Algebra 5 to

1
I.E. “Juan Velasco Alvarado” - Cavira

2
CAPACIDAD:
RAZONAMIENTO Y
DEMOSTRACIÓN
TAREA 01 VALOR - ACTITUD
RESPONSABILIDAD -
PUNTUALIDAD
DESTREZAS CONTENIDOS MÉTODOS MICROACTITUDES
El concepto de ecuación es una de las ideas fundamentales en la matemática, la
ecuación es la relación que existe entre dos cantidades y que nos indica que tiene el
mismo valor. Casi cualquier estudio que se refiere a la aplicación de la matemática a
problemas prácticos o que requiera el análisis de datos emplea este concepto
matemático.
Las ecuaciones se clasificaciones en igualdades absolutas e igualdades relativas o
llamadas tabien ecuaciones.
Encontramos asimismo ecuaciones compatibles, incompatibles y equivalentes, con las
cuales nos ayudan a comprender diversos ejercicios de ecuaciones lineales,
cuadráticas o de valor absoluto.
El planteo de ecuaciones es también sumamente importante, ya que acontecimientos
de la vida cotidiana pueden ser resueltos aplicando la teoría de ecuaciones, a través
de estrategias sencillas. Es asi que podríamos afirmar que vivimos en mundo con
ecuaciones

3
Hallar el área de la figura dibujada de la
izquierda
ÁREA = B/2 + I – 1
donde:
B = puntos en el borde de la figura
I = puntos en el interior de la figura
En un viejo pergamino del "País
de las Maravillas" apareció este
dibujo con la siguiente
inscripción:
"Te damos muchas pistas,
para que sumando los valores
que tienen los animalitos, tanto
en las filas como en columnas, te
den los números indicados.
Mira con atención y
utiliza tu ingenio, ya que es más
fácil de lo que parece".
Como verás, este es un ejemplo
de un sistema de ecuaciones
cuyas variables son los dibujos
de cada animalito. ¿Descubriste
su valor?
x + y + z+ w = 13
2y + 2z = 18
2x + y = 10
3z = 15
y + z + w = 10
Observa que para este sistema
se han utilizado cuatro variables:
x, y, z, w. Sin embargo, en
nuestro caso, veremos sistemas
con 2 ó 3 variables.

4
TEORÍA DE ECUACIONES
IGUALDAD
Es una relación de comparación que se establece
entre dos expresiones que tienen el mismo valor.
Se denota:
=
er do1 miembro 2 miembro
A B
Se presentan en dos clases:
1. IGUALDAD ABSOLUTA E INCONDICIONAL
Es aquella que se verifica para todos los valores
asignados a sus incógnitas.
EEjjeemmpplloo::
(x  2)2 = x2  4x + 4
La igualdad se verifica para cualquier valor real de
‘’x’’.
2. IGUALDAD RELATIVA O CONDICIONAL
Es aquella que se verifica para determinados valores
que se les atribuye a sus incógnitas.
EEjjeemmpplloo::
7
2
1x3


Se verifica solo para: x = 5
3(5) 1
7
2


ECUACIÓN
Es una igualdad condicional que se verifica para
algunos valores asignados a sus incógnitas
(variables).
6xparav erificaseSólo
25
3
x
3x5:A sí


SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN:
Es el valor que al ser reemplazado en lugar de la
incógnita verifica la igualdad.
EEjjeemmpplloo::
Hallar "m" si la ecuación de variable "x":
x2 + (m - 1) x + 6 = 0
Presenta como solución a: 2
RESOLUCIÓN:
Por teoría: x = 2 reemplazando en la ecuación.
4m
06)2)(1m()2( 2


CONJUNTO SOLUCIÓN (C.S.)
Es el conjunto formado por todas las soluciones.
EEjjeemmpplloo::
6x11x6x 23

Las soluciones son: x = 1 ; x = 2 ; x = 3
Entonces: C.S. = {1; 2; 3}
CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES.
Según su estructura:
A. Fraccionaria. Cuando presenta incógnita en el
denominador.
EEjjeemmpplloo::
1
3x
1x
2x
1x






B. Irracional. Cuando la incógnita se encuentra
dentro de un radical.

5
Debe de considerarse
en las ecuaciones
fraccionarias
EEjjeemmpplloo::
74x1x 
C. Entera. Cuando las expresiones que se
comparan son polinomios.
EEjjeemmpplloo::
x3 + 6x = 6x2 + 1
Observaciones:
1º) existe si: b  0
EEjjeemmpplloo::
Resolver:
5x
10x6
5x
xx2





* Resolución: Simplificando x – 5.
Quedará:
2x;5x
10x6xx2


Pero x = 5 no es solución por que el denominador
x – 5 se hace cero, entonces la única solución es:
x = 2.
2º)
Debe de considerarse
en las ecuaciones
irracionales
a
2n
existe si: a   0 n IN
EEjjeemmpplloo::
Resolver:
x22xx 
* Resolución: Restando ‘‘x’’ resulta: .x2x 
Elevando al cuadrado.
1x;2x
2xx0
x2x
2
2



Pero x = – 1 no es solución por que
reemplazando en la ecuación original se obtiene:
CumpleNo211
)1(2211


la única solución es x = 2
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Son aquellas ecuaciones que una vez reducidas
adoptan la forma: ax + b = 0; su resolución se
realiza despejando la incógnita:
ax = – b
b
x Solución
a
  
a) Teoremas de Trasposición:
1° bcacba 
2°
0b:si;
b
c
acab 
3°
0b:si;bcac
b
a

b) Teoremas de Cancelación:
1° a + c = b + c  a = b; si: c  IR
2°
0c:si;babcac 
3°
0c:si;ba
c
b
c
a

a
b

6
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)     81x34x 
b)    3x381x2x 
c)    3x2xx610x15 
d)       28y42y94y32y5 
e)        6x311x86x4x35 
f)     9x5x83xx5x3 
g)     3x6x5x35x 
h)      24xx53x71x2x3 
i)      0x95x7x821x5x9 
j)       5294x52x3x6158x3 
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)     3x2x31x2 
b)    4x32x32x5 
c)      y62y541y3 
d)        2xx2133x24x1x2 
e)     4x2x3xx 
f)     118yy5y 2

g)     4x2x312xx3 
h)     2
3a165a5a 
i)       3x1x3x4x2 22

j)      222
8w2w4w2 
k)      5x24x63x44x3 
l)       54x3x25x21x 
m)          01x2x53x210x51x3 22

n)   0x41x41xxx3x
222










 



 
o)        1x1x2x3x2x1x 
p)      305x1415x1415x14 2

q)      3xx61x1x 33

r)      222
2x3x212x 
s)       22
8x716x315x83x5 
3. Halle el conjunto solución de las siguientes
ecuaciones:
a) 1
3
x
4
x
2
x

b) 14
8
x
6
x
4
x

c)
5
1
3
x2
5
x3

d) 8x
7
x5
3
x4

e) 4x
3
1x
4
3x




f) 0
6
3x
10
1x




g)  
3
3x
6,15x5,0


h) 3
9
3x
4
2x
3
x





i) 01
3
1x
9
2x




j) 1
4
1x
3
1x
2
x





k)      1x32x
3
1
5x
2
1

l)
12
1
4
x3
3
2
2
x

m)
4
6x3
4x
2
10x3 


n) x2
4
5x3
3
2
7x5




o)
15
3x2
7x3
2
7x3 


p)
2
5x3
2
3
3x2 


q)
2
x
2
5x2
2
x2




r)
3
x2
2
3x2
5
5x3




s)
3
x2
6
5x3
2
3x5 




t)
4
6x5
x5x2
3
1x 



7
4. Resolver:
5  {x (4  2x)  5} = x + (5 + 2x)
5. Calcular ‘‘x’’:
2
3
m)2x3(
2
x)5m(




