Los sistemas de primer orden, segundo orden y de orden superior se refieren a ecuaciones diferenciales y funciones de transferencia. Los sistemas de primer orden tienen una sola derivada y se usan para modelar procesos físicos como circuitos RC. Los sistemas de segundo orden tienen dos polos y su comportamiento depende de parámetros como la amortiguación. Los sistemas de orden superior son más complejos con más polos y ceros que afectan su estabilidad y velocidad.

1. SISTEMAS DE PRIMER
ORDEN, SEGUNDO ORDEN
Y DE ORDEN SUPERIOR
PROFESORA:
AMDIE CHIRINOS
AUTOR:
BRYAN QUINTANA
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO
MARIÑO”

2. Los sistemas de primer orden por definición son aquellos que
tienen un solo polo y están representados por ecuaciones
diferenciales ordinarias de primer orden, Quiere decir que el
máximo orden de la derivada es orden 1. Considerando el
caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden,
con coeficientes constantes y condición inicial cero, tenemos:
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Los sistemas de primer orden tienen diversas aplicaciones para aproximar y
representar procesos y sistemas físicos cotidianos o industriales. Por ejemplo
tenemos sistemas físicos de primer orden de circuitos eléctricos (circuito RC)
donde el condensador es el componente encargado de almacenar la energía del
sistema.

3. Sirven como un tipo de representación que sirve para poder
expresar de una forma matemática y muy simple como se
comporta un proceso o un sistema real a lo largo del tiempo
cuando se aplica algún estímulo en sus entradas. De esa forma
podremos hacer análisis para mejorar y optimizar nuestro
sistema.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Función de Transferencia de Primer Orden
Características de un sistema de primer orden:
H(S) = Salida del sistema (Altura del tanque)
α(s) = Entrada del sistema (Abertura de la válvula)
K = Ganancia estática del sistema de primer orden
τ = La constante de tiempo del sistema
θ = Retardo de tiempo del sistema
Estos sistemas de control de primer orden son muy usados en la
instrumentación y control para el análisis de diferentes procesos.

4. Se denomina ganancia estática de un sistema a la relación de
ganancia entre la entrada y la salida del proceso. Es decir,
cuando la entrada es constante (escalón) y la salida se
estabiliza (régimen permanente), la razón del cambio de la
salida entre el cambio de la entrada nos da la ganancia
estática del sistema.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
De lo anterior podemos intuir que la respuesta permanente o respuesta estacionaria
se refiere al comportamiento de la salida de nuestro proceso o sistema cuando el
tiempo tiende a infinito. Si la respuesta permanente es constante nuestro sistema es
clasificado como estable, por el contrario si tiende a infinito nuestro sistema se
define como inestable. También podemos apreciar que la ganancia estática de un
sistema de primer orden se puede observar fácilmente directamente de la función
de transferencia.

5. La constante de tiempo de un sistema de primer orden,
generalmente denotada por la letra griega τ (tau), se define
como el tiempo requerido para que el sistema alcance el
63,2% del valor final o de estado estable. Por lo tanto la
constante muestra la velocidad del sistema ante una
determinada entrada para alcanzar el régimen permanente.
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN
Cuanto menor es la constante de tiempo, más rápida es la respuesta del sistema. Si
la constante de tiempo es mayor, el sistema se mueve lentamente en su respuesta
transitoria. Entonces, la respuesta transitoria se define como la dinámica del
sistema desde el estado inicial hasta alcanzar el estado estacionario, donde en un
sistema de primer orden la respuesta transitoria tiene una duración de 4 veces la
constante de tiempo.

6. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Los sistemas de segundo orden son todos aquellos que
tienen dos polos y están representados típicamente
por ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.
Considerando el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden, con coeficientes constantes y condición inicial
cero, tenemos:
En este caso, si notas el orden de la máxima derivada, verás que es 2, lo que
nos indica que es un sistema de segundo orden. Vamos a ver como podremos
convertir esta ecuación diferencial en una función de transferencia de
segundo orden.

7. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Dinámica de los Sistemas de Segundo Orden
El comportamiento dinámico de un sistema de segundo orden
puede ser entonces descrito en términos de dos parámetros y ζ.
Dependiendo del valor que tome ζ, el sistema tendrá diversos
comportamientos, los cuales vamos a tratar a continuación:
•ζ=0 Sistema Oscilatorio
•0<ζ<1 Sistema Subamortiguado
•ζ=1 Sistema Críticamente Amortiguado
•ζ>1 Sistema Sobre Amortiguado

8. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Variación del Factor de Amortiguamiento

9. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Variación de la Frecuencia Natural No Amortiguada

10. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Partiendo de la ecuación general de un sistema de segundo orden
Los polos del sistema están dados por:
Aplicando la ecuación general para encontrar las raíces de un
polinomio de segundo grado.

11. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN
Los polos del sistema de segundo orden son:
A partir de la ecuación de los polos, se puede sustituir por los diferentes valores
que puede tomar el factor de amortiguamiento y analizar la característica de
los polos ante la variación de este parámetro.

12. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Cuando se dispone de un sistema de control cuya
representación matemática en forma de ecuación diferencial
o de función de transferencia es de orden superior al
segundo, Se establece que contienen ceros y polos adicionales
que afectan al comportamiento tanto en régimen transitorio
como permanente.
Cuando se dice que se añade un polo o un cero en la cadena abierta, se está
haciendo referencia a que se tiene una estructura de realimentación negativa
y se está agregando el efecto del polo o del cero en la FDT de la planta o en la
realimentación, esto es, en G(s) o en H(s). Por eso, se dice que es en la cadena
abierta, por que es la adición del efecto del polo o del cero cómo si se abriera
el lazo de realimentación. En cambio, si el procesamiento del efecto añadido
se hace en cascada con el sistema total, se dice que se ha añadido un cero o un
polo al conjunto total.

13. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Obsérvese los diagramas de la figura para diferenciar en la
adición en cadena abierta y en serie.
La adición de un polo en la cadena abierta, tiende a que el sistema en su
conjunto sea más lento y pierda estabilidad. Una de las formas, para llegar a
esta conclusión, es a través de las técnicas del lugar de las raíces, LDR. Estas
técnicas describen, mediante criterios gráficos, las raíces del polinomio
característico, 1+G(s)H(s)=0, a partir de la información de la cadena abierta.
Los resultados son los polos de la cadena cerrada y por lo tanto definirán la
estabilidad y el tipo de respuesta temporal. Si a un sistema subamortiguado.

14. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Si se añade un polo en cascada, a medida de que aumente
su constante de tiempo asociada, Tp, el conjunto total se
volverá más lento y sobreamortiguado.
En general, los polos en serie o en cascada hacen que el sistema sea más lento,
ya que suponen un filtro paso bajo, atenuando la respuesta del espectro de alta
frecuencia. Estas componentes frecuenciales están relacionados con la rapidez
del sistema aunque también con el ruido. Por tanto, el sistema será más lento
pero también será más inmune a las perturbaciones.
Los ceros en la cadena abierta hacen que el sistema se vuelva más estable y
más rápido. Este efecto se observa empleando el LDR. Las ramas son
atraídas hacia la ubicación del cero. Luego si el cero está en el semiplano
negativo, las ramas se alejarán del semiplano positivo y consecuentemente, el
sistema se volverá más estable y también más rápido.

15. SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR
Si se añade un polo en cascada, a medida de que aumente
su constante de tiempo asociada, Tp, el conjunto total se
volverá más lento y sobreamortiguado.
En general, los polos en serie o en cascada hacen que el sistema sea más lento,
ya que suponen un filtro paso bajo, atenuando la respuesta del espectro de alta
frecuencia. Estas componentes frecuenciales están relacionados con la rapidez
del sistema aunque también con el ruido. Por tanto, el sistema será más lento
pero también será más inmune a las perturbaciones.
Los ceros en la cadena abierta hacen que el sistema se vuelva más estable y
más rápido. Este efecto se observa empleando el LDR. Las ramas son
atraídas hacia la ubicación del cero. Luego si el cero está en el semiplano
negativo, las ramas se alejarán del semiplano positivo y consecuentemente, el
sistema se volverá más estable y también más rápido.