La media aritmética, la mediana y la moda son las tres medidas de tendencia central más comunes. La media aritmética es la suma de todos los valores dividida por la cantidad de valores y puede verse afectada por valores extremos. La mediana es el valor central cuando los datos están ordenados de menor a mayor y no se ve afectada por valores extremos. La moda es el valor que más se repite y se usa para indicar el valor de mayor frecuencia.

1. MEDIDAS
DE
TENDENCIA
CENTRAL

2. Medidas de tendencia central
MODA o
MODO
MEDIA
ARITMÉTICA
MEDIANA
Se simboliza Se simboliza
Me
Se simboliza
Mox

3. ¡Hola, yo soy la media aritmética!
Además soy la equilibrada del grupo. ¡Soy el
punto de equilibrio de los datos de la muestra!
Ya sé que conocés a las ‘otras’ pero yo soy la
más conocida, ¡soy tan fácil de calcular!, sumás
todos los valores y los dividís por el número de
elementos de la muestra, así de simple.
No me llevo bien con las variables cualitativas,
en ellas no hay números, por eso yo no existo.
Siempre hay valores que son menores y otros
que son mayores que yo. ¡Nunca soy la más
grande!... Tampoco la más chica...
Los conocidos me dicen MEDIA.
Tengo que reconocer que soy muy
‘influenciable’, me veo muy afectada por los
valores extremos.
Todos me usan sin conocerme bien. ¡Para
cualquier cosa calculan el promedio!

4. ¡Hola, yo soy la mediana! ¿Entendieron
bien?, MEDIANA, ¡odio que me confundan
con la media!
Adoro el orden... . Me gusta que todos los
valores estén ordenados de menor a mayor
para ubicarme exactamente en el medio. No
como las ‘otras’..., que de acuerdo al conjunto
en el que están ocupan distintas posiciones. O
muy adelante o muy atrás, ¡nunca se sabe
dónde van a estar!
Me llevo bien con las variables cualitativas
sólo cuando son ordinales. ¡No funciono si las
cosas no están en orden!
El 50% de los valores están por debajo de mí
y el otro 50% está por encima.
Yo no soy una medida que se deje llevar por
los valores extremos. Siempre estoy en el
medio. ¡Ese es mi lugar!

5. ¡Hola, yo soy la moda! También me llaman
MODO o VALOR MODAL.
Es cierto lo que dice la mediana, dependo (al
igual que la media) de los valores que tome la
muestra.
Todos se burlan de mí porque en los diagramas
de barras me corresponde la barra más alta o
la porción más grande en los gráficos de
sectores.
Me llevo bien con las variables cualitativas
porque no hacen falta fórmulas ni números
para calcularme, sólo basta con ver qué valor
aparece más veces.
Es muy fácil ubicarme... . Soy el valor que más
se repite, el que tiene mayor frecuencia.
Me gusta que me digan Mo.
Puedo estar en cualquier lugar, y además,
puedo tener más de un valor, en esos casos la
distribución se llama multimodal.

6. Hablemos
de
promedios

8. Ejemplo: Aquí veremos la utilización de las medidas de tendencia central en forma
inapropiada, según la conveniencia:
La siguiente es la distribución de los salarios de los empleados de una pequeña empresa:
Salarios Número de
empleados
$ 10.000 1
$ 2.500 1
$ 1.000 1
$ 500 2
$ 200 4
Los empleados realizan una huelga para pedir mejoras salariales. Un periodista
realiza una nota preguntando cuál es el salario medio.
* = $ 1700
* Me = $ 500
* Mo = $ 200
x
a) ¿Cuál medida de tendencia central daría si fuera el dueño?
Si fuera el dueño daría el valor de la media aritmética.
b) ¿Y si fuera un representante sindical?
Si fuera el representante sindical daría el valor de la moda.
c) ¿Y si fuera un investigador científico?
Si fuera un investigador científico daría el valor de la mediana y además aclararía
que la muestra es muy heterogénea.

