problemas de cálculo

1. ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área: Ingenierías
Asignatura: Métodos de estudio universitario
Semestre: 2020-II Fecha: 12-11-2020
Docente: HERNAN NICOLAY CUPI CONDORI
Grupo
1
Sección
14
Integrantes del equipo
Leonardo Fabián Malásquez Salas
Alexis Ricardo Casas Luyo
Jose Gabriel Figueroa Salas
Diego Antonio Meza Martínez
Oscar Miguel Salazar Herrera

3. Halle la derivada de
𝒚 = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
donde 𝒇(𝒙) = 𝒔𝒆𝒏𝒙 , 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐𝒙
𝒍𝒏𝒚 = 𝒍𝒏𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)
𝒍𝒏𝒚 = 𝒈(𝒙). 𝒍𝒏𝒇(𝒙)
Aplicando derivada implícitamente y la regla de la cadena:

𝒚´
𝒚
= 𝒈(𝒙)´𝒍𝒏𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙)[ 𝒍𝒏𝒇(𝒙) ]´

𝒚´
𝒚
= (𝒙𝟐𝒙
)´𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏𝒙) + 𝒙𝟐𝒙[ 𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏𝒙) ]´
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒙𝟐𝒙
[𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏𝒙)]´ =
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒔𝒆𝒏𝒙
= 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒗 = 𝒙𝟐𝒙
𝒍𝒏𝒗 = 𝟐𝒙𝒍𝒏𝒙
𝒗´
𝒗
= 𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟐𝒙.
𝟏
𝒙
𝒗´ = (𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟐)𝒗 𝒗´ = (𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟐)𝒙𝟐𝒙
𝒚´
𝒚
= (𝒙𝟐𝒙
)´𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏𝒙) + 𝒙𝟐𝒙[ 𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏𝒙) ]´
𝒚´
𝒚
= (𝒙𝟐𝒙
)´(𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟐). 𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏𝒙) + 𝒙𝟐𝒙
. 𝒄𝒐𝒕𝒙
𝒚´ = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒙𝟐𝒙
[(𝒙𝟐𝒙
)(𝟐𝒍𝒏𝒙 + 𝟐). 𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏𝒙) + 𝒙𝟐𝒙
. 𝒄𝒐𝒕𝒙]
Aplicando
logaritmo

4. Determinar los puntos de la curva 𝑦 = 𝑥3
+ 9𝑥2
− 9𝑥 + 15 en los cuales la tangente es
paralela a la recta 𝑦 = 12𝑥 + 5
Solución:
Parte 1:
𝑦 = 𝑚1𝑥 + 𝑏
𝑦 = 12𝑥 + 5
La pendiente de 𝑦 = 12𝑥 + 5 es 12
Parte 2:
𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 9𝑥2
− 9𝑥 + 15
𝑓′(𝑥) = 3𝑥3−1
+ 2 × 9𝑥2−1
− 9
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
+ 18𝑥 − 9 Pendiente de la recta tangente
Parte 3:
𝑚1 = 𝑓′(𝑥)
12 = 3𝑥2
+ 18𝑥 − 9
0 = 3𝑥2
+ 18𝑥 − 21
0 = 𝑥2
+ 6𝑥 − 7
𝑥 − 1
𝑥 + 7
0 = (𝑥 − 1)(𝑥 + 7)
Los puntos son 1 y -7

5. EJERCICIO:
Resolver usando L’Hopital
lim
𝑥→0
(sin 𝑥)2
− (sin𝑥)2
𝑥2
JUSTIFICACIÓN:
lim
𝑥→0
(sin 0)2
− (sin0)2
02
= lim
𝑥→0
12
− 12
02
=
0
0
= 𝐼𝑁𝐷𝐸𝑇𝐸𝑅𝑀𝐼𝑁𝐴𝐷𝑂
PASO 1.
lim
𝑥→0
𝑑
𝑑𝑥
((sin𝑥)2
− (sin 𝑥)2
)
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
PASO 2.
lim
𝑥→0
2 cos 𝑥 − 2 cos 𝑥
2𝑥
PASO 3.
lim
𝑥→0
𝑑
𝑑𝑥
(cos 𝑥 − cos 𝑥)
𝑑/𝑑𝑥(𝑥)
PASO 4.
lim
𝑥→0
(− sin 𝑥 + sin 𝑥) = lim
𝑥→0
0
Respuesta: 0

6. 8. lim
𝑥→1
(
1
ln 𝑥
−
1
𝑥−1
)
Resolución:
lim
𝑥→1
(
1
ln 𝑥
−
1
𝑥 − 1
) = lim
𝑥→1
(
𝑥 − 1 − ln 𝑥
ln 𝑥 (𝑥 − 1)
)
Aplicando la ley de L’Hôpital, derivamos el numerador y el
denominador
lim
𝑥→1
(
1−0−
1
𝑥
ln 𝑥′(𝑥−1)+ln 𝑥(𝑥−1)′
) = lim
𝑥→1
(
1−
1
𝑥
1
𝑥
(𝑥−1)+ln 𝑥(1−0)
)
lim
𝑥→1
(
𝑥−1
𝑥
𝑥−1+𝑥ln 𝑥
𝑥
) = lim
𝑥→1
(
𝑥−1
𝑥−1+𝑥 ln 𝑥
)
Aplicando la ley de L’Hôpital, derivamos el numerador y el
denominador
lim
𝑥→1
(
1−0
1−0+1∗ln 𝑥+𝑥∗
1
𝑥
) = lim
𝑥→1
(
1
1+ln 𝑥+1
) =
1
1+0+1
=
1
2