calculo numerico

1. Introducción al calculo numérico y manejo de errores
UNIVERSIDAD FERMIN TORO
DEPARTAMENTO DE FORMACION GENERAL
ESCUELA DE INGENIERIA
CABUDARE
INTEGRANTE:
TERRY SEQUERA
C.I: 22.268.537
PROF: DOMINGO MENDEZ
SAIA A

2. ANÁLISIS NUMÉRICO: Es una rama de la matemática y
también es la técnica mediante la cual se puede formular
problemas de tal forma que puedan resolverse usando
operaciones aritméticas, la computación es una herramienta que
nos facilita su desarrollo.
IMPORTANCIA DE LOS METODOS: Los métodos numéricos son
importantes ya que nos dan la capacidad para entender
esquemas numéricos con la finalidad de resolver problemas
matemáticos, científicos o de ingeniería en un computador. Los
métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver
procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales,
Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices,
Interpolaciones, Ajuste de curvas, Polinomios.

3. El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los
ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos
extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números
binarios y operaciones matemáticas simples. Desde este punto de vista, el
análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a
cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse
algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o
cálculo en procesos más sencillos empleando números. Definido el error,
junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los
algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse
adelante a través de la generación de una serie de números que a su vez
alimentan de nuevo el algoritmo (feedback). Esto proporciona un poder de
cálculo y refinamiento importantísimo a la máquina que a medida que va
completando un ciclo va llegando a la solución. El problema ocurre en
determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos
alejando de la solución del problema. Finalmente, otro concepto paralelo al
análisis numérico es el dela representación, tanto de los números como de
otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por ejemplo,
para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el
concepto de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática
convencional. En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un
valor numérico como solución a un problema matemático, y los
procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de
ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar
una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por
físicos.

4. NUMEROS DE MAQUINAS DECIMALES:
También llamado código binario, es un sistema que consta de
dos números, (0) y (1) con base dos, la unidad lógica del
computador utiliza componentes únicamente de apagado y
encendido, o en una conexión abierto/cerrado. EN BITS existen
varios métodos de conversión de números decimales a binarios;
aquí solo se analizará uno. Naturalmente es mucho más fácil una
conversión con una calculadora científica, pero no siempre se
cuenta con ella, así que es conveniente conocer por lo menos una
forma manual para hacerlo.

5. NÚMEROS DE MAQUINAS DECIMALES:
El método que se explicará utiliza la división sucesiva entre dos,
guardando el residuo como dígito binario y el resultado como la
siguiente cantidad a dividir. Tomemos como ejemplo el número
43 decimales.
43/2 = 21 y su residuo es 1
21/2 = 10 y su residuo es 1
10/2 = 5 y su residuo es 0
5/2 = 2 y su residuo es 1
2/2 = 1 y su residuo es 0
1/2 = 0 y su residuo es 1
Uniendo el número de abajo hacia arriba tenemos que el
resultado en binario es 101011

6. ERRORES RELATIVOS Y ABSOLUTOS :Los errores asociados con los
cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y
precisión. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual
medido o calculado con respecto a los otros. Los métodos numéricos deben
ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos
de un problema en particular. Los errores numéricos se generan con el uso
de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades
matemáticas. Error Absoluto: Error que se determina al dividir el error
absoluto entre el valor verdadero. Se puede expresar en porcentaje, partes
por mil o partes por millón. Error Relativo: Errores que afectan la precisión
de una medición. Ocasiona que los datos se distribuyan más o menos con
simetrías alrededor de un valor promedio. (Se refleja por su grado de
precisión).Cota de Errores Absolutos y Relativos Normalmente no se conoce p
y, por tanto, tampoco se conocerá el error absoluto (ni el relativo) de tomar p*
como una aproximación de p. Se pretende encontrar cotas superiores de esos
errores. Cuantas más pequeñas sean esas cotas superiores, mejor. Sea f una
función derivable en I,[a, b] Í I, P la solución exacta de la ecuación f(x)=0 y Pn
una aproximación a P. Supongamos |f ’(x)| ³m > 0, " x Î [a, b], donde Pn, P Î
[a, b]. Entonces: Esto nos da una cota del error al tomar una aproximación de
la solución exacta, conociendo una cota inferior del valor absoluto de la
derivada. Algunas veces, en la práctica, la exactitud de una raíz aproximada
Pn se estima en función de cómo satisfaga f(Pn) = 0; es decir si el número
|f(Pn)| es pequeño, se considera entonces Pn una buena aproximación de P;
pero si |f(Pn)| es grande, entonces Pn no se considera como una buena
aproximación de la solución exacta P.

