Presentación Cáculo Diferencial 5 G.

1. Cierre de
actividad
(Cálculo
diferencial)

2. Recursos
Humanos.
Cálculo diferencial.
Alexa Marlene
Ontiveros Solano.
5º G.
MSTRO. José Ricardo López Salinas.

3. Calculos diferenciales.
• El cálculo diferencial es una parte del análisis
matemático que consiste en el estudio de cómo cambian
las funciones cuando sus variables cambian. El principal
objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.
Una noción estrechamente relacionada es la de
diferencial de una función.
• En matemáticas, concretamente en cálculo diferencial,
el diferencial es un objeto matemático que representa
la parte principal del cambio en la linealización de una
función y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable
independiente. Existen diversas definiciones de
diferencial en diversos contextos.

4. Aproximaciones.
• Una aproximación usualmente se realiza cuando una
forma exacta o un valor numérico exacto es
desconocido o difícil de obtener. Sin embargo, puede
conocerse alguna forma, que sea capaz de representar
a la forma real, de manera que no se presenten
desviaciones significativas. También se utiliza cuando
un número es irracional, como el número π, en cuyo
lugar muchas veces se emplea el 3.14, √7 como ≈ 2.65.2
Las aproximaciones numéricas a veces son efecto del
uso de una cantidad pequeña de dígitos significativos.
La teoría de la aproximación es una rama de las
matemáticas, una parte cuantitativa del análisis
funcional.

5. Estimación de errores.
Estimación de errores.
Error absoluto:△x
Es una estimación de la
diferencia entre el valor
medido y valor verdadero.
Es decir, si nuestra medida
nos da x, esperamos que el
valor verdadero este
dentro del intervalo:
x±△x
Error relativo ε∆x
x
Es una estimación del
porcentaje de error de la
medida. Nos será útil para
interpretar si
el error del resultado es
grande o pequeño.

6. •APLICACIONES

7. Aplicaciones a la
economía.
• Costo Marginal.
El costo marginal es el costo adicional que se
genera al producir una unidad adicional de un
producto o servicio.
Ahora, supongamos que tenemos una función
costo Q(x) que representa el costo por producir
x unidades, de tal manera que el costo por
producir h unidades adicionales es:
Al cociente
Q(x+h)¡Q(x )

8. •EJEMPLOS .

9. 1.- Un fabricante de autos tiene una producción x y el
costo total anual de la producción se describe por medio
de la función
Q(x) = 100; 000 + 1; 500x + 0:2x2
El costo cuando se producen 100 autos es de $252,00.
Encontrar el costo marginal cuando se produce 1 auto
más y determinar si es conveniente producirlo.
Solución:
Utilizando la de...nición de costo marginal, se tiene que
es
Q0(x) = 1; 500 + 0:4x; y el costo por producir 1 auto más
es,
Q0(100) = 1; 540 pesos;
esto quiere decir, que si se produce 1 auto más, el costo
se incrementa en $1,540.
La función costo promedio es:

10. el costo promedio al producir 100 autos es:
q(100) = 2; 520 pesos;
como el costo promedio de la producción de 100 autos es mayor al costo
generado por producir un auto más, conviene producir la siguiente unidad.
2.- Supóngase que el costo de un artículo depende de la cantidad x
producida de acuerdo con la función;
Q(x) = x2 + 2x + 2
Así, el costo por producir 300 artículos es de $90,602.
Calcular el costo marginal por producir la siguiente unidad y determinar si es
conveniente producirla.
Solución:
La función costo marginal es, en este caso,
Q° (x) = 2x + 2
el costo marginal por producir 1 artículo más es de :
Q°(300) = 602 pesos;
la función costo promedio es, en este caso,
q (x ) = x + 2 + 2
x

11. • y el costo promedio al producir 300 artículos es :
q(300) = 302:01 pesos;
es decir, el costo promedio es menor que el costo de la siguiente unidad,
por tanto, no conviene producir la siguiente unidad.
• 3.- Utilizando el análisis marginal resolver el ejemplo anterior y comparar
los resultados. Solución:
La función costo total es
Q(x) = x2 + 2x + 2;
el costo por producir 300 artículos es Q(300) = 90; 602 pesos;
el costo por producir 301 artículos es Q(301) = 91; 205 pesos;
y el costo marginal por producir 1 unidad más, después de las 300
unidades iniciales es
Q(301) ¡ Q(300) = 603 pesos;
esto quiere decir que el costo adicional al producir una unidad más es de
$603 y como es mayor que el costo promedio por producir 300 unidades,
no conviene producir la siguiente unidad.
Comparando con el resultado anterior, Q(301) ¡ Q(300) = 603 1⁄4 602 =
Q0(300), se tiene que la aproximación es buena ya que, la curva de la
función costo es una curva suave.

12. • 4.-APLICACIONES A LA DEMOGRAFÍA Y A LA ACTU- ARÍA
Ahora se presentará en forma resumida algunas funciones que se
utilizan en demografía, las cuales corresponden conceptualmente a
la noción de derivada. Para un análisis más amplio puede verse el
artículo de J. Somoza.Incremento anual de la población N’(t).
• Supongase que la función que representa los nacimientos de
cierta población es 2x2 ¡ 3x, calcular la densidad anual de
nacimientos en el tiempo t = 1.
Solución:
La derivada de la función de nacimientos es
B0(t) = 2x + 2;
al sustituir el valor de t = 1 en la expresión anterior, se tiene
B0(1) = 4 nacimientos;
es decir, en el transcurso del primer año los nacimientos
aumentan en 4 personas.

13. CONCLUSION.
• En conclusión el cálculo y sus aplicaciones son
importantes para todas las personas ya que consciente
o inconscientemente las utilizamos, para la mayoría de
cosas en la vida cotidiana.
Por eso es importante saber utilizarlo para poder
aplicarlo con mayor precisión sin miedo en haberse
equivocado.