Este documento presenta un resumen de contenidos sobre la transformada de Laplace de funciones periódicas y no periódicas. Explica las definiciones de la transformada de Laplace y su inversa para funciones no periódicas y periódicas. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre cómo determinar funciones a través de su transformada de Laplace y su inversa. Finaliza con una actividad en clase sobre determinar diferentes funciones a través de su transformada.

1. Análisis de redes eléctricas
Transformada de funciones periódicas y no
periódicas

2. Contenido – semana 5:
1. Transformada de funciones no periódicas
Ejercicios.
2. Transformada de funciones periódicas
Ejercicios.
3. Actividad en clase

3. FUNCIONES SINGULARES Observar las siguientes funciones singulares y sus relaciones:
𝑓(𝑡) 𝑓′(𝑡) 𝑓′′(𝑡)
𝑡 𝑡 𝑡
𝑚 𝑚 𝑚
FUNCION RAMPA FUNCION ESCALÓN FUNCION IMPULSO
න 𝑑𝑡 න 𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑓 𝑡 = 𝑚𝑡 𝑓′ 𝑡 = 𝑚𝑢(𝑡) 𝑓′′ 𝑡 = 𝑚𝛿(𝑡)
Aplicacionesde la Transformadade Laplace

4. Según la grafica mostrada, hallar 𝑉𝑖 𝑠 ,𝑣𝑖(𝑡)
𝑡
2
8
8 𝛿(𝑡 − 2)
2
8
0
𝑡
ℒ
ℒ −1
FUNCIONES SINGULARES
𝑣𝑖′ 𝑡 = 8 𝛿(𝑡 − 2)
𝑠. 𝑉𝑖 𝑠 = 8𝑒−2𝑠
𝑉𝑖 𝑠 =
8
𝑠
𝑒−2𝑠
𝑣𝑖 𝑡 = 8 𝑢(𝑡 − 2)
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑖(𝑡)
1. Transformadade funcionesno periódicas
𝑣𝑖′(𝑡)

5. 𝑡
2
3
0
𝑡
ℒ
ℒ −1
1
3
2
1
Según la grafica mostrada, hallar 𝐼 𝑠 ,𝑖(𝑡).
FUNCIONES SINGULARES
−3𝛿(𝑡 − 2)
𝑠. 𝐼(𝑠) = 3𝑒−1𝑠
− 3𝑒−2𝑠
𝑖(𝑡) = 3𝑢 𝑡 − 1 − 3𝑢(𝑡 − 2)
𝐼(𝑠) =
3
𝑠
𝑒−1𝑠
−
3
𝑠
𝑒−2𝑠
𝑑
𝑑𝑡
𝑖(𝑡)
𝑖′(𝑡)
𝑖′(𝑡) = 3𝛿 𝑡 − 1 − 3𝛿(𝑡 − 2)
3𝛿(𝑡 − 1)
−3
1. Transformadade funcionesno periódicas

6. 𝑡
0
𝑡
−8𝛿(𝑡 − 2)
𝑡
2 4
4
2
−4
4
2 4
4𝛿(𝑡 − 4)
4𝛿(𝑡)
4𝛿(𝑡) 4𝛿(𝑡 − 4)
4
−4 −8𝛿(𝑡 − 2)
𝑚 = 4
𝑚 = −4
ℒ
ℒ −1
Según la grafica mostrada, hallar 𝑉𝑖 𝑠 ,𝑣𝑖(𝑡)
FUNCIONES SINGULARES
𝑠2
. 𝑉𝑖(𝑠) = 4 − 8𝑒−2𝑠
+ 4𝑒−4𝑠
𝑣𝑖
′′
𝑡 = 4𝛿 𝑡 − 8𝛿 𝑡 − 2 + 4𝛿(𝑡 − 4)
𝑉𝑖(𝑠) =
4
𝑠2 −
8
𝑠2 𝑒−2𝑠
+
4
𝑠2 𝑒−4𝑠
𝑣𝑖(𝑡) = 4𝑡 − 8(𝑡 − 2) + 4(𝑡 − 4)
𝑣𝑖(𝑡)
𝑣𝑖′′(𝑡)
8
𝑑
𝑑𝑡
𝑑
𝑑𝑡
𝑣𝑖′(𝑡)
1. Transformadade funcionesno periódicas

7. 𝑓′
𝑡 = 5𝛿 𝑡 − 5𝛿 𝑡 − 1 − 8𝛿 𝑡 − 2 + 8𝛿(𝑡 − 3)
𝑠𝐹 𝑠 = 5 − 5𝑒−𝑠 − 8𝑒−2𝑠 + 8𝑒−3𝑠
𝐹 𝑠 =
5
𝑠
−
5
𝑠
𝑒−𝑠
−
8
𝑠
𝑒−2𝑠
+
8
𝑠
𝑒−3𝑠
Solución:
ℒ
ℒ −1
𝑓 𝑡 = 5𝜇 𝑡 − 5𝜇 𝑡 − 1 − 8𝜇 𝑡 − 2 + 8𝜇(𝑡 − 3)
1. Transformadade funcionesno periódicas
Ejercicio: Determinar F(s), f(t)

8. Ejercicio: Determinar 𝐼(𝑠), i(t)
1. Transformadade funcionesno periódicas
𝑖′′ 𝑡 = 10𝛿 𝑡 − 15𝛿 𝑡 − 2 + 20𝛿 𝑡 − 6 − 30𝛿(𝑡 − 8) + 15𝛿 𝑡 − 10
𝑠2
𝐼 𝑠 = 10 − 15𝑒−2𝑠
+ 20𝑒−6𝑠
− 30𝑒−8𝑠
+ 15𝑒−10𝑠
𝐼 𝑠 =
10
𝑠2 −
15
𝑠2 𝑒−2𝑠
+
20
𝑠2 𝑒−6𝑠
−
30
𝑠2 𝑒−8𝑠
+
15
𝑠2 𝑒−10𝑠
ℒ
ℒ −1
𝑖 𝑡 = 10𝑡 − 15 𝑡 − 2 + 20 𝑡 − 6 − 30 𝑡 − 8 + 15(𝑡 − 10)
Solución:
2 6 8 10
20
30
𝑖(𝑡)

9. Ejercicio: Determinar F(s), f(t)
1. Transformadade funcionesno periódicas
𝑓′′
𝑡 = 4𝛿 𝑡 − 6𝛿 𝑡 − 1 + 4𝛿 𝑡 − 2 − 2𝛿 𝑡 − 3 − 4𝛿 𝑡 − 4 + 4𝛿 𝑡 − 5
𝑠2
𝐹 𝑠 = 4 − 6𝑒−𝑠
+ 4𝑒−2𝑠
− 2𝑒−3𝑠
− 4𝑒−4𝑠
+ 4𝑒−5𝑠
𝐹 𝑠 =
4
𝑠2 −
6
𝑠2 𝑒−𝑠
+
4
𝑠2 𝑒−2𝑠
−
2
𝑠2 𝑒−3𝑠
−
4
𝑠2 𝑒−4𝑠
+
4
𝑠2 𝑒−5𝑠
ℒ
ℒ −1
𝑓 𝑡 = 4𝑡 − 6 𝑡 − 1 + 4 𝑡 − 2 − 2 𝑡 − 3 − 4 𝑡 − 4 + 4(𝑡 − 5)
Solución:

10. 2. Transformadade funcionesperiódicas
𝐹 𝑠 = න
0
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝐹 𝑠 = න
0
1/𝑎
𝑒−𝑎𝑡
𝑒−𝑠𝑡
𝑑𝑡 = න
0
1/𝑎
𝑒−𝑡(𝑠+𝑎)
𝑑𝑡 = ቤ
𝑒−𝑡(𝑠+𝑎)
−(𝑠 + 𝑎)
1/𝑎
0
𝐹 𝑠 =
−𝑒
−(𝑠+𝑎)
𝑎
(𝑠+𝑎)
+
1
(𝑠+𝑎)
=
1 − 𝑒
−(𝑠+𝑎)
𝑎
(𝑠+𝑎)
G 𝑠 =
𝐹(𝑠)
1−𝑒−𝑇𝑠
Ejemplo: Determinar G(s)
G 𝑠 =
(1−𝑒
− 𝑠+𝑎
𝑎 )
(𝑠+𝑎)(1−𝑒−𝑠/𝑎)
𝑇 = 1/𝑎
Solución:
Definición

11. Ejercicio: Determinar G(s)
2. Transformadade funcionesperiódicas

12. 𝑓′
𝑡 = 6𝛿 𝑡 − 2𝛿 𝑡 − 1 − 2𝛿 𝑡 − 2 − 2𝛿(𝑡 − 3)
𝑠𝐹 𝑠 = 6 − 2𝑒−𝑠
− 2𝑒−2𝑠
- 2𝑒−3𝑠
𝐹 𝑠 =
6
𝑠
−
2
𝑠
𝑒−𝑠
−
2
𝑠
𝑒−2𝑠
−
2
𝑠
𝑒−3𝑠 ……….(1)
G 𝑠 =
𝐹(𝑠)
1−𝑒−𝑇𝑠
…………………………………………..(2)
Reemplazando (1) en (2), teniendo en cuenta que T=4
G 𝑠 =
𝐹(𝑠)
1−𝑒−𝑇𝑠 =
2(3−𝑒−𝑠−𝑒−2𝑠− 𝑒−3𝑠)
𝑠(1−𝑒−4𝑠)
Solución:
ℒ

13. P1: Determinar 𝐼(𝑠)
3. Actividad en clase
P2: Determinar F(s)

14. 3. Actividad en clase
P3: Determinar G(s)

15. ¿ PREGUNTAS ?

16. GRACIAS POR SU ATENCIÓN