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MÉTODOS NUMÉRICOS.
ISIDORO PONTE-E.S.M.C.- tema II- 57
DERIVACIÓN NUMÉRICA
Introducción a la derivación numérica.
Diferencias Centrales, Hacia Adelante y Hacia Atrás
Resumen de Fórmulas de Diferenciación
INTRODUCCIÓN A LA DERIVACION NUMÉRICA
La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una
aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y
propiedades de la misma.
Por definición la derivada de una función f(x) es:
Las aproximaciones numéricas que podamos hacer (para h > 0) serán:
Diferencias hacia adelante:
Diferencias hacia atrás:
La aproximación de la derivada por este método entrega resultados aceptables
con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el
promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado:
Diferencias centrales:

Explicamos más detenidamente el procedimientos para diferenciar
numéricamente funciones que están definidas mediante datos tabulados o
mediante curvas determinadas en forma experimental.
Un método consiste en aproximar la función en la vecindad del punto en que se
desea la derivada, mediante una parábola de segundo, tercer o mayor grado, y
utilizar entonces la derivada de la parábola en ese punto como la derivada
aproximada de la función.
Otro ejemplo, que comentaremos aquí, utiliza los desarrollos en serie de
Taylor.
La serie de Taylor para una función Y = f(X) en , desarrollada
con respecto al punto Xi es
(1)
en donde Yi es la ordenada que corresponde a Xi y se
encuentra en la región de convergencia. La función para está
dada en forma similar por:
(2)
Utilizando solamente los tres primeros términos de cada desarrollo, podremos
obtener una expresión para Y'i restando la ec. (2) de la ec. (1),
(3)

DIFERENCIAS CENTRALES, HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS
Fig. 1
Observando la figura (1), vemos que si designamos los puntos uniformemente
espaciados a la derecha de Xi como Xi+1 , Xi+2, etc. y los puntos a la izquierda
de Xicomo Xi-1, Xi-2 , etc. e identificamos las ordenadas correspondientes
como Yi+1, Yi+2, Yi-1, Yi-2, respectivamente, la ec. (3) se puede escribir en la
forma:
(4)
La ec. (4) se denomina la primera aproximación, por Diferencias
Centrales de Y', para X. La aproximación representa gráficamente la pendiente
de la recta discontinua mostrada en la figura 1. La derivada real se representa
mediante la línea sólida dibujada como tangente a la curva en Xi.
Si sumamos las ecuaciones (1) y (2) y utilizamos la notación descrita
previamente, podemos escribir la siguiente expresión para la segunda
derivada:

(5)
La ec. (5) es la primera aproximación, por Diferencias Centrales, de la segunda
derivada de la función en Xi. Esta expresión se puede interpretar gráficamente
como la pendiente de la tangente a la curva en Xi+1/2 menos la pendiente de la
tengente a la curva en Xi-1/2 dividida entre , cuando las pendientes de las
tangentes están aproximadas mediante las expresiones:
(6)
es decir,
(7)
Para obtener una expresión correspondiente a la tercera derivada, utilizamos
cuatro términos en el segundo miembro de cada una de las ecs. (1) y (2).
Restando la ec. (2) de la ec. (1) se obtiene:
(8)
Si desarrollamos la serie de Taylor respecto a Xi para obtener expresiones
correspondientes a Y = f(X) en y ,
respectivamente, obtenemos:
(9)

