Este documento explica los conceptos básicos del cálculo diferencial, incluyendo la notación para calcular el cambio en una variable (∆x) y la tasa de cambio promedio de una función cuando varía otra variable. Proporciona ejemplos para calcular ∆y dado un cambio en x, y muestra cómo expresar los cambios en términos absolutos vs. relativos.

1. Escuela de Turismo y Gastronomía Incrementos y tasa de cambio

2. …el cálculo diferencial El cálculo diferencial es el estudio del cambio que ocurre en una cantidad, cuenta ocurren cambios en otras cantidades de las cuales dependen la cantidad original. En otras palabras, consiste en revisar la tasa de cambio de una variable 𝑦, como respuesta a un cambio en otra variable 𝑥, donde las dos están relacionadas entre sí por la función 𝑦=𝑓(𝑥)* * El modelo puede ser generalizado para n variables

3. Ejemplos: El cambio en el costo total de una planta, como resultado de un aumento en una (1) unidad adicional de producto. El cambio en la demanda de un producto de un aumento en una unidad ($1) en el precio El cambio en el PIB de un país en un trimestre

4. Notación Sea x una variable con valores 𝑥1 y 𝑥2 , entonces el cambio en la variable 𝑥 se denota como ∆𝑥, donde ∆𝑥=𝑥2−𝑥1 Y se denomina el incremento de 𝑥 Eje: ∆𝑝 = Cambio en la variable p ∆q= Cambio en la variable q

5. Notación Sea y una variable que depende de 𝑥, tal que 𝑦=𝑓(𝑥) definida para todo valor de x entre 𝑥1 y 𝑥2, cuando: 𝑥= 𝑥1𝑦1=𝑓(𝑥1) 𝑥= 𝑥2𝑦2=𝑓𝑥2 De tal manera que: ∆𝑦=𝑦2−𝑦1 =𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)

6. Ejercicio La cantidad vendida de gasolina en cierta estación de servicios dependen del precio por litro y representado por los siguientes pares ordenados (115,8000) y (107,8500) Calcule el incremento en las ventas, por un cambio en el precio de $9000 a $9300 Grafique la función Muestre en el gráfico el cambio en las variables

7. Pequeños cambios Consideremos que los cambios que se dan entre los valores de 𝑥 son muy pequeños, de tal manera que ∆𝑥 corresponden a una cantidad cercana a cero. Reordenando tenemos que: 𝑥2= 𝑥1+∆𝑥

8. Usando el valor de 𝑥2 en la definición de ∆𝑦, tenemos: ∆𝑦=𝑓𝑥1+∆𝑥−𝑓𝑥1 Como 𝑥1 puede ser cualquier valor de x, tenemos: ∆𝑦=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥

9. Ejercicio Sea 𝑓𝑥=𝑥2 Calcule ∆𝑦 si 𝑥=2 y ∆𝑥=0,5 Grafique la función Muestre gráficamente el cambio en las variables Determine ∆𝑦 para cualquier incremento en ∆𝑥 Determine ∆𝑦 para cualquier valor de ∆𝑥 y 𝑥

12. Ejercicio Un fabricante sabe que, el costo de producir 𝑞 toneladas por semana es de 𝑐(𝑞)=20000+40𝑞 y, el ingreso obtenido de las ventas es de Iq=100𝑞−0,01𝑞2. La compañía actualmente produce 3100 unidades, pero considera la posibilidad de producir 3200. Calcule el incremento en los costos Calcule el incremento en el ingreso Calcule el cambio promedio en la utilidad por tonelada adicional Evalúe la conveniencia del aumento

13. Ejercicios de repaso: Determine el incremento en la función (∆𝑦) 𝑓(𝑥)=2𝑥+7 con 𝑥=3 y ∆𝑥=0.2 𝑓𝑥=𝑥2−4𝑥−2 con 𝑥=1 y ∆𝑥=0.3 Calcule la tasa de cambio promedio 𝑓𝑥=3𝑥2−5𝑥+1 con 𝑥=2 y ∆𝑥=1.2