Gestion inventarios con demanda independiente

Administración de Empresas y Organización de la Producción
ESCUELA INGENIERIAS INDUSTRIALES-Universidad de Valladolid-OECIM
Curso 2011/2012
Rafael Solís Martínez
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TEMA 5
GESTION INVENTARIOS CON DEMANDA INDEPENDIENTE
0)INTRODUCCION
1)VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL INVENTARIO
2)NATURALEZA DE LOS INVENTARIOS
3)MODELOS DE CANTIDAD FIJA DE PEDIDO
3-1)Modelo cantidad económica pedido simple
3-2)Modelo cantidad económica de pedido con suministro gradual
3-3)Modelo cantidad económica de pedido con descuentos
3-4)Modelo cantidad económica de pedido con posibilidad de ruptura
3-4-1)Demanda insatisfecha diferida
3-4-2)Demanda insatisfecha perdida
4)MODELO DE PERIODO ECONOMICO DE PEDIDO
5)CANTIDAD DE PEDIDO PARA ARTICULOS CON DEMANDA
INDEPENDIENTE Y ALEATORIA

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0)INTRODUCCION
El objetivo de este capitulo es analizar los distintos conceptos asociados a
la gestión de inventarios.
Para ello, se comienza con una descripción de las principales razones que
justifican la presencia de inventarios en las organizaciones, así como los
problemas que puede ocasionar un excesivo nivel de inventario.
A continuación se realiza una clasificación de los inventarios en función de la
naturaleza de la demanda y del conocimiento o no del tiempo de suministro,
distinguiéndose entre inventarios con demanda dependiente e
independiente. El resto del capitulo se dedica a analizar los distintos
modelos de cálculo de la cantidad de pedido para casos de demanda
independiente; los modelos con demanda dependiente se dejan para otro
capitulo.
Para finalizar el capitulo, se describe el modelo de cantidad económica de
pedido en condiciones de incertidumbre, es decir, cuando la demanda o el
tiempo de suministro no son conocidos con certeza, sino que son
considerados como variables aleatorias.
En este caso aparecen los conceptos de nivel de servicio, riesgo de ruptura,
y stock de seguridad.
Las existencias suponen en torno al 20 % del total del activo de la
empresas nacionales. Esta cifra es todavía mas significativa si tenemos en
cuenta que en el promedio se incluyen empresas del sector servicios, las
cuales apenas tienen inventarios reflejados en sus balances. Por tanto, las
existencias constituyen un activo circulante critico para la mayor parte de
las empresas que debe ser cuidadosamente planificado y controlado por las
repercusiones que puede tener para la rentabilidad, liquidez y fiscalidad de
la empresa.
La importancia de las decisiones relativas al inventario se deriva de la
obligación de coordinar las necesidades de producción, marketing y finazas
en lo que se refiere a la cantidad óptima de inventario. La dificultad de las
mismas reside en que de forma habitual dichas necesidades son totalmente
contrapuestas, lo que obliga a adoptar una solución de equilibrio.
Inventario es un conjunto de artículos acumulados o almacenados en
espera de una posterior utilización, es decir, de una posterior demanda.

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La principal función del mismo es adecuar un flujo de producción y un
flujo de demanda de diferente frecuencia temporal.
Según su naturaleza podemos distinguir entre inventario de productos
terminados ,de materias primas, de productos en curso de fabricación o
semiterminados, de material de envasado y embalaje.
De acuerdo con su categoría funcional podemos distinguir entre:
a)Inventario de ciclo: En la mayoría de la ocasiones no tiene sentido
producir o comprar artículos a medida que van siendo demandados, sino que
lo habitual es lanzar ordenes de pedido de un tamaño superior a las
necesidades del momento, dando así lugar a un inventario que es consumido
a lo largo del tiempo. Este inventario recibe el nombre de inventario de
ciclo, ya que se presenta periódicamente, dando lugar a un comportamiento
cíclico
b)Stock de seguridad: Constituidos como protección frente a la
incertidumbre de la demanda y del plazo de entrega del pedido, con ellos se
trata de evitar la inexistencia de inventarios en un momento dado y la
consiguiente parada del proceso productivo o insatisfacción de la demanda
del cliente.
c)Inventarios estacionales: Su objeto es hacer frente a un aumento
esperado de las ventas; por ejemplo, en un supermercado se observan
incremento de la demanda de helados en verano o de turrones en Navidades
d)Inventarios en transito: Se denomina así a los artículos que están
circulando entre las diferentes fases de producción y de distribución, como,
por ejemplo, entre el almacén de productos terminados y un almacén
regional de distribución, o entre distintas fases del montaje.
Evidentemente, en la mayoría de las ocasiones un mismo artículo presentará
situaciones de inventario que corresponden a varias de estas categorías
funcionales, puesto que un inventario de ciclo , también puede serlo
estacional y además de seguridad…etc

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1)VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL INVENTARIO
Entre las diferentes razones que justifican la presencia de inventarios en
las organizaciones podemos señalar las siguientes:
A)Reducción de los tiempos de entrega. Los inventarios de productos
terminados permiten prestar un mejor servicio al cliente , al reducir el
tiempo que este debe esperar para recibir su pedido. Habitualmente el
mejor servicio al cliente requiere adoptar medidas como grandes niveles de
stock o numerosos almacenes que acerquen nuestra oferta de productos a
los mercados.
B)Incremento de la flexibilidad. La presencia de inventarios de productos
en curso de fabricación evita que se detenga el proceso productivo ante la
avería de una máquina y permite adaptarse de forma rápida a las
oscilaciones de la demanda
C)Reducción de los costes de pedido. Cada vez que realizamos un pedido a
nuestros proveedores, incurrimos en una serie de costes relativos a la
emisión de la orden de compra, su expedición, contabilización y recepción
del pedido en almacén.
Del mismo modo al emitir una orden de fabricación se incurre en una serie
de costes derivados de modificar la maquinaria para producir el nuevo lote.
Por ello, cuanto mayor sea la cantidad que pedimos cada vez, es decir mayor
sea nuestro inventario, menor numero de pedidos realizaremos al año, lo que
reducirá este tipo de costes.
D)Reducción de los costes de ruptura de stocks: Si el cliente realiza un
pedido y no podemos entregar por no tener productos almacenados,
incurrimos en una serie de costes que van desde la pérdida de imagen a la
posible pérdida del cliente. Del mismo modo, si se nos agota el inventario de
materias primas o de productos en curso, habrá que detener el proceso
productivo lo que además del coste de inactividad, puede terminar
acarreando la pérdida de ventas y la insatisfacción del cliente.

