trasnformacion de lapLACE

1. TRANSFORMADA DE
LAPLACE
PRESENTADO POR:
NIKOL DURAN BELTRAN
ESTEBAN TOLE LIZCANO
MATEMATICAS ESPECIALES
CORPORACION UNIVERSITARIA DEL HUILA - CORHUILA

2. Transformada de
Laplace

3. CONCEPTO
La transformada de Laplace es una herramienta matemática
utilizada principalmente en el ámbito de la ingeniería y las
ciencias aplicadas para analizar sistemas lineales invariantes
en el tiempo. Su utilidad principal radica en simplificar el
análisis y la resolución de ecuaciones diferenciales lineales y
sistemas de ecuaciones diferenciales.

4. EJEMPLO
La transformada de Laplace de una función f(t) se denota
como F(s) y se define mediante la siguiente integral:
𝐹(𝑠) = 0
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡
s es una variable compleja, y la transformada de Laplace
convierte una función en el dominio del tiempo (t) en una
función en el dominio de Laplace (s). Esta transformación
facilita la resolución de ecuaciones diferenciales lineales, ya
que convierte las operaciones de derivación en operaciones
algebraicas más simples.

5. EJERCICIO 1
𝑥" + 2𝑥′ − 3𝑥 = 0 𝐿 𝑥" = 𝑠2
𝐿 𝑥 − 𝑥0𝑠 − 𝑥′
0 = 𝑠2
𝐿 + 𝑠 − 3
𝑥 0 = −1 𝑥′
0 = 3 𝐿 𝑥′ = 𝑠𝐿 𝑥 − 𝑥0 = 𝑠𝐿 + 1
𝐿 𝑥 = 𝐿
𝐿 𝑥" + 2𝐿 𝑥′ − 3𝐿 𝑥 = 𝑂
𝑠2
𝐿 + 𝑠 − 3 + 2𝑠𝐿 + 2 − 3𝐿 = 0
(𝑠2
+2𝑠 − 3)𝐿 = −𝑆 + 3 − 2
𝐿 =
−𝑠+1
𝑠2+2𝑠−3
𝐿 𝑥 =
−𝑠+1
(𝑠+3)(𝑠−1)
=
−(𝑠+1)
(𝑠+3)(𝑠−1)
=
−1
𝑠+3
𝑥 = −𝐿−1
1
𝑠 + 3
𝑥 = −𝑒−3𝑡

6. EJERCICIO 2 𝑓 𝑡 = 𝑡4
∙ 𝑒3𝑡+2
𝑒𝑎
∙ 𝑒𝑏
= 𝑒𝑎+𝑏
𝑓 𝑡 = 𝑡4
∙ 𝑒3𝑡
∙ 𝑒2
𝐿 𝑡4
∙ 𝑒3𝑡
∙ 𝑒2
= 𝐹 𝑠
𝑒2
∙ 𝐿 𝑡4
∙ 𝑒3𝑡
𝑡𝑛
∙ 𝑒𝑎𝑡
𝑛!
(𝑠 − 𝑎)𝑛+1
𝑛 = 4; 𝑎 = 3
𝑒2
∙ 𝐿 𝑡4
∙ 𝑒3𝑡
= (𝑒2
) ∙
4!
(𝑠 − 3)4+1
𝐹 𝑠 =
24𝑒2
(𝑠 − 3)5

7. EJERCICIO 3
x" +x=1
x(0) = 2 x'(0) = −1
L[x"] + L[x] = £[1]
𝑠2
L – 2s + 1+L =
1
𝑠
(𝑠2
+1)L =
1
𝑠
+ 2s -1
𝐿 =
1
𝑠(𝑠2+1)
+
2𝑠
𝑠2+1
−
1
𝑠2+1
=
1
𝑠
+
−𝑠
𝑠2+1
+
2𝑠
𝑠2+1
−
1
𝑠2+1
=
1
𝑠
+
𝑠
𝑠2+1
−
1
𝑠2+1
𝐿 𝑥 =
1
𝑠
+
𝑠
𝑠2 + 1
−
1
𝑠2 + 1
𝑋 = 𝐿−1
1
𝑠
+ 𝐿−1
𝑠
𝑠2 + 1
− 𝐿−1
1
𝑠2 + 1
𝐿 𝑥" = 𝑠2
𝐿 𝑥 − 𝑥0𝑠 − 𝑥′
0 = 𝑠2
𝐿 + 𝑠 − 3
𝐿 𝑥′ = 𝑠𝐿 𝑥 − 𝑥0 = 𝑠𝐿 + 1
𝐿 𝑥 = 𝐿
𝐿 𝑎 =
𝑎
𝑠

8. EJERCICIO 3
x" +x=1
x(0) = 2 x'(0) = −1
L[x"] + L[x] = £[1]
𝑋 = 𝐿−1
1
𝑠
+ 𝐿−1
𝑠
𝑠2 + 1
− 𝐿−1
1
𝑠2 + 1
X = 1 cos t – sen t
𝐿−1
𝑎
𝑠
= 𝑎
𝐿−1 𝑎
𝑠2+𝑎
= sen at
𝐿−1 𝑠
𝑠2+𝑎
= cos at

