Ejemplo resuelto paso a paso

1. 2
MATEMATICAS AVANZADAS II
ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA
DE LAPLACE
PRESENTAN:
CAROLINA ZÚÑIGA RIVERA
YESICA ALTAMIRANO MORALES
PROFESOR:
LIC. GERARDO EDGAR MATA ORTIZ
TORREÓN COAH. ENERO 2015

2. A continuación resolveremos una ecuación diferencial utilizando la
transformada de Laplace se resolverá con la definición £ = ∫ 𝑒−𝑠𝑡∞
0
para la
resolución de este problema emplearemos las fracciones parciales además
de la anti transformada de Laplace.
£(ed)
 Pasos con definición
 Utilización de algebra
 Anti transformada de Laplace
 Solución de la ecuación diferencial.
TRANSFORMADA DE LAPLACE, ED VALOR INICIAL.
𝑦′
− 3𝑦 = 𝑒2𝑡
Condición 𝑦(0) = 1
ℒ(𝑦′
− 3𝑦) = ℒ(𝑒2𝑡
)
ℒ(𝑦′
− 3𝑦) = ℒ(𝑒2𝑡)
𝑑𝑣 = −𝑡(𝑠 − 2)
𝑣 = 𝑠 − 2 𝑑𝑡
ℒ(𝑒2𝑡) = ∫(𝑒2𝑡) (𝑒−𝑠𝑡)
ℒ(𝑒2𝑡) = ∫ 𝑒−𝑡(𝑠−2)
ℒ(𝑒2𝑡) = −
1
𝑠 − 2
∫ 𝑒−𝑠𝑡
ℒ(𝑒2𝑡) = ∫ 𝑒−𝑡(𝑠−2)
ℒ(𝑒2𝑡) = −
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠𝑡

3. = 0
= 0
Se sustituye con la
condición inicial
𝑦(0) = 1
Resolveremos cuando la integral es definida utilizando límites.
ℒ(𝑒2𝑡) =
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠𝑡
lim
𝑏→∞
[(−
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠𝑡
)] − [(−
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠𝑡
)]
0
𝑏
lim 𝑏→∞ [(−
1
𝑠−2
𝑒−𝑠(𝑏)
)] − [(−
1
𝑠−2
𝑒−𝑠(0)
)]
lim 𝑏→∞ [(−
1
𝑠−2
𝑒−𝑠(𝑏)
)] − [(−
1
𝑠−2
𝑒−𝑠(0)
)]
= −
1
𝑠 − 2
𝑒−𝑠(𝑏)
+
1
𝑠 − 2
= −
1
𝑠−2𝑒 𝑠∞ +
1
𝑠−2
= +
1
𝑠 − 2
ℒ(𝑦′
− 3𝑦) =
1
𝑠 − 2
ℒ(𝑦′) − 3ℒ(𝑦) =
1
𝑠 − 2
𝑠𝑦(𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑦(𝑠) =
1
𝑠 − 2
Solución
algebraica
para y’
𝑠𝑦(𝑠) − 1 − 3𝑦(𝑠) =
1
𝑠 − 2
𝑦(𝑠)(𝑠 − 3) − 1 =
1
𝑠 − 2
𝑦(𝑠)(𝑠 − 3) =
1
𝑠 − 2
+ 1
𝑦(𝑠) =
1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
+
1
(𝑠 − 3)

4. Se resuelve por fracciones parciales.
−1
(𝑠 − 2)
+
2
(𝑠 − 3)
=
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝑦(𝑠) =
1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
+
1
(𝑠 − 3)
𝑦(𝑠) =
1 + 𝑠 − 2
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝑦(𝑠) =
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝐴
(𝑠 − 2)
+
𝐵
(𝑠 − 3)
=
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝐴(𝑠 − 3) + 𝐵(𝑠 − 2)
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
=
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝑠 = 3 𝐴(3 − 3) + 𝑏(3 − 2) = (3 − 1)
𝑠 = 2 𝐴(2 − 3) + 𝑏(2 − 2) = (2 − 1)
−𝐴 = 1 ∴ 𝐴 = −1
Asignamos valores convenientes.
B=2
Al ser iguales los denominadores
podemos quitarlos.
Al obtener los valores de A Y B podemos sustituir y resolver la anti transformada

5. Anti transformada
𝑦(𝑡) = ℒ−1
𝑠 − 1
(𝑠 − 2)(𝑠 − 3)
𝑦(𝑡) = ℒ−1
{
−1
(𝑠−2)
+
2
(𝑠−3)
}
𝑦(𝑡) = −ℒ−1
(
−1
(𝑠 − 2)
) + 2𝑦−1
1
(𝑠 − 3)
= −𝑒2𝑡
+ 2𝑒3𝑡
𝓛−𝟏
(
𝒌
𝒔
) = 𝒌
𝓛−𝟏
(
𝟏
𝒔 − 𝒂
) = 𝒆 𝒂𝒕
Solución con la condición
dada 𝑦(0) = 1