9. 1 1 1
2
4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
númerodeempleados
$10.000 $2.500 $1.000 $500 $200
salario

10.  Cuenta la anécdota que una vez un
agente viajero se hospedó en un hotel de
lujo. El botones le llevó el equipaje y se
quedó esperando la propina. El hombre, al
advertirlo, le preguntó: “¿Qué propina te
suelen dar los clientes de este hotel?”, a lo
que el muchacho respondió: “Un promedio
de cinco dólares”. El hombre, aunque
extrañado, sacó un billete de cinco dólares
y a regañadientes se los dio. El botones con
cara iluminada de alegría, dio las más
expresivas gracias al hombre y le dijo:
“¡Usted es el primero que llega al
promedio!”.
Así como el botones no tenía ni idea de lo que era un promedio pero lo
usaba en su lenguaje cotidiano, esto ocurre día a día en los medios de
comunicación.

11. ¡Sí... pero
la moda es de 80,
y fui yo quien
tuvo a las dos!
Veamos... las medidas
de cada una eran
80, 80, 95, 100, 105 y 110.
De donde resulta una
mediana de 97,5 cm
La semana pasada
salimos con
dos chicas cada uno,
cuyas medidas
de busto promediaban
los 95 centímetros

12.  Analicemos ahora otra situación, en donde la media aritmética es
desorientadora. La media aritmética es una medida de tendencia central y donde
no existe tendencia central su uso tiene un valor dudoso.
La gráfica indica el porcentaje de nubosidad en un año en determinada ciudad.
En este caso la media es 50%, pero la media aritmética no es representativa de
la muestra, todo lo contrario. La media del 50% daría la impresión de que el cielo
típicamente está semicubierto, cuando en realidad lo más probable es que esté
totalmente cubierto o totalmente despejado.
Esta distribución bimodal se podría describir muy bien dando, justamente, sus
dos modos, 0% y 100%.
100
42
25
10
5 1 5
10
25
42
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
porcentaje de nubosidad

14. Me
Mo
x
¿Nos pueden calcular?

15. X: “Cantidad de miembros que integran cada una de las familias que aspiran a
obtener un préstamo hipotecario”
xi fi fri =fi /n fri% Fi Fri%
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
5
2
4
2
1
2
1
n=20
Fri =Fi /n
0,05
0,10
0,25
0,10
0,20
0,10
0,05
0,10
0,05
5 %
10 %
25 %
10 %
20 %
10 %
5 %
10 %
5 %
1
3
8
10
14
16
17
19
20
0,05
0,15
0,40
0,50
0,70
0,80
0,85
0,95
1,00
5 %
15 %
40 %
50 %
70 %
80 %
85 %
95 %
100 %
4 96 7 7 94 532 4 4 6 10653 6 84
Tabla de distribución de frecuencias

16. ¿Y
para
datos
agrupados?

17. X: “Cantidad de miembros que integran cada una de las familias que
aspiran a obtener un préstamo hipotecario”
Intervalos
2 , 4
4 , 6
6 , 8
8 ,10
[
[
[
[
)
)
)
]
fi
3
7
6
4
Fi
3
10
16
20
xi
3
5
7
9
fri %
15%
35%
30%
20%
15%
50%
80%
100%
Fri %
n=20
4 96 7 7 94 532 4 4 6 10653 6 84
Tabla de distribución de
frecuencias
x Me Me Mo Mo

18. 


n
.fx
i
ii
x
20
.496.75.73.3 
Para calcular la media aritmética se aplica la fórmula:
n
.fx
x i
ii

Considerando a los xi como los puntos medios de cada
intervalo, también llamados marca de clase, y siendo
los fi, las frecuencias absolutas correspondientes a
cada clase.
MEDIAARITMÉTICA
= 6,1 miembros
Interpretación: La cantidad promedio de miembros
de las familias que aspiran a obtener un préstamo
hipotecario es de 6,1 miembros.

19. Para calcular la mediana en datos agrupados vamos a
seguir los siguientes pasos:
1º) Calcular el orden o posición de la mediana, usando
la fórmula
MEDIANA
2º) Buscar el valor obtenido como orden de la
mediana en la columna de frecuencia acumulada (Fi),
si no está, tomar el inmediato superior y llamar a la
clase correspondiente clase mediana.
n 1
2
Me  [6 , 8)
n 1
2
ºMe = = 10,5º
Diremos que la mediana, , pertenece a este intervalo,
pero es necesaria una mayor precisión. Por esto
buscaremos el valor de la mediana dentro de la clase
mediana.

