Revista sigma 20

1
INDICE
ARTÍCULOS 3
PREMIO ABEL, ¿PRIMER NOBEL DE LAS MATEMÁTICAS?
Santiago Fernández . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
LUIS A. SANTALÓ. EL ÚLTIMO GEÓMETRA CLÁSICO
D. Carlos Borches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
SECCIONES CÓNICAS
KONO-FORMAKO SEKZIOAK
Raúl Ibáñez Torres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
KEOPS PIRAMIDEA ETA URTE KOSMIKOA
Luis Balbuena Castellano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
LAS APUESTAS EN EL FRONTÓN
Alberto Bagazgoitia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
¡¡ EL EURO YA ESTÁ AQUÍ !!
¿ QUÉ ES LA TOPOLOGÍA?
Marta Macho Stadler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
CURVAS FRACTALES
Julián Aguirre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
PROBLEMAS 93
LAS OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE LA FEDERACIÓN ESPAÑOLA
DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS Y ALUMNAS
DE 2º DE ESO
MATEMATIKA OLINPIADA DBHko 2. MAILAKO IKASLEENTZAT.
ESPANAIKO MATEMATIKA IRAKASLEEN FEDERAZIOAK ANTOLATUA
LIBROS 133
VIVIR LAS MATEMÁTICAS (INFANTIL)
Maria Antonia Canals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
UNA RECREACIÓN MATEMÁTICA: HISTORIA, JUEGOS Y PROBLEMAS
(PRIMARIA Y SECUNDARIA)
Jordi Deulofeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
EL LABERINTO MÁGICO (SECUNDARIA)
Ian Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
FOTOGRAFIANDO LAS MATEMÁTICAS
Varios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Febrero 2002 • Otsaila 2002 5
Premio Abel: ¿Primer Nobel de las Matemáticas?
PREMIO ABEL, ¿PRIMER NOBEL DE LAS MATEMÁTICAS?
Santiago Fernández (*)
El Premio Abel
El primer ministro noruego anunció en Agosto del 2001 la creación de un premio internacio-
nal anual para las matemáticas, un dominio no cubierto por los Premios Nobel.
El premio llevará el nombre del ilustre matemático noruego Niels Henrik Abel (1802-1829), y
será concedido a partir de este año (2002), con ocasión del 200 aniversario del nacimiento del
matemático noruego. El premio Abel estará dotado de 200 millones de coronas noruegas (unos
23 millones de dólares).
Este premio ya fue propuesto en 1902 por el Rey de Suecia y Oscar II (rey de Noruega), pero
la separación de los dos países en 1905 hizo fracasar el proyecto.
Las Medallas Fields
Actualmente se conceden unas medallas, en recompensa por los trabajos matemáticos de cali-
dad excepcional. Es un premio tan prestigioso como el Premio Nobel. Cada cuatro años se
conceden dos medallas Fields en honor a la memoria de su fundador, el matemático cana-
diense J. C. Fields (1863-1932).
En el Congreso Internacional de Matemáticas de 1924 presidido por J. C. Fields, se presentó la
propuesta de conceder unas medallas internacionales para aquellos matemáticos, menores de
40 años, que hayan destacado por sus descubrimientos. A partir de 1966, debido a la gran y
buena producción matemática se otorga el premio a un máximo de seis personas.
Las medallas Fields están acuñadas en oro. En el anverso aparece la inscripción latina “tran-
sire suum pectus mundoque potire” (sobrepasar su propio entendimiento y apoderarse del
mundo), junto al busto de Arquímedes. En el reverso figura la inscripción latina “Congregati ex
toto orbe Mathematici ob scripta tribvere” (reunidos los matemáticos de todo el mundo para
premiar obras maestras), junto a la inscripción del famoso dibujo de la esfera y el cilindro.
(*) Asesor de Matemáticas del Berritzegune de Bilbao.

Ganadores de las medallas Fields han sido los siguientes:
1936
Lars Ahlfors - (29; Finlandia)
Jesse Douglas - (39; USA)
1950
Laurent Schwartz - (35; Francia)
Atle Selber - (33; Noruega)
1954
Kunihiko Kodaira - (39; Japón)
Jean-Pierre Sere - (27; Francia)
1958
Klaus Roth - (32; Alemania)
Rene Thom - (35; Francia)
1962
Lars Hormander - (31; Suecia)
John Milnor - (31; USA)
1966
Michael Atiyah - (37; UK)
Paul Cohen - (32; USA)
Alexander Grothendieck - (38; Alemania)
Stephen Smale - (36; USA)
1970
Alan Baker - (31; UK)
Heisuke Hironaka - (39; Japón)
Serge Novikov - (32; Rusia)
John Thompson - (36; UK)
1974
Enrico Bombieri - (33; Italia)
David Mumford - (37; UK)
1978
Pierre Deligne - (33; Bélgica)
Charles Fefferman - (29; USA)
Gregori Margulis - (32; USSR)
Daniel Quillen - (38; USA)
1982
Alain Connes - (35; Francia)
William Thurston - (35; USA)
Shing-Tung Yau - (33; Hong Kong)
1986
Simon Donaldson - (27; UK)
Gerd Faltings - (32; Alemania)
Michael Freedman - (35; USA)
1990
Vladimir Drinfeld - (36; USRR)
Vaughan Jones - (38; Nueva Zelanda)
SIGMA Nº 20 • SIGMA zk. 206
Santiago Fernández
Enrico Bombieri
Paul Cohen
William Thurston
Shigefumi Mori
Efim Zelmanov
Edward Witten
Alain Connes
Charles Fefferman
Lars Hormander
Gregori Margulis
Jean Bourgain
Lars Ahlfors Kunihiko KodairaLaurent Schwartz
Serge Novikov
Pierre Deligne
Pierre Louis Lions
Simon Donaldson

Shigefumi Mori - (39; Japón)
Edward Witten - (38; USA)
1994
Pierre Louis Lions - (38; Francia)
Jean Christophe Yoccoz - (36; Francia)
Jean Bourgain - (40; Bélgica)
Efim Zelmanov - (39; Rusia)
1998
Richard E. Borcherds (39; UK)
Maxim Kontsevich (34; USA)
William Timothy Gowers (35; UK)
Curtis T. McMullen (38; USA)
y el premio especial a
Andrew J. Wiles, por haber resuelto el famosísimo teorema de Fermat.
El jurado que otorga las medallas está compuesto por ocho miembros, su designación se rea-
liza entre dos congresos consecutivos por el comité ejecutivo de la Unión Internacional de
Matemáticas, y su composición se mantiene en secreto hasta la concesión de las medallas.
Los Premios Nobel
Los campos que abarcan los Premios Nobel reflejan los intereses personales
de Alfred Nobel (1833-1896). En el testamento redactado por el mismo Nobel
se describe cómo la mayor parte de sus bienes (unos 33 millones de coronas
suecas de la época) se han de destinar a la creación de la Fundación Nobel.
Todo el dinero que él aportó debería ser dividido en cinco partes iguales y dis-
tribuidas anualmente en forma de premios a las personas que durante el año
anterior, hayan aportado los mayores beneficios a la humanidad. Prescribió
que los premios fueran distribuidos en la forma siguiente:
“... una parte a la persona que haya hecho el descubrimiento o el invento más importante en
el campo de la Física; una parte a la persona que haya hecho el descubrimiento o mejora más
importante en Química; una parte a la persona que haya hecho el descubrimiento más impor-
tante en el dominio de la Fisiología o de la Medicina; una parte a la persona que haya produ-
cido, en el campo de la Literatura, la obra más notable de tendencia idealista; y una parte a la
persona que haya llevado a cabo la mayor o mejor labor en favor de la fraternidad entre las
naciones, por la abolición o reducción de los ejércitos permanentes y por la celebración y el
fomento de congresos por la paz. Su testamento prescribe también que, en la distribución de
los premios, ... no se considere en forma alguna la nacionalidad de los candidatos, sino que
deberá recibir el premio el más digno, independientemente de que sea escandinavo o no”.
Posteriormente, en 1968, coincidiendo con el tricentenario de la creación del Banco de
Suecia se instituyó un premio más, destinado a las Ciencias Económicas.
Cada persona laureada recibe una medalla de Oro y un diploma Nobel (el valor de cada uno
de los premios Nobel ronda los 8 millones de coronas suecas).
Los premios son considerados, en general, como los más altos honores cívicos del mundo.
Llama poderosamente la atención que Nobel no destinara ningún premio para: arquitectos,
artistas, compositores, matemáticos, científicos sociales, y tantos otros.
Premio Abel: ¿Primer Nobel de las Matemáticas?
Curtis T. McMullenMaxim KontsevitchRichard E. Borcherds

Cuentan las “malas lenguas” que cuando D. Alfredo Nobel preguntó a sus asesores quien
podría ser premio Nobel de Matemáticas y le contestaron que posiblemente el matemático
sueco Gösta Mittang-Leffer, Nobel respondió: “No habrá premio Nobel de Matemáticas”. Las
noticias de la época aseguraban que las relaciones entre Don Alfredo y Don Gösta no eran
demasiado buenas.
Sea ésta u otra la razón, el caso es que hasta ahora no se había premiado a las matemáticas
dentro de la categoría de premios Nobel.
Niels Henrik Abel (1802 -1829)
Hace doscientos que nació el ilustre matemático noruego N. H. Abel. Su
vida fue difícil y dominada por la pobreza. Su talento para las matemáticas
fue enorme, se graduó a los 20 años y en 1823 (con 21 años) publicó sus
famosos escritos sobre ecuaciones funcionales e integrales. Con 22 años
probó la imposibilidad de resolver algebraicamente ecuaciones de quinto
grado, resultado que se estaba persiguiendo desde hace más de tres siglos.
Abel fue el “instrumento” que le dio estabilidad al análisis matemático
sobre bases rigurosas. Su mayor trabajo “Recherches sur les fonctions ellip-
tiques” fue publicado en 1827 en el primer volumen del diario Crelle, el
primer periódico dedicado enteramente a las matemáticas. Abel visitó este
periódico en su visita a Alemania.
Consiguió una beca de su gobierno lo que le permitió viajar por varios países extranjeros.
Después de su visita a París, volvió a Noruega enfermo y extremadamente débil. Había con-
traído la tuberculosis, enfermedad de moda en la época; a pesar de su mala salud y sus pre-
carias condiciones de vida, continuó trabajando en la teoría de las funciones elípticas.
Por su trabajo en funciones elípticas, obtuvo con Jacobi el Gran Premio de Matemáticas del
Instituto de Francia.
El 16 de Abril de 1829, con tan sólo 26 años, murió en Froland (Noruega). Fue una vida corta
pero extremadamente fructífera.
Santiago Fernández

Luis A. Santaló. El último geométra clásico
LUIS A. SANTALÓ. EL ÚLTIMO GEÓMETRA CLÁSICO
D.Carlos Borches (*)
Matemático y maestro
La clase estaba en sus manos, literalmente en sus manos. El pizarrón
a su espalda, prolijamente borrado, contenía unas pocas expresiones
escritas en el típico lenguaje matemático, pero toda la atención del
curso estaba puesta en las curvas y superficies que las manos del
maestro dejó suspendidas en el aire y en las palabras, pronunciadas
con musical acento catalán, que hacen imborrables a las clases de
geometría de Luis Santaló.
Matemático de fama mundial, Luis Santaló llegó a la Argentina en
1939 y supo ganarse el respeto y el cariño de la comunidad científica
y docente del país. "Nací en Gerona, Cataluña, en 1911 y provengo
de una familia de educadores: mi padre, mis hermanas, mis tías,
todos eran maestros y yo también hice el magisterio -recordaba
Santaló-, pero quería estudiar ingeniería y por aquella época la única
carrera que se podía hacer en Gerona era el magisterio, de manera
que me fui para Madrid"
Un cambio de rumbo
Las materias en común que por entonces tenían las carreras de ingeniería y de ciencias exac-
tas le permitieron al joven gerundense descubrir que había un universo desconocido en la geo-
metría y en Madrid se produjo el primer cambio de rumbo en su vida.
"Santaló siempre fue una persona mas bien tímida, y cuando recordaba aquellos primeros años
decía que su objetivo era simplemente conseguir un puesto de docente en una escuela, hacer
el doctorado en Madrid y enseñar en alguna universidad española", rememora su colega y
amigo, el matemático Roque Scarfiello. El Instituto Lope de Vega en Madrid recibió al flamante
Licenciado Santaló que comenzó a dar clases al tiempo que obtenía su doctorado, en 1936.
Pero la Guerra Civil y la amistad con Julio Rey Pastor, uno de los más importantes matemáti-
cos españoles, alejarían a Santaló de sus modestos sueños.
Con una ayudita de los amigos
Rey Pastor era, en muchos sentidos, la imagen opuesta de Santaló: extrovertido, polémico y
viajante empedernido. Rey Pastor era un matemático itinerante que todos los años pasaba por
los principales centros de producción matemática de Alemania e Italia para llevar las noveda-
des científicas a España y a un país que había adoptado como segunda patria: Argentina.
(*) Universidad Nacional de Buenos Aires (Argentina). [artículo extraido de Internet].

En conferencias de actualización matemática brindadas en la Universidad de Madrid, Rey
Pastor conoció a Santaló y no tardó en advertir su talento. "Santaló: firme esta solicitud y
váyase para Alemania. Si Ud. se queda aquí va a ser profesor de enseñanza media toda la
vida", sentenció Rey Pastor, y Santaló comprendió que la oferta no tenía nada de improvisado.
Rey Pastor ya había gestionado por su cuenta una beca para que Santaló se trasladase a
Alemania donde trabajaría bajo la dirección de Wilhelm Blaschke, quien estaba trazando nue-
vos surcos en la milenaria geometría.
El buen ojo de Rey Pastor le permitió a Santaló encontrar un terreno fértil en la Universidad
de Hamburgo donde comenzó a ganarse un lugar en la historia de las ciencias como uno de
los fundadores de la llamada geometría integral. Varios años después, cuando Santaló publica
Integral Geometry and Geometric probability, un texto que aún hoy en día aparece frecuen-
temente entre las referencias bibliográficas de la especialidad, Mark Kag, otro de los grandes
geómetras del siglo XX dirá sobre el matemático gerundense: "Por muchos años, líder indis-
cutido en el campo de la geometría integral".
Pero por aquellos años Europa marchaba inevitablemente hacia un nuevo conflicto armado,
que tenía en España su ensayo preliminar y del cual participa Santaló cuando abandona
Alemania y se enlista en las fuerzas republicanas. "Cambió radicalmente mi vida -recordaba
Santaló muchos años después-. Estuve dos o tres años en la guerra civil, tuve que actuar allí
bajo el arma de aviación. Salí bien, pero con todos los traumas con que uno queda después
de una situación así, sobretodo cuando es derrotado..." La rendición de las fuerzas republica-
nas no terminaría con la pesadilla del matemático, que pudo cruzar la frontera dando con los
huesos en un campo de concentración francés. Elie Cartan, un destacadísimo miembro de la
comunidad matemática francesa, que unos años después pasaría por los campos de concen-
tración del nazismo, tramitó la liberación de Santaló y allí apareció nuevamente don Julio Rey
Pastor, quien ya tenía todo arreglado para instalar al recién liberado en la Argentina.
Muy lejos de casa
Cuando el barco que lo sacaba de Europa pasó por las costas portuguesas se enteró que la
guerra se había desatado en todo el continente, pero Santaló trataba de imaginar cual sería su
futuro. Rey Pastor lo había puesto en contacto con la matemática de primera línea y ahora lo
esperaba con una plaza universitaria en un extremo del continente americano, lejos de la gue-
rra, en Argentina, más exactamente en la Ciudad de Rosario. "Puedo decir que soy rosarino,
si bien estuve más tiempo en Buenos Aires que en Rosario. Los primeros diez años, los que
impactan por las novedades y por todo lo que se extraña, los pasé en Rosario", rememoraba
Santaló recordando a la ciudad donde conoció a su esposa y donde nacieron sus tres hijas.
De aquellos días quedaron imágenes frescas: "Después de las penurias de la guerra, donde el
primer problema era conseguir comida, iba al mercado para ver las cosas baratas que se
podían comer. Creo que en esa época nadie se moría de hambre en las ciudades", recordaba.
En Rosario, Santaló materializó trascendentales ideas de la geometría integral en un instituto
dirigido por otro exiliado, el italiano Beppo Levi.
Unos años después la guerra terminó y la fama del geómetra catalán, rosarino por adopción,
llegó hasta la nueva Meca del mundo científico: el centro de Estudios Avanzados de Princeton,
una nueva Alejandría creada para albergar a los científicos europeos que habían escapado del
nazismo. Luego de ganar el premio instituido por la Fundación Guggenheim, Santaló pasó un
período en Princeton, que por entonces albergaba a personajes de la talla del físico Albert
Einstein, el multifacético John Von Newman y el lógico Godel.
D. Carlos Borches

Fue su consagración internacional, pero si en su momento Alemania fue un lugar de tránsito,
ahora lo serían los Estados Unidos. "En esa época a ninguno de nosotros se nos ocurría que-
darnos en el exterior, sentíamos que nuestro deber era volver, que aquí había muchas cosas
importantes para hacer", aclara Scarfiello, maestro de matemática. Probablemente, si Santaló
hubiera sido sólo uno de los geómetras más importantes del siglo XX no hubiese tenido el
reconocimiento social que alcanzó en nuestro país. Si sus aportes hubiesen sido exclusiva-
mente dentro del área de la Geometría integral, no habría podido generar respeto más allá de
los círculos de especialistas.
Pero hubo un momento en el que Santaló destinó parte de sus energías -cosa no muy común
entre los científicos- a los problemas relacionados con la enseñanza de las matemáticas.
Comenzó a viajar por las provincias argentinas vinculándose con los docentes de las escuelas
medias. Dictaba conferencias, escribía artículos, brindaba cursos de actualización allí donde
un grupo de profesores demandara su presencia.
El tiempo hace lo suyo. Santaló tuvo que suspender sus conferencias y sus periódicas visitas a
la Facultad de Ciencias Exactas de la UBA y los últimos años los pasó bajo el cuidado de su
familia. A nosotros nos quedan esas imagenes, la del conferenciante, la del maestro, la del geó-
metra "puro", que por estos días repetimos aquellos quienes tuvimos el privilegio de conocerlo.
Luis A. Santaló. El último geométra clásico
LUIS A. SANTALÓ (1911-2001)
El pasado 22 de noviembre de 2001 , en Buenos Aires, murió D. Luis Antonio Santaló.
Nacido el 9 de octubre de 1911 en Gerona, se licenció en Ciencias Matemáticas por la Universidad
de Madrid, en 1934. Animado por el ilustre matemático riojano D. Julio Rey Pastor, se traslada a
Hamburgo (Alemania) a completar su formación. Bajo la dirección de su maestro Wilhem Blaschke
crea la Geometría Integral que le ha proporcionado fama mundial en el campo de las Matemáticas. En
1936 consigue el grado de Doctor en Ciencias Exactas por la Universidad de Madrid.
Durante la Guerra Civil española se sitúa en el bando republicano: ello marcará su vida pues acabada
la contienda, Rey Pastor, que llevaba años instalado en Argentina, le ofrece trabajo en la ciudad de
Rosario (provincia de Santa Fe) y allá acude para convertirse, con el paso de los años, en ciudadano
argentino. En esa ciudad conoce a la que ha sido su esposa, Hilda Rossi con la que tuvo tres hijas.
Ha participado en numerosos congresos internacionales y publicado más de ciento cincuenta artícu-
los en revistas de distintos países y varios libros (geometría integral, geometría estadística y estereolo-
gía), producto de sus investigaciones en lo que fue su especialidad: la geometría. La estereología se
aplica en la tomografía axial computereizada, medio principal de diagnóstico de determinadas enfer-
medades, por lo que las investigaciones de Santaló trascienden los límites matemáticos y constituyen
un valioso aporte a la medicina.
Son numerosos los premios y distinciones de los que ha sido objeto. Merecen especial mención el pre-
mio Príncipe de Asturias de Investigación Científica y Tecnológica (1983), y distinciones como
Presidente de la Academia de Ciencias Exactas y Naturales y el doctorado Honoris Causa por las uni-
versidades, Politécnica de Barcelona (1977), Autónoma de Barcelona (1986) y Sevilla (1990).
A su ingente y destacada labor como investigador matemático hay que añadir el trabajo realizado en
torno a la enseñanza de las matemáticas en los niveles no universitarios. Santaló es un referente obli-
gado en toda transformación educativa en el área matemática.
El pasado día 17 de octubre de 2001, la Sociedad Argentina de Educación Matemática, que preside la
profesora Nelly Vázquez de Tapia, colaboradora incansable de Santaló, le rindió un multitudinario
homenaje que puso de manifiesto el enorme respeto y admiración que la comunidad matemática inter-
nacional, no sólo la argentina, siente por él. En la Revista Números, (43-44) de la Sociedad Isaac
Newton, la Profesora Tapia escribió: "Por su hombría de bien, su trato afable y gentil y su generosidad,
Santaló es el matemático más reconocido, respetado y querido de Argentina"
Descanse en paz El profesor Luis A. Santaló
reseña extraida de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas

SECCIONES CÓNICAS
Raúl Ibáñez Torres (*)
A los matemáticos se nos ha acusado contínuamente de estudiar cosas sólo para divertirnos,
aunque en principio parezcan carentes de toda utilidad. Sin embargo, a pesar de que en oca-
siones esta acusación pueda estar bien fundamentada, el tiempo ha ido probando que esos
estudios finalmente han tenido un enorme valor científico. Un interesante ejemplo de este
hecho lo encontramos en las secciones cónicas, entendiendo por este término la elipse, la
parábola y la hipérbola.
Parece ser que fue Menecmo (375-325 a.c.) quien descubrió las secciones cónicas (elipse,
parábola e hipérbola) tratando de resolver los tres famosos problemas de la matemática griega,
la trisección de un ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo. Las secciones
cónicas fueron originalmente definidas como la intersección de un cono circular recto (un
cono circular es una superficie generada por las rectas que pasan por una circunferencia dada
y un punto fijo, llamado vértice, que no está en el plano de la circunferencia; si además, la
línea que une el vértice del cono con el centro de la circunferencia es perpendicular al plano
de la circunferencia, se dice que el cono circular es recto) de ángulo variable (el ángulo del
cono es el ángulo formado entre dos rectas generadoras que están en un mismo plano que
pasa por el vértice y el centro de la circunferencia) y un plano perpendicular a una de las rec-
tas generadoras del cono, que no pase por su vértice. Dependiendo de que el ángulo sea
menor, igual o mayor que un ángulo recto, obtenemos la elipse, la parábola, la hipérbola, res-
pectivamente (figura 1). De hecho, los nombres que adquirieron entonces no eran mas que
descripciones triviales de su definición: secciones de un cono agudo (oxitoma), secciones de
un cono rectángulo (ortotoma) y secciones de un cono obtuso (amblitoma).
Figura 1: Elipse (agudo), Parábola (recto), HIpérbola (obtuso).
Apolonio de Perga (262-190 a.c.), conocido con el sobrenombre de el gran geómetra, fue
quien consolidó y extendió los resultados conocidos sobre cónicas en un tratado titulado
Secciones cónicas, formado por 8 libros y con 487 proposiciones. Apolonio fue el primero en
observar y demostrar que los tres tipos de secciones cónicas (elipse, parábola e hipérbola)
podían obtenerse como secciones de un mismo cono circular recto (e incluso de un cono cir-
cular no recto) sin más que cambiar la posición del plano que genera la sección.
(*) Profesor de la Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea. [traducción al euskera realizada por D. Jesús Artaraz].
Secciones Cónicas - Raúl Ibáñez Torres

Raúl Ibáñez Torres - Kono-Formako Sekzioak
KONO-FORMAKO SEKZIOAK
Raul Ibañez Torres (*)
Matematikarioi beti leporatu digute dibertitzeko gauzak bakarrik ikertzen ditugula, nahiz eta
erabilerarako baliagarriak ez direla ematen duten. Baina, nahiz eta sarritan akusazio hau ondo
oinarriturik dagoen, denborak frogatu du ikerketok azkenean balio izugarria izan dutela.
Adibide interesgarria kono-formako sekzioetan aurkitzen dugu; hau da, elipsean, parabolan eta
hiperbolan.
Badirudi kono-formako sekzioak deskubritu zituena Menecmo ( k.a. 375-325 ) izan zela, gre-
ziar matematikaren hiru problema ospetsu ebazten saiatuz: angelu baten trisekzioa, kuboaren
bikoizketa eta zirkuluaren koadratura. Kono-formako sekzioak hasieran honela definitu ziren:
angelu aldakorreko zirkulu-formako kono zuzenaren eta konoaren zuzen sortzaile baten plano
elkarzutaren arteko ebaketa. Zirkulu-formako konoa,zirkuferentzia eta emandako puntu finko
batetik pasatzen diren zuzenek sortutako azalera da: honi erpina deitzen zaio eta ez dago zir-
kunferentziaren planoan kokatua; honez gain, konoaren erpina zirkunferentziaren erdiko pun-
tuarekin lotzen duen lerroa zirkunferentziaren planoarekiko elkarzuta baldin bada, zirkulu-for-
mako konoa zuzena dela esaten da. Angelua, angelu zuzenaz alderatuz txikiagoa, berdina
edo handiagoa den ala ez kontuan izanik, elipsea, parabola edo hiperbola lortzen da (1. iru-
dia). Egia esan, orduan jaso zituzten izenak bere definizioaren deskripzio hutsalak besterik ez
ziren: kono zorrotzaren sekzioak (oxitoma), kono angeluzuzenaren sekzioak (ortotoma) eta
kono kamutsaren sekzioak (amblitoma)
1.irudia: Elipsea (zorrotza), Parabola (zuzena), Hiperbola (kamutsa)
Pergako Apolonio ( k.a. 262-190 ) geometrilari nagusia goitizenez ezagutzen dena izan zen
kono-formakoen gainean emaitzak hedatu eta sendotu zituena, kono-formako sekzioak izen-
burua zuen tratatuan: 8 liburuz eta 487 proposizioz osatua. Apolonio izan zen lehenengoa
kono-formako hiru sekzio mota ( elipsea, parabola eta hiperbola ), zirkulu-formako kono zuzen
baten sekzio bezala atera zitezkeela behatu eta frogatu zuena, sekzioa sortzen duen planoaren
posizioa aldatuz bakarrik (eta baita zirkulu-formako kono ez zuzen batetik atera zitezkeela.
(*) Profesor de la Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea. [traducción al euskera realizada por D. Jesús Artaraz].

