑎)2+𝜔0
2
𝑐𝑜𝑠(𝜔0
𝑡). 𝑒−𝑎𝑡 𝑢(𝑡)
s + a
(𝑆 + 𝑎)2+𝜔0
2
ℒ−1 ℒ−1
Katsuhiko Ogata: Apéndice A
Transformadade Laplace

5. Ejemplos: Hallar la transformada inversa de
Laplace de las siguientes funciones:
1. TransformadaInversade Laplace
𝐼 𝑠 =
3
𝑠
𝑖 𝑡 = 3𝑢(𝑡)
ℒ−1
ℒ−1
𝑉 𝑠 =
3
(𝑠 + 2)
𝑣 𝑡 = 3 𝑒−2𝑡
𝑢(𝑡)
𝐼 𝑠 =
1. 3
𝑠2 + 3
2 .
1
3
𝐼(𝑠) =
1
𝑠2 + 3
Se sabe que:
𝑠𝑒𝑛ω𝑡. 𝑢(𝑡) ՜
ℒ 𝜔
𝑠2+𝜔2
𝜔
𝜔
𝐼 𝑠 =
1
3
.
3
𝑠2 + 3
2
Rpta.
ℒ −1 𝑖 𝑡 =
1
3
. 𝑠𝑒𝑛 3 𝑡. 𝑢(𝑡)

6. Ejemplo: Hallar la transformada inversa de
Laplace de las siguiente función:
Un método para hallar la transformada
inversa de Laplace en este ejemplo, es
aplicando “fracciones parciales”.
Rpta.
2. Fraccionesparciales
𝐼(𝑠) =
2
𝑠(𝑠 + 3)
𝐼 𝑠 =
2
𝑠(𝑠 + 3)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
(𝑠 + 3)
𝐴 = ቤ
2
(𝑠 + 3) 𝑆=0
⇒ 𝐴 = ൗ
2
3
𝐵 = ቤ
2
𝑠 𝑆=−3
⇒ 𝐵 = − ൗ
2
3
𝐼 𝑠 =
2
3
.
1
𝑠
−
2
3
.
1
(𝑠 + 3)
ℒ−1
𝑖 𝑡 =
2
3
𝑢(𝑡) −
2
3
𝑒−3𝑡
𝑢(𝑡)
Solución:

7. Ejemplo: Hallar la transformada inversa de Laplace de las siguiente función:
𝐹.𝑃.
¿Se puede aplicar alguna
formula directa de la tabla?
Rpta.
𝑉 𝑠 =
8
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
ℒ−1
𝑉 𝑠 =
4
3
.
1
𝑠
− 4
1
𝑠 + 1
+ 4
1
𝑠 + 2
−
4
3
1
𝑠 + 3
v 𝑡 =
4
3
𝑢 𝑡 − 4𝑒−1𝑡𝑢(𝑡) + 4𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) −
4
3
𝑒−3𝑡 𝑢(𝑡)
𝑉 𝑠 =
8
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
(𝑠 + 1)
+
𝐶
(𝑠 + 2)
+
𝐷
(𝑠 + 3)
ቤ
𝐴 =
8
(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑆=0
⇒ 𝐴 = ൗ
4
3
ቤ
𝐵 =
8
𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑆=−1
⇒ 𝐵 = −4
ቤ
𝐶 =
8
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 3) 𝑆=−2
⇒ 𝐶 = 4
ቤ
𝐷 =
8
𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 𝑆=−3
⇒ 𝐷 = − ൗ
4
3
2. Fraccionesparciales

8. ¿Se puede aplicar alguna
formula directa de la tabla?
Artificio: Completando cuadrados
Tiene la forma:
𝑎 𝜔
Artificio para darle la forma:
Rpta.
Ejemplo: Hallar la transformada inversa de Laplace 𝑖 (𝑡) de la siguiente función:
𝐼 𝑠 = −
𝑠 +
3
2
−
3
2
𝑠 +
3
2
2
+
7
2
2
𝑠 +
3
2
2
+
7
4
2
= 𝑠 +
3
2
2
+
7
2
2
𝑠 +
3
2
2
−
9
4
+ 4 = 𝑠 +
3
2
2
+
7
4
𝑖 𝑡 = 𝑒−
3
2𝑡
. cos
7
2
𝑡. 𝑢(𝑡) −
3
7
. 𝑒−
3
2𝑡
. 𝑠𝑒𝑛
7
2
𝑡. 𝑢(𝑡)
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+ 𝜔2
𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+ 𝜔2
𝐼(𝑠) =
𝑠
(𝑠2+3𝑠 + 4)
𝑠2 + 3𝑠 +
3
2
2
−
3
2
2
+ 4
(𝑠 + 𝑎)2+ 𝜔2
𝐼 𝑠 =
𝑠 +
3
2
𝑠 +
3
2
2
+
7
2
2 −
3
2
.
1.
7
2
𝑠 +
3
2
2
+
7
2
2 .
1
7
2
𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+ 𝜔2
2. Fraccionesparciales

