Este documento trata sobre conceptos fundamentales de energía cinética, momento cinético y dinámica de cuerpos rígidos. Explica que la energía cinética de un sistema es la suma de las energías cinéticas individuales de sus partículas, y que puede descomponerse en un término debido al movimiento del centro de masas y otro debido al movimiento interno. También cubre la conservación de la energía cinética y momento cinético en colisiones elásticas y la relación entre trabajo y variación de energía para sistemas

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSION BARINAS. SAIA – INGENIERÍA EN SISTEMA
ENERGIA CINETICA DE ROTACIÓN Y COLISIÓN
y
DINÁMICA DE CUERPOS RIGIDOS
Integrantes:
Jehilin Zambrano C.I: 15.176.919
Vanessa Delgado CI: 18.402.897
Wendy Ochoa C.I: 13.979.479
Guatire, Agosto de 2014

2. Energía cinética de un sistema de partículas
La energía cinética del sistema es la suma escalar de las energías cinéticas individuales
Descomposición de la energía cinética
Para la energía cinética podemos efectuar una descomposición análoga a la del momento
cinético. Escribiendo cada velocidad como suma de la del CM más la relativa queda, para
la energía cinética individual,
y para la energía cinética total
El segundo término se anula por aparecer en él , lo que reduce la energía cinética a
La energía cinética del sistema relativa al centro de masas.
Esta descomposición se interpreta como que el sistema posee una energía cinética por el
movimiento de traslación colectivo, más un término debido al movimiento sobre sí mismo.
Esta energía cinética intrínseca, K' es parte de la energía interna del sistema. Puede estar
asociada a:

3.  Un movimiento organizado. Por ejemplo, en la rotación de la Tierra alrededor de su
eje.
 Un movimiento desorganizado. Por ejemplo, en un gas que se encuentra a una cierta
temperatura, el centro de masas puede estar estacionario y sin embargo el gas posee
una energía cinética debido al movimiento de las moléculas que lo componen. Esta
energía cinética es lo que llamamos agitación térmica.
 Una combinación de ambos. Este es el caso general. La energía cinética del sistema
parte se encuentra en movimientos macroscópicos (rotación o traslación de partes del
sistema) y parte en movimientos microscópicos caóticos.
Por la presencia de estos términos microscópicos caóticos la energía cinética total del
sistema es normalmente desconocida. En su lugar nos limitamos a la suma del
término con la suma de las energías cinéticas debidas a los movimientos
macroscópicos.
Conservación de la energía cinética
Para la energía cinética no existe un teorema tan simple como para la cantidad de
movimiento o el momento cinético. Operando del mismo modo que para estas dos
cantidades, en sencillo probar que
esto es, la derivada de la energía cinética es la potencia desarrollada por todas las fuerzas
ejercidas en el sistema. Sin embargo, en este caso, no podemos eliminar las fuerzas internas
de la ecuación. La razón es que las fuerzas internas sí pueden variar la energía cinética
total.
Un ejemplo sencillo lo tenemos en las fuerzas de rozamiento entre dos partes de un sistema
mecánico. La fricción (debida a fuerzas puramente internas) produce calor, que se
manifiesta en un aumento de la temperatura del sistema, esto es, en un incremento de la
energía cinética total.

4. Dos casos particulares en que sí se conserva la energía cinética son:
Dinámica del sólido rígido
Un sólido rígido se caracteriza porque las distancias entre todas las partículas
permanecen constantes en todo momento. En este caso las fuerzas internas no
realizan trabajo y la variación de la energía cinética se debe exclusivamente a las
fuerzas externas.
Colisiones elástica
En las colisiones de dos partículas no se conserva la energía cinética de manera
general. Sin embargo, en el caso de choques entre cuerpos rígidos puede
aproximarse que la disipación de energía cinética es nula.
Relación trabajo y energía para un sistema de Partículas
En el tema de dinámica de una partícula se dedujo que el trabajo realizado por todas las
fuerzas que actúan sobre ella es igual a la variación de energía cinética de la misma. En el
caso de un sistema de partículas veremos cómo se modifica esta expresión, considerando
que pueden actuar fuerzas internas y externas. También definiremos nuevas magnitudes,
más útiles a la hora de determinar cómo un sistema intercambia energía con el exterior.
Variación de energía cinética
Imaginemos un sistema formado por dos partículas, sobre las que actúan fuerzas externas
(en verde) y fuerzas internas (en rojo)

5. En cada instante, la energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de cada
partícula; por tanto, la variación de energía cinética del sistema en un intervalo de tiempo
será E:
Aplicando para cada partícula que la variación de su energía cinética es igual al trabajo de
todas las fuerzas que actúan sobre ella:
Sumando ambas variaciones, obtenemos finalmente que:
Es importante destacar que aunque la suma de las fuerzas internas siempre es cero, no lo es
la suma de los trabajos realizados por ellas, ya que para calcular el trabajo hay que tener en
cuenta la trayectoria que describe cada partícula.