Figura 2
Los geómetras griegos llamaban a estas curvas lugares sólidos, por estar definidas a partir de
objetos sólidos (mientras que las rectas y las circunferencias recibían el nombre de lugares pla-
nos). Apolonio en su tratado dedujo una propiedad plana fundamental de las secciónes cóni-
cas (que probablemente ya conocía Menecmo) y desde ese momento pudo estudiarlas como
curvas planas (en [2,3] pueden verse qué resultados obtuvo Apolonio en su tratado). A conti-
nuación, vamos a mostrar la prueba dada en Secciones cónicas para el caso de la elipse (Libro
I, Proposición 13): sea un cono circular (oblicuo), como el de la figura 3, con vértice A y con-
sideremos P un punto sobre una sección plana que corta a todas las generatrices del cono y
no es paralela a la base (nuestra elipse). Tracemos por P un plano paralelo a la base, que cor-
tará al cono en una circunferencia y que su intersección con el plano que define a la elipse
es un segmento que pasa por P y otro punto de la elipse y de la circunferencia. Sea M el punto
medio entre esos dos puntos y consideremos DE el diámetro de la circunferencia que pasa por
M. Ahora tomamos la sección triangular del cono que pasa por el vértice A y el diámetro DE,
dando lugar así a los puntos H, K sobre la elipse y al diámetro BC sobre la circunferencia de
la base. Prolonguemos los segmentos HK y BC hasta que se corten en un punto G.
Figura 3 Figura 4
Entonces, por semejanza de los triángulos HDM y HBG, tenemos
= ,
y de la semejanza de los triángulos MEK y KCG,
= ,
A
B
D
B
C
P
DM BG
HM HG
ME CG
MK KG

2. irudia
Geometrilari greziarrek kurba hauei toki solidoak deitu zieten, objetu solidoetatik sortuak bait-
ziren. Zuzenek eta zirkunferentziek, ordea, toki lauak izena hartu zuten. Apoloniok bere tra-
tatuan kono-formako sekzioen funtsezko propietate laua ondorioztatu zuen (agian
Menecmorentzat ezaguna zena) eta une horretatik aurrera kurba lau bezala iker zitzakeen
([2,3]an ikus daiteke zeintzu emaitza lortu zituen Apoloniok bere tratatuan). Ondoren, kono-
formako sekzioak tratatuan elipserako emandako froga erakutsiko dugu (I Liburua, 13.
Proposizioa): Izan bedi 3. irudiko zirkulu-formako konoa (zeiharra), A erpina delarik eta P sek-
zio lau baten gaineko puntua, konoaren sortzaile guztiak mozten dituena eta oinarriarekiko
paraleloa ez dena (gure elipsea). P-tik oinarriarekiko paraleloa den planoa marraz dezagun,
konoa zirkunferentzian moztuko duena eta elipsea definitzen duen planoarekiko ebaketa
P-tik, elipseko beste puntu batetik eta zirkuferentziatik pasatzen den segmentua delarik. Izan
bedi M bi puntuotako erdiko puntua eta DE, M-tik pasatzen den zirkunferentziaren diametroa.
Orain A erpinetik eta DE diametrotik pasatzen den konoaren triangelu-formako sekzioa hart-
zen dugu. Honela zera lortzen dugu: H eta K puntuak elipsearen gainean daudenak eta oina-
rriko zirkunferentziaren gainean dagoen BC diametroa. Luza ditzagun HK eta BC segmentuak
G puntuan mozten diren arte.
3. irudia 4. irudia
Orduan, HDM eta HBG triangeluen antzekotasunagatik, ondoko hau daukagu:
= ,
eta MEK eta KCG triangeluen antzekotasunagatik, ondorengoa:
= ,
A
B
D
B
C
P
DM BG
HM HG
ME CG
MK KG

Por otra parte, haciendo uso de una propiedad de la circunferencia ya obtenida por los geóme-
tras griegos, que dice si dos rectas se intersecan en un punto y a la vez se intersecan con una
circunferencia dada, entonces el producto de los segmentos determinado por el punto en una
de las rectas es igual al producto de los segmentos de la otra (en la figura 4, PA · PB = PC · PD),
tenemos que
PM2 = DM · ME,
luego,
PM2 = · = HM · (HK - HM) · .
Si llamamos PM = y, HM = x, a los valores que varían con P, y HK = 2a, k = BG · CG/HG · KG,
a los que permanecen constantes, entonces la igualdad anterior se traduce en la ecuación
y 2
= kx (2a - x) ,
que es la ecuación de una elipse con HK como su eje mayor. De manera análoga obtiene
Apolonio que para la hipérbola, y 2
= kx (2a + x), mientras que un argumento similar lleva a
la parábola a una expresión del tipo y 2
= lx.
Los nombres de las secciones cónicas que hoy conocemos y utilizamos fueron tomados por
Apolonio de la terminología pitagórica para la solución de ecuaciones cuadráticas por el
método de la aplicación de áreas. Ellipsis, que significa una deficiencia, se usaba cuando un
rectángulo dado debía aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado.
Hyperbola que significa "avanzar más allá", se tomó para el caso que el área excedía del seg-
mento dado y por último Parábola significa "colocar al lado" o "comparar", y se utilizaba
cuando no había deficiencia ni exceso. Su consideración para dar nombre a las secciones
cónicas se debe a las ecuaciones de la elipse, la parábola y la hipérbola,
y 2
= lx - , y 2
= lx , y 2
= lx + .
Observemos que los términos elipsis, parábola e hipérbole son palabras de nuestro dicciona-
rio, cuyo significado se deriva del anteriormente descrito.
Aunque posiblemente Apolonio y Euclides ya conocían las propiedades focales de las cóni-
cas, es el libro Colección Matemática de Pappus de Alejandría (290-350 d.c.) el que recoge
el primer tratamiento de las propiedades foco-directriz de las tres secciones cónicas.
Recordemos que: i) la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de dis-
tancias a dos puntos fijos (focos) es constante; ii) la parábola es el lugar geométrico de los pun-
tos del plano que equidistan de un punto fijo (foco), y de una recta fija (directriz); iii) la hipér-
bola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos pun-
tos fijos (focos) es constante.
Después de un exhaustivo estudio geométrico de las secciones cónicas por parte de la mate-
mática griega, éstas permanecieron olvidadas hasta el renacimiento, al igual que otras muchas
actividades intelectuales. Entonces, los científicos del renacimiento se preocuparon no sólo de
estudiar las secciones cónicas, sino de útilizarlas para resolver problemas prácticos. Galileo
(1564-1642) observó que la trayectoria de un proyectil es una parábola, mientras que Kepler
(1571-1630) y Newton (1643-1727) mostraron que las órbitas de los planetas eran elipses con
el sol en uno de sus focos. Estos importantes descubrimientos, junto al inicio de la geometría
en coordenadas y de la geometría descriptiva, volvieron a poner a las secciones cónicas en un
lugar destacado de la ciencia, y de la vida real, por sus importantes aplicaciones.
b2
x2
a2
b2
x2
a2
HM · BG
HG
MK · CG
KG
BG · CG
HG · KG

Bestalde, geometrilari greziarrek aurkitutako zirkunferentziaren propietate bat erabiltzen bal-
din badugu, honako hau dakigu: bi zuzen elkar mozten badira puntu batean eta era berean
emandako zirkunferentzia batekin elkar mozten badira, orduan puntuak zuzenean sortutako
segmentuen biderkadura beste zuzenaren segmentuen biderkaduraren berdina da (4. irudian,
PA · PB = PC · PD)
PM2 = DM · ME,
Beraz,
PM2 = · = HM · (HK - HM) · .
P-rekin aldatzen diren balioei PM = y eta HM = x deitzen badiegu eta
HK = 2a, k = BG · CG / HG · KG, konstante mantentzen direnei, orduan aurreko berdinketa
hurrengo ekuazioa bilakatzen da:
y 2
= kx (2a - x) ,
elipse baten ekuazioa delarik, HK ardatz nagusia duena. Antzekotasunaz Apoloniok hiperbo-
larentzat y 2
= kx (2a + x) ateratzen du, eta era bereko argudioak parabolarako hurrengo adie-
razpena ematen dio y 2
= lx.
Gaur ezagutu eta erabiltzen ditugun kono-formako sekzioen izenak Apoloniok Pitagorasen
azaleren aplikazio- metodoz ekuazio kuadratikoak ebazteko terminologiatik jaso zituen.
Ellipsis hitza, hutsune esanahia duena, laukizuzen bat emandako segmentu bati aplikatu behar
zitzaionean eta karratu baten eskasa zenean erabiltzen zen. Hiperbola hitzak “ harantzago
aurrera egin “ esan nahi duena, emandako segmentua gainditzen zuen azalerarako hartu zen
eta azkenik Parabola hitzak “ aldamenean jarri “ edo “ alderatu “ esan nahi duena, gabezia-
rik ezta gainditzerik ez zegoenean erabiltzen zen. Kono-formako sekzioei izena emateko kon-
tsiderazioa elipse, parabola eta hiperbolaren ekuazioei dagokie.
y 2
= lx - , y 2
= lx , y 2
= lx + .
Ikus dezagun elipsis, parabola eta hiperbole hitzak gure hiztegikoak direla baina bere esanahia
lehentxeago adierazitakoarekin ez datorrela bat.
Apoloniok eta Euclidesek agian konikoen foku-propietateak ezagutzen zituzten arren,
Alejandriako Pappus-en Matematika Bilduma (k.o. 290-350) liburua da hiru sekzio konikoen
foku-zuzentzaile propietateen lehendabiziko tratamendua biltzen duena. Gogora dezagun:
i) elipsea planoko puntuen toki geometrikoa da, non bi puntu finkora (fokuak) dagoen dis-
tantzien batura konstantea den; ii) parabola planoko puntuen toki geometrikoa da, non puntu
finko batetik (fokua) eta zuzen finko batetik (zuzentzailea) puntu horietara dagoen distantzia
berdina den. Iii) hiperbola planoko puntuen toki geometrikoa da, non bi puntu finkora (fokuak)
dagoen distantzien kendura konstantea den.
Greziar matematikak kono-formako sekzioen gaineko ikerketa geometriko sakonaren ondo-
ren, ikerketok Berpizkundera arte ahaztuta egon ziren, beste ekintza intelektual asko beza-
laxe. Orduan Berpizkundeko zientzilariek kono-formako sekzioak ikertuz gain problema prak-
tikoak ebazteko erabili zituzten. Galileok (1564-1642) jaurtigai baten ibilbidea parabolikoa
zela behatu zuen, eta Keplerrek (1571-1630) eta Newtonek (1643-1727) erakutsi zuten pla-
neten orbitak elipseak zirela eguzkia bere fokuetako baten zegoelarik. Aurkikuntza garran-
tzitsu hauek, koordenatuen bitartez geometriaren hasiera eta geometria deskribatzailearekin
batera, kono-formako sekzioak zientziaren eta bizitza errealaren toki nabarmenean berriz jarri
zituzten, bere aplikazio garrantzitsuei esker.
b2
x2
a2
b2
x2
a2
HM · BG
HG
MK · CG
KG
BG · CG
HG · KG

Finalmente, destacar que en 1825 G.P. Dandelin (1794-1847) dio una prueba de singular
belleza del hecho de que las secciones de un cono circular recto son la elipse, la parábola y
la hipérbola, entendidas éstas como curvas planas. Demostró que los puntos de contacto de
las esferas inscritas en dicho cono, cuando sean a la vez tangentes al plano que contiene a
dicha sección cónica, son los focos de la sección cónica. Veamos la prueba, de nuevo para el
caso de la elipse (figura 5): sea V el vértice del cono, F1 y F2 los puntos de contacto de las esfe-
ras con el plano que define la sección cónica, C1, C2 las dos circunferencias de contacto de
las esferas con el cono, P un punto de la sección cónica considerada y Q1, Q2 los puntos de
corte de la recta que une a P y V con las circunferencias C1, C2, respectivamente.
Figura 5
En primer lugar, tenemos que la recta PV es tangente a las esferas en los puntos Q1 y Q2, mien-
tras que los segmentos PF1 y PF2 son tangentes a las esferas en los puntos de contacto F1 y F2.
Ahora, teniendo en cuenta que la distancia de un punto exterior a una esfera a cualquiera de
los puntos de contacto de las rectas tangentes a la esfera que pasan por el punto es constante,
obtenemos que
PF1 = PQ1, PF2 = PQ2 ,
y simplemente sumando,
PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2 = Q1 Q2 ,
pero al variar P, la cantidad Q1 Q2 permanece constante.
EXPERIMENTO: obtener las secciones cónicas como las sombras de una pelota al ser ilumi-
nada por una linterna contra la pared.
APLICACIÓN: una de las primeras situaciones donde encontramos las secciones cónicas es la
descrita por Kepler y Newton, como las órbitas de los planetas u otros cuerpos en el espacio.
En general, las secciones cónicas son las órbitas de una partícula moviéndose en un campo
de fuerzas gravitatorio.
A continuación, describiremos algunos métodos para obtener cada una de estas curvas, desde
construcciones en papel hasta mecanismos articulados. También mostraremos importantes
aplicaciones de sus propiedades geométricas a diferentes situaciones de la vida cotidiana.
C1
V
Q1
C2
Q2
F1