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E)Reducción de los costes de adquisición y producción. El coste de
adquisición de las materias primas puede reducirse si realizamos pedidos en
grandes lotes, dado que los proveedores suelen conceder descuentos por
volumen de compras (rappels).
De forma similar la producción en grandes lotes puede reducir de modo
notable el coste unitario de producción, al reducirse el tiempo empleado en
realizar modificaciones de las máquinas para adaptarlas a la producción de
los lotes de diferentes productos.
F)Mejora de calidad. La producción de lotes de mayor tamaño reduce los
defectos que suelen producirse al inicio de la producción de cada lote,
debido a los ajustes necesarios en las máquinas y al proceso de adaptación
de los trabajadores al nuevo producto.
Sin embargo, contar con un elevado nivel de inventarios también lleva
asociados una serie de inconvenientes entre los que podemos señalar los
siguientes:
A)Incremento del coste de almacenamiento. Mayores niveles de inventario
implica incurrir en mayores costes de alquiler de almacenamiento,
seguridad, calefacción, manejo de materiales, seguros, personal de
mantenimiento,…etc
B)Incremento del coste financiero. Los inventarios suponen una
inmovilización de unos recursos financieros que la empresa podría utilizar en
inversiones alternativas obteniendo una rentabilidad adicional. Por tanto, un
gran inventario supone un coste financiero implícito o de oportunidad que
debe ser tenido en cuenta.
C)Posible obsolescencia de lo almacenado. Mantener grandes inventarios de
productos terminados puede provocar que, ante un repentino cambio de la
demanda, la empresa deba deshacerse de los productos almacenados que ya
no satisfacen los nuevos requerimientos del mercado, y por tanto, quedan
obsoletos.
D)Ocultación de problemas. Los inventarios suelen ocultar los problemas
reales del proceso productivo(averías, mala calidad de materias primas, etc)

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dado que, al no detenerse la producción, el problema se resuelve
parcialmente sin pararse a analizar la verdadera causa del mismo, para
evitar que el problema vuelva a repetirse actuando sobre ella.
E)Riesgos derivados de situaciones imprevistas. Incendios, robos, etc
2)NATURALEZA DE LOS INVENTARIOS
Las dos cuestiones básicas a las que debe responder la gestión de
inventarios son:
-¿Cuanto pedir de cada material y/o producto?
-¿Cuando realizar dicho pedido?
Para responder a estas cuestiones se deben tener en cuenta una serie de
factores entre los que podemos señalar:
-La Naturaleza de la Demanda
-El tiempo de suministro
-Costes asociados al inventario
A) LA NATURALEZA DE LA DEMANDA
En primer lugar habrá que tener en cuenta si la demanda puede ser conocida
con certeza o si debe considerarse como una variable aleatoria, sujeta a
una determinada distribución de probabilidad.
En realidad , la demanda solo puede considerarse como cierta en empresas
que trabajen exclusivamente bajo pedido .Sin embargo, veremos cómo en
algunas ocasiones se supone que la demanda es conocida con objeto de
simplificar el proceso de decisión.

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En segundo lugar, habrá que diferenciar entre artículos de demanda
independiente, cuya demanda no depende del resto de artículos que forman
parte del inventario de la empresa y artículos de demanda dependiente, en
los cuales dicha dependencia si existe.
Así por ejemplo, si una empresa se dedica a la fabricación de bicicletas,
resulta evidente que la demanda de ruedas dependerá de la demanda de
bicicletas y la demanda de radios dependerá de la demanda de ruedas.
En este tema nos centraremos en las decisiones relativas a artículos con
demanda independiente, dejando las decisiones de demanda dependiente
para otro capitulo.
B) TIEMPO DE SUMINISTRO
Se define como el tiempo que transcurre desde que se realiza el pedido a
proveedores o desde que se emite la orden de fabricación, hasta que se
recibe le pedido.
Dicho tiempo puede también ser conocido con certeza o ser considerado
como aleatorio
C) COSTE DE INVENTARIOS
Como ya hemos indicado , la existencia de inventarios en la empresa implica
una serie de costes entre los que podemos señalar: Costes de adquisición,
costes de almacenamiento, costes de ruptura y costes de emisión.
C-1) Coste de adquisición. (Ca) Se refiere al coste en que se incurre al
adquirir los artículos a nuestro proveedor o el coste de fabricar dichos
artículos en el caso de que la fabricación de los mismos se realice en el
interior de la empresa.
D = Demanda anual del artículo
P = Precio unitario
Ca = DP

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C-2)Coste de Emisión o renovación (Ce) Se trata del conjunto de costes
necesarios para realizar cada pedido a nuestro proveedor o para emitir la
correspondiente orden de fabricación. El coste total de emisión sería igual
al coste unitario de emitir un pedido por el numero de pedidos realizados.
E= Coste de emisión de cada pedido
Q= Cantidad de pedido (Número de unidades de cada pedido)
Ce= E D / Q
C-3)Coste de posesión o almacenamiento(Cp). Incluye en primer lugar el
coste de almacenamiento físico o el coste en que se incurre por mantener
los artículos en el almacén: Costes de alquiler, mantenimiento, seguros,…etc
También incluye el coste de almacenamiento financiero: Coste de los
recursos financieros inmovilizados en el inventario. Denominaremos:
A= Coste anual de almacenamiento de cada artículo
i= Rentabilidad media empresa o tipo de interés del mercado.
Suponemos que la cantidad almacenada por término medio en el almacén o
stock medio es Q/2.
Tendremos que Cp = A Q/2 + i P Q/2 = (A + iP) Q/2
C-4)Costes de ruptura(Cr) Se refiere a los costes en que la empresa incurre
cuando no dispone de artículos suficientes para satisfacer su demanda:
Costes de inactividad, pérdida de ventas, pérdida de imagen,…etc. Más
adelante estableceremos la expresión matemática que nos permitirá su
cálculo.
De acuerdo con lo anterior, podemos distinguir dos tipos de costes: Los que
aumentan al incrementar la cantidad de pedido (Q), como el coste de
almacenamiento, y los que diminuyen al aumentar la cantidad de pedido,
como el coste de emisión y ruptura.
Si representamos gráficamente estos costes (figura 1) observamos como
existe una cantidad Q´ que minimiza los costes totales asociados al

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inventario. A esta cantidad la denominaremos cantidad económica de pedido
(EOP=CEP)
Coste anual
Coste total
(Ca, Cp)
(Ce, Cr)
Q´
En los siguientes apartados trataremos de dar respuesta a las cuestiones de
cuánto y cuando pedir en el caso de artículos con demanda independiente y
conocida con certeza, distinguiendo entre modelos de cantidad fija de
pedido y modelos de periodo fijo
3)MODELOS DE CANTIDAD FIJA DE PEDIDO
Esta serie de modelos considera que la cantidad de pedido (Q) debe ser
siempre la misma en los diferentes pedidos, alterándose, sin embargo, el
momento en que se realiza cada pedido.

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Punto de Pedido (Pp) Es la cantidad que hay en el almacén en el momento en
que se realiza el pedido.
Esta cantidad debe ser suficiente para servir la demanda esperada desde el
momento de realizar el pedido hasta la recepción del mismo por parte del
proveedor o hasta la culminación de su fabricación.(En caso de que la
fabricación se realice en el interior de la empresa)
Tiempo de suministro (Ts) Es el tiempo que transcurre entre la emisión del
pedido y su recepción.
Tiempo o periodo de reaprovisionamiento (Tr) Tiempo que transcurre entre
dos periodos consecutivos
Stock
Pp
Ts
tiempo
Tr
No existe un modelo válido para cualquier circunstancia, sino que se hace
necesario adaptarles a las circunstancias particulares de cada caso
concreto.
3-1)MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO SIMPLE
Parte de una situación como la representada en al figura anterior (Figura 2),
en la que se considera que tanto la demanda como los tiempos de suministro
y los costes unitarios son conocidos con certeza. Se supone que no existen
costes de ruptura y que el consumo de los artículos es uniforme, agotándose

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el inventario justo en el momento en que se recibe el siguiente pedido, no
existiendo, por tanto, stock de seguridad.
En la realidad estas características no suelen ser habitual. Sin embargo
este modelo es bastante utilizado debido a su sencillez y el escaso error
que se comete en ocasiones con estos supuestos restrictivos.
En esta situación el coste total de inventarios sería:
Ct = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2
Para calcular la cantidad Q que minimiza el coste total de inventario o
cantidad económica de pedido, bastará con derivar la expresión anterior con
respecto a la cantidad Q e igualar a cero:
dCt/dQ = - E D/Q2
+ (A + Pi)/2 = 0
(A + Pi)/2 = ED/Q2
Por tanto, la expresión final para calcular la cantidad económica de pedido
en este primer modelo sería:
Modelo 1
Q´= 2ED/(A + P i)

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EJEMPLO 1
La empresa HG S.A. adquiere materias primas a un coste unitario de 0,25
Euros/Kg a un proveedor cercano. Necesita anualmente 140.000 Kg de dicha
materia prima. Por cada pedido realizado, la empresa estima en concepto de
gastos administrativos, transporte y descarga un coste de 100 euros, y el
tiempo promedio en recibir el pedido desde que se efectúa es de 15 días.
Asimismo, con los datos de la contabilidad se
calcula que cada Kg almacenado supone un coste anual de 0,02 Euros.
Sabiendo que el coste de capital en la citada empresa es del 12 %, se desea
conocer
1) el volumen económico de pedido
2) cada cuanto tiempo se debe realizar un pedido
3) cuál es su punto de pedido
Solución:
a)Para calcular el volumen o cantidad económica de pedido nos limitamos a
aplicar la fórmula deducida anteriormente, con lo que tenemos que:
Q´= 2ED/(A + Pi) = 2 x 100x 140000/(0,02 + 0,25 x 0,12) = 23.664,32 Kg
2)Para calcular cada cuánto tiempo se debe realizar un pedido nos interesa
conocer en primer lugar, el numero de pedidos que la empresa debe realizar
al año, para lo cuál:
n = D/Q = 140.000 /23.664,32 = 5,91 ~ 6
La empresa realizará 6 pedidos al año (Redondeando). Ajustando también la
cantidad de optima de pedido
140.000 / 6 =23.333,33 kg