9. Ejemplo: Hallar la transformada inversa de Laplace 𝑖(𝑡)de la siguiente función:
¿Se puede aplicar alguna fórmula
directa de la tabla?
• 𝐴 + 𝐵 =0
• 3𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = 1
• 4𝐴 + 2𝐶 = 1
𝐴 = −0.5
𝐵 = 0.5
𝐶 =1.5
𝐼 𝑠 =
(𝑠 + 1)
(𝑠 + 2)(𝑠2 + 3𝑠 + 4)
𝐼 𝑠 =
(𝑠 + 1)
𝑠 + 2 (𝑠2 + 3𝑠 + 4)
=
𝐴
(𝑠 + 2)
+
𝐵. 𝑆 + 𝐶
(𝑠2 + 3𝑠 + 4)
• Termino Lineal
• Termino Cuadrático
2. Fraccionesparciales

10. 𝐼 𝑠 =
𝐴
(𝑠 + 2)
+
𝐵. 𝑆 + 𝐶
(𝑠2 + 3𝑠 + 4)
= −
0,5
𝑠 + 2
+
0,5. 𝑠 + 1,5
(𝑠2 + 3𝑠 + 4)
𝐼 𝑠 = −
0,5
𝑠 + 2
+
0,5 𝑠 +
3
2
−
3
2
𝑠 +
3
2
2
+
7
2
2 +
1,5 ∗
7
2
𝑠 +
3
2
2
+
7
2
2 .
1
7
2
𝐼 𝑠 = −
0,5
𝑠 + 2
+ 0,5
𝑠 +
3
2
𝑠 +
3
2
2
+
7
2
2 −
3
2
.
1.
7
2
𝑠 +
3
2
2
+
7
2
2 .
1
7
2
+
3
7
.
7
2
𝑠 +
3
2
2
+
7
2
2
𝐴 = −0,5
𝐵 = 0,5
C = 1,5
2. Fraccionesparciales

11. Rpta.
𝐼 𝑠 = −
0,5
𝑠 + 2
+ 0,5
𝑠 + 1,5
𝑠 + 1,5 2 + 1,32 2
−
3
7
.
1,32
𝑠 + 1,5 2 + 1,32 2
+
3
7
.
1,32
𝑠 + 1,5 2 + 1,32 2
𝑖 𝑡 = −0,5 𝑒−2𝑡. 𝑢 𝑡 + 0,5 𝑒−1,5𝑡. cos 1,32 𝑡. 𝑢 𝑡 + 0,57 𝑒−1,5𝑡. 𝑠𝑒𝑛 1,32 𝑡. 𝑢(𝑡)
𝑖 𝑡 = −0,5 𝑒−2𝑡
+ 0,5 𝑒−1,5𝑡
. cos 1,32 𝑡 −
3
7
. 𝑒−1,5𝑡
. 𝑠𝑒𝑛 1,32 𝑡 +
3
7
𝑒−1,5𝑡
. 𝑠𝑒𝑛(1,32)𝑡
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+ 𝜔2
𝜔
(𝑠 + 𝑎)2+ 𝜔2
𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+ 𝜔2
1
𝑠 + 𝑎
2. Fraccionesparciales

12. Ejemplos: Se sabe que:
PROPIEDADESDE LA TRANSFORMADA DELAPLACE
𝑡𝑛
𝑛!
՜
ℒ 1
𝑠(𝑛+1)
𝑡. 𝑒−𝑎𝑡
՜
ℒ 1
(𝑠 + 𝑎)2
𝐼 𝑠 =
1
𝑠 + 3 2
ℒ−1
𝑖 𝑡 =¿ ? ⇒ 𝑖 𝑡 = 𝑡. 𝑒−3𝑡
𝑡 ՜
ℒ 1
𝑠2
𝐼 𝑠 =
1
𝑠2
ℒ−1
𝑖 𝑡 =¿ ? ⇒ 𝑖 𝑡 = 𝑡
𝑉 𝑠 =
1
𝑠3
ℒ−1
𝑣 𝑡 =¿ ? ⇒ 𝑣 𝑡 =
𝑡2
2!
=
𝑡2
2
𝑉 𝑠 =
1
𝑠 + 1 3
ℒ−1
𝑣 𝑡 =¿ ? ⇒ 𝑣 𝑡 =
𝑡2
2
. 𝑒−1𝑡
𝑛 + 1
𝑛 = 2