Azkenik, 1825. urtean G.P. Dandelinek ( 1794-1847 ) froga polita erakutsi zuen, zirkulu-for-
mako kono zuzenaren sekzioak elipsea, parabola eta hiperbola, kurba lau bezala ulertuz.
Ondoko hau frogatu zuen: konoaren barnean dauden esferetako ukipen-puntuak eta esfera
horiek kono-formako sekzio hori dagoen planoarekiko tangenteak direnean, kono-formako
sekzioaren fokuak dira. Ikus dezagun proba, elipsearen kasuan ( 5. irudia ): Izan bitez V kono-
aren erpina, F1 eta F2 kono-formako sekzioa definitzen duen planoaren eta esferen arteko
ukitze-puntuak, C1 eta C2 ukitze-zirkunferentziak esferen eta konoaren artean, P kono-formako
sekzioan kokaturiko puntua eta Q1 , Q2 , P eta V, C1 eta C2 zirkunferentziekin lotzen dituen
zuzenaren ebakitze-puntuak, hurrenez hurren.
5. irudia
Lehendabizi zera daukagu: PV zuzena esferekiko tangentea da Q1 eta Q2 puntuetan eta PF1,
PF2 segmentuak esferei tangenteak dira F1, F2 ukitze-puntuetan. Orain, esferarekiko kanpoko
puntu batetik, puntu horretatik pasatzen diren esferarekiko ukitzaile-zuzenen ukitze-puntue-
tara dagoen distantzia, konstantea dela jakinik, hurrengoa ateratzen dugu:
PF1 = PQ1, PF2 = PQ2 ,
eta batuketa eginez:
PF1 + PF2 = PQ1 + PQ2 = Q1 Q2 ,
baina P aldatuz, Q1 Q2 kopurua konstante mantentzen da.
ESPERIMENTUA: pilota bat linternaz hormaren kontra argiztatuz lortzen diren itzalak beza-
lako kono-formako sekzioak eskuratu.
APLIKAZIOA: kono-formako sekzioak aurkitzen ditugun lehendabiziko egoeretako bat
Keplerrek eta Newtonek deskribaturikoan ikusten dugu, planeten orbitak edo beste gorputzak
espazioan ikertzen dituztenean. Oro har, kono-formako sekzioak indar-eremu grabitatorioan
mugitzen den partikulak sortutako orbitak dira.
Ondoren, kurba hauetako bakoitza lortzeko metodo batzuk deskribatuko ditugu, hala nola
paperean eraikuntzak edo artikulatutako mekanismoak. Eta eguneroko bizitzako egoera des-
berdinetara egokitutako geometri-propietateen aplikazioak erakutsiko ditugu.
C1
V
Q1
C2
Q2
F1

ELIPSE
• CONSTRUCCIÓN CON CLAVOS, CUERDA Y LÁPIZ
La definición de la elipse como lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de dis-
tancias a los focos es constante, nos permite dar un método sencillo y práctico, con clavos,
cuerda y lápiz (o materiales similares), para su trazado (véase la figura 6).
Figura 6 Figura 7
En las aulas los maestros utilizan este método para dibujar elipses en la pizarra. Otro ejemplo
lo podríamos encontrar en un jardinero que para ensalzar aún más la belleza de las flores de
un jardín, desea separar las de diferentes tipos o colores con ayuda de figuras geométricas, por
ejemplo la elipse, entonces este método le permitirá fácilmente dibujar en el suelo del jardín
la elipse deseada.
• ELIPSÓGRAFO DE ARTOBOLEVSKII
La misma propiedad plana nos explica el funcionamiento del elipsógrafo de palancas y colisa
de Artobolevskii (figura 7) [1,5]. Éste está formado por un paralelogramo cruzado ABCD tal
que A y B son puntos fijos, los focos de la elipse a trazar, mientras que C y D son móviles y
todos ellos son articulaciones. Consta de cuatro elementos, el segmento AB que es fijo e igual
al segmento CD, mientras que los segmentos AC y BD son también iguales. Estos dos últimos
elementos se cruzan en el trazador T que consta de una doble corredera articulada. Como
AB = DC y AC = DB, los triángulos ACD y DBA tendrán las mismas longitudes de sus lados y
comparten el lado DA, por lo tanto, los ángulos ACD y DBA son iguales. En consecuencia, los
triángulos CDT y BAT tienen sus lados y ángulos iguales, y en particular, BT = TC. Luego,
AT + TB = AT + TC = AC = constante.
Las ranuras del mecanismo nos sirven para dibujar diferentes elipses, variando B variamos la
distancia focal AB y variando C y D variamos la constante AT + TB, haciendo que la elipse
esté más o menos aplastada.
• CONSTRUCCIÓN EN PAPEL
Podemos también construir elipses haciendo pliegues sobre una hoja de papel [4]. Dibujamos
una circunferencia con centro C sobre una hoja de papel y marcamos un punto S distinto del
Articulación 3Articulación 3
Elemento 4
D
C
F’=BF=A
T
Ranura 3
Articulación 4
Ranura 4
Corredera Articulada
Elemento 2
Articulación 2=F
Ranura 1
P
S S’
Ranura 2
Elemento 3
Articulación 1=F
Elemento 1
Trazador
‘

ELIPSEA
• ERAIKUNTZAK ILTZE, KORDA ETA ARKATZEKIN
Elipsearen definizioa hauxe da: planoko puntuen toki geometrikoa, puntuotatik fokuetarako distant-
zien batura kostantea dena. Definizioan oinarriturik, metodo erraz eta praktikoa eman dezakegu il
tzez, kordaz eta arkatzez baliatuz (edo antzeko materialekin) bere trazadurarako (ikus 6. irudia)
6. irudia 7. irudia
Irakasleek ikasgeletan metodo hau arbelean elipseak marrazteko erabiltzen dute. Beste adi-
bide bat lorazainaren lanean aurki dezakegu, lorategiko loreen edertasuna gehiago goratzeko
zera egiten duenean: mota edo kolore desberdinetako loreak irudi geometrikoen bidez bereizi
nahi ditu, adibidez elipsea. Metodo honekin elipsea lurrean marraztea errazago egingo zaio.
• ARTOBOLEVSKII-ren ELIPSOGRAFOA
Propietate lau berberak Artobolevskii-ren kolisa eta palankazko elipsografoaren funtziona-
mendua azaltzen digu (7. irudia) [1,5]. Hau honela eratuta dago: gurutzatutako paralelogra-
moa (ABCD), A eta B puntu finkoak marraztuko den elipsearen fokuak izango dira. C eta D
mugikorrak dira eta hauek guztiak artikulaguneak dira. Lau elementuz osatua dago: AB seg-
mentua finkoa eta CD segmentuaren berdina dena; AC eta BD segmentuak ere elkar berdinak
dira. Azken bi elementuok T trazatzailean gurutzatzen dira (trazatzaile honek artikulaturiko
irristatzaile bikoitza du). AB = DC eta AC = DB izanik, ACD eta DBA triangeluek bere aldeei
dagokienez luzera berekoak izango dira eta DA aldea partekatzen dute, beraz, ACD eta DBA
angeluak berdinak dira. Ondorioz, CDT eta BAT triangeluek alde eta angelu berdinak dituzte,
eta bereziki, BT = TC. Orduan,
AT + TB = AT + TC = AC = konstantea
Mekanismoaren zirrikituak elipse desberdinak marrazteko baliagarriak zaizkigu, B aldatuz AB
foku-distantzia aldatzen dugu eta C eta D aldatuz gero AT + TB kostantea aldatzea lortzen
dugu, elipsearen forma zapalduagoa edo biribilagoa eginaraziz.
• ERAIKUNTZA PAPEREAN
Paperezko orrian tolesdurak eginez ere elipseak eraiki ditzakegu (4). Orrian zirkunferentzia
marraztuko dugu, C erdiko puntua delarik eta S puntua markatuko dugu ( hau erdiko puntuaren
Artikulazioa 3
Elementua 4
D
C
F’=BF=A
T
Zirrikitua 3
Artikulazioa 4
Zirrikitua 4
Artikulatutako irristatzailea
Elementua 2
Artikulazioa 2=F
Zirrikitua 1
P
S S’
Zirrikitua 2
Elementua 3
Artikulazioa=F
Elementua 1
Trazatzailea
‘

centro. Elegimos un punto Q sobre la circunferencia y doblamos el papel de manera que una-
mos el punto Q con el punto S, como indica la figura 8. Si vamos desplazando, poco a poco,
el punto Q a lo largo de la circunferencia y haciendo pliegues como el descrito, obtendremos
una elipse. La justificación de este método está en la descripción de la elipse como la envol-
vente de una familia de rectas, es decir, la curva tiene como tangentes la familia de rectas
dada. Trazamos una circunferencia con centro C y elegimos un punto S en uno de los diáme-
tros de la circunferencia, distinto del centro. Para cualquier punto Q sobre la circunferencia,
consideramos la recta que pasa por Q y es perpendicular a SQ (véase la figura 9). La elipse es
entonces la envolvente de esta familia de rectas. S es uno de los focos de la elipse y si la per-
pendicular a QS que pasa por Q vuelve a cortar a la circunferencia en otro punto R y traza-
mos la perpendicular a QR por R, ésta corta al diámetro en un punto fijo S', que es el otro foco
de la elipse. Volviendo a nuestra construcción en papel, la elipse resultante es la obtenida
como envolvente a partir de la circunferencia con radio la mitad de la circunferencia inicial y
de centro C', el punto medio de S y C (véase la figura 8).
Figura 8 Figura 9
• COMPÁS DE ARQUÍMEDES
La elipse puede obtenerse como la trayectoria de un punto fijo sobre un segmento de longi-
tud constante, de tal forma que los extremos se deslizan libremente sobre dos líneas mutua-
mente ortogonales (uno sube y baja, el otro se mueve a derecha e izquierda, como muestra la
figura 10). Debajo de esta construcción tenemos que la elipse se puede parametrizar como (a
cos␪, b sen␪), donde a es la distancia del punto a un extremo del segmento y b al otro. El com-
pás de Arquímedes es un sencillo y útil trazador de elipses. Cuando hablamos de mecanismos
para dibujar secciones cónicas estamos englobando situaciones más generales, como por
ejemplo, el diseño de cutters. Una aplicación directa es la fabricación de portarretratos elíp-
ticos.
Figura 10
Q
Q
U
Q ’
W
RT
A S C S ’ A ’
S C ’
doblez
C

desberdina da). Zirkunferentzian Q puntua hautatu eta papera tolestuko dugu Q eta S puntuak
elkarrekin lotuz, 8. irudian ikus daitekeen bezala. Q puntua zirkunferentzian zehar piskanaka
desplazatuz baldin bagoaz eta aipaturiko tolesdurak egiten baditugu elipsea lortuko dugu.
Metodo honen justifikazioa elipsearen ondoko deskripzioan daukagu: zuzen-talde baten ingu-
ratzailea da, hau da, kurbak tangente bezala, emandako zuzen-taldea du. Zirkunferentzia
marraztuko dugu C erdiko puntua delarik eta zirkunferentziaren diametroetako baten S pun-
tua (erdikoaren desberdina) aukeratuko dugu. Zirkunferentziako edozein Q punturako, Q-tik
pasatzen den zuzena kontsideratuko dugu, SQ-rekiko elkarzuta dena (ikus 9. irudia). Elipsea
zuzen-talde honen inguratzailea da. S elipsearen fokuetako bat da eta QS-rekiko elkarzutak,
Q-tik pasatzen denak, berriz zirkunferentzia beste puntuan (R) mozten baldin badu eta R-tik
QR-rekiko elkarzuta marrazten baldin badugu, honek diametroa S’ puntu finkoan moztuko du.
Puntu hau elipsearen beste fokua litzateke. Berriro gure paperezko eraikuntzara bueltatuz,
elipse erresultantea ondorengoa litzateke: zirkunferentziaren inguratzailearen ondorioz lortua,
erradioa hasierako zirkunferentziaren erdia delarik eta C’ erdiko puntua, S eta C-ren erdiko
puntua izanik (ikus 8. irudia).
8. irudia 9. irudia
• ARQUIMEDES - en KONPASA
Elipsea era honetan atera daiteke: puntu finkoak luzera konstantea duen segmentuaren gain
egiten duen ibilbidea, muturrak elkar ortogonalak diren bi lerroen gainetik libreki irristatzen
direlarik (bata igo eta jaisten da, bestea ezkerrera eta eskuinera mugitzen da, 10. irudian ikusi
bezala). Eraikuntza honen azpian, elipsea era honetara parametriza daiteke (a cos ␪, b cos ␪),
non a puntutik segmentuaren muturrerainoko distantzia den eta b beste muturrera dagoen dis-
tantzia. Arquimedesen konpasa elipseen trazatzaile erraz eta baliagarria da. Kono-formako
sekzioak marrazteko mekanismoez mintzatzen garenean egoera orokorragoak biltzen ari gara,
hala nola, cutters-en diseinua. Honen aplikazio zuzena argazki-marko eliptikoetan aurkitzen
dugu.
10. irudia
Q
Q
U
Q ’
W
RT
A S C
C
S ’ A ’
S C ’
tolestura