6. Al resolver:
4
1
6
1x
3
2
8
1x3
x2x2 




 





 

Indicar el valor de 19x.
a) 1 b) 3 c) 17
d) 7 e) 1
7. El conjunto solución de la ecuación:
(x2
+ 7x + 5)(x2
+ 7x) = (x2
+ 7x + 3)(x2
+ 7x + 2) es:
 a) {1} b) {0} c) 
d) IR e) {0; 1}
8. Resolver:
31x222
3

Señalar el valor de: x2
 1.
a) 255 b) 63 c) 143
d) 168 e) 224
9. Al resolver:
1x2x12x9xx4 22

Se obtiene:
10. Resolver:    4x 12 4x 5x 4
Indicar el conjunto solución.
 a) -2 b) 4 c) 8
d) 1/2 e)
11. Al resolver la ecuación:
3x
44
axx2


Se obtuvo como solución 5, halle ‘‘a’’
a) 3 b) 4 c) 9
d) 16 e) 11
12. Halle "x":
a
ax
)ax(a
x
ax
1 2





1. Gasté los de lo que tenía y S/. 30 más,
quedándome con la cuarta parte de lo que tenía y
S/. 22 más. ¿Cuánto tenía?
a) S/. 216 b) 120 c) 416
d) 380 e) 400
2. Una persona ‘‘A’’ tiene 27 años más que la
persona ‘‘B’’. Si la edad de A está por encima de
20 como la de ‘‘B’’ lo está por debajo de 85,
¿cuántos años tiene cada persona?
a) 35 y 10 b) 45 y 20 c) 55 y 30
d) 65 y 40 e) 74 y 50

8
3. Juan tiene (2x 4); (x + 2) y (x 2) billetes de
S/. 10; S/. 20 y S/. 50 respectivamente. ¿Cuánto
tendrá ahorrado, si al cambiarlos en billetes de
S/. 100 se obtuvo el mismo número de billetes de
S/. 50 que tenía inicialmente?
a) S/. 800 b) 250 c) 240
d) 980 e) 620
4. Cierto número de libros se ha comprado por 100
nuevos soles. Si el precio por el libro hubiese
sido un nuevo sol menos; se tendría 5 libros más
por el mismo dinero. ¿Cuántos libros se compró?
a) 5 b) 4 c) 25
d) 20 e) 15
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES LINEALES
TEOREMA:
La gráfica de cualquier ecuación lineal es una línea
recta.
Dado que dos puntos determinan una línea;
podemos representar gráficamente una ecuación
lineal encontrando dos puntos que pertenezcan a su
gráfica. Después, trazamos una línea que pase por
dichos puntos.
Para mayor seguridad, siempre se debe utilizar
un tercer punto como control. A menudo, los puntos
más fáciles de encontrar son aquellos en los que la
gráfica interseca los ejes.
DEFINICIÓN:
La ordenada al origen (intercepto en "y") de una
gráfica es la ordenada del punto en el que la gráfica
intersecta al eje y. La abscisa del punto en el que la
gráfica cruza al eje x.
¡No olvidar!
Para encontrar la ordenada al origen, haz x = 0 y
resuelve para y. Para encontrar la abscisa al origen,
haz y = 0 y resuelve para x.
EEjjeemmpplloo::
Representa gráficamente 4x + 5y = 20
Primero encuentra las intersecciones. Para
encontrar la ordenada al origen, haz x = 0 y resuelve
para y.
Encontramos que la ordenada al origen es y = 4.
Representamos el punto (0; 4)
Para encontrar la abscisa al origen, haz y = 0 y
resuelve
1
3
5
1 3 5-1-3
(0;4)
(5;0) Abscisa al origen
x
y Ordenada al origen
para x.
Encontramos que la abscisa al origen es x = 5.
Representamos el punto (5; 0) el punto (1, 3) fue
utilizado como control.
Representa gráficamente
a) 2x - 3y = 6
b) 5y = 2x - 10
c) y = x
d) y = 4x + 1
e) y = 5x + 4

9
Introducción a los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Resolución Gráfica
DEFINICIÓN
Las ecuaciones que pueden reducirse a la forma:
ax + by + c = 0
Donde:
"x" e "y" son variables con "a", "b" y "c" números reales
dados, se llaman ecuaciones lineales con dos variables
y como conoces, ellas representan rectas del plano
cartesiano.
Se llama solución de una ecuación lineal con dos
variables, al par de valores para los cuales la ecuación
se transforma en una igualdad verdadera. En general,
toda ecuación lineal con dos variables admite infinitas
soluciones, que son las coordenadas de los infinitos
puntos de la recta que ella representa.
Se llama sistema de dos ecuaciones lineales con
dos variables a dos ecuaciones de este tipo que
pueden reducirse a la forma siguiente:





0cybxa
0cybxa
222
111
Son ejemplos de estos sistemas:





05y5x
04yx2


 
y 4x
x y 2





5y
y4x2
Las soluciones de los sistemas de ecuaciones
lineales con dos variables son las soluciones comunes
a las dos ecuaciones que lo forman, y el conjunto de
estas soluciones reciben el nombre de conjunto
solución del sistema, es decir, el conjunto solución de
un sistema de ecuaciones es la intersección de los
conjuntos solución de ecuaciones que lo forman.
Dadas dos rectas "r1
" y "r2
" en el plano coordenado
cuyas ecuaciones son: a1
x + b1
y + c1
= 0 y a2
x + b2
y +
c2
= 0 respectivamente, puede suceder que:
I. CASO
r1
≠ r2
es decir "r1
" y "r2
" se intersecan.
y
1
y
1
x1
r
1
r
2
y
x
0
P(x
; y
)
1
1
II. CASO
r1
// r2
es decir "r1
" y "r2
" son paralelos.
r
1
r
2
y
x
0
III. CASO
r1
= r2
es decir "r1
" y "r2
" son coincidentes.
r = r
1
y
x
0
2
Luego, un sistema de dos ecuaciones lineales con
dos variables puede tener una solución, como en el
caso del sistema formado por las ecuaciones de las
rectas representadas en el Caso I, puede no tener
solución, como en el Caso II, o puede tener infinitas
soluciones como en el Caso III.
Resolver un sistema de ecuaciones es determinar su
conjunto solución, el cual es vacío en el caso que el
sistema no tenga solución.
Estos tres casos que se presentan al analizar el
conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales
gráficamente, se pueden determinar utilizando un
procedimiento analítico.

10
2
1
2
1
b
b
a
a

2
1
2
1
b
b
a
a

2
1
2
1
c
c
b
b

2
1
2
1
b
b
a
a

2
1
c
c
2
1
2
1
b
b
a
a

2
1
2
1
c
c
b
b

2
1
2
1
b
b
a
a

2
1
c
c
2
1
2
1
b
b
a
a

2
1
c
c
1
1
1
2 

Siendo: a1
x + b1
y + c1
= 0
a2 x + b2 y + c2 = 0
Como ambas ecuaciones corresponden a rectas,
podemos conocer las posiciones relativas entre ellas
analizando:
1. Si: entonces r1
 r2
y el sistema tiene
solución única ya que las rectas se intersecan en un
punto.
2. Si: y
 
Entonces r1
// r2
y el sistema no tiene solución.
3. Si: y
 =
Entonces "r1
" y "r2
" coinciden y el sistema tiene
infinitas soluciones.
Ejemplo:
Analiza si los siguientes sistemas de ecuaciones tiene
una, ninguna o infinitas soluciones.
a)
 
 
       
   


        
 
1
1
1
2
2
2
a 2
2x y 5 2x y 5 0 b 1
c 5
a 1
x y 3 x y 3 0 b 1
c 3
El sistema tiene solución única, pues las rectas se
intersecan.
b)





























24c
6b
8a
024y6x824y6x8
12c
3b
4a
012y3x412y3x4
2
2
2
1
1
1
24
12
6
3
8
4

2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
b
a

El sistema tiene infinitas soluciones pues las
rectas coinciden.
c)
 
 
       
   


        
  
1
1
1
2
2
2
a 3
3x y 2 3x y 2 0 b 1
c 2
a 6
6x 2y 2 6x 2y 2 0 b 2
c 2
 
 
 
3 1 2
6 2 2 
El sistema no tiene soluciones, pues las rectas
son paralelas.
MÉTODO GRÁFICO PARA RESOLVER
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Vamos a estudiar un método para resolver sistemas
de dos ecuaciones lineales con dos variables, que
consiste en representar gráficamente las rectas
cuyas ecuaciones forman el sistema y así podemos
determinar las coordenadas de los puntos que son
comunes (en caso que existan), las cuales forman el
conjunto solución del sistema. Por lo general, las
soluciones que se obtienen son aproximadas, por lo
que se sugiere utilizar papel milimetrado; este
método se conoce con el nombre de método gráfico.
Ejemplo:
Resuelve gráficamente los sistemas de ecuaciones
siguientes:
a)





II.....0yx2
I.....3yx
Resolución:
Representamos las ecuaciones que forman el
sistema:
1
3
1 3-1-3 x
2
2 4-2
P(1;2)
y
Las rectas se cortan en el punto P(1;2).
1 2
1 2
a a
b b


11
Comprobación:
En la ecuación I x + y = 3
1 + 2 = 3
En la ecuación II 2x - y = 0
2(1) - 2 = 0
La solución del sistema es un par (1;2) la
solución también la podemos escribirla así:





2y
1x
El conjunto solución es S = {(1;2)}
b) 




8y2x2
03yx
Representamos las ecuaciones que forman el
sistema:
1
3
1 3-1-3 x
2
2 4-2
4
5-1
-2
y
Las rectas son paralelas, el sistema no tiene solución.
1. Representa gráficamente y completa:
a) y = 3x + 3 y = 3x
b) y = 1/2x + 1 y = 1/2x
c) y = -2x - 4 y = -2x
2. Comprueba gráficamente si los sistemas de
ecuaciones tienen una, infinitas o ninguna
solución.
a) 




1yx
2yx
b) 




6yx2
18y3x6
c) 




16x4y16
32x2y8
3. Determinar analíticamente si los sistemas
siguientes tienen o no solución. En caso que
tengan solución, específica si es única o si son
infinitas.
a) 




3x2y
1x3y
b)
 

 
2y 2x 8
x y 4
c) 




5y8x4
1y4x2

12
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
4. En el siguiente gráfico, hallar "m".
-3
7
5
y=m
x+by
x
a) 1 b) 8 c) 2
d) 5 e) 3
5. Escribe sistemas de ecuaciones con las
siguientes soluciones:
a) (5;1) c) Ninguna solución
b) (-7;3) d) Una infinidad de soluciones
6. Un sistema de ecuaciones lineales tiene
soluciones
(1;-1) y (-2; 3)
a) ¿Podrías encontrar otra solución?
b) ¿Cuántas soluciones debe haber?
7. La interpretación geométrica del sistema lineal
en "x" e "y".





a5xy
a2axy
4x
y
x
0
3x0
De acuerdo a ello, halle: a
8. Halle "m", si el sistema:
(m - 17)x - 20y = m - 13
3x + my = 2
9. Utiliza el método de sustitución para resolver
los siguientes sistemas:
a) 




13y2x5
y36x
b) 




25y8x7
y58x
c) 




6y2x2
30y10x5
10. Utiliza el método de igualación para resolver los
siguientes sistemas:
a) 




4yx2
6yx2
b) 




7yx4
9yx5
c) 




4y3x2
9y5x6
1. Resolver:
x + y = 5
x – y = 7 Indicar: 3x + y
a) 18 b) 19 c) 17
d) 20 e) 5
2. Resolver:
x + y = 8
x – y = 10 Indicar el valor de
“y”
a) 9 b) 8 c) 18
d) 1 e) -1
3. Resolver:
2x + y = 3
y + x = 2 Indicar: E = x - y
a) 1 b) 2 c) 3
d) 0 e) -1
4. Resolver:
3x + 2y = 5
2x + 3y = 5 Indicar el valor de:
a) 2 b) 5 c) 3
d) 1 e) 0
x
E
y


13
TAREA DOMICILIARIA
5. Resolver:
5x + 7y = 17
2x + y = 5 Indicar: 3x + 6y
a) 3 b) 6 c) 8
d) 12 e) -2
6. Resolver:
17x + 2y = 36
x + y = 3 Hallar: x - y
a) 0 b) 1 c) 2
d) -1 e) 4
7. Resolver:
5
n
2
m
3

e indicar “m + n”
a) 0 b) -1 c) 1
d) 2 e) -2
8. Resolver:
1
3
y2x5


………..(1)
1
2
yx2


………..(2) e indicar el valor
de y/x
a) 1 b) 1/2 c) 1/3
d) 2 e) 3
9. Sea el sistema incompatible:
(n + 3)x + ny = 1
5x + 2y = 2 Indicar: “n + 2”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. Sea el sistema compatible determinado:
(3m + 1)x + my = 2
12x + 3y = 1 Indicar lo correcto:
a) m  2 b) m  1 c)
m  3
d) m  -1 e) m  -2
11. Sea el sistema indeterminado:
(a + 1)x + (b + 2)y = 12
2x + 3y = 4 Indicar: “a + b”
a) 2 b) 5 c) 7
d) 12 e) 3
12. Resolver:
7
1y
1
1x
3




13
1y
1
1x
1




Indicar el valor de “x”
a)
5
3
b)
5
4
c)
5
4
d)
4
3
e) N.A.
13. Resolver:
2abx + by = 1
ax + y = 2 Indicar el valor de “x”
a) 1 – 2b b) ab c)
ab
ab 
d)
b
b21 
e)
ab
b21 
14. Resolver:
42y3x3 
122y23x4  Indicar: “x - y”
a) 1 b) -1 c) 0
d) -2 e) 2
15. Si el sistema:
mx + ny = 3
3x + 2y = 1
tiene infinitas soluciones.
Indicar el valor de:
3
nm
E


a) 3 b) 9 c) 1
d) -1 e) -3
1. Resolver:
x – y = 7
x + y = 11 Indicar el valor de “y”
a) 9 b) 2 c) 1
d) 11 e) 7
2. Resolver:
3x + y = -1
x – y = 5 Indicar el valor de “y”
a) 4 b) 2 c) 3
d) 1 e) -4
4 2
6
m n
 

14
3. Resolver:
4y + x = 5
3y + 2x = 5 Indicar el valor de “x”
a) 1 b) 2 c) 3
d) -1 e) 5
4. Resolver:
7x + 3y = 20
5x + 2y = 14 Indicar: “x/y”
a) 2 b) 4 c) 1
d) 3 e) -1
5. Resolver:
5y2
1x
3


4y
1x
3


Indicar el valor de “x”
a) 1 b) -1 c) 3
d) 2 e) 0
6. Resolver:
9
b
5
a
4

15
b
8
a
7

Indicar: “a + b”
a) 1 b) 0 c) -1
d) 2 e) 3
7. Resolver:
2
5
yx


……………..(II)
1
5
y3x2


……………..(II)
Indicar:
y
x
a) 14/3 b) 7/3 c) 4/3
d) 1/3 e) 4/5
(a + 2)x + 2y = 7 ……..(1)
5x + 3y = 8 ……..(2)
Indicar el valor de “a”
a) 3/4 b) 3/5 c) 4/3
d) 1/3 e) 3
(m + 1)x + ny = 5
2x + 3y = 8
Indicar el valor de: “3m – 2n”
a) 3 b) 5 c) -3
d) -5 e) -1
10. Sea el sistema compatible determinado:
2x + 3ay = 7
3x + y = 8
Indicar el valor que “a” no puede tomar:
a) 5/4 b) 2/7 c) 2/9
d) 3/9 e) 9/3
11. Resuelve por el método de sustitución los
a)





10yx2
7yx
b)





1yx2
9y2x3
c)





4y2x4
31y4x5
d)





0y3x7
60y6x6
e)





24y6x4
7y2x3
f)










7x
2
1y
y
3
1x
g)










1
x
6y
2
y
3x
h)





)y45(x29x5
80y2)x8(30
i)





20)y4x(20
)y6x5(2)yx2(8)y2x(12
j)








y
2
5
x2
2y
4
1
x
5
3
k)














2x
5
10y
4
1x3
2
y
x
3
)1y(2
2
5x
12. Resuelve por el método de igualación los

15
2
2
b
4a
a)





7yx
3yx
b)





1yx
3y3x4
c)





)3y(3y2x
x28y
d)








2
1
2
yx
48yx2
e)










2y
5
1
x
2
1
0
2
1y
x
f)





13y2x3
20y2x8
g)





29y7x5
15xy530x2
h)





7y2x9
21yx8
i)






2yx
4
3
1y3x
j)







3y2x3
6
5
3
y2
5
x6
k)












36
5
2
x
3
y
5
yx5
3
1x2
5
1x3
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Son aquellas ecuaciones de la forma:
ax2 + bx + c = 0; a  0
Donde:
a  Coeficiente del Término cuadrático.
b  Coeficiente del Término lineal.
c  Término independiente.
Presentando una solución general que es:
  

2
1;2
b b 4ac
x
2a
Donde: b2 - 4ac = y se denomina: Discriminante
Luego las raíces son:
a2
ac4bb
x
a2
ac4bb
x
2
2
2
1




Demostración: Sea la ecuación cuadrática.
ax2 + bx + c = 0; a 0
Dividimos entre ‘‘a’’:
0
a
c
x
a
b
x2

Formamos trinomio cuadrado perfecto sumando:
A ambos miembros de la ecuación
2
22
2
22
2
2
2
2
2
a4
ac4b
a2
b
x
a
c
a4
b
a2
b
x
a4
b
a
c
a4
b
x
a
b
x
















Sacamos raíz cuadrada y despejamos el valor de
‘‘x’’:
2
1,2
2
1,2
b b 4ac
x
2a 2a
b b 4ac
x ... l.q.q.d
2a

  
  
 

16
1) Resolver: 3x2 + 5x + 1 = 0
Resolución: Comparando: a = 3, b = 5, c = 1
Luego reemplazando en la solución general:
6
135
x
)3(2
)1)(3(455
x
2




Las raíces son:
   
  1 2
5 13 5 13
x x
6 6
2) Resolver: 4x2
- 9x + 5 = 0
Resolución:
Luego reemplazando en la solución general:
8
19
x
)4(2
)5)(4(4)9()9(
x
2




Las raíces son:
1
8
19
x
4
5
8
19
x 21 




3) Problema: El producto de tres números enteros
consecutivos (no nulos) es 63 veces el
intermedio. Hallar el mayor de ellos.
Resolución:
Sea: (x - 1); x; (x + 1) tres números
consecutivos, debemos hallar "x + 1" (piden el
mayor)
Del enunciado:
8x8x
0)8x)(8x(
064x
631x
:0xcomo,x63)1x(x)1x(
21
2
2





Si: x = 8 el mayor será x + 1 = 9
1. Resolver: 2x2
Señalar una raíz.
2. Resolver: 5x2 + 2 = 8x
Señalar la menor raíz.

17
2
353 
m2
55 
3. Resolver: x2 = 7x + 2
Señalar la mayor raíz.
4. Resolver:
5. Resolver:
6. Determinar el valor de ‘‘n’’ en la ecuación:
  2 2
x 5n n 0
si presenta como raíz:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
7. Dada la ecuación: mx2
Si sus raíces son:
Determinar: n/m
8. Halle la menor solución de:
2
+ 8x
3
2x
2x
2x
2x







18
9. Calcular ‘‘k’’ si el discriminante de la ecuación:
2x2
+ 7x + k = 1 es igual a 17
a) 2 b) 4 c) 5
d) 7 e) 6
10.Determinar el valor de ‘‘p’’ negativa en la
ecuación:
x2
a) b) c)
d) e)
1. Resolver e indicar una solución:
       
2
5 1 x 5x 5 1 0
2. Resolver e indicar una solución:
 
 
  
3 2
3 2 x 2
x
3. Resolver la ecuación:
(x - 1)(x + 2)(x - 3)(x - 2) = -3 e indicar una de sus
raíces.
4. Resolver la ecuación:
3 3
+ 65 = 4x2
+ 114
Indicar una solución
5. Hallar los catetos de un triángulo rectángulo cuya
hipotenusa tiene 10cm. Sabiendo que uno de
dichos catetos es igual a la semisuma de la
hipotenusa y el otro cateto.
a) 5 y 12 b) 6 y 8 c) 12 y 18
d) 10 y 24 e) 18 y 24
7. Un terreno cuadrado se vende en dos lotes, el
primero es un rectángulo, uno de los lados mide
30m y el otro 3/5 del lado del cuadrado, el
segundo lote se vende en S/. 12400 a razón de
S/. 2.50 el m2
. Calcular el lado del cuadrado.
a) 70 b) 80 c) 60
d) 65 e) 45