13. • Ejemplo: Hallar la transformada inversa de Laplace 𝑖(𝑡) de la siguiente función:
¿Se puede aplicar alguna fórmula
directa de la tabla?
• Termino Lineal
• Raíces Múltiples
𝐼 𝑠 =
(𝑠 + 2)
(𝑠 + 3)(𝑠 + 1)3
𝐼 𝑠 =
(𝑠 + 2)
(𝑠 + 3)(𝑠 + 1)3
=
𝐴
(𝑠 + 3)
+
𝐵
(𝑠 + 1)3
+
𝐶
(𝑠 + 1)2
+
𝐷
(𝑠 + 1)

14. Reemplazando:
ℒ−1
Rpta.
𝐼 𝑠 =
(𝑠 + 2)
(𝑠 + 3)(𝑠 + 1)3
=
𝐴
(𝑠 + 3)
+
𝐵
(𝑠 + 1)3
+
𝐶
(𝑠 + 1)2
+
𝐷
(𝑠 + 1)
ቤ
𝐴 =
(𝑠 + 2)
(𝑠 + 1)3
𝑆=−3
⇒ 𝐴 = ൗ
1
8
ቤ
𝐵 =
(𝑠 + 2)
(𝑠 + 3) 𝑆=−1
⇒ 𝐵 = ൗ
1
2
ቤ
𝐶 =
(𝑠 + 2)
𝑠 + 3 + (𝑠 + 1) 𝑆=−1
⇒ 𝐶 = ൗ
(𝑆 + 2)
0
ቮ
𝐶 =
(𝑆 + 2)
(𝑆 + 3)
′
1! 𝑆=−1
⇒
𝑈
𝑉
′ =
𝑈′
𝑉 − 𝑈𝑉′
𝑉2
ቤ
𝐶 =
1 𝑆 + 3 − (𝑆 + 2)(1)
(𝑠 + 3)2
⇒
1
(𝑠 + 3)2
𝑆=−1
⇒ = 𝐶 = ൗ
1
4
𝐷 =
−2(𝑠 + 3)−3
2
ቮ
𝐷 =
(𝑠 + 2)
(𝑠 + 3)
′′
2! 𝑆=−1
=
1
(𝑠 + 3)2 ′
2
=
(𝑠 + 3)−2 ′
2
ቤ
𝐷 = −
1
(𝑠 + 3)3
𝑆=−1
⇒ 𝐷 = − ൗ
1
8
I s =
1
8
.
1
(s + 3)
+
1
2
.
1
(𝑠 + 1)3 +
1
4
.
1
(𝑠 + 1)2 −
1
8
1
(s + 1)
𝑖 𝑡 = [
1
8
. 𝑒−3𝑡
+
1
2
.
𝑡2
2
. 𝑒−1𝑡
+
1
4
. 𝑡. 𝑒−1𝑡
−
1
8
. 𝑒−1𝑡
] 𝑢(𝑡)

15. Ejemplo: Hallar la transformada inversa deLaplace 𝑣0(𝑡) de la siguiente función:
¿Se puede aplicar alguna fórmula
directa de la tabla?
𝐹(𝑠)
ℒ−1
𝑓(𝑡) ¿?
Se sabe que:
𝑉0 𝑠 =
𝑒−3𝑠
𝑠(𝑠 + 1)
𝑉0 𝑠 =
1
𝑠(𝑠 + 1)
. 𝑒−3𝑠
𝑉0 𝑠 = 𝐹 𝑠 . 𝑒−3𝑠
𝑣0 𝑡 = 𝑓(𝑡 − 3)
El problema se reduce al cálculo
de ℒ−1{𝐹 𝑠 }
𝑔(𝑡 − 𝑡0) ՜
ℒ
𝐺(𝑠). 𝑒−𝑡0.𝑠

16. ℒ−1
Rpta.
Ejemplo: Hallar la transformada inversa deLaplace 𝑣0(𝑡) de la siguiente función:
𝐹 𝑠 =
1
𝑠(𝑠 + 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
(𝑠 + 1)
𝐹 𝑠 =
1
𝑠
−
1
(𝑠 + 1)
ቤ
𝐴 =
1
(𝑠 + 1) 𝑆=0
⇒ 𝐴 = 1
ቤ
𝐵 =
1
𝑠 𝑆−1
⇒ 𝐵 = −1
𝑓 𝑡 = 𝑢 𝑡 − 𝑒−1𝑡
𝑣0 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 3 = 𝑢 𝑡 − 3 − 𝑒−1(𝑡−3)
𝑢 𝑡 − 3

17. Hallar la transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones:
V1 𝑠 =
(𝑠+2)
(𝑠+1)(𝑠2+3𝑠+4)
3. Actividad en clase
V2 𝑠 =
(1−𝑒−6𝑠)
𝑠(𝑠+2)(𝑠+4)

18. ¿ PREGUNTAS ?

19. GRACIAS POR SU ATENCIÓN