sistemas de partículas

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS Y HUMANIDADES
Curso: Física I (MB 223) Periodo Académico 2016-I
Dinámica de Sistemas de Partículas
asta el momento nuestro estudio de la Dinámica se ha concentrado en una sola
partícula, introduciendo tres métodos de solución de problemas de movimiento. A
continuación extenderemos dichos métodos a los casos que contienen dos o más
partículas.
Clases de sistemas de partículas:
a) Sistemas de partículas deformables.- Son los
sistemas formados por un número n finito de
partículas encerrados en una región del espacio,
los mismos que al desplazarse no conservan la
distancia entre ellas.
Ejemplo: Los gases de escape de un auto o de
las turbinas de un avión.
Las ondas de radio o de televisión.
b) Sistemas de partículas indeformables.- En
este caso, la distancia entre las partículas del
sistema nunca se altera. Todos los cuerpos
rígidos son claros ejemplos de estos sistemas.
A su vez, estos sistemas pueden clasificarse en:
b.1. Sistemas discretos o dispersos.- Son aquellos cuya representación está definida
porque la distancia entre sus partículas es apreciable, pero finita.
b.2. Sistemas continuos.- Son aquellos cuya representación está definida porque la dis-
tancia entre sus partículas es prácticamente nula (hipotéticamente no hay intersticios
entre ellas).
Movimiento del Centro de Masa de un Sistema
de Partículas
En la figura 1 se observa que la i-ésima partícula del
sistema se sitúa a la posición:
Así entonces, siendo M la masa total del sistema, la
misma que es constante, al aplicar el Teorema de
Varignon, la posición de su centro de masa CM
vendrá dada por el vector:
1
H
(1)
M
CM
Fig. 1. Sistema de n partículas. A partir de este esquema
se puede definir la posición de su centro de masa (CM).

2. Así, la posición de cada componente de CM será:
∑=
=
n
i
ii xm
M
x
1
CM
1
(2) ∑=
=
n
i
ii ym
M
y
1
CM
1
(3) ∑=
=
n
i
ii zm
M
z
1
CM
1
(4)
Al derivar (1) con respecto al tiempo obtendremos la velocidad del centro de masa.
∑=
=
n
i
iirm
M
r
1
CM
1
&r&r
⇒ ∑=
=
n
i
iivm
M
v
1
CM
1 rr
(5)
Derivando (5) con respecto al tiempo obtendremos la aceleración del centro de masa.
∑=
=
n
i
iivm
M
v
1
CM
1
&r&r
⇒ ∑=
=
n
i
iiam
M
a
1
CM
1 rr
(6)
Fuerzas Internas y Externas en un Sistema de Partículas
En la figura 2 se tiene el diagrama cuerpo libre de un
sistema cerrado1 de n partículas, marcadas con 1, 2,
3, ….., n. Los vectores , i = 1, 2, …., n representan
la fuerza externa resultante que actúa sobre la i-ésima
partícula, incluyendo su peso. Las fuerzas externas
son causadas por interacción de las partículas con el
medio externo; además de ellas, las partículas también
pueden estar sometidas a la acción de fuerzas internas
del sistema. Por ejemplo, dos partículas podrían estar
unidas por un resorte, chocar entre sí o llevar cargas
eléctricas que hagan que se atraigan o repelan entre
sí. En verdad no es necesario mostrar dichas fuerzas
en el DCL de la fig. 2, ya que las interacciones
siempre ocurren como pares de fuerzas iguales en
magnitud, opuestas en dirección, y son colineales
(3ra Ley de Newton). Por lo tanto, las fuerzas
internas se cancelan, pero el movimiento de
una partícula individual está determinado
por las fuerzas externas e internas.
En la figura 3 se ilustra el par de fuerzas internas que actúa entre la
i-ésima y j-ésima partículas. La fuerza fij representa la fuerza interna
que actúa sobre la i-ésima partícula causada por la j-ésima partícula.
Análogamente, fji representa la fuerza interna que actúa sobre la j-
ésima partícula causada por la i-ésima partícula. Según la 3ra Ley
de Newton:
− (7)
Así entonces, el DCL de una sola partícula será el que se muestra
en la figura 4, siendo el vector:
∑
≠
=
n
ij
j
ijf
1
r
1 Sistema en el cual no entran ni salen partículas del sistema.
Fig. 2. Diagrama de cuerpo libre de un
sistema cerrado de partículas.
Fig. 3. Fuerzas internas entre
dos partículas de un sistema
cerrado.

3. la fuerza resultante sobre la partícula por acción de las demás partí-
culas del sistema. Sobre ella se aplicará la Segunda Ley de Newton.
Ecuación de movimiento del Centro de Masa
),....,2,1(
1
niamfF ii
n
ij
j
iji ==+ ∑
≠
=
rrr
(8)
Como hay n partículas en el sistema, la ecuación anterior representa
n ecuaciones. Al sumar las n ecuaciones, se obtiene:
∑∑∑∑ ==
≠
==
=+
n
i
ii
n
i
n
ij
j
ij
n
i
i amfF
11 11
rrr
(9)
La ecuación anterior es simplificable, teniendo en cuenta
lo siguiente:
1. RF
n
i
i
rr
=∑=1
es la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema, incluyendo el peso
de las partículas.
2. Según la relación (7), las fuerzas internas se presentan en pares iguales y opuestos,
por lo cual su suma se cancela, ésto es:
0
1
rr
=∑
≠
=
n
ij
j
ijf (10)
En otras palabras, el efecto de las fuerzas internas no altera el fenómeno que tiene
lugar en el sistema de partículas.
3. Utilizando la ecuación (6), el segundo miembro se puede sustituir con:
CMaMam
n
i
ii
rr
=∑=1
(11)
Con los resultados anteriores, la ecuación (9) se puede escribir como:
CMaMR
rr
= (12)
Al comparar la ecuación anterior con la Segunda Ley de Newton para una partícula, se ve
que el centro de masa del sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de
masa igual a la masa total del sistema, sobre la que actúa la resultante de las fuerzas externas
que actúan sobre el sistema.
Fig. 4. DCL final de una partícula
de un sistema cerrado.

