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1.
Análisis de redes
eléctricas Transformada Inversa de Laplace
2.
Contenido – semana
2: 1. Transformada inversa de Laplace Propiedades de la transformada de Laplace. 2. Fracciones parciales Ejemplos. 3. Actividad en clase
3.
𝑓(𝑡) ℒ 𝐹(𝑠) 𝑖(𝑡)
ℒ 𝐼(𝑠) 𝑒(𝑡) ℒ 𝐸(𝑠) Corriente TRANSFORMADA DE LAPLACE ¿? 𝑒(𝑡) 𝑖(𝑡) Tensión Transformadade Laplace 𝐹 𝑠 = න 0 ∞ 𝑓 𝑡 . 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
4.
TABLA DE TRANSFORMADA
DE LAPLACE ℒ ℒ 𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) Función Escalón 𝑢(𝑡) 1 𝑠 Función Impulso 𝛿(𝑡) 1 Función Exponencial e−at .𝑢(𝑡) 1 𝑠 + a Función Rampa 𝑡. 𝑢(𝑡) 1 𝑠2 𝒇(𝒕) 𝑭(𝒔) Función Seno 𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡).𝑢(𝑡) 𝜔0 𝑆2 + 𝜔0 2 Función Coseno 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡).𝑢(𝑡) 𝑠 𝑆2 + 𝜔0 2 𝑠𝑒𝑛(𝜔0 𝑡). 𝑒−𝑎𝑡 𝑢(𝑡) 𝜔0 (𝑆 + 𝑎)2+𝜔0 2 𝑐𝑜𝑠(𝜔0 𝑡). 𝑒−𝑎𝑡 𝑢(𝑡) s + a (𝑆 + 𝑎)2+𝜔0 2 ℒ−1 ℒ−1 Katsuhiko Ogata: Apéndice A Transformadade Laplace
5.
Ejemplos: PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE Transformadade Laplace 𝑡. 𝑢(𝑡) ՜ ℒ 1 𝑠2 𝑡. 𝑒−𝑎𝑡 𝑢(𝑡) ՜ ℒ 1 (𝑠 + 𝑎)2 𝑓 𝑡 . 𝑒−𝑎𝑡 ՜ ℒ 𝐹(𝑠 + 𝑎) 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑢(𝑡) ՜ ℒ 𝜔 𝑠2 + 𝜔2 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡. 𝑒−𝑎𝑡 𝑢(𝑡) ՜ ℒ 𝜔 (𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡𝑢(𝑡) ՜ ℒ 𝑠 𝑠2 + 𝜔2 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡. 𝑒−𝑎𝑡 𝑢(𝑡) ՜ ℒ (𝑠 + 𝑎) (𝑠 + 𝑎)2 + 𝜔2 𝜔 ՜ 𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟; 𝜔 = 2𝜋𝑓; 𝑓 = 60 𝐻𝑧
6.
Ejemplos PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA
DE LAPLACE Transformadade Laplace 𝛿(𝑡 − 2) ՜ ℒ 1. 𝑒−2𝑠 𝑓 𝑡 − 𝑡0 ՜ ℒ 𝐹 𝑠 . 𝑒−𝑡0.𝑠 𝑢(𝑡 − 6) ՜ ℒ 1 𝑠 𝑒−6𝑠 𝑡 − 4 ՜ ℒ 1 𝑠2 − 4 𝑠
7.
Ejemplos: Hallar la
transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: 1. TransformadaInversade Laplace 𝐼 𝑠 = 3 𝑠 𝑖 𝑡 = 3𝑢(𝑡) ℒ−1 ℒ−1 𝑉 𝑠 = 3 (𝑠 + 2) 𝑣 𝑡 = 3 𝑒−2𝑡 𝑢(𝑡) 𝐼 𝑠 = 1. 3 𝑠2 + 3 2 . 1 3 𝐼(𝑠) = 1 𝑠2 + 3 Se sabe que: 𝑠𝑒𝑛ω𝑡. 𝑢(𝑡) ՜ ℒ 𝜔 𝑠2+𝜔2 𝜔 𝜔 𝐼 𝑠 = 1 3 . 3 𝑠2 + 3 2 Rpta. ℒ −1 𝑖 𝑡 = 1 3 . 𝑠𝑒𝑛 3 𝑡. 𝑢(𝑡)
8.
Ejemplo: Hallar la
transformada inversa de Laplace de las siguiente función: Un método para hallar la transformada inversa de Laplace en este ejemplo, es aplicando “fracciones parciales”. Rpta. 2. Fraccionesparciales 𝐼(𝑠) = 2 𝑠(𝑠 + 3) 𝐼 𝑠 = 2 𝑠(𝑠 + 3) = 𝐴 𝑠 + 𝐵 (𝑠 + 3) 𝐴 = ቤ 2 (𝑠 + 3) 𝑆=0 ⇒ 𝐴 = ൗ 2 3 𝐵 = ቤ 2 𝑠 𝑆=−3 ⇒ 𝐵 = − ൗ 2 3 𝐼 𝑠 = 2 3 . 1 𝑠 − 2 3 . 1 (𝑠 + 3) ℒ−1 𝑖 𝑡 = 2 3 𝑢(𝑡) − 2 3 𝑒−3𝑡𝑢(𝑡) Solución:
9.
Ejemplo: Hallar la
transformada inversa de Laplace de las siguiente función: 𝐹.𝑃. ¿Se puede aplicar alguna formula directa de la tabla? Rpta. 𝑉 𝑠 = 8 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) ℒ−1 𝑉 𝑠 = 4 3 . 1 𝑠 − 4 1 𝑠 + 1 + 4 1 𝑠 + 2 − 4 3 1 𝑠 + 3 v 𝑡 = 4 3 𝑢 𝑡 − 4𝑒−1𝑡𝑢(𝑡) + 4𝑒−2𝑡𝑢(𝑡) − 4 3 𝑒−3𝑡 𝑢(𝑡) 𝑉 𝑠 = 8 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) = 𝐴 𝑠 + 𝐵 (𝑠 + 1) + 𝐶 (𝑠 + 2) + 𝐷 (𝑠 + 3) ቤ 𝐴 = 8 (𝑠 + 1)(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑆=0 ⇒ 𝐴 = ൗ 4 3 ቤ 𝐵 = 8 𝑠(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 𝑆=−1 ⇒ 𝐵 = −4 ቤ 𝐶 = 8 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 3) 𝑆=−2 ⇒ 𝐶 = 4 ቤ 𝐷 = 8 𝑠(𝑠 + 1)(𝑠 + 2) 𝑆=−3 ⇒ 𝐷 = − ൗ 4 3 2. Fraccionesparciales
10.
3. Actividad en
clase: En el circuito de la figura, determinar Eo(s)/Ei(s)
11.
¿ PREGUNTAS ?
12.
GRACIAS POR SU
ATENCIÓN
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