Restando la primera ec. (9) de la segunda, y utilizando solamente los cuatro
términos mostrados para cada desarrollo, se obtiene:
(10)
La solución simultánea de las ecs. (8) y (10) produce la tercera derivada:
(11)
La ec. (11) es la primera expresión de Diferencias Centrales correspondiente a
la tercera derivada de Y en Xi.
Por este método se pueden obtener derivadas sucesivas de mayor orden, pero
como requieren la solución de un número cada vez mayor de ecuaciones
simultáneas, el proceso se vuelve tedioso. La misma técnica se puede utilizar
también para encontrar expresiones más precisas de las derivadas utilizando
términos adicionales en el desarrollo en serie de Taylor. Sin embargo, la
derivación de expresiones más precisas, especialmente para derivadas de
orden superior al segundo, se vuelve muy laboriosa debido al número de
ecuaciones simultáneas que se deben resolver.
No se presentan aquí esas derivaciones, pero dichas expresiones, para
diferentes derivadas, se incluyen en el resumen que sigue a estos comentarios.
Las expresiones correspondientes a las derivadas de mayor orden se logran
con mucho mayor facilidad y bastante menos trabajo, utilizando operadores de
diferencias, de promedios y de derivación. Este método se encuentra fuera de
los alcances fijados, pero se pueden encontrar en varios libros referentes al
análisis numérico.
Se ha demostrado que las expresiones de Diferencias Centrales para las
diversas derivadas encierran valores de la función en ambos lados del
valor X en que se desea conocer la derivada en cuestión. Utilizando desarrollos
convenientes en serie de Taylor, se pueden obtener fácilmente expresiones
para las derivadas, completamente en términos de valores de la función en Xi y
puntos a la derecha de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias
Finitas Hacia Adelante.
En forma similar, se pueden obtener expresiones para las derivadas que estén
totalmente en términos de valores de la función en Xi y puntos a la izquierda
de Xi. Estas se conocen como expresiones de Diferencias Finitas Hacia Atrás.

En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se
utilizan cuando no se dispone de datos a la izquierda del punto en que se
desea calcular la derivada, y las expresiones de diferencias hacia atrás, se
utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del punto deseado. Sin
embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que
cualquiera de las otras dos.
RESUMEN DE FÓRMULAS DE DIFERENCIACIÓN
Lo que sigue es un resumen de las fórmulas de diferenciación que se pueden
obtener a base de desarrollos en serie de Taylor.
Expresiones de Primeras Diferencias Centrales
(12)
Expresiones de Segundas Diferencias Centrales
(13)
Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Adelante

(14)
Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Adelante
(15)
Expresiones de Primeras Diferencias Hacia Atrás
(16)
Expresiones de Segundas Diferencias Hacia Atrás

(17)
EJEMPLO
Úsense aproximaciones de Diferencias Finitas Hacia Adelante, Hacia
Atrás y Centradas para estimar la primera derivada de:
utilizando un tamaño de paso de = 0.5.
Repetir los cálculos usando = 0.25.
Nótese que la derivada se puede calcular directamente como:
y evaluando tenemos:
f'(0.5) = -0.9125
SOLUCIÓN:
Para = 0.5 se puede usar la función para determinar:
Xi-1 = 0.0 Yi-1 = 1.200
Xi = 0.5 Yi = 0.925
Xi+1 = 1.0 Yi+1 = 0.200
Estos datos se pueden utilizar para calcular la Diferencia Hacia Adelante:

la Diferencia Dividida Hacia Atrás será:
y la Diferencia Dividida Central:
Para = 0.25, los datos son:
Xi-1 = 0.25 Yi-1 = 1.10351563
Xi = 0.50 Yi = 0.92500000
Xi+1 = 0.75 Yi+1 = 0.63632813
que se usarán para calcular la Diferencia Dividida Hacia Adelante:
la Diferencia Dividida Hacia Atrás:
y la Diferencia Dividida Central:

Para los dos tamaños de paso, las aproximaciones por Diferencias
Centrales son más exactas que las Diferencias Divididas Hacia Adelante o
las Diferencias Divididas Hacia Atrás. También, como lo predijo el análisis de la
serie de Taylor, la división del intervalo en dos partes iguales, divide a la mitad
el error de las Diferencias Hacia Atrás o Hacia Adelante y a la cuarta parte el
error de las Diferencias Centrales.

INTEGRACIÓN NUMÉRICA
Introducción
Regla del Trapecio
Reglas de Simpson
Simpson 1/3
Simpson 3/8
INTRODUCCIÓN
En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función
que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:
1. Una función simple y continua tal como un polinomio, una función
exponencial o una función trigonométrica.
2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar
directamente.
3. Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un
conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos
experimentales.
En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar
fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos
últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.
Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes
dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una
función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función
aproximada que sea más fácil de integrar.
La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por
partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante.
Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes.
Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de
los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites
de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas
abiertas de Newton-Cotes, en general, no se usan en la integración definida.
Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales
ordinarias.