• APLICACIONES
i) Galería del Eco. Volviendo a la figura 9, consideremos Q' un punto sobre la circunfe-
rencia cerca de Q y la perpendicular a SQ' a través de Q'. Esta es otra tangente a la
elipse. Sea ahora T el punto de intersección de las tangentes que parten de Q y Q',
entonces los puntos S, Q, Q' y T están sobre la misma circunferencia y, en conse-
cuencia, el ángulo UQS es igual al ángulo STQ'. Al acercarse el punto Q' a Q, el seg-
mento QQ' converge a la tangente a la circunferencia en Q y el punto T al punto P
sobre la elipse, de modo que los ángulos UQS y QPS son iguales (véase la figura 11).
Repitiendo el argumento con S' obtenemos la siguiente propiedad fundamental de la
elipse: si S y S' son los dos focos de la elipse y P es un punto de la misma, entonces
los ángulos entre la tangente en P a la elipse y las rectas que unen P a S y S', respecti-
vamente, son iguales.
Figura 11
Ahora teniendo en cuenta las leyes de la reflexión, en concreto, que un "rayo" (de luz,
sonido, etc) se refleja sobre una curva o una superficie regulares al igual que lo haría
sobre la recta o el plano tangentes, es decir, el ángulo de incidencia es igual al de refle-
xión, observamos que un rayo que parta de un foco se reflejará en el otro foco. Este fenó-
meno ha sido utilizado por arquitectos de todo el mundo en la construcción de lo que
se conoce con el nombre de galerías del eco, es decir, habitaciones cuyo techo o pare-
des son elípticos o semi-elipsoides de revolución y si una persona se coloca en un foco,
su voz será escuchada claramente por quien esté en el otro foco, sin embargo, las demás
personas no le oirán o no claramente. Galerías del eco famosas son la catedral de
S. Pablo en Londres, el National Statutary Hall del Capitol de los EE.U.U., y también
algunas estaciones de metro y museos de la ciencia.
ii) Lámpara del dentista. El mismo principio anterior nos explica por qué las lámparas de
los dentistas están formadas por un espejo semi-elipsoidal con la fuente de luz en uno
de los focos de la elipse generatriz, de forma que los dentistas puedan enfocar luz en
un punto determinado, sobre la boca del paciente, que se corresponderá con el otro
foco.
iii) Piedras del Riñón. Esta propiedad fundamental es utilizada en litroticia, el tratamiento
médico para pulverizar o reducir a pedazos muy menudos las piedras del riñón, den-
tro del paciente y sin tener que realizarle ninguna operación quirúrgica. El paciente
es colocado en un tanque o bañera de agua elípticos, con la piedra en uno de los
focos. Desde el otro foco se generan ondas de sonido, que tras rebotar en las paredes
del tanque se concentran en la piedra y la pulverizan.

• APLIKAZIOAK
i) Oihartzunaren Galeria. 9. irudira bueltatuz kontsidera dezagun Q´ zirkunferentziako
puntua, Q-ren ondoan dagoena eta Q´-tik SQ´-rekiko elkarzuta dena. Hau elipsearen
beste tangente bat da. Izan bedi T,Q eta Q´-tik ateratzen diren tangenteen ebakidura-
puntua, orduan S,Q,Q´eta T puntuak zirkunferentziaren gainean daude eta ondorioz,
UQS angelua STQ´ angeluaren berdina da. Q´puntua Q-ri hurbiltzen zaionean,
QQ´segmentua Q puntuan zirkunferentziarekiko tangenteari elkartzen zaio eta T pun-
tua elipsearen P puntuari ere. Honela UQS eta QPS angeluak berdinak dira (ikus 11.
irudia). S´-rekin argudioa errepikatuz, elipsearen hurrengo funtsezko propietatea lor-
tuko dugu: S eta S´elipsearen bi fokuak baldin badira eta P bertako puntua, orduan
elipsearekiko P puntuan tangentearen eta P puntua S eta S´-ri lotzen zaizkion zuzenen
arteko angeluak, hurrenez hurren, berdinak dira.
11. irudia
Orain isladapenaren legeak kontuan izanik, izpi bat (argiarena, soinuarena...) kurba
baten edo azalera erregular baten gainean zuzenaren edo plano tangentearen gainean
egingo lukeen bezala isladatzen da, hau da, eraso-angelua isladapen-angeluaren berdina
da. Era honetan, foku batetik ateratzen den izpia beste fokuan isladatuko da. Fenomeno
hau mundu osoko arkitektuek erabili izan dute, oihartzunaren galeria izenaz ezagutua,
bere eraikuntzak egiterakoan, hots, sabai edo horma eliptiko edo biraketa elipsoide-
erdiak dituzten geletan. Eraikuntzotan pertsona bat fokuetako batean kokatzen baldin
bada bere ahotsa oso argi entzungo du beste fokuan dagoenak, baina beste pertsonek,
aldiz, ez dute entzungo edo ez behar bezain argi. Oihartzunaren Galeria ospetsuen
artean honako hauek aipa ditzakegu: Londresko Pablo Deunaren Katedrala, E.B.etako
Capitolean dagoen National Statutary Hall eta baita metroko geltoki batzuk eta zientzia-
museoak.
ii) Haginlariaren lanpara. Aurreko printzipio berak azaltzen digu zergatik haginlarien
lanparak eipsoide-erdiko ispiluaz eratuta dauden, elipse sortzailearen fokuetako baten
argi-iturria dutelarik. Honela, pazientearen ahoan,haginlariek argia puntu zehatz
baten foka dezakete, beste fokuarekin bat datorrelarik.
iii) Giltzurruneko harriak. Funtsezko propietate hau litrotizian erabilia da: pazientearen
barnean eta inolako ebakuntzarik egin gabe, giltzurruneko harriak birrindu edo zati
oso txikiak bihurtzen dituen tratamendua da. Pazientea urez beteriko bainera edo
depositu eliptiko batean jartzen da, harria fokuetariko batean dagoelarik. Beste foku-
tik soinu-uhinak sortzen dira eta deposituaren hormetan punpa eginez, harrian kont-
zentratzen dira eta ondorioz birrindu egiten dute.

iv) Arquitectura. Además de en el diseño de galerías del eco, a lo largo de la historia los
arquitectos han considerado las elipses en la construcción de edificios y lugares públi-
cos, en ciertas ocasiones por la importancia de las propiedades de las elipses, mien-
tras que en otras simplemente por la belleza de sus forrnas. Algunos ejemplos: el
Coliseum en Roma, la Plaza de San Pedro en el Vaticano o si nos vamos a tiempos y
lugares más cercanos, la Plaza Moyúa en Bilbao. Todos ellos son lugares de planta
elíptica. Otro edificio donde se hace uso de la elipse pero como la sección inclinada
de un cilindro es el Planetarium Tycho Brahe de Copenhagen.
PARÁBOLA
Un sencilla construcción de la parábola haciendo uso de clavos, cuerda y lápiz, junto con una
regla y un cartabón, se obtiene de la propiedad de la parábola de que sus puntos equidistan
del foco y de la recta directriz (véase figura 12).
Figura 12 Figura 13
• PARABOLÓGRAFO DE ARTOBOLEVSKII
El parabológrafo de palancas y colisa de Artobolevskii (figura 13) [1,5] consta de una colisa
D, guía fija que representa la directriz de la curva, a la cual se ha fijado una corredera articu-
lada E que funciona como un par de traslación con las correderas articuladas y cruciformes A
y B. Éstas, a su vez, mueven al elemento 3 de forma perpendicular a D y al elemento 2, des-
lizándolo a lo largo de la colisa fija T, paralela a D, y que representa la tangente en el vértice
V, y a lo largo del punto fijo C, que representa el foco. Además, el elemento 1 es perpendi-
cular al elemento 2, con lo cual, como el punto B biseca el segmento EC, los triángulos EAB
y CBA son congruentes. En consecuencia, EA y AC son iguales.
Describamos la parábola como la envolvente de una familia de rectas [4]. Trazamos una línea
L (directriz), elegimos un punto S (foco) no situado sobre la línea L y, desde cualquier punto P
sobre la línea, trazamos una recta t perpendicular a SP (figura 14). La parábola es la envol-
vente de esa familia de rectas que acabamos de generar. Se llama eje de la parábola a la recta
perpendicular a L que pasa por S.
Elemento 1Tv = eje y
p/2
D
O
E
p/2
Elemento 3
Elemento 2
T
A
B
V
C=F

iv) Arkitektura.Oihartzunaren galerien diseinuaz aparte, historian zehar arkitektuek elip-
seak kontsideratu dituzte edifizio eta toki publikoen eraikuntzatan, maiz elipseak
dituzten propietate garrantzitsuak aprobetxatuz eta beste batzuetan bere formen eder-
tasunagatik. Hona hemen adibide batzuk: Erromako Coliseuma, Vaticanoko Kepa
Deunaren Enparantza edo denbora eta toki hurbilagoetara baldin bagoaz, Bilboko
Moyua Enparantza. Hauek guztiek oinarri eliptikoa dute. Elipsea erabili izan duten
beste eraikin bat, baina zilindroaren sekzio makur bezala, Copenhagen-eko Tycho
Brahe Planetariuma da.
PARABOLA
Parabolaren eraikuntza erraza iltze, korda eta arkatzaren bitartez egin daiteke, erregela eta
kartaboiaz lagundurik; parabolaren propietatetik ateratzen da, non bere puntuak fokutik eta
zuzentzailetik distantzikide diren.
12. irudia 13. irudia
• ARTOBOLEVSKII. - ren PARABOLOGRAFOA
Artobolevskii-ren kolisa eta palankazko parabolografoak (13. Irudia) [1,5] D kolisa dauka, gida
finkoa kurbaren zuzentzailea irudikatzen duena. Honi E artikulaturiko irristagailua jarri zaio;
A eta B irristagailu artikulatu eta gurutze-formakoekin batera funtzionatzen du. Hauek biak,
era berean, 3 elementua mugitzen dute D eta 2 elementuarekiko elkarzut eran, T kolisa fin-
koan zehar irristatuz. T kolisa D-rekiko paraleloa da eta V erpinean tangentea irudikatzen du
eta C puntu finkoan zehar, fokua irudikatzen du. Gainera, 1 elementua 2 elementuarekiko
elkarzuta da. Beraz, B puntuak EC segmentua erdibitzen duenez, EAB eta CBA triangeluak
kongruenteak dira. Ondorioz, EA eta AC berdin-berdinak dira.
Deskriba dezagun parabola zuzen-taldearen inguratzaile bezala [4]. L lerroa marraztuko dugu
(zuzentzailea), L lerroan kokaturik ez dagoen S puntua (fokua) hautatuko dugu eta lerroko edo-
zein P puntutik SP-rekiko elkarzuta den t zuzena marraztuko dugu (ikus 14. irudia). Parabola,
sortu berri dugun zuzen-taldearen inguratzailea da. S-tik pasatzen den eta L-rekiko elkarzuta
den zuzenari parabolaren ardatza deituko diogu.
1 Elementua
Tv = y ardatza
p/2
D T
A
B
V
C=F
O
E
p/2
3 Elementua
2 Elementua

Figura 14 Figura 16
Ahora, para construir una parábola haciendo pliegues, trazamos una línea m sobre la hoja de
papel, señalamos un punto S sobre el papel que no esté sobre la línea, y doblamos el papel de
manera que m pase por S (donde se ha doblado el papel será nuestra recta directriz L de la pará-
bola), manteniendo esta posición. Después, dóblese cuidadosamente el papel de la siguiente
manera, por el lado del papel donde hicimos el pliegue inicial hacemos un nuevo pliegue que
pase por S, a la vez que hacemos el pliegue complementario para juntar las dos partes del
extremo L del pliegue inicial y marcamos bien este segundo pliegue. Tras varias operaciones
como esta abrimos completamente el papel y obtendremos, al igual que en la figura 14, que el
segundo tipo de pliegues nos determinan una parábola. Nótese que cuando hacemos un plie-
gue, el unir las dos partes de L nos determina el ángulo recto deseado de la figura 14.
• APLICACIONES
i) Tiro parabólico. Si se lanza una pelota o un proyectil según un cierto ángulo (no en
vertical hacia arriba), el camino seguido por la pelota/proyectil es una parábola (obser-
vando que la resistencia del aire es mínima), con eje vertical y de tal forma que la dis-
tancia de alcance y la altura dependen de la velocidad inicial de lanzamiento. Es por
ello, que en el estudio de algunos deportes (por ejemplo, en centros de alto rendi-
miento), como salto de longitud, lanzamiento de jabalina, peso o martillo, baseball, etc
se tiene muy en cuenta esta circunstancia. Este fenómeno también es muy importante
en balística.
ii) Proyectores, Focos de coches, Linternas,... Haciendo uso de cuestiones implícitas en
la construcción de la parábola como envolvente de una familia de rectas y de forma
similar al caso visto de la elipse podemos obtener una propiedad fundamental de la
parábola (véase [4] para más información). Sea R la recta que pasa por un punto T de
la parábola y el foco S, y M la recta que pasa por T y es paralela al eje de la parábola,
entonces el ángulo entre M y la recta V tangente en T a la parábola es igual al ángulo
entre R y V (véase la figura 15).
V U
t
S
P
A
L
N
V
SL A’ A
R
T M
P
Q
Figura 15