7. COTA DE ERRORES Da una cota para el error absoluto y otra
para el error relativo cometidos al Absolutos y hacer las
siguientes aproximaciones: Relativos
a) Precio de una casa: 275 miles de €. Cota de error
b) 45 miles de asistentes a una manifestación. Absoluto <½
unidad
c) 4 cientos de coches vendidos. del orden de la Solución: última
cifra
a)|Error absoluto| < 500 €significativa error
relativo<500/275000=0,0018 Una cota para el
b) |Error absoluto| < 500 personas error relativo es: error
relativo=500/45000=0,011
c) |Error absoluto| < 50 coches Cota de error error
relativo<50/400=0,125relativo=cota del error absoluto /valor real

8. Da una cota del error absoluto y otra del error relativo en
las siguientes aproximaciones:
a) Radio de la Tierra: 6 400 km.
b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km.
c) Habitantes de Venezuela: 41 millones.
d) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,007
segundos. e) Volumen de una gota de agua: 0,4 mm3.
a) Cota del error absoluto: = 50 Cota del error relativo:
0,008
b) Cota del error absoluto: = 5 000 000 Cota del error
relativo: 0,03
c) Cota del error absoluto: 500 000 Cota del error relativo:
0,12
d) Cota del error absoluto: = 0,0005 Cota del error relativo
0,07 e) Cota del error absoluto: = 0,05 Cota del error
relativo= 0,125

9. FUNCIONES BASICAS DE ERRORES: Los principales errores en
cálculos numéricos, son los errores de redondeo y los errores de
truncamiento, el error de redondeo se asocia con el número
limitado de dígitos con que se representan los números en una
PC mientras que el error de truncamiento se debe a las
aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo.

10. ERROR DE REDONDEO: El error de redondeo se debe a la
naturaleza discreta del sistema numérico de máquina de punto
flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de palabra finita.
Cada número (real) se reemplaza por el número de máquina más
cercano. Esto significa que todos los números en un intervalo
local están representados por un solo número en el sistema
numérico de punto flotante. Es aquel error en donde el número
significativo de dígitos después del punto decimal, se ajusta a un
número especifico, provocando con ello un ajuste en el último
digito que se tome en cuenta. "Cualquier número real positivo y
puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x
10 n. El procedimiento se basa en agregar 5 x 10 n - (k+1) a y y
después truncar para que resulte un número de la forma fl = 0,d1
d2 d3 ..., dk, x 10 n. El último método comúnmente se designa
por redondeo. En este método, si dk+1 ³ 5, se agrega uno (1) a d
k para obtener a fl; esto es, redondeamos hacia arriba. Si dk+1 <
5, simplemente truncamos después de los primeros k dígitos; se
redondea así hacia abajo.

11. ERROR DE TRUNCAMIENTO : El error de truncamiento es el error que
aparece cuando un procedimiento infinito se hace finito. El ejemplo
clásico del error de truncamiento, es cuando se corta la expresión de una
función, en series de potencia. La expansión de una función en series de
potencias de Taylor está dada por: Como se ve, esta expansión es
infinita lo cual no es práctico para calcular un valor de la función, de ahí
que la serie se trunca, lo cual produce automáticamente un erro, el cual
es precisamente llamado error de truncamiento. Póngase como ejemplo,
el cálculo del valor de Aquí se tendrán diferentes errores, dependiendo el
número de términos usados para calcular la exponencial. Los errores de
truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se
usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se
tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento
un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). En
una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir
aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para
realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso,
resultado de dividir el intervalo "n" veces. Cualquier número real positivo
y puede ser normalizado a: y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10
n. Si y está dentro del rango numérico de la máquina, la forma de punto
flotante de y, que se representará por fl , se obtiene terminando la
mantisa de y en kcifras decimales. Existen dos formas de llevar a cabo
la terminación. Un método es simplemente truncar los dígitos dk+1,
dk+2, . . . para obtener fl = 0,d1 d2 d3 ..., dk, x 10 n.

12. ERROR DE SUMA Y RESTA
Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la
máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante
el proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema
del cálculo de productos interiores. En la práctica muchas
computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros
especiales que más bits que los números de máquinas usuales.
Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los
números existan temporalmente con una precisión adicional. Se
deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver
comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de
un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual
trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos
poco relevantes.
ERRORES DE SUMA Y RESTA
Sean: x± x y z± z x + z = (x + z) ± ( x + z) x – z = (x – z) ± ( x + z).

13. CÁLCULOS ESTABLES E INESTABLES
Otro tema de frecuente aparición en el análisis numérico es la
distinción entre los procesos numéricos que son estables y los
que no lo son. Un concepto muy relacionado es el de problema
bien condicionado o mal condicionado. Un proceso numérico es
inestable cuando los pequeños errores que se producen en
alguna de sus etapas se agrandan en etapas posteriores y
degradan la calidad de los resultados. Un problema está mal
condicionado si pequeños cambios en los datos de entrada
pueden dar lugar a grandes cambios en las respuestas. La
condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad
los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un
cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los
valores de entrada aumenta considerablemente por el método
numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños
errores que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan
en etapas posteriores y degradan seriamente la exactitud del
cálculo en su conjunto. El que un proceso sea numéricamente
estable o inestable debería decidirse con base en los errores
relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal
condicionamiento , lo cual significa que un cambio relativamente
pequeño en la entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio
relativamente grande en la salida, digamos del 1% o más. Una
fórmula puede ser inestable sin importar con qué precisión se
realicen los cálculos.

14. CONDICIONAMIENTO
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera
informal para indicar cuan sensible es la solución de un
problema respecto de pequeños cambios relativos en los datos de
entrada. Un problema está mal condicionado si pequeños
cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las
respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un
número de condición: "Un número condicionado puede definirse
como la razón de los errores relativos". Si el número de condición
es grande significa que se tiene un problema mal condicionado;
se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un
número de condición, es decir para la evaluación de una función
se asocia un número condicionado, para la solución de sistemas
de ecuaciones lineales se establece otro tipo de número de
condición; el número condicionado proporciona una medida de
hasta qué punto la incertidumbre aumenta.