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Si suponemos que el año tiene 300 días laborables, podremos calcular el
tiempo entre dos pedidos consecutivos, o tiempo de reaprovisionamiento, sin
mas que dividir en numero de días laborables ( z) por el numero de pedidos
( n)
Tr = z/n = 300/6 = 50 días
Por tanto, se realizará un pedido de 23.333,33 Kg cada 50 dias laborabes
3) Finalmente para calcular el punto de pedido bastará con multiplicar el
consumo diario del inventario por el número de días que el proveedor tarda
en suministrarnos el pedido.
Para calcular el consumo diario dividiremos la demanda anual entre el
número de días laborables anuales.
Pp = cTs = (D/z)Ts = (140.000/300)15 = 7.000 Kg
Por lo que procederemos a emitir un pedido cada vez que la cantidad de
artículos existentes en nuestro almacén sea igual a 7.000 Kg
3-2)MODELO DE CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO CON
SUMINISTRO GRADUAL
Este modelo se utiliza para determinar la cantidad y el momento de pedido
cuando el articulo se fabrica en el interior de la empresa, o bien cuando el
proveedor nos sirve el producto de forma gradual.
Se parte de una situación como la representada en la figura 3, en la que se
considera que tanto la demanda como los costes unitarios son conocidos con
certeza. Se supone que no existen costes de ruptura y que el consumo de
artículos es uniforme (d) e inferior al ritmo de suministro de los mismos (p,
también uniforme), agotándose el inventario justo en el momento en que

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comienza a recibirse el siguiente pedido, no existiendo por tanto stock de
seguridad
Nivel de Stock
Q
S
t1 t2
tiempo
TR
Observamos que existe un periodo de tiempo (t1) durante el cual se
producen consumo y producción simultáneamente, siendo el ritmo de
producción (p) superior al ritmo de consumo o demanda (d), con lo qué el
nivel de inventario aumenta hasta alcanzar el nivel S. En el almacén nunca
llega a estar la cantidad total de pedido (Q) ya que al ser el consumo
gradual, a la vez que van llegando artículos se van consumiendo, por lo que el
inventario crece a una tasa de (p-d).A partir de este momento finaliza la
producción del lote solicitado (Q) y durante el periodo t2 el inventario se
reduce al ritmo constante (d).El inventario se agota justo en el momento
programado para comenzar la recepción del siguiente lote de pedido, de
forma que no se produzca ruptura de stock.

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El coste total de inventario( Suponiendo que A1=A + Pi)
A= Coste anual de almacenamiento de cada artículo
i= Rentabilidad media de la empresa
S/2 = Cantidad almacenada por término medio en el almacén
P= Coste unitario.
CT=DP + ED/Q + A1 S/2
Además sabemos que la cantidad máxima de inventario S es el resultado de
producir a un ritmo p y consumir a un ritmo d durante un periodo t1.
Por otra parte, si durante ese periodo t1 no existiera mas que producción p,
obtendríamos la cantidad de pedido Q, por tanto:
S=(p-d)t1
Q=pt1
S = (p-d)Q/p
Por lo que el coste total de inventario será:
CT = DP + ED/Q + A1 (p-d)Q / 2p
Para calcular la cantidad económica de pedido bastará con derivar dicha
función con respecto a Q e igualar a cero
dCT/dQ = -ED/Q2
+ A1(p-d)/2p = 0 ; Q2
= 2pED/A1(p-d)
Por tanto, la expresión final para calcular la cantidad económica de pedido
en este segundo modelo sería:

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Modelo 2
Q = 2pED/A1(p-d)
Veamos el siguiente ejemplo
EJEMPLO 2
La sección de montaje de una empresa electrónica consume diariamente 40
unidades de un determinado circuito (Z-212), que se fabrica en las propias
instalaciones de la empresa a razón de 100 unidades diarias durante el
tiempo necesario para satisfacer el pedido que realice la sección de
montaje.
Las unidades de dicho pedido se suministran a medida que van siendo
producidas, de forma que durante el tiempo t1 , la fabricación y el consumo
son simultáneos.
Cada vez que hace falta un pedido es necesario emitir la orden, parar y
poner apunto las máquinas en que se fabrican los circuitos,…etc,
transcurriendo un tiempo ts de 7 días desde el momento de emisión hasta la
recepción de las primeras unidades. Los costes de emisión derivados de lo
anterior ascienden a 500 euros por lote. En cuanto a los costes de posesión
se han estimado en 0,5 euros por unidad y mes. Sabiendo que se emplea un
modelo de cantidad fija de pedido sin posibilidades de ruptura de stocks,
que el periodo de gestión será de 10 meses (durante los que se consumirán
9.720 unidades del circuito)
y que se suponen condiciones de certeza, se desea conocer:
a) El lote económico, Q´
b) El tiempo empleado en su fabricación , t1 y en su consumo , TR
c) El punto de pedido para un tiempo de suministro de 7 días

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d) El punto de pedido si el tiempo de suministro fuera de 30 y 50 días
Solución:
a) Para calcular el volumen o cantidad económica de pedido nos limitaremos
a aplicar la fórmula deducida anteriormente, teniendo en cuenta que todas
las variables deben estar referidas al año, por lo que previamente
transformamos el coste de almacenamiento mensual en anual, por lo que
tenemos que:
2pED/A1(p-d) = 2 x 100 x 500 x 9.720 = 1.800 ud
Q´= 0,5 x 10(100- 40)
Por tanto, cada pedido que se realice será de 1.800 unidades
b) Para calcular el tiempo empleado en la fabricación de cada lote
económico, bastará con dividir dicho lote entre la producción diaria, es
decir
t1 = Q/p = 1.800/100 = 18 días
El periodo de reaprovisionamiento (TR) podemos obtenerlo dividiendo el lote
económico entre la demanda diaria
TR= Q/d = 1.800/40 = 45 dias
La empresa fabricará el lote de 1.800 unidades durante los primeros 18
días, y durante estos 18 días y los restantes 27 se irá consumiendo
gradualmente la cantidad almacenada hasta agotar el inventario,
comenzando la producción del siguiente lote justo en ese momento.