Orain, parabola tolesduren bitartez eraikitzeko, orrian m lerroa marraztuko dugu, lerroaren
gainean ez dagoen S puntua seinalatuko dugu paperean eta orria tolestuko dugu m S-tik pasa-
tzen delarik ( papera tolestu den tokia gure parabolaren L zuzentzailea izango da ), posizio
hau mantenduz. Gero, papera kontuz toles bedi era honetara: hasierako tolesdura egin dugun
paperaren aldetik Stik pasatzen den tolesdura berria egingo dugu. Honekin batera tolesdura
osagarria gauzatuko dugu, hasierako tolesduraren L muturraren atal biak elkar lotzeko eta
bigarren tolesdura hau ondo markatuko dugu. Hau bezalako operazio desberdinen ondoren
papera guztiz zabalduko dugu eta 14. irudian ikusi bezala, bigarren tolesdura motak parabola
eratzen duela frogatuko dugu. Tolesdura egiten dugunean, nabarmen bedi Lren bi atalak elkar
lotzen ditugunean 14. irudian nahi genuen angelu zuzena zehazten digula.
• APLIKAZIOAK
i) Jaurtiketa parabolikoa: pilota edo jaurtigaia angelu zehatz baten (gorantz bertikalki ez)
jaurtikitzen baldin bada, pilota/jaurtigaiak jarraituriko ibilbidea parabola da (aireare-
kiko erresistentzia minimoa dela kontuan izanik), ardatz bertikalez eta helmen-distan-
tzia eta altuera jaurtiketaren hasierako abiaduraren araberakoak dira.. Hau dela eta,
kirol batzuen ikerketan (hala nola errendimendu goreneko zentruetan), luzera-jauzia,
txabalina-jaurtiketa, pisu-jaurtiketa, mailu-jaurtiketa, baseball e.a. bezalako kiroletan
kontu handiz ikertzen da fenomeno hau. Balistikan ere ikerketa hau funtsezkoa da.
ii) Proiektoreak, kotxeen fokoak, linternak... Parabola, zuzen-taldearen inguratzailetik sor-
tzen dela kontuan izanik eta elipsearen kasuan ikusi bezala, parabolaren funtsezko pro-
pietatea lor dezakegu (informazio gehiagorako ikus [4]).Izan bedi R parabolako puntu
batetik T, eta S fokutik pasatzen den zuzena eta M, Ttik pasatzen den zuzena eta para-
bolaren ardatzarekiko paraleloa dena, orduan M eta V zuzenaren arteko angelua, R eta
V ren arteko angeluaren berdina da (V zuzena T puntuan parabolarekiko tangentea da;
ikus 15. irudia).
V U
t
S
P
A
L
N
V
SL A’ A
R
T M
P
Q
Figura 15

Esta propiedad fundamental de las parábolas tiene muy útiles aplicaciones en la vida
real, ya que cualquier rayo que parta del foco queda reflejado en un rayo paralelo al
eje, propiedad que se utiliza en la fabricación de proyectores, focos de coches, lin-
ternas, etc (figura 16). Éstos, con forma de paraboloide de revolución, envían la luz
en un chorro, paralela al eje de la parábola generatriz, y así la zona de iluminación
es amplia y nítida. Por el contrario, en el caso de la lampara del dentista el interés
está en focalizar la luz en una zona concreta y más reducida, para trabajar mejor
sobre ella.
iii) Radares, Antenas Parabólicas, Hornos solares,... Por el mismo motivo, los rayos que
lleguen a una superficie parabólica paralelos al eje se reflejarán en el foco, donde
podrán ser recogidos. Por este motivo, los grandes radares y antenas parabólicas usa-
dos para recibir ondas de luz y sonido del espacio exterior y, en general, todo tipo de
antenas parabólicas, como las que tenemos para ver la televisión via satélite, tienen
forma de paraboloide de revolución. La misma idea se tiene en cuenta en el diseño
de hornos solares, que captan las ondas de calor emitidas por el sol.
iv) Galerias del Eco. Este principio de reflexión, en ambos sentidos, permite la construc-
ción de una especie de galería del eco. En algunos parques infantiles, como el par-
que del Museo de Bellas Artes de Bilbao, encontramos dos superficies parabólicas
una enfrente de la otra y a una cierta distancia, donde los niños juegan. Desde el foco
de una de las superficies parabólicas el niño habla, entonces el sonido se refleja en
la superficie y sale de forma paralela al eje, hasta llegar a la otra superficie parabó-
lica situada enfrente, donde el sonido se recoge en el correspondiente foco y su amigo
le escucha con claridad, mientras que nadie alrededor les oye.
v) Creador de imágenes 3D. Haciendo uso de las propiedades de reflexión de las pará-
bolas, podemos considerar dos espejos parabólicos y crear un visor de imágenes 3D
virtuales. Como muestra la figura 17, se juntan dos espejos parabólicos, el espejo
superior con un agujero circular de forma que el foco del espejo de abajo esté por
encima de éste, mientras que el foco del espejo de arriba esté justo encima del espejo
de abajo. Es ese punto colocaremos el objeto y su imagen 3D virtual aparecerá en el
agujero superior, tras reflejarse en ambos espejos. Un económico visor 3D podría rea-
lizarse con adornos navideños de plástico con forma parabólica en sus extremos.
Figura 17
vi) Cable de suspensión de un puente. A la hora de construir un puente como el Golden
Gate de San Francisco los ingenieros que lo realizan tienen que tener en cuenta que
el cable de suspensión de un puente tiene forma de parábola. Aunque no hay que
confundir con la curva catenaria que es la forma que adquiere un cable suspendido
desde dos puntos, como es el caso de los cables de electricidad de los trenes.
vii) Arquitectura. Como pequeña muestra de la aparición de la parábola en la arquitec-
tura moderna, mencionaremos que el genial arquitecto Antoni Gaudí diseñó arcos
con forma parabólica en puertas y ventanas del Palacio Gaudí de Barcelona (cons-
truido por Eusebio Güell), así como en posteriores proyectos, jugando con la simili-
tud de estas formas con las puertas y ventanas Góticas.

Parabolen funtsezko propietate honek bizitza arruntean aplikazio erabilgarri anitz
du, fokutik ateratzen den edozein izpi ardatzarekiko paraleloa den izpian isladaturik
geratzen baita. Propietate hau proiektoreetan, kotxeen fokoetan, linternetan e. a. era-
biltzen da (16. irudia ). Hauek, biraketa-paraboloide forma dutenez, argia txorro
batez igortzen dute, parabola sortzailearen ardatzarekiko paraleloa eta honela argi-
tzegune zabala eta argia lortzen da. Haginlariaren lanpararen kasuan, aldiz, argia
gune zehatz eta urriago baten fokalizatzea du helburu, ahoan lan egiteko era erraz-
tuz.
iii) Radarrak, Antena Parabolikoak, Eguzki-Labeak...Arrazoi berberagatik, azalera para-
bolikora (ardatzarekiko paraleloa) iristen diren izpiak fokuan isladatuko dira, non
bildu daitezkeen. Arrazoi hau dela medio, radar handiek eta kanpoko espaziotik argi
eta soinu-uhinak jasotzeko erabiltzen diren antena parabolikoek eta oro har, antena
paraboliko mota guztiek (satelite bidez telebista ikusteko ditugunak), biraketa-para-
boloide formakoak dira. Ideia berbera erabiltzen dute eguzki-labeak diseinatzera-
koan, eguzkiak igortzen dituen bero-uhinak biltzen dituztenak baitira.
iv) Oihartzunaren Galeriak. Isladapen printzipio honek, bi zentzuetan, oihartzunaren
galeria antzerakoa eraikitzea posibilitatzen du. Jolas-parke batzuetan, Bilboko Arte
Ederretako Museoan dagoen parkean esaterako, parabola formako bi azalera aurki-
tzen ditugu bata bestearen aurrean kokaturik eta distantzia zehatz batera, haurrak
jolasteko dagoena. Azalera paraboliko baten fokutik haurrak hitz egiten du, orduan
hotsa azaleran isladatzen da eta ardatzarekiko paraleloki ateratzen da, aurrez aurre
dagoen beste azalera parabolikora iritsi bitartean. Hemen hotsa dagokion fokuan bil-
tzen da eta beste haurrak oso argi entzuten du eta inguruko inork, aldiz, ez dauka
hots hori entzuteko aukerarik.
v) 3D irudien sortzailea.Parabolen isladapen-propietateak erabiliz, bi ispilu paraboliko
kontsidera ditzakegu eta 3D alegiazko irudien bisorea sor dezakegu. 17. irudian ikusi
bezala, bi ispilu paraboliko elkartzen dira: goiko ispilua zulo biribila duena, beheko
ispiluaren fokua honen gainetik dagoelarik eta goiko ispiluaren fokua, aldiz, beheko
ispiluaren gainean justu-justu dagoelarik. Puntu horretantxe objetua kokatuko dugu
eta bere 3D alegiazko irudia goiko zuloan agertuko da, bi ispiluetan isladatu ondo-
ren. 3D motako bisore merkea honela egin daiteke: Eguberrietako plastikozko apain-
garriekin, bere muturrak parabola formakoak direla.
17. irudia
vi) Zubiaren zintzilikatze-kablea. San Franciscoko Golden Gate gisako zubia eraikitze-
rako orduan ingeniariek zera kontuan izan behar dute: zubiaren zintzilikatze-kablea
parabola formakoa dela. Katenaria-kurbarekin ez da nahasi behar, hau bi puntutik
zintzilik dagoen kableak hartzen duen forma baita, trenbideetako elektrizitate-
kablean gertatzen den bezala.
vii) Arkitektura. Gaur egungo arkitekturan parabola erabiltzearen lagin txiki bezala
honako hau aipa genezake: Antoni Gaudi arkitekto ospetsuak Barzelonako Gaudi
Jauregiko ate eta leihoetan parabola formako arkuak diseinatu zituen (Jauregi hau
Eusebio Guell-ek eraiki zuen). Geroxeago, beste proiektu batzuetan ate eta leiho
Gotikoen antzekotasuneko formak erabili zituen.

HIPÉRBOLA
Una vez más, la obtención de un método simple para el trazado, esta vez de la hipérbola, se
basa en su descripción como curva plana, exactamente como el lugar geométrico de los pun-
tos del plano cuya diferencia de distancias a los focos es constante (figura 18).
Figura 18 Figura 19
• HIPERBOLÓGRAFO DE INWARDS
Este hiperbológrafo (figura 19) [5] consta de cuatro segmentos iguales (1,2,3 y 4) que confor-
man el rombo CGBD. Los segmentos 1 y 2 giran alrededor de la articulación D, mientras que
3 y 4 lo hacen alrededor de G. El elemento 5 conforma el par de rotación con las correderas
A y B. Así el mecanismo se mueve alrededor de los puntos fijos E y D, mientras que A traza
una hipérbola, ya que
EA - AD = EA - AG = EG = constante.
La obtención de la hipérbola haciendo pliegues en un papel es la misma que para la elipse
pero cambiando el punto interior a la circunferencia, para el caso de la elipse, por un punto
exterior.
Figura 20 Figura 21
Articulación
Elemento 3
CCCC
␣º
A
B
DOE
G
Corredera
Articulada
Elemento 2
asíntotaasíntota
M
P
S A C A‘ S’
S
N
C’
Q
Articulación
Elemento 1Elemento 1Elemento 6
Elemento 4
Elemento 5
F1 F2
2a
2c

HIPERBOLA
Berriro trazaturako metodo erraza aurkeztuko dugu, kasu honetan hiperbolarena: bere des-
kripzioan oinarriturik kurba lau bezala, hots, planoko puntuen toki geometrikoa non fokuekiko
distantzien arteko diferentzia konstantea den (ikus 18. irudia )
• INWARDS - en HIPERBOLOGRAFOA
Hiperbolografo hau (19. irudia) 5 lau segmentu berdinez osaturik dago (1,2,3,4) CGBD erron-
boa sortaraziz. 1 eta 2 segmentuek D artikulazioaren inguruan biratzen dute, 3 eta 4 segmen-
tuek, aldiz, G-ren inguruan egiten dutelarik. 5 elementuak, A eta B irristagailuekin errotazio-
bikotea osatzen du. Horrela, mekanismoa E eta D puntu finkoen inguruan mugitzen da, A-k
hiperbola trazatzen duelarik, hots
EA – AD = EA – AG = EG = konstantea
Paperean tolesdurak eginez hiperbola ateratzeko metodoa elipsearen kasuan erabilitako ber-
bera da baina zirkunferentziaren barneko puntua aldatuz, elipsearen kasurako, kanpoko pun-
tutik egiten delarik
1 Elementua
asíntotaasíntota
M
P
S A C A‘ S’
S
N
C’
Q
Artikulazioa
Elementua 3
CCCC
␣º
A
B
DOE
G
Artikulatutako
irristatzailea
2 Elementua
Artikulazioa
Elementua 6
Elementua 4
Elementua 5
F1 F2
2a
2c

