Construcción gráficas de las cónicas: elipse, parábola y envolvente parabólica

1. Secciones Cónicas
Ing. Arnulfo Caro M.

2. Cónicas
• Circunferencia si:
 = 90
• Elípse si :  > 
• Parábola :  = 
• Hipérbola:  < 



3. Elípse
• Lugar geométrico de todo punto P, donde la suma de las
distancias del punto P a dos puntos fijos F1 y F2 llamados focos
es constante

4. A) Definición
Conociendo los focos F1 y F2 y un punto de paso P

5. • Determinar el eje mayor AB ( AB = F1P + F2P )

6. • Ubicar los puntos 1,2,...,n entre los focos F1 y F2

7. •Trazar los arcos con centro en F1 y radios A1,A2,...,An

8. •Trazar arcos con centro en F2 y radios B1,B2,...,Bn
La intersección de los arcos de radios A1 y B1, A2 y B2 ,
A3 y B3,..., An y Bn determinan los puntos de la elípse
1’ y 1”,2’ y 2”,...,n’ y n”.

9. •Trazar con el pistolete la curva que pasa por los puntos
obtenidos anteriormente generando la elípse.

10. B) Método de la cicunferencias concentricas
Conociendo el eje mayor AB y el eje menor CD
 Trazar las circunferencias concentricas de diametros AB
y CD

11. • En las circunferencias concentricas trazar n diametros
arbitrarios que generan los puntos 1’,2’,...,n’ y los
puntos 1”,2”,...,n” en las circunferencias de diámetros
CD y AB respectivamente.

12. •Trazar paralelas a AB por los puntos 1’,2’,...,n’ y paralelas
a CD por los punto 1”,2”,...,n” ,la intersección de las
paralelas trazadas por 1’ y 1”, 2’ y 2”,...,n’ y n” determinan
los puntos 1, 2, ..., n pertenecientes a la elipse.

13. • Unir con pistolete los puntos 1, 2, ...,n generando la elipse

14. C) Método del paralelogramo
Conociendo los ejes conjugados AB y CD
 Construir el paralelogramo PQRS de lados paralelos y
longitudes iguales a los ejes conjugados AB y CD
respectivamente

15. • Dividir AO y AP en n partes iguales

16. • Desde los puntos C y D trazar rectas que van hacia los
puntos 1, 2, ..., n que dividen a AP y AO respectivamente
la intersección de C1 y la prolongación de A1 determinan
el punto 1’ de la misma forma obtenemos los puntos
2’,3’, ...,n’ que son puntos de la elipse

17. • Obtemos más puntos pertenecientes a la elipse procediendo
de la misma forma que el paso anterior en los cuadrantes
que faltan

18. • Trazamos la curva que pase por los puntos usando pistolete
para obtener la elípse

19. • Para obtener el eje mayor de la elípse A’B’ se traza una
circunferencia de radio arbitrario con centro en el punto O
que intersecta a la elípse en los puntos 1 y 2 , el eje A’B’
pasará por O y será paralelo al segmento 12.

20. Parábola
• Lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de una
recta D llamada directriz y de un punto fijo F1 llamado foco

21. A) Definición
Conociendo el foco F y la directriz D
 Ubicamos el eje de la parábola perpendicular a la
directriz que pasa por F y el vértice V punto
medio de FO

22. •Ubicamos los puntos arbitrarios 1, 2,..., n de manera que
las distancias O1, O2 , ..., On sean mayores a OV, trazar
luego las perpendiculares al eje que pasan por estos puntos

23. •Trazamos arcos con centro en F y radios O1, O2, ...,On,
la intersección del arco de radio O1 y la perpendicular al
eje que pasa por 1 determinan los punto 1’ y 1” puntos que
pertnencen a la parábola de la misma forma obtenemos los
puntos 2’ y 2”, 3’ y 3”, ..., n’ y n”.

24. • Unir los puntos con el pistolete para obtener la parábola

25. B) Método del Paralelogramo
conociendo la flecha, luz y el desnivel
 Construir el paralelogramo ABCD como se indica en el
gráfico

26. • Dividir VB y BC en n partes iguales y numerar como se
indica, trazar desde V los rayos hacia los puntos que dividen
a BC

27. • Por los puntos que dividen a VB trazar paralelas a VV’,
luego intersectar la paralela a VV’ que pasa por 1 con el
rayo V1 obteniendo el punto 1’, de la misma forma se
determinan los puntos 2’, 3’, ..., n’ y los puntos del otro
cuadrante, puntos que pertenecen a la parabola

28. • Unir los puntos con el pistolete para determinar la parábola

29. C) Envolvente parábolica
Conociendo las rectas tangentes AC y BC
 Dividir AC y BC en n partes iguales, luego numerar
AC y BC en sentidos contrarios

30. • Unir los puntos iguales con tramos rectos que determinan
los puntos 1’,2’, ... intersección de los segmentos 11con 22 ;
22 con 33; ...

31. • Con los pistoletes trazamos la envolvente, tangente a los tramos
11’,1’2’, ... en el punto medio y tangente a AC y BC en A y B
respectivamente
Pto. Medio de 3’-4

32. Construcción de cónicas a partir de un cono
recto
• Elípse
• El eje mayor queda deterninado por AB

33. • El eje menor CD se obtiene de la siguiente manera:
• Por M punto medio de AB trazamos una paralela a la base
del cono y ubicamos P y Q
• Trazamos una circunferencia de diametro PQ
• Por M trazamos la perpendicular a PQ determinando la
cuerda CD (eje menor de la elipse) en la circunferencia
trazada en el punto anterior.

34. • Parábola
• La flecha queda determinada por VM
• La luz CD se determina con una contrucción similar a la
que se hizo para obtener el eje menor de la elipse