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c) Para calcular el punto de pedido, para un tiempo de suministro de 7 días,
es conveniente representarlo gráficamente:
Stock
S
Pp
tiempo
Ts=7
t1=18 t2 = 27
TR = 45
El punto de pedido será aquella cantidad que la empresa consume al ritmo d
en 7 días, por lo que:
Pp = d Ts = (40 ud/dia) x 7 dias = 280 ud.
Habría que realizar el pedido cuando el almacén se encontrase en fase
decreciente y quedasen 280 unidades.
d)El punto de pedido si el tiempo de suministro fuese 30 y 50 días

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Para Ts= 30 días
stock
S
Pp
tiempo
x Ts= 30
t1=18 t2 = 27
tR = 45
En este caso, el punto de pedido puede calcularse como la cantidad que se
produce a un ritmo (p – d) durante un tiempo x, que puede calcularse por
diferencia entre TR y Ts
Pp = ( p – d) (TR – Ts) = 60 (45-30) = 900 ud
Habría, por tanto que realizar el pedido cuando la cantidad almacenada
fuese 900 ud y el almacén se encintrase en fase creciente.

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Para Ts = 50 dias
Stock
S S
Pp tiempo
x
Ts=50
t1=18 t2=27 TR=45
En este caso el tiempo de suministro supera al tiempo de
reaprovisionamiento, por lo que el pedido se debe de anticipar a un ciclo de
inventario, de forma que el punto de pedido puede calcularse como la
cantidad que la empresa consumiría al ritmo d durante un tiempo x, que
puede calcularse como la diferencia entre Ts y TR .
Pp = d (Ts – TR ) = 40 (50 - 45) = 200 ud
Habría por tanto, que realizar el pedido cuando la cantidad almacenada
fuese de 200 unidades y el almacén se encontrase en fase decreciente
3-3)MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO CON
DESCUENTOS

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Suele ser habitual que el proveedor ofrezca descuentos por volumen de
compras, dado que el coste de la producción y transporte de grandes lotes
es menor.
Este modelo parte de las formulas deducidas para el modelo 1 y para el
modelo 2 en función de que el suministro sea instantáneo (Modelo 1) o
gradual (Modelo 2).
Sin embargo las fórmulas anteriores pueden no conducir a una solución
óptima dado que, al existir distintos precios, la función de costes deja de
ser continua y se convierte en una función por tramos, lo que hace que las
propiedades de la derivada dejen de ser validas en los puntos de
discontinuidad de dicha función .Ver Figura 4
Coste
Anual
CT1
CT2
CT3
Q1 Q2 Cantidad
Para solucionar este problema el procedimiento a seguir es el siguiente:
1º) Calcular la cantidad económica de pedido (Q´) para el precio más
favorable, es decir para el precio inferior.
2º) Comprobar que la cantidad calculada es factible según condiciones de
precio establecidas es decir, si para esta cantidad el precio sería el que
hemos utilizado en el cálculo. Si dicha cantidad es factible, esa sería la
cantidad óptima de pedido y el problema estará resuelto. En caso contrario
ir al paso 3.

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3º) Repetir el cálculo de la cantidad económica de pedido para el siguiente
nivel de precios.
4º) Comprobar que la cantidad calculada en 3 es factible según las
condiciones de precio establecidas.
5º)Si dicha cantidad es factible, calcular el coste total de inventario
asociado a esa cantidad y compararlo con el coste de pedir las cantidades
que marcan cada uno de los puntos de discontinuidad (tramos) de la función
d coste. La cantidad económica de pedido (Q´) será aquella que presente el
mínimo coste.
6º)Si dicha cantidad no es factible, volver al paso 3
EJEMPLO 3
Un proveedor ofrece a los H.G. (Problema del Ejemplo 1) distintos
descuentos en la materia prima en función del volumen de cantidades
pedidas. Así, los nuevos precios serán:
-Pedidos superiores a 30.000 Kgs: Precio 0,20 euros
-Pedidos entre 20.000 y 30.000 Kgs: Precio 0,23 euros
-Pedidos inferiores a 20.000 Kgs : Precio 0,25 euros
Calcular la cantidad económica de pedido teniendo en cuenta los descuentos.
Solución:
Siguiendo el procedimiento anteriormente descrito, comenzamos calculando
la cantidad económica de pedido para el menor precio:
Q´p =0,20 = 2ED/(A + Pi) = 2 x 100 x 140.000/(0,02 + 0,2 x 0,12)
Q´p=0,20=25.226 Kg

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Dicha cantidad no es factible con las condiciones establecidas por el
proveedor para el precio utilizado, dado que tan solo nos vende a 0,2 euros
si pedimos más de 30.000 unidades. Por tanto, dicha solución no es valida y
tendremos que probar con el precio inmediatamente superior.
Q´p=0,23 = 2ED/(A + Pi) = 2 x 100 x 140.000/(0,02 + 0,23 x 0,12)
Q´p=0,23=24.253 Kg
Esta cantidad sí cumple con las condiciones establecidas por el proveedor para
ofrecernos un precio de 0,23 euros, por lo que sí puede ser una solución válida.
Sin embargo, antes de afirmar que dicha solución es la que optimiza el coste, será
necesario comparar el coste de esta opción con el coste de pedir la mínima cantidad
necesaria para pasar al precio inmediatamente inferior es decir:
Ct = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2
CTQ´=24.253 = 140.000 x 0,23 +100 x 140.000/24.253 + 0,05 x 24.253/2= 33.386 euros
CTQ´=30.001 = 140.000 x 0,20 +100 x 140.000/30.001 + 0,04 x 30.001/2= 29.066 euros
Por tanto, la cantidad económica de pedido será en este caso de 30.001 Kg a
un precio unitario de 0,20 euros la unidad, lo que supondrá para la empresa
un coste total de inventario de 29.066 euros
3-4)MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA DE PEDIDO CON
POSIBILIDAD DE RUPTURA
Se parte de una situación como la representada en la figura 5, en la que se
considera, al igual que en el modelo 1, que tanto la demanda como los
tiempos de suministros y los costes unitarios son conocidos con certeza, y
que el consumo de artículos es uniforme. Sin embargo, en este caso se
admite posibilidad de ruptura de stock.

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Nivel
Stock
S
Q*
Pp T2
Tiempo
Q-S T1
TR
Como ya vimos anteriormente, se denomina coste de ruptura, al coste en el
que se incurre cuando no se puede atender a la demanda debido a que,
cuando esta se presenta, no hay existencias en el almacén.
Se distinguen dos casos de demanda insatisfecha:
a)Demanda insatisfecha diferida: Que se produce cuando los pedidos de
los clientes llegados en el momento en que no hay existencias son
retrasados, para ser atendidos en el primer momento en que haya
existencias en el almacén; el coste asociado a esta demanda es lo que
denominaremos coste de ruptura.

Curso 2011/2012
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La cuantificación económica de este coste es muy compleja, ya que algunos
de los conceptos de coste implicados son muy difíciles de medir. Así, el
coste asociado al mal servicio a los clientes no es cuantificable fácilmente,
tampoco es fácil de medir el coste de pérdida de imagen, ni el
correspondiente al trabajo administrativo extra originado por una orden
retrasada.
b)Demanda insatisfecha perdida : Que se produce cuando se pierden
definitivamente los pedidos de clientes llegados en un momento en el que no
hay existencias.
Una vez analizados los dos casos anteriores, suponemos que no existe
demanda insatisfecha perdida, sino que toda la demanda insatisfecha es
diferida, es decir, se satisface en cuanto haya existencias en almacén, tal y
como se refleja en la figura 5.
Cuando se recibe el lote Q*
al comienzo del periodo se satisface la demanda
insatisfecha del periodo anterior (Q – S), por lo que al principio del periodo
la cantidad almacenada no será Q, sino S. Por ello, habrá que determinar,
además del valor del lote económico de pedido (Q*
), el valor de ruptura
óptima. Que vendrá dado por la diferencia entre el lote óptimo (Q*
) y la
cantidad almacenada óptima (S*
).
Denominando :
Z = Periodo de gestión o número de días laborables al año.
T1= Periodo de tiempo durante el cuál la demanda es satisfecha con los
productos almacenados sin retraso.
T2= Tiempo durante el cual se produce ruptura de stock
Es decir, existe una demanda insatisfecha diferida hasta la llegada del
próximo pedido.
Podríamos expresar los costes asociados al inventario de la siguiente forma:
CA= DP
CE= E D/Q
CP=(a1 S/2)(T1 z/TR)
CR=(cR(Q-S)/2)T2 z/TR))

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Expresaremos todos los costes en función de Q y S. Eliminamos la variable
T1 y T2
Recurrimos a la teoría de semejanza de triángulos.
S/Q = T1/TR T1= (S/Q) TR
(Q/Q-S) = TR/T2 T2=((Q-S)/Q))TR
Sustituyendo y sumando tendremos:
CT = DP + ED/Q + a 1S2
z/2Q + cR(Q-S)2
z/2Q
Derivando respecto a Q y S e igualando a cero, se obtienen las expresiones
correspondientes a este modelo
Q*
= 2ED (a1 + cR) Q*= 2ED (a1+cR)
A1 cR z a1 cR
S* = Q* cR/(cR + a1)
Q* = Lote económico (Unidades)
E = Coste de emisión (Euros /pedido)
D = Demanda total en el periodo de gestión (unidades /año)
D/z = Demanda por día (Unidades /día)
a1 = Coste de posesión por unidad y día (Euros /unidad y día) =A1 /z
cR = Coste de ruptura por unidad y día (Euros /unidad y día)
A1 = A + Pi =Cote total de inventario por unidad y anual.
Periodo de gestión = tiempo total de cálculo = Por ejemplo 1 año.

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Veamos el siguiente ejemplo:
EJEMPLO 4
Una empresa tiene una demanda constante y conocida de un producto que
fabrica y comercializa a 350 unidades/ día. El citado articulo requiere de un
componente (Una unidad de componente por cada articulo) que le es
suministrado por una entidad auxiliar en la siguientes condiciones:
-El precio por unidad de componente es de 200 euros
-El coste de emisión de un pedido es de 6000 euros /lote
-El coste anual de posesión por unidad es del 10 % del coste de adquisición
Si la empresa sufre una ruptura de stock, deberá reponer la demanda
insatisfecha de forma urgente en el momento que reciba el lote
correspondiente al siguiente periodo, lo cuál ocasionará unos costes de 0,5
euros /unidad y día de retraso. Sabiendo que el modelo utilizado en la
gestión de stock es el modelo de cantidad fija de pedido, que se admite la
posibilidad de ruptura de stock y que el periodo de gestión es de 360 días.
Calcular:
a)La demanda insatisfecha óptima, ajustando el lote de pedido óptimo al
número de pedidos a realizar.
b)El intervalo de tiempo durante el cual la demanda se satisface sin retraso,
es decir no hay ruptura de stock.
c)El periodo de tiempo en el que existe ruptura de stock.
d)El punto de pedido para un tiempo de suministro igual a 8 días
e)El punto de pedido para un tiempo de suministro igual a 27 días.