REGLA DEL TRAPECIO
La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas
de Newton-Cotes.
Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se
muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se
obtiene dividiéndola en n fajas de ancho y aproximándo el área de cada
faja mediante un trapecio, como se indica en la figura.
Fig. 1
Llamando a las ordenadas Y i (i = 1, 2, 3, ...., n+1), las áreas de los trapecios
son:
(1)

El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:
(2)
Sustituyendo las ecs. (1) en esta expresión se obtiene:
(3)
La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal, y se puede expresar como:
(4)
En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos
pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños
mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando
solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos.
Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua
que tiene derivadas continuas f'(X) y f''(X), el error que resulta de aproximar el
área verdadera en una faja bajo la curva f(X) comprendida
entre Xi y Xi+1 mediante el área de un trapecio, se demuestra que es igual a:
(5)
Este error es la cantidad que se debe agregar al área del trapecio para obtener
el área real. Se llama Error por Truncamiento, ya que es el error que resulta de
utilizar una serie de Taylor truncada, en vez de una serie de Taylor completa,
para representar en forma de serie el área de una faja. Generalmente no se
puede valuar directamente el término mostrado como error por truncamiento.
Sin embargo, se puede obtener una buena aproximación de su valor para cada
faja suponiendo que f '' es suficientemente constante en el intervalo de la faja
(se supone que las derivadas de orden superior son despreciables) y
evaluando f '' para . La estimación del error por truncamiento para la

integración total se obtiene sumando las estimaciones para cada faja. Si la
estimación obtenida para el error total por truncamiento es mayor de lo que se
puede tolerar, se debe utilizar una faja más angosta o un método más preciso.
Otro error que se introduce al obtener el área aproximada de cada faja es
el Error por Redondeo. Este se produce cuando las operaciones aritméticas
requeridas se efectúan con valores numéricos que tienen un número limitado
de dígitos significativos.
Se puede demostrar que una aproximación a el límite del error por redondeo
es:
(6)
Tenemos entonces que el límite en el error por redondeo aumenta
proporcionalmente a , lo cual pronto domina al error por truncamiento
que es proporcional a . En realidad, el error por redondeo en sí no crece
proporcionalmente con sino con en que 0 < p < 1, pero sin
embargo aún supera al error por truncamiento si decrece lo suficiente.
El error por redondeo se puede minimizar utilizando aritmética de doble
precisión o mediante compiladores que pueden manejar un gran número de
dígitos significativos.
De la información anterior se puede ver que el error total en el intervalo de
integración deseado, es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. Si
el error total se debiera únicamente al error por truncamiento, se podría hacer
tan pequeño como se deseara reduciendo suficientemente el ancho de la faja.
Por ejemplo, bisectando el ancho de la faja se duplicaría el número de errores
por truncamiento que hay que sumar, pero la expresión para el error en cada
faja indica que cada uno sería aproximadamente un octavo de su valor previo.
Sin embargo, disminuyendo el ancho de la faja se afectaría también el error
total al aumentar el error por redondeo, debido al mayor número de
operaciones que hay que efectuar al valuar la ec. (3). Entonces, cuando se
disminuye el ancho de la faja para disminuir el error total, existe un punto
óptimo en el cual disminuciones adicionales del ancho de la faja harían que el
error aumentara en lugar de disminuir, porque el error por redondeo se volvería
dominante. El ancho óptimo de la faja para una función especial se puede
determinar fácilmente en forma experimental en la computadora (suponiendo
que el área real bajo la gráfica de la función se puede valuar) pero es difícil
definirlo analíticamente.

REGLA DE SIMPSON
Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más finos, otra
manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar
polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un
punto medio extra entre f(a) y f(b), entonces los tres puntos se pueden conectar
con un polinomio de tercer orden.
A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les
llaman Reglas de Simpson.
REGLA DE SIMPSON 1/3
La Regla de Simpson de 1/3 proporciona una aproximación más precisa, ya
que consiste en conectar grupos sucesivos de tres puntos sobre la curva
mediante parábolas de segundo grado, y sumar las áreas bajo las parábolas
para obtener el área aproximada bajo la curva. Por ejemplo, el área contenida
en dos fajas, bajo la curva f(X) en la fig. 2, se aproxima mediante el área
sombreada bajo una parábola que pasa por los tres puntos:
(Xi , Yi)
(Xi+1, Yi+1)
(Xi+2, Yi+2)
Fig. 2
Por conveniencia al derivar una expresión para esta área, supongamos que las
dos fajas que comprenden el área bajo la parábola se encuentran en lados

opuestos del origen, como se muestra en la fig. 3. Este arreglo no afecta la
generalidad de la derivación.
La forma general de la ecuación de la parábola de segundo grado que conecta
los tres puntos es:
(7)
La integración de la ec. (7) desde - hasta proporciona el área
contenida en las dos fajas mostradas bajo la parábola. Por lo tanto:
(8)
Fig. 3
La sustitución de los límites en la ec. (8) produce:
(9)

Las constantes a y c se pueden determinar sabiendo que los
puntos , (0, Yi + 1 ), y deben satisfacer la ec. (7).
La sustitución de estos tres pares de coordenadas en la ec. (7) produce:
(10)
La solución simultánea de estas ecuaciones para determinar las constantes a,
b, c, nos lleva a:
(11)
La sustitución de la primera y tercera partes de la ec. (11) en la ec. (9) produce:
(12)
que nos da el área en función de tres ordenadas Yi, Y i+1, Y i+2 y el
ancho de una faja.
Esto constituye la regla de Simpson para determinar el área aproximada bajo
una curva contenida en dos fajas de igual ancho.
Si el área bajo una curva entre dos valores de X se divide en n fajas uniformes
(n par), la aplicación de la ec. (12) muestra que:

(13)
Sumando estas áreas, podemos escribir:
(14)
o bien
(15)
en donde n es par.
La ec. (15) se llama Regla de Simpson de un Tercio para determinar el área
aproximada bajo una curva. Se puede utilizar cuando el área se divide en un
número par de fajas de ancho .
Si la función f(X) se puede expresar como una función matemática continua
que tiene derivadas continuas f ' a , el error que resulta de aproximar el
área verdadera de dos fajas bajo la curva f(X) comprendida entre Xi-
1 y Xi+1 mediante el área bajo una parábola de segundo grado, se demuestra
que es:
(16)
Este error por truncamiento es la cantidad que se debe agregar al área
aproximada de dos fajas, que se obtiene mediante la regla de un tercio de

Simpson, para obtener el área real bajo la curva en ese intervalo. El término
mostrado del error por truncamiento generalmente no se puede valuar en forma
directa. Sin embargo, se puede obtener una buena estimación de su valor para
cada intervalo de dos fajas suponiendo que es suficientemente constante
en el intervalo (se supone que las derivadas de orden superior son
despreciables) y valuando para . La estimación del error por
truncamiento para toda la integración se obtiene sumando las estimaciones
correspondientes a cada dos fajas. Si la estimación del error total por
truncamiento es mayor de lo que se puede tolerar, se deben utilizar intervalos
de dos fajas menores. Considerando el error por redondeo que también
aparece, existe un ancho óptimo de la faja para obtener un error total mínimo
en la integración.
REGLA DE SIMPSON 3/8
La derivación de la Regla de los Tres Octavos de Simpson es similar a la regla
de un tercio, excepto que se determina el área bajo una parábola de tercer
grado que conecta 4 puntos sobre una curva dada. La forma general de la
parábola de tercer grado es:
(17)
Fig. 4

En la derivación, las constantes se determinan requiriendo que la parábola
pase a través de los cuatro puntos indicados sobre la curva mostrada en la fig.
4. El intervalo de integración es de - a , lo que
produce:
(18)
que es la regla de los tres octavos de Simpson.
La regla de Simpson de 3/8 tiene un error por truncamiento de:
(19)
Por lo tanto es algo más exacta que la regla de 1/3.
La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que
alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos
necesarios para la versión de 3/8. No obstante la regla de 3/8 tiene utilidad en
las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de fajas es impar.
EJEMPLO
1. Utilícese la regla trapezoidal de cuatro segmentos o fajas para calcular
la integral de
desde a = 0 hasta b = 0.8 y calcular el error sabiendo que el valor correcto de la
integral es 1.64053334.
SOLUCIÓN
n = 4

X f(X)
0.0 0.200
0.2 1.288
0.4 2.456
0.6 3.464
0.8 0.232
usando la fórmula trapezoidal:
ex = 1.64053334 - 1.4848 = 0.15573334
e% = 9.5 %
2. Utilícese la regla de Simpson de 1/3 con n = 4 para calcular la integral
del inciso anterior
SOLUCIÓN
n = 4
X f(X)
0.0 0.200
0.2 1.288
0.4 2.456
0.6 3.464
0.8 0.232
usando la regla de Simpson de 1/3
ex = 1.64053334 - 1.62346667 = 0.01706667
e% = 1.04 %

3. Utilícese la regla de Simpson de 3/8 para calcular la integral anterior:
SOLUCIÓN
Como se requieren cuatro puntos o tres fajas para la regla de Simpson de 3/8,
entonces:
X f(X)
0.0000 0.20000000
0.2667 1.43286366
0.5333 3.48706521
0.8000 0.23200000
usando la ecuación de Simpson de 3/8
ex = 1.64053334 - 1.51917037 = 0.121164
e% = 7.4 %
4. Utilícese en conjunción las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8 para integrar
la misma función usando cinco segmentos.
SOLUCIÓN
Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h = 0.16) son:
X f(X)
0.00 0.20000000
0.16 1.29691904
0.32 1.74339328
0.48 3.18601472
0.64 3.18192896
0.80 0.23200000

La integral de los primeros dos segmentos se obtiene usando la regla de
Simpson de 1/3:
Para los últimos tres segmentos, se usa la regla de Simpson de 3/8 para
obtener:
La integral total se calcula sumando los dos resultados:
I = 0.38032370 + 1.26475346 = 1.64507716
ex = 1.64053334 - 1.64507716 = -0.00454383
e% = -0.28 %

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Método de Euler
Método de Runge-Kutta
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las
aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse
matemáticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de
problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentran dentro de este
contexto.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.
Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n y cualquier grado, cuya
forma general es:
(1)
Se establece en matemáticas que en su solución general deben
aparecer n constantes arbitrarias. Entonces, puede aceptarse que la solución
general de (1) es:
G(X, Y, C1, C 2, ... , C n) = 0 (2)
Gráficamente esta ecuación representa una familia de curvas planas, cada una
de ellas obtenidas para valores particulares de las n constantes, C1, C2, ... ,
Cn, como se ve en la gráfica: (Fig 1)

Cada una de estas curvas corresponde a una solución particular de la ecuación
diferencial (1) y analíticamente puede obtenerse sujetando la solución general
(2) a ncondiciones independientes que permiten valuar las constantes
arbitrarias.
Dependiendo de como se establezcan estas condiciones, se distinguen dos
tipos de problemas: los llamados de Valores Iniciales y los de Valores en la
Frontera.
Un problema de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial
de orden n y un conjunto de n condiciones independientes todas ellas, válidas
para el mismo punto inicial. Si la ecuación (1) es la ecuación diferencial que
define el problema, y X = a es el punto inicial, puede aceptarse que
las n condiciones independientes son:
(3)
Se tratará de obtener una solución particular de (1) que verifique (3) como se
presenta en la gráfica
Fig. 2
Por el contrario, en los problemas de valores en la frontera deben establecerse
condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos que constituyen la
frontera del dominio de soluciones del problema. En particular en el espacio de

una dimensión, hay dos puntos frontera, por ejemplo, X = a y X = b, si el
dominio de soluciones es el intervalo cerrado ; por esto mismo
el orden mínimo de la ecuación diferencial de un problema de valores en la
frontera será dos y como podemos observar en la siguiente gráfica:
Fig. 3
Básicamente la solución numérica de ecuaciones diferenciales consiste en
sustituir el dominio continuo de soluciones por uno discreto formado por puntos
aislados igualmente espaciados entre sí.
Así, en un problema de valores iniciales, el dominio de definición de
soluciones se sustituye por el conjunto infinito numerable de puntos,
X0 = a, X 1 = X 0 + h, X 2 = X 0 + 2h, X 3 = X 0 + 3h, ...
y en el caso de valores en la frontera se sustituye el intervalo
por el conjunto finito de puntos
X0 = a, X 1 = X 0 + h, X 2 = X 0 + 2h, ... , X n = X 0 + nh = b
obtenidos, al dividir el intervalo en n partes iguales.
La presentación gráfica muestra estas dos cosas:

Fig. 4
Fig. 5

DISCRETIZACIÓN DEL DOMINIO DE DEFINICIÓN DE
SOLUCIONES
Habiéndose discretizado el problema continuo, se tratará de obtener la solución
para los puntos considerados, y esto se hará, en general, sustituyendo las
derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial con condiciones iniciales o
en la frontera, por fórmulas numéricas de derivación que proporcionen
aproximaciones a las derivadas o tratando de integrar la ecuación diferencial y
reemplazando al proceso de integración por una fórmula numérica que se
aproxime a la integral.
Una vez hecho esto, la ecuación obtenida expresada en diferencias finitas (ya
que se han sustituido diferenciales por incrementos finitos) se aplica
repetidamente en todos los puntos pivotes donde se desconoce la solución
para llegar a una solución aproximada del problema.
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS DE VALORES INICIALES
Un problema ordinario de valores iniciales está gobernado por una
ecuación diferencial ordinaria y un conjunto de condiciones, todas
ellas válidas para el mismo punto inicial, X = X0.
La solución numérica de este problema consiste en evaluar la integral
de Y(X) en todos los puntos pivotes de su intervalo de definición, los
que estarán igualmente espaciados en h unidades. Estos valores se
obtienen paso a paso, a partir del punto inicial, lo que da el nombre
de métodos de integración paso a paso.
La evaluación de Y en los puntos pivote
Xi = X0 + ih, para i = 1, 2, 3, ...
se lleva a cabo usando fórmulas de recurrencia, que usan los valores
conocidos de Y en las estaciones anteriores.
Xi-1, Xi-2, Xi-3, ...
Así, para aplicar estas ecuaciones, es necesario entonces evaluar muy
aproximadamente a Y(X) en algunos de los primeros puntos pivotes
(uno a cuatro); y esto se hace usualmente desarrollando f(X) en serie
de potencias.
EJEMPLO
Encuentre la solución del siguiente problema de valores iniciales por
medio de los primeros cuatro términos de la serie de Taylor para X =
0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5.

Y(0) = 1
SOLUCIÓN
Se obtienen las derivadas sucesivas :
sustituyendo valores :
Por lo que:
Evaluando para cada valor de X en esta última ecuación se tiene:

X Y
0 1
0.1 1.055375
0.2 1.123000
0.3 1.205125
0.4 1.304000
0.5 1.421875
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE EULER
La solución de un problema de valores iniciales se obtiene generalmente paso
a paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite
valuar Yi+1 tan pronto se conozcan los valores Yi, Yi-1 de Y en uno o más
pivotes anteriores. El más simple de estos métodos, debido a Euler, es
aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la solución en los
pivotes anteriores.
Dado el problema de valores iniciales
se debe integrar la ecuación diferencial en el
intervalo y evaluar la integral aplicando la
fórmula de integración numérica:
(4)
entonces

de donde se obtiene la siguiente expresión aproximada llamada fórmula de
Euler
Yi+1 = Yi + h f(Xi, Yi) (5)
EJEMPLO
Resolver el problema del ejemplo anterior aplicando el método de Euler.
Se tiene
Yi+1 = Yi + h f(Xi, Yi)
donde
entonces
(6)
En la tabla aparecen tabulados los valores de la solución aproximada obtenidos
a partir de la condición inicial conocida Y0(0) = 1
Xi Yi Yi solución exacta
0.0 1.000 000 1.000 000
0.1 1.050 000 1.055 409
0.2 1.110 638 1.123 596
0.3 1.184 649 1.208 459
0.4 1.275 870 1.315 789
0.5 1.389 819 1.454 545
MÉTODO DE RUNGE - KUTTA
En la sección anterior se estableció que el método de Euler para resolver la
ecuación diferencial de primer orden

Y' = f(X, Y) (7)
con la condición inicial
Y(X0) = Y0 (8)
consiste en aplicar repetidamente la fórmula de recurrencia
Yn+1 = Yn + h f(Xn, Yn) donde n = 1, 2, 3, ... (9)
para determinar la solución de la ecuación diferencial en
X = X1, X2, X3, ...
Sustituyendo la función f(X,Y) dada en (7), en (9), se tiene que
Yn+1 = Yn + h Y'n (10)
expresión que indica que el método de Euler consiste gráficamente, en ir de un
valor Yn conocido de la solución de la ecuación diferencial (7) en un punto, al
siguiente por medio de la tangente T1 a la curva integral Y = Y(X) en el mismo
punto de la solución conocida, como se muestra en la siguiente figura.
De este planteamiento gráfico puede verse que una mejor aproximación a la
solución de la ecuación diferencial se obtendría si en vez de ir por la
tangente T1 para determinar la solución en el siguiente Punto Pivote, se utiliza

una secante con pendiente igual al promedio de pendientes de la curva integral
en los puntos coordenados (Xn, Yn), (Xn+1, Yn+1) en
donde Xn+1 y Yn+1 pueden estimarse con el procedimiento normal de Euler,
como se muestra en la siguiente gráfica:
Con lo anterior se obtendría un método mejorado de Euler con error del orden
de definido por la expresión
(11)
en donde f(Xn+1, Yn+1) es el valor de la función f(X, Y) para:
X = Xn+1
Y = Yn + h f(Xn, Yn)
Observando las expresiones para resolver la ecuación diferencial, puede
decirse que ambas consisten en aplicar la fórmula de recurrencia
(12)
en donde

(13)
en el método de Euler y
(14)
en lo que
Y' = f(X, Y) (15)
en el método de Euler Mejorado.
Como se ve, estos métodos tienen los siguientes puntos en común:
1. Son métodos de un paso; para determinar Yn+1 se necesita conocer
únicamente los valores de Xn y Yn del punto anterior.
2. No requieren evaluar ninguna derivada, sino únicamente valores de la
función f(X, Y).
Estas características dan origen a una gran variedad de métodos conocidos
como de Runge-Kutta. La diferencia entre ellos cosiste en la forma como se
define la función que aparece en la expresión (12).
La ventaja de los métodos de Runge-Kutta con respecto al uso de la serie de
Taylor, que es también un método de un paso, está expresado en el punto (2)
anterior; es decir, los métodos de Runge-Kutta requieren sólo de la función f(X,
Y) y de ninguna derivada, mientras que la serie de Taylor sí requiere de la
evaluación de derivadas. Esto hace que, en la práctica, la aplicación de los
métodos de Runge-Kutta sean más simples que el uso de la serie de Taylor.
Un método de Runge-Kutta para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias
de primer orden con error del orden de , de uso tan frecuente que en la
literatura sobre métodos numéricos se le llama simplemente el Método de
Runge-Kutta, se dará a conocer sin demostrar y consiste en aplicar la ecuación
de recurrencia (12) en donde la función está dada por la
expresión:
(16)
en el cual

(17)
La ecuación (16) se obtiene haciendo un promedio de las cuatro
pendientes, k1, k2, k3 y k4 a la curva integral, en forma semejante a como se
procedió con las pendientes de las tangentes T1 y T2 que dieron lugar a (11)
EJEMPLO
Resolver
aplicando el método de Runge-Kutta.
SOLUCIÓN
De la condición inicial del problema se tiene que X = 0, y Y = 1; además, h =
0.1. Sustituyendo estos valores en (17) se obtiene:
Llevando estos valores a (16) y el resultante a (12) se obtiene que para X =
0.1 la solución del problema es

Los valores de las ki para este punto obtenido de la solución, son:
luego
Continuando de la misma forma se obtiene la solución que se muestra en la
siguiente tabla:
X Y k1 k2 k3 k4
0.0 1.0000 0.5000 0.5516 0.5544 0.6127
0.1 1.0554 0.6126 0.6782 0.6823 0.7575
0.2 1.1236 0.7575 0.8431 0.8494 0.9494
0.3 1.2085 0.9492 1.0647 1.0745 1.2121
0.4 1.3158 1.2119 1.3735 1.3896 1.5872
0.5 1.4545 1.5868 1.8234 1.8517 2.1509
NOTA: Apuntes extraídos de http://luda.azc.uam.mx/curso2/

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