19
8. Al resolver: x2
+ x - 1 = 0
Se obtiene como raíces a x1
x2
(x1
> x2
) y al
resolver: 2x2
- 2x - 5 = 0, se obtiene como raíces
a: x3
x4
(x3
> x4
)
Entonces ordenar las raíces de menor a mayor.
a) x1
; x3
; x2
; x4
b) x1
; x2
; x3
; x4
c) x2
; x4
; x1
; x3
d) x2
; x1
; x4
; x3
e) Ninguna es correcta.
9. El cuadrado de la suma de las dos cifras que
componen un número es igual a 121. Si a
este cuadrado le restamos el cuadrado de la cifra
de la decenas y el doble del producto de las dos
cifras, se obtiene 81. ¿Cuál es el número?
a) 83 b) 74 c) 92
d) 29 e) 82
10. La diferencia de dos números es a su producto
como 1 es a 24. La suma de estos números es a
su diferencia como 5 es a 1. Hallar los números.
a) 2 y 24/23 b) 24 y 18 c) 12 y 8
d) 9 y 6 e) 33 y 6
1. El largo de un rectángulo excede al ancho en
12m. Si cada dimensión se aumenta en 3m su
superficie es igual a 133m2. ¿Cuál es el área
inicial de la región rectangular?
a) 60 m2
b) 50 c) 65
d) 64 e) 70
2. Resolver:
5x
1
4x
1
3x
1
6x
1







3. Dada la ecuación:
Donde ‘‘m’’ es una solución.
Hallar: m4
4.-Un número es los de otro número, siendo el
producto de ambos 27. Hallar la diferencia de
dichos números.
5. Si a los términos de una fracción (a/b) se le suma
‘‘x’’ y a la fracción que se obtiene se le resta ‘‘x’’
ha de resultar a/b. ¿Cuál será el valor de ‘‘x’’?
6. Un grupo de personas desean comprar un
automóvil cuyo precio es de $5600. Si lo que va
a pagar cada uno excede en $10 a la cantidad de
personas que forman el grupo, ¿cuánto tendría
que pagar cada uno si se retirarán 14 personas
del grupo?
x
x2
1x
3x2 




20
PROPIEDADES DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Dada la ecuación:
ax2 + bx + c = 0; a  0
Sabemos que sus raíces son:
a2
ac4bb
x;
a2
ac4bb
x
2
2
2
1




Sumándolas: se anularía ac4b2
 quedando:
a
b
xx
a2
b2
a2
bb
xx 2121 


Multiplicándolas: en el numerador tendríamos
una diferencia de cuadrados.
a
c
xx
a4
ac4
a4
ac4bb
a2a2
ac4b)b(
xx
21
22
22
2
22
21










 

Estamos demostrando dos propiedades que nos
permiten calcular la suma y el producto de raíces
de la ecuación, sin necesidad de resolverla.
Suma de raíces:
a
b
xx 21 
Producto de raíces:
a
c
xx 21 
Observación:
1. Raíces Simétricas: Llamamos así a las
raíces cuya suma es cero.
1 2 1 2x x son simétricas, si: x x 0
2. Raíces Recíprocas: Llamamos así a las
raíces cuyo producto es la unidad.
1 2 1 2x x son recíprocas, si: x x 1
1) Determinar la suma de los valores de ‘‘k’’ que
hacen que la suma de las raíces de la
ecuación:
x2
+ kx + 2x - k2
+ 4 = 0
Sea igual al producto de las mismas.
Resolución: Dando forma a la ecuación:
1x2 2) = 0
Dato:
06kk
k42k
1
k4
1
)2k(
xxxx
2
2
2
2121







Factorizando por aspa simple tenemos:
  
   
  
(k 3)(k 2) 0
k 3 k 2
Piden:(-2 3) 1
2) Determinar el valor de ‘‘p’’ en la ecuación
x2
de
sus raíces es 2.
Resolución: Para hallar o usar la diferencia
de
raíces, recordemos una de las identidades de
legendre:
ab4)ba()ba( 22


21





 





 

1
p4
4)2(
1
6 2
2
Para nuestro caso: (x1
+ x2
)2
1 2
)2
=
4x1x2
Luego:
Entonces:
p4
p48
)p4(4436



3) Hallar el valor de ‘‘m’’ para que las raíces de
la
ecuación:
.simétricassean
1m
1m
2x5
x3x2





Resolución: efectuando:
(m + 1)x2
Reduciendo términos semejantes.
(m + 1)x2
+ (8 -
Como las raíces son simétricas:
0xx 21 

 

  

(8 2m)
0
m 1
8 2m 0
2m 8
4m
Reconstrucción de una ecuación de 2do
grado conociendo sus raíces:
Dadas las raíces "x1" ^ "x2", la ecuación que
posea éstas raíces será:
0)xx(x)xx(x 2121
2

1. Formar la ecuación de 2do grado que tenga
Resolución: Sean: x1 2
= 4
Tendremos que: x1
+ x2
= 5/2; x1
x2
La ecuación será:
0)6(x
2
5
x2







Para que los coeficientes sean enteros
multiplico
por 2.
2x2
- 5x - 12 = 0
2. Formar la ecuación de 2do grado con
coeficientes enteros, si una de sus
raíces es 23  .
Resolución:
1er Método: como una raíz es irracional
x 3 2 
la otra raíz será: 3 2 de donde:
;6xx 21 
   
22
1 2x x 3 2 7
La ecuación será: x2
2do Método: buscando que eliminar la .
tenemos:
23x
23x


Elevando al cuadrado:
 
07x6x
29x6x
2)3x(
2
2
2
2



3. Formar la ecuación de 2do grado con
coeficientes reales, si una de sus raíces es 2
+ 5i.
Resolución: lo haremos con el 2do método:
i52x
i52x