9. EJERCICIO 4 𝑓 𝑡 = (𝑡3
+ 5𝑡2
− 3𝑡 + 8)
𝐿 𝑡3
+ 5𝑡2
− 3𝑡 + 8
𝐿 𝑡3
+ 5 ∙ 𝐿 𝑡2
− 3 ∙ 𝐿 𝑡 + 𝐿 8
𝐿 𝑡3
=
𝑛!
𝑠𝑛+1
=
3!
𝑠3+1
=
6
𝑠4
5 ∙ 𝐿 𝑡2
=
𝑛!
𝑠𝑛+1
= (5)
2!
𝑠2+1
=
10
𝑠3
−3 ∙ 𝐿 𝑡2
=
𝑛!
𝑠𝑛+1
= (−3) ∙
1!
𝑠1+1
=
3
𝑠2
𝐿 8 =
𝑎
𝑠
=
8
𝑠
𝐹 𝑠 =
6
𝑠4
+
10
𝑠3
−
3
𝑠2
+
8
𝑠

10. EJERCICIO 5

11. Transformada de la place
como transformación lineal

12. CONCEPTO
La propiedad de linealidad es un concepto importante en el
contexto de la transformada de Laplace, que es una
herramienta matemática utilizada en el análisis de sistemas
dinámicos lineales e invariantes en el tiempo, también
Laplace establece que la transformada de Laplace de una
combinación lineal de funciones es igual a la combinación
lineal de las transformadas de Laplace de esas funciones
individuales.

14. EJERCICIOS
• ℒ 5 − 𝑒2𝑡
+ 3𝑒𝑡
= ℒ 5 − ℒ 𝑒2𝑡
+ ℒ 3𝑒𝑡
=
5
𝑆
−
1
2−𝑆
+
3
𝑆−1
• ℒ 3 + 2 − 1 = ℒ 3 + ℒ 2 − ℒ 1 =
3
𝑆
+
2
𝑆
−
1
𝑆
• ℒ 𝑡3
+ 5𝑡2
− 3𝑡 = ℒ 𝑡3
+ ℒ 5𝑡2
− ℒ 3𝑡 =
3!
𝑆4 +
5 (2!)
𝑆3 −
3
𝑆2
• ℒ 1 + 2 + 3 = ℒ 1 + ℒ 2 + ℒ 3 =
1
𝑆
+
2
𝑆
+
3
𝑆
• ℒ 4 + 5 − 6 = ℒ 4 + ℒ 5 − ℒ 6 =
4
𝑆
+
5
𝑆
−
6
𝑆

15. EJERCICIOS
𝑓 𝑡 = (3 + 2 − 1)
𝐿 3 + 2 − 1
𝐿 3 + 𝐿 2 − 𝐿 1
𝐿 3 =
𝑎
𝑠
=
3
𝑠
𝐿 2 =
𝑎
𝑠
=
2
𝑠
𝐿 1 =
𝑎
𝑠
=
1
𝑠
𝐹 𝑠 =
3
𝑆
+
2
𝑆
−
1
𝑆
𝑓 𝑡 = 5 − 𝑒2𝑡
+ 3𝑒𝑡
𝐿 5 − 𝑒2𝑡
+ 3𝑒𝑡
𝐿 5 − 𝐿 𝑒2𝑡
+ 3 ∙ 𝐿 𝑒𝑡
𝐿 5 =
𝑎
𝑠
=
5
𝑠
𝐿 𝑒2𝑡
=
1
𝑠 − 𝑎
=
1
𝑠 − 2
=
1
𝑠 − 2
3 ∙ 𝐿 𝑒𝑡
=
1
𝑠 − 𝑎
= (3) ∙
1
𝑠 − 1
=
3
𝑠 − 1
𝐹 𝑠 =
5
𝑆
−
1
𝑠 − 2
+
3
𝑆 − 1

16. EJERCICIOS
𝑓 𝑡 = (𝑡3
+ 5𝑡2
− 3𝑡)
𝐿 𝑡3
+ 5𝑡2
− 3𝑡
𝐿 𝑡3
+ 5 ∙ 𝐿 𝑡2
− 3 ∙ 𝐿 𝑡
𝐿 𝑡3
=
𝑛!
𝑠𝑛+1
=
3!
𝑠3+1
=
6
𝑠4
5 ∙ 𝐿 𝑡2
=
𝑛!
𝑠𝑛+1
= (5)
2!
𝑠2+1
=
10
𝑠3
−3 ∙ 𝐿 𝑡2
=
𝑛!
𝑠𝑛+1
= (−3) ∙
2!
𝑠1+1
=
6
𝑠2
𝐹 𝑠 =
6
𝑠4
+
10
𝑠3
−
6
𝑠2
𝑓 𝑡 = (1 + 2 + 3)
𝐿 1 + 2 + 3
𝐿 1 + 𝐿 2 + 𝐿 3
𝐿 1 =
𝑎
𝑠
=
1
𝑠
𝐿 2 =
𝑎
𝑠
=
2
𝑠
𝐿 3 =
𝑎
𝑠
=
3
𝑠
𝐹 𝑠 =
1
𝑆
+
2
𝑆
+
3
𝑆

17. EJERCICIOS
𝑓 𝑡 = (4 + 5 − 6)
𝐿 4 + 5 − 6
𝐿 4 + 𝐿 5 − 𝐿 6
𝐿 4 =
𝑎
𝑠
=
4
𝑠
𝐿 5 =
𝑎
𝑠
=
5
𝑠
𝐿 6 =
𝑎
𝑠
=
6
𝑠
𝐹 𝑠 =
4
𝑆
+
5
𝑆
−
6
𝑆

18. MUCHAS GRACIAS POR
LA ATENCION