6. Energía propia
Teniendo en cuenta que las fuerzas internas suelen ser conservativas, por ser centrales,
el trabajo realizado por ellas se puede expresar en función de una energía potencial
asociada. Utilizando la relación anterior, queda entonces
Definimos una nueva magnitud, llamada energía propia (U) como la suma de la energía
cinética y la potencial interna:
Conviene hacer notar que la energía cinética debe estar referida a un sistema de
referencia inercial, ya que se calcula a partir de las velocidades. Sin embargo, la energía
potencial interna es independiente del sistema de referencia, ya que sólo depende de las
distancias relativas entre las partículas.

7. Conservación de la energía
En términos de la energía propia, el trabajo de las fuerzas externas es:
Podemos distinguir tres casos:
Sistema aislado (no actúan fuerzas externas): el trabajo de las fuerzas externas es nulo de lo
que se deduce que en un sistema aislado la energía propia se conserva
Las fuerzas externas son conservativas: en este caso el trabajo de dichas fuerzas se expresa
en función de una energía potencial externa Sustituyendo:
La energía mecánica de un sistema es la suma de la energía cinética, la potencial interna y
la potencial externa.
Entonces, cuando las fuerzas internas y externas son conservativas, la energía mecánica del
sistema se conserva.
Actúan fuerzas de rozamiento (no conservativas): en el término del trabajo de las fuerzas
externas hay que considerar también el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento, y la
expresión final queda.

8. Es decir, cuando actúan fuerzas de rozamiento, la variación de energía mecánica es igual al
trabajo de las fuerzas de rozamiento.
Colisión (Choque)
El choque se define como la colisión entre dos o más cuerpos. Entre ellos actúan fuerzas
internas que hacen que su momento lineal y su energía varíen, produciéndose un
intercambio entre ellos de ambas magnitudes.
Es preciso recalcar que, para que se produzca una colisión, no es necesario que los cuerpos
hayan estado físicamente en contacto en un sentido microscópico; basta que se aproximen
lo suficiente como para que haya habido interacción entre ellos
La característica fundamental de una colisión es que las fuerzas que determinan lo que
ocurre durante la misma son únicamente fuerzas internas (de interacción entre los distintos
cuerpos que colisionan).
Como consecuencia de este hecho la velocidad del centro de masas del sistema durante la
colisión va a ser constante ya que la aceleración del centro de masas es producida
únicamente por las fuerzas externas que actúan sobre el sistema.

9. En todo choque el momento lineal total del sistema se conserva
Momento lineal en una colisión
El momento lineal de un sistema de partículas es igual al momento lineal de su centro de
masas. Como durante una colisión éste es constante,
La ecuación anterior es una ecuación vectorial y como tal hay que utilizarla al analizar un
choque entre partículas.

10. Choque elástico
Un choque elástico es aquél en que las fuerzas internas no hacen trabajo. De la ecuación
anterior se deduce que en este caso la energía cinética del sistema de partículas se conserva
durante el choque. Para el caso de una colisión entre dos partículas representado en la
figura anterior se tiene entonces:
Un ejemplo típico de colisión elástica lo constituye el choque de las bolas de billar. Puesto
que éstas son rígidas no cambian de forma, y por tanto las fuerzas internas no hacen trabajo.
El choque de las bolas de billar es elástico. Durante un choque elástico se conservan el
momento lineal y la energía cinética.

11. Choque inelástico
En un choque inelástico las fuerzas internas hacen trabajo, por lo que la energía cinética del
sistema ya no permanece constante, aunque el momento lineal sigue conservándose. Si el
trabajo de las fuerzas internas es negativo, la energía cinética del sistema disminuirá
durante la colisión.
Cuando un automóvil choca contra un obstáculo se deforma, por lo que las fuerzas internas
hacen trabajo y el choque es inelástico. La energía cinética disminuye.
El grado de inelasticidad de un choque viene determinado por el coeficiente de restitución:
Que puede tomar valores entre cero y uno. Para un choque elástico e = 1 y para uno
totalmente inelástico (las masas quedan unidas después del choque) e = 0.