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SOLUCION
a)Calculamos el coste de posesión anual por unidad (A) como el 10 % del
coste de adquisición es decir: 0,1 x 200 euros, lo qué supone un coste de 20
euros /unidad y año; y la demanda anual (D) multiplicando la demanda diaria
por el periodo de gestión, es decir 350 x 360 = 126.000 unidades /año. Y
aplicando las expresiones del modelo 4 tendremos que:
Q* = 2ED (a 1 + cR)
z cR a 1
Q*= 2 x 126000 x 6000 (20/360 + 0,5)
360 0,5 x 20/360
Q*= 9165,15 ud
A partir del lote económico (Q*) podemos calcular el número de
pedidos anuales, dividiendo la demanda anual (D) entre el lote económico, es
decir :

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29
D/Q* = 126000 ud/9165 ud = 13,74 = 14 pedidos al año
Y ajustando el lote económico a ese número de pedidos, tendríamos
que:
Q* = 126000/14 = 9000 ud
Una vez ajustado el lote económico podríamos calcular la demanda
insatisfecha óptima aplicando la expresión correspondiente.
S*= 9000 x 0,5/(0,5 +20/360) = 8.100
Q* - S* = 9000 – 9000 (180/(180 + 20)) = 900 ud
S*= Q*-900 = 8100 ud
b)El intervalo de tiempo durante el que no existe rotura de stock es T1 y
para su cálculo habrá que calcular previamente el tiempo de
reaprovisionamiento (TR), que podemos calcular dividiendo el periodo de
gestión entre el número de pedidos al año, es decir:
TR = 360 / 14 = 25,71 = 26 días
Y empleando la teoría de semejanza de triángulos:
Q/TR = S/T1 T1= (TR/Q)S = (26/9000) 8100 = 23 dias
c)El periodo de tiempo durante el que existe rotura de stock (T2) lo
calcularemos como diferencia entre TR y T1 :
T2 = TR – T1 = 26-23 = 3 días
d)Para calcular el punto de pedido realizamos la representación grafica

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Stock
Q* Ts= 8 días
S
Pp
T2=3dias
X Q-S Tiempo
T1=23 dias
TR =26 dias
El punto de pedido será aquella cantidad que la empresa consume
durante el periodo de tiempo x
Es decir:
Pp = dx = d(Ts – T2) = 350 ud/dia (8 – 3)dias = 1750 unidades
Por tanto, tenemos que realizar un pedido cuando en el almacén queden
1.750 unidades.
e)Si el tiempo de suministro es de 27 días, la nueva situación sería la que
refleja la figura siguiente:

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stock
T2= 3 dias
Q* S
x
tiempo
Ts=27 dias
Q-S
T1=23 dias Pp TR=26 dias
Hay que tener en cuenta que en este caso el punto de pedido se sitúa en la
zona en que no existe ninguna cantidad almacenada, es decir existe demanda
insatisfecha.
En este caso el punto de pedido sería: Pp = dx = d(T2 + TR – Ts ) =
= 350 ud/dia(3 + 26 - 27) = 700 unidades
Por tanto, deberemos realizar un pedido cuando la demanda insatisfecha
alcance las 700 unidades, es decir, cuando hayamos recibido pedidos por esa
cantidad sin que hayamos podido servirlos por falta de stock.

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4)MODELO DE PERIODO ECONOMICO DE PEDIDO
Es un sistema en el cual los pedidos se emiten regularmente,
correspondiendo la periodicidad de las emisiones a los distintos momentos
en que se realiza el recuento físico o inventario sobre las existencias de las
principales materias primas. Las hipótesis de partida de este modelo son
similares a las del modelo de cantidad económica de pedido: La demanda, el
tiempo de suministro y el coste son conocidos con certeza, no se utiliza
stock de seguridad, el suministro es instantáneo y no se admite la
posibilidad de ruptura de stock.
Fijada de antemano una cantidad de cobertura o reposición, S, se controlan
los inventarios en las fechas preestablecidas para emitir un pedido de tal
magnitud que, llegado a almacén, el nivel de stock coincida con S. La
cantidad de pedido se calcula restando al nivel máximo del inventario (S) el
nivel de inventario existente y añadiendo la cantidad necesaria para
satisfacer la demanda durante el tiempo de suministro.
Pedir=S-a +b
S
b
a
T
Este sistema de periodo fijo es habitual en inventarios donde resulta
recomendable realizar recuentos físicos periódicos de los artículos
almacenados, como es el caso de los comercios minoristas o las grandes

Curso 2011/2012
33
superficies. Si revisamos los artículos con demasiada frecuencia , los costes
anuales de emisión serán excesivos, mientras que si los revisamos con poca
frecuencia, las cantidades de pedido harán que los costes se disparen.
La expresión del coste total de inventarios en función del tiempo entre
periodos o tiempo de reaprovisionamiento será:
CT = DP + E D/Q + (A + P i) Q/2
Donde D/Q = Número de pedidos en un periodo = 1/T
Donde D/Q = 1/T ; Q = DT ;
CT = DP + E/T + A1 DT/2
Por lo que para calcular el periodo (T) que minimiza el coste total de
inventario o periodo económico de pedido bastará con derivar la expresión
anterior ,con respecto a T e igualar a cero.
dCT/dT = - E/T2
+ A1D/2 = 0
A1D/2 = E/T2
T2 =
2E/A1D
Por tanto, la expresión para calcular el periodo económico de pedido en este
modelo será:
T* = 2E/A1D
Veamos el siguiente ejemplo referido a la gestión de inventarios de una
empresa detallista de venta de muebles.

