hiperbola integrada

2. Hipérbola
 La hipérbola, se origina
al cortar el cono con un
plano que no pase por el
vértice y cuyo ángulo de
inclinación respecto al
eje del cono es menor
que el de la generatriz
del cono.
Vértice
Eje
Plano
Generatriz

3. Definición de La Hipérbola como Lugar
Geométrico:
 Hipérbola es el
lugar geométrico de
los puntos del plano
cuya diferencia de
distancias a dos
puntos fijos,
llamados focos, es
constante.

4. Elementos de la hipérbola
 En toda hipérbola conviene considerar:
Y: Es el eje secundario de la hipérbola y
es la mediatriz del eje focal.
X: Es el eje focal de la hipérbola.
F y F´: Son los focos de la hipérbola.
A y A´: Son los vértices de la hipérbola.
O: Es el centro de la hipérbola.
P: Es un punto de la hipérbola.
PF y PF´: Son los radio vectores de la
hipérbola.
Y
X
O
P
A
A´ F
F´

5. Elementos de la hipérbola
2c: Se le llama distancia focal.
2a: Es el eje transverso.
AA´: A este segmento se le denomina
eje real.
F´ F
A
A´
Y
O
P
2a
2c
F´ A
A´

6. Diferencia entre una elipse y
una hipérbola
La elipse es la suma de la distancia
del conjunto de los puntos (x,y)
1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
Y la hipérbola es la diferencia de
la distancia del conjunto de los
puntos (x,y).
La diferencia entre estas dos cónicas es que
1
2
2
2
2
=
−
b
y
a
x

7. Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola
vertical
( )
a
k
h
V −
,
'
( )
c
k
h
F +
,
( )
c
k
h
F −
,
'
a
VV 2
' = b
2 c
FF 2
' =
a
b
LR
2
2
=
a
c
e =
Vértices Focos Eje
trans
verso
Eje
con
jugado
Distancia
focal
Lado
recto
Excentri
cidad
( )
a
k
h
V +
,
Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola
vertical

8. Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola
horizontal
( )
k
a
h
V ,
' −
( )
k
c
h
F ,
+
( )
k
c
h
F ,
' −
a
VV 2
' = b
2 c
FF 2
' =
a
b
LR
2
2
=
a
c
e =
Vértices Focos Eje
trans
verso
Eje
con
jugado
Distancia
focal
Lado
recto
Excentri
cidad
( )
k
a
h
V ,
+

9. Hipérbola Conjugada
Dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje transverso de
una es el eje conjugado de la otra. Las hipérbolas conjugadas
tienen el mismo rectángulo básico y las mismas asíntotas .

10. Hipérbola Equilátera
Aquella en la que los
semiejes real e
imaginario son
iguales, es decir, a = b
A´
B´
B
F´ F
A
Y
X
O
A´
45°
Nota :en este caso, las
asíntotas son las rectas
bisectrices de los ejes:
y = x; y = -x.

11. Ecuación canónica de la hipérbola
 Con eje transversal horizontal
Centro (0, 0) Centro (h, k)
 con eje transversal vertical
Centro (0, 0) Centro (h, k)
1
)
(
)
(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
k
y
a
h
x
1
)
(
)
(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
h
x
a
k
y
1
2
2
2
2
=
−
b
y
a
x
1
2
2
2
2
=
−
b
x
a
y

12. Ecuación general
A x2
+ B x y + C y2
+ D x + E y + F = 0
Si b²- 4ac > 0 la ecuación es de tipo
hiperbólico y su gráfica puede ser una
hipérbola o dos rectas.

13. EJEMPLO :
Encontrar a, b, c, e, asíntotas y su respectiva
grafica de la hipérbola 9x2
– 4y2
= 36
Sol.
9x2
- 4y2
= 36
36
y2
4
x2
9 = 1
a2
b2
Entonces :
centro en el origen (0, 0)
a = 3 b = 2 c =
c = a2
+ b2
c = 9 + 4
13
Excentricidad:
a
c
e =
2
13
=
e

14. Gráfica:
x
a
b
y ±
=
Asintotas
x
y
2
3
±
=
F2 V1 F1
V2
Para graficar:
•Colocamos el centro (0, 0)
•Colocamos los vértices
•Colocamos los focos
•Trazamos el rectángulo
•Trazamos las asintotas
•Trazamos la hiperbola