Elevando al cuadrado:
029x4x
254x4x
)i5()2x(
2
2
22




22

21
21 x
1
x
1
E 
2
2
2
2
1
b
c6xx
E


1. Siendo "x1
" "x2
" raíces de la ecuación
3x2
- 7x + 1 = 0
Hallar:
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
2. Si: "x1
" ^ "x2
" son raíces de: x(x 6) = 3
Obtener: T = (1 + x1
)(1 + x2
)
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
3. Hallar ‘‘a’’ si la ecuación:
5x2
simétricas.
a) 7 b) 14 c) 49
d) 35 e) 343
4. Hallar ‘‘b’’ si la ecuación:
2
raíces recíprocas.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
5. La suma de las inversas de las raíces de la
ecuación: 2
Hallar "a"
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
6. Determinar el valor de ‘‘m’’ para que la suma
2
4m)x + m2 = 0 sea 5.
a) 21 b) 22 c) 20
d) 20 e) 21
7. Dada la ecuación: 2x2
p + 2) = 0,
calcular ‘‘p’’ para que la diferencia de sus
raíces sea 2.
a) b) c)
d) 1 e) 14
8. Formar la ecuación de segundo grado de
coeficientes racionales enteros cuyas raíces
son:
x1 = 2
x2 = 2/3
a) 3x2
+ 8x + 4 = 0 b) x2
+ 8x + 13 =
0
c) x2
++ 16 = 0 d) 3x2
+ 8x + 1 =
0
e) 3x2
 8x + 3 = 0
9. Formar la ecuación de segundo grado, si sus
raíces son:
1mmx
1mmx
2
2
2
1


a) 2x2
 mx + 2 = 0 b) 2x2
 4mx + 2 = 0
c) 2x2
 2mx + 1 = 0 d) 2x2
 2mx + 2 = 0
e) 2x2
 mx + 1 = 0
10. Formar una ecuación de 2do grado con
coeficientes reales, si una de sus raíces es:

   
a 2i
, a b ZZ , i 1
b
a) b2
x2
+ a2
+ 4 = 0
b) b2x2 + 2abx + a2 = 0
c) b2
x2
 2abx + 4 = 0
d) b2
x2
+ 2abx + a2
- 4 = 0
e) b2
x2
 2abx + a2
+ 4 = 0
1. Sean "x1
" y "x2
" raíces de: x2
+ 2bx + 3c = 0
Calcular:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6

23





M
3
22











2005
E
5
2
5
1 )3x(
1
)3x(
1



INECUACIONES DE PRIMER GRADO
2. Siendo"" y"" raíces de la ecuación:
2x2  6x + 1= 0.
Hallar:
a) 16 b) 15 c) 14
d) 13 e) 12
3. Resolver:
b2(a  b)x2 + a3x + a2b + ab2 + b3 = 0
E indicar una solución.
4. En la ecuación: ax2 - (a - 5)x + 1 = 0, el
producto de sus raíces es igual a la
diferencia de las mismas. Hallar la mayor raíz
posible que se pueda obtener.
5. Sea "" una de las raíces de la ecuación
x2
Calcular:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
6. La ecuación x2
- 2x + 2005 = 0, tiene como
conjunto solución {;}
Calcular:
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
7. Sean ‘‘a’’ y ‘‘b’’ las raíces de
x2
+ 2006x + 1996 = 0.
Calcular: M = a2
+ b2
+ a2
b2
+ 2ab(a + b + 1)
a) 90 b) 95 c) 100
d) 110 e) 120
8. Dado: x2
+ 3x + 1= 0; cuyas raíces son "x1
",
"x2
"
Hallar:
a) 32 b) 43 c) 51
d) 83 e) 123
11.. DDeeffiinniicciióónn
La desigualdad de la forma:
ax + b > 0 ó ax + b  0
ax + b < 0 ó ax + b  0
o toda aquella que pueda transformarse en
una de las cuatro anteriores se denomina
“desigualdad de primer grado” con una
incógnita.
EEjjeemmpplloo::
3x – 8 < 0 ; 5x + 13 > 0
2x + 3  0 ; 3x + 9  0
2
x3
- 5 >
5
x2
+ 2
22.. SSoolluucciióónn
Se denomina así a todo valor de “x” que
satisface la desigualdad dada.
EEjjeemmpplloo::
El número 2 es solución de 3x – 8 < 0,
puesto que:
3 . 2 – 8 < 0  -2 < 0
33.. RReessoollvveerr uunnaa IInneeccuuaacciióónn
Significa hallar todos los valores de la
incógnita que verifican la desigualdad dada.
La búsqueda de la solución de cualquier

24
inecuación de primer grado con una
incógnita da lugar a desigualdades
elementales de la forma:
 x > a
x  <a, >  conjunto solución
 x  a
x  [a, >  conjunto solución
 x < a
x  <-, a>  conjunto solución
 x  a
x  <-, a]  conjunto solución
Ejemplo: Resolver
3
5x2 
- 1 > 3 - x
44.. IInntteerrvvaallooss FFiinniittooss
 Intervalo Cerrado :
[a, b] = {x  R/ a  x  b}
 Intervalo Abierto : <a, b> = {x  R/ a < x
< b}
 Intervalos semi abiertos :
[a, b> = {x  R/a  x < b}
<a, b] = {x  R/a < x  b}
55.. IInneeccuuaacciioonneess ccoonn VVaalloorr AAbbssoolluuttoo
Para resolver este tipo de inecuaciones
se utilizan los siguientes teoremas:
Teorema 1:
a < b  b > 0  -b < a < b
Ejemplo: Resolver x - 3 < 1  -1 < x – 3
< 1
2 < x < 4
x  <2, 4>
Teorema 2:
a > b  b > 0  a < -b  a > b
Ejemplo: Resolver
2x - 3  7
2x – 3  -7  2x – 3  7
x  -2 x  5
a x-

+

a x-

+

x a-

+

x a-

+

x b-

+

a
x b-

+

a
x b-

+

a
x b-

+

a
5-

+

x -
2
x

25
1. Señalar cuál o cuáles de las siguientes
afirmaciones es verdadera :
I. Si :
3
x2
5
1x2 


> 1; entonces : x > 2
II. Si :
10
13x3
4
1x5 


>
3
1x5 
; entonces :
x > 1
III. Si :
2
1x
5
1x3 


<
7
x
1  ; entonces : x <
7
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) I y III e) II y III
2. Si : k < 0, resolver la inecuación :
2
x31
k
x 
 <
k4
2x 
a) x >
k21
k1


d) x <
)k21(3
)k1(2


b) x <
k21
k1


e) x >
)k21(3
k1


c) x >
)k21(3
)k1(2


3. Si : -10 < m < 2, resolver la inecuación :
3
1x
2m
mx 


<
4
3x2 
a) x >
)10m(2
2m


d) x <
10m
)2m(5


b) x >
10m
)2m(5


e) x >
)10m(2
2m


c) x <
)10m(2
)2m(5


4. Resolver el sistema : 0,4x +
3
7
<
3
2
x – 1,2
5x + 17 > 9x - 63
a) x < -20 b) x > -20 c) x > 53/4
d) –20 < x < 53/4 e) N.A.
5. Se desea saber el mayor número de
alumnos que hay en el aula, si al doble del
número de éstos se le disminuye en 7, el
resultado es mayor que 29 y sí al triple se le
disminuye en 5, el resultado es menor que el
doble del número aumentado en 16.
a) 20 b) 22 c) 21
d) 18 e) 19
6. Un comerciante adquirió cierto número de
artículos de los que vendió 70 y le quedaron
más de la mitad; al día siguiente le
devolvieron 6, pero logró vender 36, después
de lo cuál le quedaron menos de 42.
¿Cuántos artículos formaban el lote?
a) 140 b) 141 c) 142
d) 139 e) 143
7. Los paquetes del mismo tipo, pesan el mismo
número entero de kilogramos y las pesas
tienen indicado su peso en kilogramos.
Determinar el peso total de 2 paquetes
blancos y tres negros.
a) 16 kg b) 18 c) 20
d) 21 e) 23
10 3
15