De nuevo, la justificación está en la hipérbola como la envolvente de una familia de rectas.
Dibujamos una circunferencia con centro en C y tomamos un punto S fuera de la circunfe-
rencia, entonces consideramos las rectas que pasan por puntos Q de la circunferencia y son
perpendiculares al segmento SQ (figura 20). Entonces la envolvente de esta familia de rectas
es la hipérbola, con sus dos ramas. Desde S podemos trazar dos tangentes SM y SN a la cir-
cunferencia, entonces los puntos sobre el arco de circunferencia entre M y N que están frente
a S dan una de las ramas de la hipérbola, y los otros puntos de la circunferencia la otra. El
punto fijo S es uno de los focos de la hipérbola, el otro foco S' es el simétrico de S respecto
del centro C de la circunferencia; además, la misma construcción pero realizada desde S' nos
da la misma hipérbola.
• APLICACIONES
i) Forma de un lápiz. Si tenemos en cuenta que la hipérbola es la intersección de un
cono circular recto con un plano paralelo al eje del cono, entonces aparecerán hipér-
bolas en diferentes situaciones que se deriven de este hecho, como por ejemplo, la
forma del dibujo de un lápiz, con sección poligonal y recién afilado, o la sombra de
una lámpara.
ii) LORAN. Una de las aplicaciones de la propiedad fundamental plana es el LORAN
(Long Range Navigation), que es un sistema de navegación que permite a un avión o
a un barco determinar su posición mediante señales de radio. Supongamos que hay
dos estaciones de radio, en dos puntos conocidos F1 y F2 , que envían señales simultá-
neamente a un barco, donde se medirá el intervalo ⌬t = t2 - t1 entre el tiempo en que
se reciben las dos señales (en el barco no se necesita saber ni cuando se enviaron las
señales ni cuanto han tardado en llegar); entonces la diferencia entre la distancia del
barco a ambas estaciones es |d(P, F1) - d(P, F2)| = c ⌬t, donde c es la velocidad de las
señales de radio, es decir, el barco estará situado en una posición P sobre la hipérbola
de ecuación |d(P, F1) - d(P, F2)| = c ⌬t . Si además, tenemos una tercera estación de
radio F3 , podemos obtener con toda exactitud la posición del barco.
iii) Zona de "audición" de un avión. Si un avión que vuela a una cierta altura h sobre la
superficie terrestre (que la supondremos plana) a una velocidad supersónica v ¿cuál es,
en el momento dado, la región de la superficie terrestre en cuyos puntos se ha oido ya
o se oye en ese momento el sonido del motor del avión?
Figura 22
Supongamos que t segundos antes del momento dado el avión estaba en un punto B
(a una distancia vt) y denotamos por A el punto proyección de B sobre el plano terres-
tre. Desde B el sonido se habrá propagado a todos los puntos que distan ut de B, es
B
O
A L
LO
Aut h
͌u2
t2
- h2

Berriro, justifikazioa honetan datza: hiperbola zuzen-taldearen inguratzaile bezala hartu behar
da. C erdiko puntua duen zirkunferentzia marraztuko dugu eta zirkunferentziatik kanpoko S
puntua hartuko dugu. Orduan, zirkunferentziako Q puntuetatik pasatzen diren zuzenak eta
SQ segmentuarekiko elkarzutak direnak kontsideratuko ditugu (20. irudia). Zuzen-talde horren
inguratzailea hiperbola izango da, bere bi adarrekin. S-tik zirkunferentziari tangente diren SM
eta SN traza ditzakegu. Kasu honetan, zirkunferentzia-arkuaren gaineko puntuek, M eta N
bitartean eta S-ren aurrez-aurre daudenak, hiperbolaren adarretariko bat ematen dute eta zir-
kunferentziaren beste puntuek, ordea, beste adarra emango lukete. S puntu finkoa hiperbola-
ren fokuetariko bat da, beste fokua (S´) zirkunferentziaren C erdiko puntuarekiko S-ren sime-
trikoa da; gainera eraikuntza berberak S´-tik eginda hiperbola bera emango luke.
• APLIKAZIOAK
i) Arkatzaren forma. Hiperbolaren definizioan oinarritzen baldin bagara: zirkulu for-
mako kono zuzena konoaren ardatzarekiko paraleloa den planoarekin egiten duen
ebaketa, orduan hiperbola desberdinak agertuko dira, hala nola, arkatz baten irudia-
ren forma, poligono-sekzioa duena eta zorroztu berri dagoenean edota lanparak sor-
tarazten duen gerizpea.
ii) LORAN. Funtsezko propietate lauaren aplikazioetako bat LORAN (Long Range
Navigation) da. Hau nabigazio sistema bat da eta hegazkin eta itsasuntziek, irrati sei-
nale bidez, bere posizioa finkatzeko erabiltzen dute. Suposa dezagun bi irratigune
daudela, F1 eta F2 puntu ezagunetan kokaturik eta aldi berean itsasuntziari seinaleak
igortzen dizkiotela non bi seinaleak jasotzen direneko ⌬t = t2 - t1 denbora tartea neur-
tuko den ( itsasuntzian ez da beharrezkoa jakitea noiz igorri diren seinaleak ezta zen-
bat denbora iraun duten iritsi bitartean ); orduan itsasuntzitik bi irratiguneetara
dagoen distantziaren diferentzia ondokoa litzateke |d(P, F1) - d(P, F2)| = c ⌬t, non c
irrati-seinaleen abiadura den, hau da, itsasuntzia |d(P, F1) - d(P, F2)| = c ⌬t ekuazio-
hiperbolaren gaineko P kokagunean egongo litzateken: Honetaz gain, hirugarren irra-
tigunea baldin bagenu (F3), orduan itsasuntziaren posizioa zehaztasun osoz atera
genezakeen.
iii) Hegazkinaren “audizio” gunea. Hegazkina lurzorutik (laua dela suposatuz) h altue-
rara hegaz baldin badoa v abiadura supersonikoz, zein litzateke lurreko azalerako
gunea non hegazkinaren motorreko hotsa jada entzun den edo une horretantxe ent-
zuten den?
22. irudia
Suposa dezagun emandako unea baino t segundu lehenago hegazkina B puntuan
zegoela (vt distantziara) eta izan bedi A B-ren proiekzio puntua lurraren planoan. B-tik
hotsa hedatuko da ut distantziara dauden puntu guztietara, hau da, B erdiko puntua
B
O
A L
LO
Aut h
͌u2
t2
- h2

decir, a los puntos de la esfera de centro B y radio ut (u - velocidad del sonido). Si
ut > h, el sonido llega a la tierra y la región donde se oye el avión será una circunfe-
rencia de centro A y radio ͌u2
t2
- h2
. La envolvente de la familia de circunferencias
que se obtienen al variar B, es una hipérbola que nos delimita la zona donde se ha
oido ya o se oye en ese momento el sonido del avión (figura 22).
iv) Lentes telescópicas. Existe de nuevo una propiedad fundamental, ahora para la hipér-
bola, que nos dice que si P es un punto sobre la hipérbola, la tangente en P a la hipér-
bola biseca el ángulo entre los segmentos SP y S'P (como muestra la figura 21).
Esta propiedad es utilizada, por ejemplo, para fabricar lentes telescópicas cuyo espejo
tenga forma hiperbólica. Además, algunas lentes telescópicas tienen como parte prin-
cipal un espejo parabólico que refleja la luz hacia su foco y entonces un espejo hiper-
bólico, que comparte ese foco, la lleva hacia el otro foco de la hipérbola, situado de
forma más conveniente.
v) Arquitectura. A. Gaudí hizo uso constantemente de la geometría en sus diseños, entre
ellos el de la Sagrada Familia. Por ejemplo, nos encontramos superficies con forma de
hiperboloide (superficie reglada con hipérbolas como secciones planas) o de parabo-
loide hiperbólico (superficie con parábolas e hipérbolas como secciones planas).
Bibliografía
[1] I. I. Artobolevskii: Mechanims for the generation of plane curves, Pergamon Press,
1964.
[2] C. B. Boyer: Historia de la matemática, AUT 94, Alianza Ed., 1986 (ed. inglesa J. Wiley
& sons, 1968).
[3] T. L. Heath: Apollonius of Perga. A Treatise on Conic Sections, Cambridge Univ. Press,
1896 (reed. Barnes and Noble, 1961).
[4] D. Pedoe: La geometria en el arte, Ed. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.
[5] A. Rendón Gómez: GEOMETRÍA, paso a paso, vol. I, Ed. Tebar, 2000.
[6] C. Zwikker: The advanced geometry of plane curves and their application, Dover
Publications Inc., New York, 1963.
[7] http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html
[8] http://www. camosun.bc.ca/~jbritton/jbconics.htm
[9] http://www.punahou.edu/acad/sanders/geometrypages/
[10] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history

eta ut erradioa duen esferaren puntuetara (u- soinuaren abiadura). ut > h baldin bada,
hotsa lurrera iritsiko da eta hegazkina entzungo den gunea A-n erdiko puntua duen
eta ͌u2
t2
- h2
erradioa duen zirkunferentzia izango da. B aldatzerakoan lortzen den
zirkunferentzia-familien inguratzailea hiperbola da: honek hegazkinaren hotsa en-
tzun den edo une horretantxe entzuten den esparrua mugatuko du (22. Irudia).
iv) Lente teleskopikoak. Berriro funtsezko propietatea dugu hiperbolarentzat: P hiperbo-
lako puntua baldin bada hiperbolarekiko P puntuan tangenteak SP eta S´P segmen-
tuen arteko angelua erdibitzen du.(ikus 21. irudia).
Aipaturiko propietatea lente teleskopikoak egiteko erabilia da (ispilua hiperbola for-
makoa izan behar da). Gainera, lente teleskopiko batzuk oinarrizko atal bezala ispilu
parabolikoa dute. Honek argia bere fokurantz isladatzen du eta orduan ispilu hiper-
bolikoak, foku hori partekatzen duenak, era egokian kokaturiko hiperbolaren beste
fokurantz bideratzen du argia.
v) Arkitektura. A. Gaudik bere diseinuetan behin eta berriro erabiltzen zuen geometria,
Sagrada Familian esaterako. Adibide bezala, hiperboloide edo paraboloide hiperbo-
liko formako azalerak aurki ditzakegu. Hiperboloide forma: sekzio lau bezala hiper-
bolez erregulaturiko azalera . Paraboloide hiperboliko forma: sekzio lau bezala para-
bola eta hiperbolez erregulaturiko azalera.
Bibliografía
[1] I. I. Artobolevskii: Mechanims for the generation of plane curves, Pergamon Press,
1964.
[2] C. B. Boyer: Historia de la matemática, AUT 94, Alianza Ed., 1986 (ed. inglesa J. Wiley
& sons, 1968).
[3] T. L. Heath: Apollonius of Perga. A Treatise on Conic Sections, Cambridge Univ. Press,
1896 (reed. Barnes and Noble, 1961).
[4] D. Pedoe: La geometria en el arte, Ed. Gustavo Gili, Barcelona, 1979.
[5] A. Rendón Gómez: GEOMETRÍA, paso a paso, vol. I, Ed. Tebar, 2000.
[6] C. Zwikker: The advanced geometry of plane curves and their application, Dover
Publications Inc., New York, 1963.
[7] http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCurves.html
[8] http://www. camosun.bc.ca/~jbritton/jbconics.htm
[9] http://www.punahou.edu/acad/sanders/geometrypages/
[10] http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history

Keops Piramidea eta urte kosmikoa
KEOPS PIRAMIDEA ETA URTE KOSMIKOA
Luis Balbuena Castellano (*)
Nota previa: Este artículo está publicado en castellano en la revista NÚMEROS de la
Sociedad Canaria de Profesores de Matemática Isaac Newton, concretamenta en el nº 23
correspondiente al mes de noviembre de 1993, por este motivo aquí sólo se publica en
euskera. Queremos agradecer a Luis Balbuena su permiso para poder traducirlo y publi-
carlo en nuestra revista.
Itzulpena: Fernando Fouz
Zuzenketa eta moldaketa: Mikel Ugalde
Keops, Kefren eta Mikerinos piramideak (IV. dinastia)
Duela 4.500 urtez geroztik, munduko mirari zaharren gisa, gaurdaino iraun duten Egiptoko
Piramideek betidanik sortarazi izan dute halako lilura berezia berauen izaera, historia, dimen-
tsioak ezagutzen dituztenengan. Honetaz guztiaz asko idatzi da eta ikuspuntu desberdinetatik,
gainera.
Matematikan ari garenontzat, esaterako, benetan erakargarria da, zenbaki eta geometriaren
alderdiekin zer ikusia duen ikuspuntua. Piramideek dituzten, eta zuzenean neurtu daitezkeen,
dimentsio eta ezaugarri fisikoek hainbat burutaziotarako bide ematen digute. Hala ere bada
datu eta erlazio multzo bat, gero ikusiko dugunez antza denez nahikoa korapilatsua.
Horrelakoaren aurrean batek ez daki halabeharraren ondorio izan diren, edota erlazio berezi
horien ondorioetara iritsi diren matematikari burutsuen zenbaki jokoa den edota piramideak
eraiki dituztenen estudio zehatzak, ondo planifikatuak eta eraikinetan gauzatuak diren. Azken
hau izango balitz, ikerlari batzuek diotenaren arabera, piramideak asmatu zituzten arkitektoak,
dudarik gabe, izugarri jakintsuak izango lirateke. Nahiz eta hau egiaztatu ahal izateko bera-
riazko dokumenturik iritsi ez zaigun, gauzatutako piramideek hori erakusten baitute.
(*) Luis Balbuena es catedrático de Matemáticas en el Instituto VIERA y CLAVIJO de La Laguna (Tenerife).