4. Impulso y Cantidad de Movimiento para un Sistema de Partículas
Fig. 5
Sobre la partícula i actúa la fuerza externa Fi y las fuerzas internas ∑
≠
=
n
ij
j
ijf
1
r
. Podemos escribir
el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento del siguiente modo:
12
1
)()(
2
1
2
1
iiii
n
ij
j
t
t
ij
t
t
i vmvmdtfdtF
rrrr
−=+ ∑∫∫
≠
=
La ecuación anterior escrita para las n partículas del sistema será:
∑∑∑∑∫∑∫ ==
=
=
≠
==
−=+
n
i
ii
n
i
ii
n
i
n
ij
j
t
t
ij
n
i
t
t
i vmvmdtfdtF
1
1
1
2
contrario.
sentidodeyigualesson
pares,enapareceninternas
fuerzaslasporque0,
1 11
)()(
2
1
2
1
rr
43421
rr
Por lo tanto, la ecuación anterior queda descrita del siguiente modo:
43421
r
43421
rr
rr
antesdespués
2
1
1
1
1
2
1
)()(
p
n
i
ii
p
n
i
ii
n
i
t
t
i vmvmdtF ∑∑∑∫ ===
−= (13)
Siendo los términos del segundo miembro la cantidad de movimiento del sistema de partículas
en los instantes t2 (después) y t1 (antes), y el primer miembro es el impulso recibido por el
sistema entre dichos instantes. Así entonces, al emplear la relación (5), la ecuación (13) se
expresará del siguiente modo:

5. ( ) ( )[ ]1CM2CM
1
2
1
vvMdtF
n
i
t
t
i
rrr
−=∑∫=
(14)
Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento de un Sistema de Partículas
Si en un sistema de partículas no actuasen fuerzas externas, entonces 0
1
2
1
=∑∫=
n
i
t
t
idtF
r
. Luego, la
fórmula anterior se reduce a la siguiente expresión:
( ) ( )antesCMdespuésCM vMvM
rr
= (15) ó: antesdespués pp
rr
= (16)
Es decir, la cantidad de movimiento del sistema se conserva entre los instantes t1 y t2. En
otras palabras: “La velocidad del centro de masa no se altera”.
Asimismo, en base a la frase anterior: CMv
r
= constante. Luego:
( ) ( )antesCMdespuésCM vv
rr
=
( ) ( )
dt
rd
dt
rd antesCMdespuésCM
rr
= ⇒ ( ) ( )antesCMdespuésCM rr
rr
∆=∆ (17)
En otras palabras: “La posición relativa del centro de masa no se altera”.
APLICACIÓN
Energía Cinética de un Sistema de Partículas
Considerando un vector ρ trazado desde el centro
de masa del sistema, se podrá determinar su
energía cinética respecto a dicho punto.
∑=
=
n
i
iivmE
1
2
c
2
1
(18)
Se puede apreciar que la posición de la partícula mi es:
. Asimismo:
2
CM
2
CM
2
CMCM
2
.2
)).((.
iii
iiiii
rrv
rrrrv
ρρ
ρρ
&&r&r&r
&r&r&r&r&r&r
++=
++== Fig. 6. En el esquema, la masa mi será
base para determinar la energía cinética
del sistema de partículas.

6. Al reemplazar en (13) se tiene:
∑∑∑ ===
+





+=
n
i
i
n
i
ii
n
i
i mm
dt
d
rrmE
1
2
i
1
CM
1
2
CMc
2
1
.
2
1
ρρ &
r&r
&
El primer término del segundo miembro se puede expresar como:
1
2
=
1
2
=
1
2
El segundo término es cero, ya que la posición del centro de masa respecto a sí mismo es 0.
= 0
Finalmente, la energía cinética del sistema de partículas queda expresada del siguiente modo:
∑=
+=
n
i
iimMvE
1
22
CMc
2
1
2
1
ρ& (19)
Es decir, Ec es la suma de la energía cinética del sistema con velocidad igual a la del centro de
masa, mas la energía cinética del sistema medida con respecto al centro de masa.
Teorema del Trabajo y la Energía Mecánica para un Sistema de Partículas
Sabemos que para una partícula, este teorema tiene la siguiente forma:
!"#$% + !$." = Δ() + Δ(*+ + Δ(*, = Δ(-." (20)
Donde: ∑ ∫∑ ==
==+
n
i
ii
n
i
i rdFWWW
1
después
antes1
n.ccons
.
rr
Así entonces, para un sistema de partículas indeformable, se deberá sumar todos los cambios
de energía que tendrán lugar, así como los trabajos que realicen las fuerzas conservativas y
no conservativas sobre cada partícula. Por lo tanto, la relación anterior será válida para el
sistema de partículas que se tenga.
Si el primer miembro de la relación (15) fuera igual a cero, entonces se concluirá que la energía
mecánica del sistema de partículas se conserva. Luego, el Principio de Conservación de la
Energía para un sistema de partículas será:
Δ() + Δ(*+ + Δ(*, = Δ(/,) = 0 (21)
O también: 0(1 +(23 +(245
6.%78é%
= 0(1 +(23 +(245
:$;.%
(22)
EL PROFESOR DEL CURSO: JMCM
Lima, 16 de mayo del 2016