26
8. Resolver el sistema:
7
5x4 
< x + 3
4
8x3 
> 2x – 5
Indicar la suma de las soluciones enteras:
a) –36 b) –21 c) –18
d) 18 e) 25
x + 3 < 5
2x + 4 > 2
a) <-8, -3> b) <-1, 2> c) <-8, -2>
d) <-8, 2> e) <-8, -3>  <-1, 2>
10.Se define la operación:
m  n =
3
n1m2 
Hallar el conjunto solución de la inecuación
definida por: x  2  3/4
a) x  -9/8 d) x  1/8
b) –9/8  x  -7/8 e) –1/8  x  1/8
c) x  -7/8
11.Señalar cuál o cuáles de las siguientes
afirmaciones es falsa :
I. Si : 2(x + 4) + 3(x - 1) > 4(x + 8),
entonces : x < 27
II. Si : 2 +
2
5x 

3
8x 
- 5, entonces : x  -
11
III. Si : 6x +
7
5
> 4x + 7, entonces : n <
7
22
d) I y II e) II y III
12.Resolver el sistema:
4
3x 
- x 
3
2x
2
1x 


2 – x > 2x - 8
a) x  [-1, 3> d) x  [-2, 13/3>
b) x  [-2, 10/3> e) x  [-3, 10/3>
c) x  [-1, 10/3>
13.Hallar el total de números enteros que
verifican el sistema :
2
x
3
11
 <
9
14x5 
9
14x5 
>
5
6x3 
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 3
14.Un padre dispone de S/. 320 para ir a un
evento deportivo con sus hijos, si toma
entradas de S/. 50 le falta dinero y si las
tomas de S/. 40, le sobra dinero. ¿Cuál es el
número de hijos?
a) 5 b) 4 c) 6
d) 3 e) 7
1. Señalar cuál o cuáles de las siguientes
afirmaciones es verdadera :
I. Si : 3 +
6
3x 
>
3
5x 
- 2
3
1
, entonces :
x < 19
TAREA DOMICILIARIA
¡QUE FACIL!

27
II. Si :
2
1x3  >
3
x21 
, entonces : x < 5/13
III. Si : 3 -
4
x
< 7 +
4
3x 
, entonces : x < -
13/2
d) I y III e) II y III
2. Si: -
5
2
< a < 0, resolver la inecuación:
2
x5
a2
ax3  
a10
2x5 
a) <-, 1/5> b) <-, 1/3] c)
<1/5, >
d) [1/5, > e) [-1/5, 1/5]
4
x3
- 5 > 7
2
x
+ 3 > x – 9
a) <21, 24> b) <17, 21> c)
<18, 19>
d) <16, 24> e) <17, 24>
4. ¿Cuántos números enteros satisfacen el
sistema
5x – 6 > 3x - 14 ?
2
5x7 
> x + 12
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
5. Para la confección de la parte final de un libro
habían cierto número de problemas, se
duplicó este número y se eliminaron 39
problemas porque eran muy sencillos, de este
modo quedaron menos de 65 problemas. Si
se hubiera triplicado el número original de
problemas y eliminando luego 70 por
considerarlos repetidos en capítulos
anteriores. ¿Cuántos problemas habían
inicialmente?
a) 38 b) 47 c) 51
d) 53 e) 57
6. Se compró un número impar y múltiplo de 3
de naranjas, tal que, si se vende la cuarta
parte, quedan por vender menos de 120, pero
si se vendiera la sexta parte, quedarían más
de 129 por vender. ¿Cuántas naranjas se
compraron?
a) 147 b) 159 c) 135
d) 165 e) 195
7. Hallar un número de dos cifras, sabiendo que
la suma de ellas es mayor que 10 y que la
diferencia entre la cifra de las decenas y el
doble de la que ocupa el lugar de las
unidades es mayor que 4. Indicar como
respuesta el producto de las cifras.
a) 24 b) 30 c) 18
d) 21 e) 27
8. Resolver el sistema: 2x - 1 < 4
x + 2 > 3
a) <-5, -3/2> b) <-3/2, 1> c) <1, 5/2>
d) <-3/2, 5/2> e) <-5, 1>
9. Resolver el sistema: 3x + 2  4
2x + 1 > 2
a) <-, -2>  [2/3, >
b) [-2, -3/2>  <1/2, 2/3]
c) [-3/2, 1/2>
d) [-2, 2/3]
e) <-, -2]  <-3/2, 1/2>  [2/3, >
10.Se define la operación:
m  n =
4
n21m23 
.
Hallar el conjunto solución de la inecuación
definida por: x  1 <
4
3
a) <-, -1/3> b) <-, 1/3>
c) <-2/3, > d) <1/3, 2/3> e) N.A.
11.Dado : 12 < x + 10 < 14.
Hallar : 4a + 5b
Si: 2a < 3(x + 1) + 1 < 2b

28
INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
a) 50 b) 70 c) 64
d) 68 e) 60
12.Hallar el total de valores enteros que verifican
el sistema :
5x – 9x + 2 > (x + 2) (-6)
3(2x + 3) < 7x – 2(x - 8)
a) 13 b) 12 c) 11
d) 14 e) 15
13.El perímetro de un triángulo isósceles es 200
m., si uno de los lados es múltiplo de 25.
hallar las dimensiones del triángulo.
a) 65, 65, 70 d) 75, 75, 50
b) 50, 50, 100 e) 70, 70, 55
c) 150, 25, 25
14.A un estudiante le dieron a vender cierta
cantidad de pollitos, de los que vendió 35 y le
quedaron más de la mitad. Luego le
devuelven 3, y vende después 18 con lo que
le restan menos de 22 pollitos. ¿Cuántos
pollitos le dieron?
a) 69 b) 70 c) 71
d) 72 e) 73
15.Resolver el sistema :
2
1
x  <
2
1
1x2   2
a) 0 < x  1/2 b) <-, 0] c) <1, 5/2]
d) [1/2, 5/2] e) [5/2, >
1. DDeeffiinniicciióónn
Las desigualdades de tipo:
ax2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c  0
ax2 + bx + c < 0 ; ax2 + bx + c  0
se denominan desigualdades de segundo
grado o cuadráticas.
EEjjeemmpplloo::
x2 + x – 6 > 0 ; 2x2 – 5x – 3 < 0
5x2 – 8x + 3  0 ; 2x2 + 4x + 5  0
22.. RReessoolluucciióónn ddee IInneeccuuaacciioonneess ddee SSeegguunnddoo
GGrraaddoo
Sea el polinomio de segundo grado:
ax2 + bx + c
 Se verifica que “a” sea positivo, si a es
negativo se cambia el signo a todos los
términos de la desigualdad.
EEjjeemmpplloo::
Resolver -2x2 + 5x + 3 < 0 cambiando el
signo 2x2 – 5x – 3 > 0
 Se calcula el discriminante para ver el tipo
de raíces :
 = (-5)2 – 4(2) (-3)
 = 49
 Se calculan las raíces factorizado por aspa
simple o por fórmula general :
2x2 – 5x – 3 = (2x + 1) (x - 3) = 0
x = -1/2 ; x = 3
A estos valores se les conoce como
“puntos críticos”.
 Se ubican los puntos críticos en la recta
numérica para analizar los signos del
trinomio : P = 2x2 – 5x – 3
-
2
1 +

-

3
-
++

29
Como P > 0 entonces la respuesta es la
Zona positiva.
 Se escribe el intervalo solución : x  <-,
-1/2>  <3, >
1. Al resolver el sistema:
2
1 x2 – 3x +
8
35
> 0
2
1 x2 – 3x +
8
35
< 1
Se pide dar la suma de todos los números
enteros que lo satisfagan.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
15.Al resolver el sistema:
3x2 – 12x – 15  0
-x2 + 4x – 3  0
el conjunto solución es : [a, b]  [c, d].
Calcular el valor de: E = 2a + b – 3c + d
a) –5 b) –3 c) 0
d) 1 e) 8
16.Resolver la inecuación:
x(x - 8) + 8 > 4(1 - x)
a) R b) <0, > c) <-, 0>
d) R – {2} e) R – {4}
17.Al resolver la inecuación:
x2 – 10x + 33 < 0
Podemos afirmar que:
a) No existe solución real
b) x < -33/10
c) x > -33/10
d) x > 0
e) x < 0
18.Resolver el sistema:
1 < -x2 + 4  -2x
a) - 3 < x  1 - 5
b) - 3 < x < 3
c) 1 - 5  x  1 + 5
d) 1 - 5  x < 3
e) - 3 < x  1 - 5 ó 3 < x < 1 + 5
19.Si: m  -x2 + 3x + 12,  x  R. ¿Cuál es el
menor valor que puede tomar “m”?
a) 2 b) 14 c) 12
d) 14,25 e) 12,25
20.¿Cuántos valores enteros de “x” satisfacen el
sistema?
2y + x2 + 4x  2
x2 + 6x + 3 < 3y
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
21.¿Cuántos pares ordenados (a, b) de
coordenadas enteras, satisfacen el sistema?
Y < 4x – x2
Y > x2 – 4x
a) 18 b) 17 c) 16
d) 14 e) 15

30
22.Resuelve la inecuación:
x - 22 - 2x - 2 - 15 > 0
a) <-, 5> b) <-1, > c) <-1, 5>
d) <-, -3>  <7, > e) <-, -1>  <5, >
23.Si el sistema: -3 <
1x2x
1mx2x

 < 3 es válido
 x  R. ¿Qué valores puede tomar “m”?
a) –2 < m < 1 b) –5 < m < 1
c) 3  m < 7
d) –7 < m < 11 e) –7 < m < 2
24.Resolver la inecuación: x2 – 3x  2x
a) <-, 0]  [5, > d) <-, 2]  [5,
>
b) <-, 0>  [5, > e) <-, 0]  <2, >
c) <-, 0]  <5, >
25.Al resolver el sistema : x2 + 8x + 15 < 0
x2 – 2x – 24 < 0
el conjunto solución es <a, b>. Hallar el valor
de “2b - a”.
a) –4 b) –2 c) 5
d) 7 e) 8
26.Si : 1 + 6x – x2  M,  x  R. ¿Cuál es el
menor valor que puede tomar “M”?
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
27.¿Cuántos pares ordenados (a, b) de
coordenadas enteras satisfacen el sistema?
2
y
 x
y + 1 > x2
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
28.¿Qué valor debe tener “n” para que:
nx2 + (n - 1)x + (n - 1) sea positivo para
cualquier valor real de “x”?
a) n  <-, -1/3>  <1, >
b) n  <-, -3>  <1, >
c) n  <-, -1/3>  <3, >
d) n  <-, 1>  <3, >
e) n  <-1/3, 1>
1. La solución de la inecuación: -x2 + 8x – 7 > 0
a) - < x <  b) –1 < x < 7 c) –1 < x
< 1
d) 0 < x < 7 e) 1 < x < 7
2. Si: x > 0 resolver la desigualdad:
(x2 - 4) (22x - 1)  0
a) x  [-2, 2] b) x  <-2, 2> c) x  [0,
2]
d) x  <0, 2] e) x  <0, 2>
3. Encontrar todos los números reales que
satisfacen la desigualdad:
x2 + 7x + 12 > 0
a. {x  R/ - < x < -4}
b. {x  R/ -3 < x < }
c. {x  R/ - < x < -4}  {x  R/ -3 < x < }
d. {x  R/ - < x < -4}
e. {x  R/ -4 < x < 3}
TAREA DOMICILIARIA

31
4. Dado el sistema: x2 – 11x + 24 < 0
x2 – 9x + 20 > 0
Hallar la suma de las soluciones enteras y
positivas.
a) 13 b) 12 c) 14
d) 15 e) 10
5. Resolver el sistema : x2 + 5x – 14 > 0
x2 – x – 12 < 0
a. <-, -7>  <2, > d) <2, 4>
b. <-3, 4> e) <-7, 2>
c. <-7, -3>  <2, 4>
6. Resolver el sistema : 5x – 1 < (x + 1)2 < 7x –
3
a) x  <2, 5> b) x  <3, 6> c) x  <2,
7>
d) x  <3, 5> e) x  <2, 4>
7. ¿Cuántos pares ordenados (a, b) de
coordenadas enteras satisfacen el sistema?
y – x2 + x + 6 > 0
y – x < -3
a) 7 b) 8 c) 6
d) 3 e) 4
8. Si : x2 + 14x + 33  M,  x  R, el mayor valor
que puede tomar M es :
a) –18 b) –16 c) –14
d) –12 e) 10
9. La ecuación : 2mx2 + mx +
2
1
= 0 posee 2
raíces reales y distintas, entonces :
a) m = 0 b) m > 0 c) m < 4
d) m < 0 ó m > 4 e) 0 < m < 4
10.Si: (1 - a)x2 + 2x + 4 > 0;  x  R, entonces
“a” pertenece al intervalo.
a) <-, 1/4> b) <-, 1/2> c)
<-, 3/4>
d) <-, 1/5> e) <-, 1/6>
11.La suma de los números enteros que
simultáneamente cumplen las inecuaciones :
6x +
7
5
> 4x + 7
2
752x3 
> 2x2 - x
es:
a) 30 b) 39 c) 42
d) 49 e) 60
12.Resolver el sistema : 4x – 2 < x2 + 1 < 4x + 6
a. <1, 1>  <3, 5> d) <1, 5>
b. <1, 3> e) <-1, 3>
c. <-1, 5>
13.¿Cuántos valores enteros de “x” satisfacen el
sistema?
y > 2x2 + 3
y 
5
4
x + 4
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
14.Resuelve la inecuación:
x - 22 - 4x - 2 - 21 < 0
a. –3 < x < 7 d) x < -5 ó x > 9
b. –5 < x < 9 e) –3 < x < 9
c. x < -3 ó x > 7
15.Si : x2 – a – 1 + ax  -4,  x  R entonces se
cumple que :
a. a  [4, 6] d) a  [2, ]
b. a  [-6, 4] e) a  <-, -6]
c. a  [-6, 2]

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