Piramideak eta hauen tamaina zifretan zehaztea oso zaila izan ohi denez, nahiz eta zenbaki
aukera handia egon, zertzelada batzuk bakarrik aipatuko ditut ondoren, bereziki, “urte kos-
miko” bezala ezaguna den gaia dela eta, Keops piramideaz arituko naizelarik.
Egipto nahiz bertako piramideak hainbeste miresten zituen Napoleonek agindutako kalkulue-
tan ondorioztatu denez, piramideetako blokeak hiru metrotako altuera eta hogeita hamar zen-
timetroko lodiera duen harresia egiten erabili izan balira Frantzia osoa ingurutako zukeen
aipatu harresiak.
Keops da hiru piramidetan handiena, Kefren baino lau metro altuagoa baita. askoz altuagoa,
berriz, Mikerinos baino. Azken piramide honek ez baitu hirurogeita bi metroko altuera beste-
rik. Keops piramideak oinarri karratua du eta aldeetako aurpegiak ez dira triangelu aldeberdi-
nak. Ondorioz, ez da oktaedro baten erdia ere. Haren dimentsioak honakoak dira:
Altuera: 148’208 m.
Oinarriko aldea: 232’805 m.
Ertza: 188’447 m.
Halako piramide-puskaren bolumena 2’677 hektometro kubikotara iristen da. Piramide
honen blokez hamar metroko lodiera eta sakonean hamabost metroko dike bat egingo bagenu,
irudian ageri den bezala, 17’85 kilometroko luzerako dikea izango litzateke.
Aipatu datu honek piramidearen tamainari buruzko behar argibidea aberastearren, gogoan
hartzeko da piramideak bere oinarrian dituen bost hektometro karratuko luze-zabaleran zortzi
futbol-zelaitik gora sartuko litzatekeela.
Piramideen egileek ezagutzen al zuten Lurra eta Eguzkiaren arteko distantzia? [Egiptoko zaha-
rreko gizon-emakumeek piramideak Eguzki Jaungoikoaren tronutzat jotzen zituzten pirami-
deak]. Adibidez, piramidearen altuera 10^9 egingo bagenu, orduan, 148.208.000 kilome-
troko distantzia izango litzake (Lurra eta Eguzkiaren arteko distantzia 149.400.000 +/- 70.000
km. da).
Orain, piramide handi eta “urte kosmikoaren” arteko loturari arretaz erreparatuko diot.
Horretarako arrazoibide honi jarraituko diogu:
Keopsen erpina ez dago hogeita hamar ipar gradu zehatzetan, 29º 58’ 51”etan baizik Adibide
bitxi modura, lur sail gehien zeharkatzen duen paraleloa da. Hasiera batean pentsa zitekeen
piramidearen erpina hogeita hamar ipar graduko paraleloan ez egotea eraikitzaileek errua izan
zitekeela..., baina, hona non “urte kosmikoari” buruzko Draysonen teoria hemen agertzen
zaigun.
Dakigunez, ekliptikaren plano zeiharraren ondorioz sortzen dira urtaroak, hots, Lurrak
Eguzkiaren inguruko biran egiten duen ibilbidearen planoa zeiharra da Lurreko ekuatorearen
planoarekiko. (Irudi 2).
Luis Balbuena Castellano
10 m.
15 m.
Irudi 1
? m.

Ekainaren 21ean, 3. irudian erakusten denez, Eguzkiak Lurra argitzen du. Sei hilabete beran-
duago, 4. irudian erakusten denez, egiten du
Hala ere, NE arkua, Lurraren Ipar Poloaren eta ekliptika poloaren arteko distantzia angeluarra
da eta ez da konstantea. Gertakari bikoitz baten ondorioz aldatzen da:
a) Ekliptika poloaren prezesioa (50’2 segundo urtekoa). Mugimendu hau atzerakoia da,
hots, Biraren norantza Lurrarenaren kontrakoa da. Horrela, Eguzkia urtero ekinoziora
50’2 segundo lehenago iristen da. Aries ekinozioa (edo martxokoa), une honetan, ez
dator bat Zodiakoaren Aries konstelazioarekin bat, Piscis konstelazioarekin baizik.
Denboraren poderioz desbideratze hori gero eta handiago da, gertatzen diren beste
mugimenduak gogoan hartuz, zikloa osatzeko beharrezko diren 31.756 urteak bete
arte.
E
Ipar poloa
Hego poloa
Irudi 2
Irudi 3
Ipar poloa
Ipar poloa
Zirkulu polar artikoa
Zirkulu polar antartiko
Kantzer tropikoa
Kaprikornio tropikoa
Ekuatore
Ekuatore
23º 17’ 6’’ Ekainaren 21ean
eguzkiaren norabidea
Abenduaren 21ean
eguzkiaren norabidea
Ekliptika
Ekliptika
Hego poloa
Hego poloa
N
E
N
E
Irudi 4
Ekuatore
Ekliptika
N

b) Ekliptikaren ardatz nagusiaren edo absideen lerroaren lerrakuntza (11’7 egundu
urteko). Bi lerrakuntza angeluar horiek norantza berean ari dira eta ekliptikaren zeihar-
tasunean aldakuntza bat sortarazten dute 23º 25’ 57” eta 35º 25’ 47”en artekoa.
Aldaketa horren iraupenari deitzen zaio “urte kosmiko” edo Draysonen zikloa.
Jarrai dezagun Draysonen hausnarketarekin: 5. irudian erakusten denez, zeruko esferaren gai-
nean, Lurraren Ipar Poloak zirkulu bat egiten du. Zirkulu honek Erradio konstantea duen zir-
kulu honek 29º25’47” ditu eta “E” ekliptikaren zeruko polotik 6ºtara kokatutako “C” puntua-
ren baitan egiten du bira aipatu angelua eginez .
Gertakari hau modu errazean azaltzeko, D’Alamberten proposamen jakingarria erabil deza-
kegu. Eman dezagun sokatik askatu eta biraka dabilen ziba bat (6. irudia). Birekin konbinatu-
tako bulkadaren ondorioz (bi errotazioen konbinaketa gertatzen baita), hasiera batean zibaren
ardatzak “PC” ardatza bertikalarekiko posizio zeiharra hartzen du [ “PC” ardatza zibaren “P”
berme puntutik pasatzen delarik]. Aldi berean, zibak bere “PN” ardatzaren inguruan bira egi-
ten du, aldi berean bertikalaren inguruan birak ematen dituelarik. Zeihartasunaren angeluari
eusten badio honen gainean, konika bat deskribatzen du. Bi norantzak elkarren aurkakoak
dira. Horregatik, hain zuzen, aldatzen da zibaren biraren norantza hondoaren aurka marrus-
katzen denean.
Hori dela eta, “NCE” triangelu esferikoan, “NC” eta “CE” angeluak konstanteak dira. Lehen
esan dugun bezala, zikloa 31.756 urtetan betetzen da eta, honen ondorioz, l7.939 urtetako
lau denboralditan banatzen da lau denboraldi kosmikoak izango lirateke. “NE” minimoa (23º
25’ 57”) denean, uda kosmikoa hasten da eta, 35º 25’ 47-tako angelura iristen denean, negua
hasten. Tartean, hazkuntzaren erdi aldean udaberria izango genuke eta beherantz hasten
denean udazkena.
Orduan, egilearen arabera, azken Negu Handia 13583. urtean (Kristo aurretik) hasi zen. Datu
honek Aurinac garaian 7939. urte geroago Aurinac glaziar aldia esplika dezake. Honek ema-
ten du 5644. urtean (Kristo aurretik) urte kosmiko horren azken ekinozioa gertatu zela, beraz,
udaberri kosmikoa hasi zen, horrela, Uholde Nagusia, baita tarteko laku garaia ere.
Gaur egun uda kosmikora hurbiltzen ari gara eta, lehen azaldu dugunaren ondorioz, 2295.
urtean gertatuko da. Urte horretan San Joan Gau Kosmikoa izango genuke....., eta 10234.
urtean Udazken Kosmikoa iritsiko litzateke eta, honen ondorioz, beste aro glaziar batera hur-
bilduko ginateke. Aro glaziar hau 18173. urteari gorenera iritsiko litzateke. Garai horretan bai
Parisen bai Londresen elur-oreinak bazkatzen ikusiko dira. Eta.... honek guztiak..., zer lotura
du Keops piramidearekin?
Adi ondo: Alfred Barley (astronomo britainiarra) urte kosmikoaren ekinozioen “NE” zeiharta-
suna kalkulatu zuen eta, aurkitutako balorea 29º 58’ 53”-koa da, hots, Udazken Kosmikoaren
eta Udaberri Kosmikoaren hasieraren urteetan latitude horretan bizi diren gizakiek zenitera
Luis Balbuena Castellano
Irudi 5 Irudi 6

eguzkia iristen ikusiko dute, hau da, zehatz-mehatz Keops piramidearen erpinaren gainean,
Beno, ez da erabat horrela, bi segundotako desberdintasuna dago eta bi segunduohoriek 60
metroen aldea baino ez dute sortzen.
Kasualitatea?, emaitza hori lortzeko ikasketa apropos egina? Astronomiaz hainbeste al zekiten
datu harrigarri hori erabiltzeko?. Era guztietako iritziak eman daitezke eta, jakina, bakoitzak
aukera dezala bere gogokoena. Edozein kasutan, Ingalaterrako Stonehengeko trikuharri zirku-
lua gogoratzea komeni zaigu. Harrizko zirkulu hori 1600 urte Kristo aurretik eraiki zen eta,
garai hartan, aldarearen gainean errezoak egiten zituenak, udako solstizio egunean hain zuzen
ere, ikusten zuen zirkulutik at zegoen trikuharri bateko mutur konkaboaren gainetik eguzkia
ateratzen zela. Trikuharri horrek norabidea erakusten zuen.
Azken kasu honetan, nahiz eta lortutako ondorioa edo efektua errazagoa den Keops pirami-
dearena baino, ulertzekoa da, hau egiteko ere obraren diseinu-egileak ezagutza sakona izan
behar zuela.
Hala ere, piramide handiaren inguruko harridurak ez dira honenbestez agortzen. Adibidez
urre-zenbakia bestelako kalkuluetan edo erlazioetan agertzen da baina...., gai honetan sartuko
bagina artikulu hau gehiegi luzatuko litzateke.
Datu hauek osatu nahi ba dituzue...
• Matilda C. Ghyka, Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes,
Poseidón.
• José Comas Sola, Astronomía, Espasa-Calpe.
• Jean Vercoutter, Egipto, tras las huellas de los faraones, Aguilar.
• Luis García Gallo, De las mentiras de la egiptología a las verdades de la Gran Pirámide ,
Antalbe.
• Kurt Lange, Pirámides, esfinges y faraones , Destino.

Las Apuestas en el Frontón
LAS APUESTAS EN EL FRONTÓN
Alberto Bagazgoitia (*)
En los frontones el juego de la pelota vasca se ha mantenido y se mantiene con fuerza a tra-
vés de los años. Estos últimos años además se ha revitalizado de una manera importante. La
entrada de la televisión ha cambiado el panorama pelotístico y las cifras que actualmente se
mueven en este deporte-espectáculo-negocio poco tienen que ver con las de hace unos años.
El mundo de las apuestas, sin embargo, se sigue rigiendo por los mismos parámetros de antaño
y siguen vigentes, si no estoy mal informado, las mismas normas en su funcionamiento.
Y es este aspecto colateral de la pelota, el de las apuestas, el que quiero analizar someramente
desde el punto de vista de las matemáticas. Me centraré en el aspecto técnico del problema,
pero qué duda cabe que también admite un enfoque desde el punto de vista de los valores.
(En el libro Al margen de la clase publicado hace más de 40 años por Rafael Rodríguez ya se
calificaba la afición a apostar como “feo vicio”).
Como es bien sabido, los partidos se juegan a 22 tantos y el que apuesta por el que resulta per-
dedor debe pagar la cantidad apostada. Cuando el partido se desarrolla con normalidad no hay
ningún problema, pero
¿QUÉ OCURRE CUANDO UN PARTIDO DEBE SUSPENDERSE ANTES
DE LLEGAR AL CARTÓN 22? ¿CÓMO DEBEN PAGARSE LAS
APUESTAS?
Desde el punto de vista matemático el interés por el análisis de los juegos de azar interrumpi-
dos viene de hace siglos. Según puede leerse en el libro Los inicios de la teoría de la probabi-
lidad, a mediados del siglo XVII Huygens hizo un análisis exhaustivo del problema. Pascal y
Fermat también abordaron el problema.
El problema es bien conocido: En su versión más simple podría enunciarse así: Dos jugadores
lanzan sucesivamente una moneda. Ganará la partida y por tanto el dinero, el que antes
obtenga tres caras. Por cualquier motivo, la partida debe suspenderse antes de terminar,
cuando el resultado es 2 a 1. ¿Cómo debe repartirse el dinero?.
No nos entretendremos aquí en explicar que la probabilidad de ganar del que va perdiendo es
1/4, y la del contrincante 3/4, por lo que el reparto debe hacerse en la proporción 3 a 1. Es
decir el que va ganando se llevaría el 75% del total.
El juego de la pelota es ciertamente diferente. En primer lugar hay que dejar claro que no es
un juego de puro azar. Con el fin de equilibrar las esperanzas matemáticas de los apostantes,
las apuestas realizadas se suelen ponderar teniendo en cuenta la mayor o menor probabilidad
de que un bando pueda conseguir un tanto. Pero aún y todo como esta asignación de proba-
bilidad es subjetiva, y en ella intervienen muchos factores, debemos reconocer que desde las
matemáticas lo más que podremos lograr es una aproximación al problema real.
* Asesor de Matemáticas. Berritzegune Vitoria.

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