20. 












6
01
2
20
3º) El valor de la mediana se obtiene mediante la
fórmula:













Me
Meant
f
F
2
n
Me = Linf Me+ l
.
Siendo:
Linf Me : límite inferior de la clase mediana.
Fant Me : frecuencia acumulada correspondiente a la
clase anterior a la clase mediana.
f Me : frecuencia absoluta correspondiente a la clase
mediana.
l : longitud de la clase mediana.
n : tamaño de la muestra.
Me = 6 + 2.
Interpretación: La mitad de las familias que aspiran
a obtener un préstamo hipotecario tienen 6 miembros
o menos y la otra mitad tienen 6 miembros o más.
= 6 miembros

21. Para calcular la moda en datos agrupados seguimos
los siguientes pasos:
1º) Buscar la máxima frecuencia absoluta y llamar a
la clase correspondiente clase modal.
MODA, MODO o VALOR MODAL
Mo  [4 , 6)
2º) Diremos que la moda, Mo, pertenece a este
intervalo, pero es necesaria una mayor precisión. Por
esto buscaremos el valor de la moda dentro de la
clase modal.

22. l: longitud de la clase modal
Mo = xMo = 4 + 2 .
Siendo 1 = 7 - 3 = 4 2 = 7 - 6 = 1
= 5,6 miembros
Interpretación: La cantidad de miembros (de las
familias que aspiran a obtener un préstamo
hipotecario) que se presenta con mayor frecuencia es
de 5,6 miembros.
3º) El valor de la moda se obtiene mediante la
fórmula:
Siendo:
Linf Mo : límite inferior de la clase modal
1 : diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la
clase premodal (anterior a la modal).
2: diferencia entre la frecuencia de la clase modal y
la clase posmodal (posterior a la modal).
Mo = xMo = Linf Mo + l . 







21
1






 14
4

23. Me
Mo
x
¿Nos pueden calcular?

24. Intervalos xi fi Fi
[149 , 154) 151,5 4 4
[154 , 159) 156,5 3 7
[159 , 164) 161,5 18 25
[164 , 169) 166,5 7 32
[169 , 174) 171,5 16 48
[174 , 179) 176,5 8 56
[179 , 184] 181,5 4 60
X: “Estatura de sesenta estudiantes universitarios”

25. ¿ ¿Qué MTC (media – mediana – moda) es la más sensible a los valores extremos?
¿Qué MTC utilizamos para indicar el valor de mayor frecuencia observado?
¿Qué MTC da diferentes niveles de importancia a los valores de un conjunto de datos?
Cuando un conjunto de datos tiene valores extremos, ¿qué MTC debe utilizarse?
¿Qué MTC toma en cuenta el valor de cada observación en un conjunto de datos al calcularla?
¿Qué MTC es útil para realizar procedimientos estadísticos como una comparación de
las tendencias centrales de varios conjuntos de datos?
¿Qué MTC tiene propiedades matemáticas que permiten usarla en otros cálculos?
¿Qué MTC permite que se asignen diferentes pesos a los valores que se están promediando?
¿Qué MTC sería una buena elección para obtener el representante de un conjunto que
contiene muchos valores pequeños y uno grande?
Si se quiere que un promedio sea proporcional al ingreso total de una comunidad, ¿qué
MTC usaría?
Si se quiere que un promedio represente al ingreso que recibe la mayoría de las personas de
una comunidad, ¿qué MTC usaría?
Si se quiere un promedio que represente el ingreso de una comunidad, de modo tal que, haya
tantos habitantes por encima de dicho ingreso como por debajo del mismo, ¿qué MTC usaría?
Si se quiere fabricar un nuevo marco de ventana de aluminio y se quiere producir sólo un
tamaño, ¿qué MTC usaría para atraer la demanda del mercado?
Si uno de los valores un poco más grandes que la media de los datos se sustituye por un valor
muy grande:
a) ¿Qué le pasa a la media: aumenta, disminuye o se queda igual?
b) ¿De qué manera afecta este reemplazo a la mediana?
Si uno de los valores un poco más grandes que la media de los datos se sustituye por un valor
muy grande: