Este documento resume los conceptos básicos de sistemas de primer, segundo y orden superior. Explica que los sistemas de primer orden tienen una ecuación diferencial de primer orden, mientras que los de segundo orden tienen dos polos y están representados por ecuaciones diferenciales de segundo orden. Luego describe el comportamiento de sistemas de segundo orden dependiendo de sus parámetros, y cómo la adición de polos y ceros afecta la estabilidad y respuesta de sistemas de orden superior.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Poder Popular para la Educación Superior
INSTITUTOUNIVERSITARIOPOLITECNICO SANTIAGOMARIÑO
Sistemas de Primer, Segundo y Orden superior
Integrante
Jose Leonardo González
CI:28190008
Carrera 44
Materia: Teoría de Control
Profesora:

2. Sistemas de Primer Orden
Los sistemas de primer orden tienen solo un polo y están
representados por ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
orden. Considerando en caos de ecuaciones diferenciales lineales de primer
orden con coeficientes constantes y condición inicial cero tenemos el siguiente
sistema de primer orden
En estos la ecuación general aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo
(el de la variable de estado). O sea que se reducen al formato siguiente:
donde (k) se denomina ganancia del
proceso y (r) es la constante de tiempo del sistema

3. Respuesta de un sistema de primer orden
Esta respuesta va a depender del tipo de
entrada que se le coloque al sistema, las
Cuales son
Impulso: La apertura de la entrada del sistema en un
instante de tiempo cero se abre y se cierra,
es decir una entrada instantánea (teórica)
Obteniendo la siguiente respuesta de la salida

4. Escalón: Para este caso la entrada del sistema esta cerrada,
si se le aplica un cierto porcentaje
de apertura ejemplo un 5% ahora la constante seria ese valor
dando como resultado la siguiente salida
Rampa: para este caso la salida del sistema en un instante de tiempo (0) esta
cerrada, para otro instante de tiempo 1 la salida se abre un 1%,
para un instante de tiempo 3 esta abierta un 3%, de esta forma asta generar
una apertura total siendo la salida de la siguiente forma

5. Respuesta en el tiempo «Estatalización»
Ejemplo
Función de transferencia Ecuación en el tiempo
Al sustituir (t) por tao en la ecuación del tiempo
obtenemos los valores en porcentaje
los valores de la subida del sistema
exponencialmente hablando asta obtener el valor
estabilización del sistema
El estado transitorio ocurre siempre desde el
instante cero desde
que se ingresa la entrada asta 4 veces el tao

6. Ejemplos con Impulsos y rampa Escalón
Escalón Rampa
Pulso

7. Sistemas de segundo orden
Los sistemas de segundo orden tienen 2 polos y están representados
típicamente por ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
considerante el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo
orden, con coeficientes constantes y condición inicial cero tenemos
Ejemplo de un sistema común
Sistema de masa resorte amortiguador

8. Sistema de segundo orden expresado de forma estándar
Donde

9. Comportamiento del sistema de segundo orden
El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden puede ser
descrito en términos de 2 parámetros
dependiendo de valor que tome el sistema tendrá diversos comportamientos,
los cuales serán los siguientes:

10. Sistema oscilatorio
Acá el valor de Z es 0 quedando
Al sustituir z por cero en esta ecuación se obtiene

11. Aplicando fracciones parciales y la transformada de Laplace llegaremo
a la ecuación de salida del sistema
obteniendo la respuesta de un sistema oscilatorio ante una entrda
Del tipo escalón

12. Sistema subamortiguado
Ecuación final temporal para un sistema subamortiguado
Respuesta del sistema
Siempre es un sistema que tiene oscilaciones cada
vez que (Z)se acerca mas a 1 estas oscilaciones
se van perdiendo cada vez mas

13. Parámetros importantes de un sistema subamortiguado
-Tiempo pico: es donde las respuesta alcanza el máximo pico,
Tiempo de establecimiento: tiempo en que la respuesta se estaciona
- Máximo pico: Es cuanto se paso la respuesta, desde
el estado estable asta el máximo pico

14. Sistema críticamente amortiguado
Aplicando fracciones parciales y la inversa transformada de Laplace llegamos a
la respuesta temporal

15. Respuesta del sistema
Es un sistema un poco mas lento
y las oscilaciones desaparecen
Sistema sobre amortiguado
Sustituyendo

16. Calculando y obteniendo la ecuación de Laplace
se obtiene la expresión en el tiempo
Respuesta del sistema
El sistema es parecido al críticamente
amortiguado pero mucho mas lento

17. Sistemas de orden Superior
Los sistemas de orden superior (tercero, cuarto etc.) el procedimiento para conseguirlo
será a través de la adición de los polos y ceros a una FDT simple, estas adiciones
influirá notablemente tanto en la estabilidad del sistema como el la señal de salida
del mismo
Cuando se dice que se añade un polo o un cero en la cadena abierta, se está
haciendo referencia a que se tiene una estructura de realimentación negativa y se
está agregando el efecto del polo o del cero en la FDT de la planta o en la
realimentación, esto es, en G(s) o en H(s). Por eso, se dice que es en la cadena
abierta, por que es la adición del efecto del polo o del cero cómo si se abriera el
lazo de realimentación

18. Adición de un polo en la cadena abierta
La adición de un polo en la cadena abierta, tiende a que el sistema en su
conjunto sea más lento y pierda estabilidad.
Una de las formas, para llegar a esto es a través de las técnicas del
lugar de las raíces, LDR Estas técnicas describen, mediante criterios
gráficos, las raíces del polinomio característico, 1+G(s)H(s)=0, a partir de la
información de la cadena abierta. Los resultados son los polos de la cadena
cerrada y por lo tanto definirán la estabilidad y el tipo de respuesta temporal.
Si a un sistema subamortiguado se le añade un polo en la cadena abierta,
las ramas del LDR se orientan hacia el semiplano positivo. De este
efecto se concluye que el sistema se hace más inestable y más lento.

19. En la siguiente figura se
contempla la respuesta ante la
entrada en escalón del conjunto
realimentado, utilizando la planta
referencia (ωn= 1,ξ=0.5 y k=1), y
variando la constante del polo
añadido. Se observa que la
evolución más rápida se da cuando
no hay polo añadido, TP = 0s. Por
otro lado, mientras la constante del
polo añadido esté más alejado del
eje imaginario que los polos
complejos, los polos dominantes
será complejos conjugados y con
mayor sobre oscilación. Si se hace
elevada la constante de tiempo del
polo añadido,

20. Adición de un polo en serie
Si se añade un polo en cascada, a medida de que aumente su constante de tiempo
asociada, Tp, el conjunto total se volverá más lento y sobre amortiguado.
Empleando la planta referencia
(ωn= 1,ξ=0.5 y k=1) y al añadirle en
cascada un polo, se observa que el
sistema es más rápido cuando no se le
agrega, Tp=0. Si la constante de tiempo
del polo añadido aumenta, disminuirá la
frecuencia de corte del filtro paso bajo,
permitiendo sólo un procesamiento de la
señal de las componentes más bajas de la
frecuencia. En el análisis temporal
significará que tenderá a ser más
sobre amortiguado y más lento

21. Adición de un cero en la cadena abierta
Los ceros en la cadena abierta hacen que el sistema se vuelva más estable y más
rápido. Este efecto se observa empleando el LDR. Las ramas son atraídas hacia la
ubicación del cero. Luego si el cero está en el semiplano negativo, las ramas se
Alejarán del semiplano positivo y consecuentemente, el sistema se volverá
más estable y también más rápido.
No obstante, un aumento desmedido de
la constante de tiempo del cero, TZ, provocará
un aumento de la sobreoscilación. En la siguiente
figura se le ha añadido un cero en la cadena
abierta a la planta de referencia. La salida del
sistema sin el cero es más lenta que cuando se
le ha añadido un cero con una constante de
tiempo de 0.5 s y de 1s. Al aumentar
excesivamente la constante de tiempo su
comportamiento deja de ser adecuado.

22. Fin