Curso 2011/2012
34
EJEMPLO 5
PROMADEREX SA, realiza una revisión quincenal de sus almacenes de
madera de importación. El producto de mayor demanda (10.000 unidades al
año) son las sillas de madera tropical, que tienen un coste de
almacenamiento anual equivalente a un 10 % de su coste de adquisición, que
se eleva a 120 euros / unidad. El nivel máximo de inventario (S) se calcula
en 1.500 unidades y el tiempo de suministro de cada periodo se estima en 10
días. Sabiendo que el coste de emisión de cada pedido se estima en 75
euros, se pide:
a)¿Es la revisión quincenal la más adecuada para este artículo?
b)¿Cuál será la cantidad de pedido, si tras la primera revisión el nivel de
inventario es de 800 unidades?
SOLUCION:
a)Para responder a esta pregunta calculamos el periodo óptimo o económico
de pedido aplicando la expresión deducida con anterioridad, con lo que
tendríamos que:
T* = 2 x 75/10000 x 12 = 0,035 años = 12,9 días =13 días
Por lo que la periodicidad de revisión óptima para este artículo no será 15
días sino 13 días.
b)La cantidad de pedido se calcula restando al nivel máximo del inventario
(S) el nivel de inventario existente y añadiendo la cantidad necesaria para
satisfacer la demanda durante el tiempo de suministro. En este caso:

Curso 2011/2012
35
Q* = 1.500 - 800 + (10000/360) 10 = 977,77 ~ 978 ud
5)CANTIDAD DE PEDIDO PARA ARTICULOS CON DEMANDA
INDEPENDIENTE Y ALEATORIA
Cuando la demanda o el tiempo de suministro no son deterministicos , es
decir, no son conocidos con certeza, sino que se consideran variables
aleatorias, nos encontramos ante un problema de gestión de almacenes en
condiciones de riesgo.
En este caso, se recurre a valores representativos de dichas variables
aleatorias, como su media , su mediana o su moda.
Nosotros vamos a recurrir a la media aritmética, lo que provocará una
determinada probabilidad de error, que puede originar un nivel de servicio
inferior al esperado.
En estos problemas se denomina:
NIVEL DE SERVICIO: Porcentaje de veces que la demanda es satisfecha en
el momento en que se produce, es decir el cociente entre el número de
ciclos sin ruptura de stock y el número total de ciclos de inventario.
RIESGO DE RUPTURA: El complementario al nivel de servicio, es decir el
cociente entre el número de ciclos con ruptura y el número total de ciclos,
de forma que se tiene que cumplir que:
Nivel de
servicio
Riesgo de ruptura

Curso 2011/2012
36
Nivel de servicio (%) + Riesgo de ruptura (%) = 100
Para aumentar el nivel de servicio (o reducir el riesgo de ruptura)
recurrimos al stock de seguridad, que actuará como amortiguador cuando
los valores reales de la demanda y tiempo de suministro sean superiores a
sus valores representativos (media aritmética).
El nivel deseado de stock de seguridad lo calculamos como diferencia entre
el valor de la demanda que se está dispuesto a satisfacer durante el tiempo
de suministro menos el valor del consumo medio durante dicho periodo.
Resumiendo, el procedimiento que emplearemos para resolver este tipo de
problemas será el siguiente:
1)Elegir un valor representativo de las variables aleatorias a considerar
(Demanda y/0 Tiempo de suministro)
2)Resolver el problema utilizando dichos valores representativos cómo si
estuviéramos en condiciones de certeza.
3)Calcular el riesgo de ruptura o nivel de servicio que se consigue con
dichos valores.
4)Si el riesgo de ruptura fuese superior al deseado, se calculará un stock de
seguridad suficiente para alcanzar el nivel de servicio deseado
EJEMPLO 6
Supongamos que la empresa PROMADEREX SA, tras un análisis histórico de
los tiempos de suministro de su proveedor de sillas de madera tropical,
estima que no se puede considerar dicho tiempo como constante, sino que lo
más correcto es considerarlo como una variable aleatoria que responde a
una ley normal de media 10 días y desviación típica de 2 días. El resto de
datos son los indicados en el ejemplo anterior.
Es decir:
Demanda anual : 100.000 unidades
Coste de almacenamiento: 12 euros/unidad y año

Curso 2011/2012
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Coste de emisión: 75 euros
En este caso, la empresa opta por emplear un modelo de cantidad fija de
pedido sin posibilidades de ruptura con suministro instantáneo y desea
conocer:
a)Lote económico
b)Riesgo de ruptura si no se mantiene stock de seguridad
c)El punto de pedido y el stock de seguridad si se desea un nivel de servicio
del 90 %
SOLUCION
a)Aplicando la expresión del modelo 1,tendremos:
Q* = 2 x 75 x 10.000/12 = 353,55 = 354 ud
b)Si no se mantiene stock de seguridad y dado que la variable aleatoria de
tiempo de suministro sigue una distribución normal, tendríamos que el riesgo
de ruptura es la probabilidad de que el tiempo de suministro real sea
superior al tiempo de suministro esperado que viene determinado por la
media aritmética, es decir:
RR =P (Tsr > o igual Tse ) = P (Tsr > o igual que 10) = 50 %
Dado que la distribución normal es una distribución simétrica por definición
y, por tanto, deja a ambos lados de la media la misma probabilidad.
c)Si deseamos que el nivel de servicio sea del 90 % tendríamos que:
NS = P (Tsr menor o igual Tse ) = 0,9

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Tipificando la variable aleatoria para poder emplear las tablas de la
distribución normal (El valor de 1,28 es el que deja a la izquierda un 90 % de
probabilidad según las tablas de la normal) tendríamos que:
P(z menor o igual (T´s – 10)/2) = 0,9
(T´-10)/2 = 1,28
T´= 10 + 2x1,28 = 12,56 días
Llegados a este punto podemos calcular el stock de seguridad necesario
para alcanzar dicho nivel de servicio:
SS=T´s d –T*s d = (12,56 x 10.000/365) – (10 x 10.000/365) = 70,13 = 70 ud
Por tanto , para lograr un nivel de servicio del 90 % será necesario contar
con un stock de seguridad de 70 unidades.
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