12. Dinámica de un Cuerpo Rígido
Un cuerpo rígido no es más que un sistema de partículas donde las distancias entre ellas
permanecen invariables, por lo tanto aplica todo lo de un sistema de partículas que ya
conocemos. La rigidez del cuerpo introduce simplificaciones a la descripción del
movimiento de ese sistema de partícula pues no es necesario conocer las posiciones ni el
movimiento de cada una de ellas, sino que el movimiento de unas pocas determina el de
todas.
Cuerpo rígido continuo: Este es un concepto idealizado donde nos olvidamos de las
partículas reales que componen el cuerpo, los átomos o moléculas, y el cuerpo es
reemplazado por un continuo de masa donde las "partículas" son elementos infinitésimos de
volumen "dv" que tiene alguna cantidad de masa también infinitesimal "dm".
La rigidez se establece aquí manteniendo constantes las distancias entre los puntos de este
cuerpo. Esta es otra idealización porque en la vida real no existen cuerpos rígidos. Todos
los cuerpos son deformables en alguna medida.
Un cambio arbitrario de posición de un cuerpo rígido en el espacio puede siempre ser
reducido a una traslación paralela seguida de una rotación en torno a un eje fijo.
Cuando un cuerpo tal como una lámina se mueve sobre un plano fijo, el ángulo que el
cuerpo gira se define entre alguna línea fija en el cuerpo con alguna línea fija en el plano.

13. ROTACIÓN PURA Y TRASLACIÓN PURA
Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven paralelamente y con la misma
velocidad, tal como se ilustra en la figura 1a. Un cuerpo rota cuando todos sus puntos giran
alrededor de un mismo eje (llamado eje de rotación) con la misma velocidad angular, tal
como se ilustra en la figura 1b (en este caso el eje de rotación es perpendicular al plano
representado por la hoja de papel que estamos observando y pasa por el punto O). En
general el movimiento del cuerpo será una combinación de ambos.
Cuando el cuerpo está en traslación pura (o cuando el interés es en analizar su movimiento
de traslación), se puede asumir como si fuera una partícula. Son ejemplos:
 Un esquiador deslizándose por una montaña (figura 2a).
 Un ciclista trasladándose (en cuyo caso no hay interés en lo que pasa con la bicicleta,
sino con el sistema como un todo - figura 2b -).
 El análisis de la traslación de la Tierra alrededor del sol (en este caso la Tierra se
consideraría una partícula).

14. En el caso de querer estudiar la rotación del cuerpo no se puede asumir como una partícula.
En la figura 3a se ilustra la rotación del planeta Tierra alrededor de su eje (eje que pasa por
los polos). En la figura 3b se ilustra la transmisión de movimiento de rotación entre dos
piñones.
Un cuerpo sólido rígido realiza un movimiento de traslación cuando, considerando un
segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, éste se mantiene siempre paralelo a sí mismo,
durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rígido como un conjunto continuo de
puntos materiales, cada punto material describirá, en el movimiento, una trayectoria
determinada y a todos los demás puntos materiales describirán trayectorias equidistantes
entre sí.
Si la traslación es rectilínea, las trayectorias son rectas y paralelas entre sí (equidistantes), y
si la traslación es curvilínea, las trayectorias de los puntos materiales son curvas planas o
alabeadas equidistantes entre sí.

15. Ejemplos:
En un sólido en movimiento de traslación todos sus puntos tienen la misma velocidad
instantánea y la misma aceleración instantánea.
Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor de un eje
fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas sobre dicho eje y
contenidas en planos normales a éste.
El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso, los
puntos del sólido que están sobre el eje permanece en reposo en tanto que los demás puntos
describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los puntos del sólido
están en movimiento circular alrededor del eje exterior al sólido. En cualquier caso, la
velocidad "v" de un punto "P" del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un
instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje
de rotación.

16. Dicha velocidad viene dada por
El módulo de la velocidad, es decir, la celeridad, es
pero se verifica que ds = rd?, midiéndose el ángulo en radianes (rad), de modo que
El cociente d?/dt recibe el nombre de velocidad angular y se designa por ?:
y podemos expresar la velocidad "v" de cualquier punto del sólido como el producto de la
velocidad angular por la distancia "r" del punto al eje de rotación. Designando por "?" la
velocidad angular, podemos escribir
La introducción del concepto de velocidad angular es de gran importancia por la
simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que,
en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad angular, en
tanto que a cada uno de ellos le corresponde una velocidad que es función de su distancia al
eje de rotación. Así pues, la velocidad angular caracteriza al movimiento de rotación del
sólido rígido en torno a un eje fijo. La celeridad o velocidad angular se mide en radianes
por segundo (rad/s)

17. Tipos de movimientos de cuerpos rígidos
Movimiento de Traslación
Es el movimiento en que todas las partículas del cuerpo describen trayectorias iguales.
El movimiento de traslación de un cuerpo rígido queda descrito por el movimiento de
cualquiera de sus partículas, generalmente este punto es su c.m. (centro de masa)
Dinámica del movimiento de traslación.
El movimiento de traslación queda determinado por la ecuación:
Dónde: son la aceleración y la
Velocidad del c.m. del cuerpo de masa M.
Si el cuerpo rígido está aislado, es decir, entonces se debe cumplir:
Para el movimiento de traslación del cuerpo rígido, se tiene que la energía cinética está
dada por:
ó
ó y
ó ó

18. Movimiento de Rotación
Es el movimiento de un cuerpo rígido en el cual todas sus partículas describen
trayectorias circulares respecto de un eje común, con la misma velocidad angular. El
movimiento de rotación, respecto de un eje fijo en el espacio, de un cuerpo rígido queda
descrito por el movimiento circular de cualquiera de sus partículas.
El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer caso,
los puntos del cuerpo rígido que están sobre el eje permanece en reposo en tanto que los
demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo caso, todos los
puntos del cuerpo rígido están en movimiento circular alrededor del eje exterior al cuerpo.
En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del cuerpo será tangente a la circunferencia
descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia
del punto al eje de rotación. Dicha velocidad viene dada por
Siendo un vector unitario de módulo igual a la unidad tangente a la trayectoria y v el
módulo de la velocidad. Téngase en cuenta que necesariamente cambiará a lo largo del
movimiento, ya que irá continuamente modificando su dirección hasta llegar de nuevo a la
orientación original, tras completar un giro de radianes.

19. Dinámica del movimiento de Rotación
Dado un sólido rígido que rota alrededor de un eje, la velocidad lineal v de una partícula se
puede expresar a partir de la velocidad angular ω:
Mientras que la aceleración a es:
Si el sólido rígido además de rotar alrededor de un eje tiene un movimiento adicional de
traslación con velocidad instantánea V entonces las fórmulas anteriores deben substituirse
por:

20. Movimiento de Roto-traslación
Es el movimiento del cuerpo rígido obtenido de la combinación simultánea de los
movimientos de traslación y de rotación. La descripción de este movimiento se establece en
tres etapas:
a) Se describe el movimiento de traslación por medio del movimiento del c.m.
b) Se describe el movimiento de rotación del cuerpo respecto del c.m.
c) Con ayuda de las ecuaciones de transformación de los parámetros cinemáticos y
dinámicos entre un SRI y el c.m. se logra la descripción del movimiento del cuerpo
rígido respecto del SRI.
Dinámica del movimiento de Roto-traslación
El c.m. de un cuerpo rígido es el punto cuya posición es:
Donde es la posición del elemento de masa dm del cuerpo cuya masa es M y cuyo
volumen es V.
Si la densidad de masa del cuerpo es entonces: donde dV es
el elemento de volumen del elemento de masa dm, por lo que:

21. Trabajo y Energía para cuerpos rígidos
Si el Cuerpo Rígido se está trasladando, su energía cinética se expresa por
Si el Cuerpo Rígido está rotando, su energía cinética se expresa por
Si el Cuerpo Rígido está trasladándose y rotando, entonces su energía cinética está
expresada por
Aplicando el teorema de Trabajo y Energía para un Cuerpo Rígido, se tiene

22. Equilibrio de cuerpos rígidos
Cuando las fuerzas están actuando sobre un cuerpo rígido, es necesario considerar el
equilibrio en relación tanto a la traslación como a la rotación. Por tanto se requieren las
condiciones siguientes:
1) Primera condición (Equilibrio de traslación): La suma de todas las fuerzas debe ser cero.
2) Segunda condición (Equilibrio Rotacional): La suma de momentos con respecto a
cualquier punto debe ser cero.

23. Ejercicios resueltos
Ejemplo de Movimiento rotación. Reproductor de discos compactos

25. Ejemplo de Movimiento Traslación.

27. Ejemplo de Equilibrio de Cuerpos rígidos.
3