RESOLUCION DE PROBLEMAS EN PRIMARIA

PRESENTACION DE LOS
MATERIALES
Estamos viviendo una época apasionante en la Enseñanza de las Matemáticas desde todas las
instancias y organismos se recomienda la Resolución de Problemas, a todos los niveles, el vehículo
ideal para transmitir los llamados «procesos de pensamiento». Los contenidos en matemáticas son
cambiantes, muchos de ellos han quedado relegados con el paso del tiempo, sin embargo, otros se
han encumbrado a un lugar prominente. No están muy claros los contenidos que van a
mantenerse, inciden demasiadas variables, y difíciles de controlar (impacto de las nuevas
tecnologías, la menor importancia del pensamiento algorítmico, etc.). Parece más adecuado e
inteligente desplazar el centro de gravedad hacia los procedimientos derivados de las estrategias
heurísticas, estimulando en los alumnos y alumnas capacidades esenciales para resolver verda-
deros problemas.
En este número han colaborado muchas personas, a todas ellas queremos agradecer su
generosidad y «buen hacer», en especial, a Jesús María Goñi, el haber coordinado a un buen
número de personas y a Luis Pereda el habernos prestado algunas de sus magníficos materiales.
El trabajo está destinado a la Resolución de Problemas en Primaria y pensamos que puede
ser útil en manos de personas interesadas por esta asignatura apasionante.
Revista SIGMA 13-14 Página 1 de 105

CARACTERISTICAS, EN
LOS PROBLEMAS
ESCOLARES, QUE
INCIDEN EN LA
DIFICULTAD DE LOS
MISMOS
ELISA PARDO (*)
Desde no hace demasiados años parte de los miembros de la comunidad de Educadores de
Matemáticas ha estado realizando investigaciones sobre «Resolución de problemas». Muchas de
estas investigaciones pretendían conocer cómo actúa el alumno ante un problema, qué pautas
sigue para resolverlo, qué tipo de estrategias utiliza, qué dificultades encuentra, etc. En particular,
han sido investigadas las c dificultades que plantean los problemas dependiendo de las
características de los mismos.
En este artículo pretendo recoger algunas de las consecuencias de los resultados de estos
trabajos en relación con las dificultades que plantean los problemas dependiendo de las
características de los mismos que pueden observarse antes de resolverlo el alumno.
Conocer estas características y las dificultades que plantean puede ser de interés para todos
los profesores de Primaria en el momento de planificar o programar tareas con problemas y
especialmente para comprender algunos de los errores que cometen los alumnos en la resolución
de los mismos.
Las características a las que me voy a referir son:
A) FORMATO EXTERNO
B) NUMERO DE OPERACIONES
C) INDICACIONES DE RESOLUCION
D) SIGNIFICADO MATEMATICO
Hay otra característica que no voy a tratar y que también se puede observar antes de ser
resuelto el problema por los alumnos: es el número de soluciones del mismo.
(*) Departamento de Didáctica de la Matemática y Ciencias Experimentales de la U.P.V.

Como la mayor parte de los problemas que se plantean en Enseñanza Primaria son
problemas aritméticos, entendiendo como tal a los problemas en los que:
— Los datos y la pregunta son cantidades.
— Las condiciones son relaciones entre esas cantidades. — Para resolverlo hay
que hacer operaciones aritméticas.
Los ejemplos que propongo son de este tipo y están tomados de libros de texto de E.G.B. de
diversas editoriales. Por simplicidad, la mayor parte de ellos son de una etapa. Es decir, para
resolverlos, sólo hay que hacer una operación.
A continuación voy a explicar a qué hace referencia cada una de estas características y cómo
aumenta la dificultad del problema al variar estas características. Para una mejor comprensión
están ilustradas con algún ejemplo.
A) FORMATO EXTERNO
Hace referencia a:
1) Tamaño del problema.
2) Complejidad gramatical.
3) Datos.
4) Pregunta.
5) Secuencia del enunciado.
1) Tamaño del problema
Se refiere al número de frases del enunciado y el tamaño de las frases.
P. 1. 70 niños se ponen en fila. En cada fila hay 7 niños. ¿Cuántas filas hay?
P. 2. Setenta niños se colocan en filas de a siete. ¿Cuántas filas hay?
P. 3. ¿Cuántas filas hay colocándose 70 niños en filas de a siete?
P. 1 tiene tres frases separadas por un punto.
P. 2 tiene dos frases. Una de ellas contiene los datos y las condiciones y la otra la pregunta.
P. 3 tiene en una frase los datos, condiciones y pregunta.
Dificultad creciente
• Tres frases cortas.
• Dos frases cortas. -
• Una frase.
Esta jerarquización es notoria en los tres primeros cursos de E.G.B., ya que influye en la
comprensión del texto. En niveles superiores el in-cremento de dificultad no es significativo frente
a otras características del problema.2)

2)Complejidad gramatical
Se refiere a los significados de las palabras que aparecen en el enunciado y que hacen
referencia al contexto del problema. A aquellas palabras que son decisivas para la elección de la
operación, palabras clave, y no a las palabras nuevas para el alumno cuyo significado des-
conoce. Esas palabras clave generalmente son adjetivos y verbos.
Dificultades creciente
• Palabras propias de la terminología matemática como: añadir, juntar, quitar, sustraer,
repetir, repartir, dividir...
• Palabras de lenguaje usual no propias de la terminología matemática como: llenar, entrar,
coger, rebajar, comprar, perder...
P. 0. Pedro tenía 20 canicas. Le han quitado 7. ¿Cuántas tiene?
P. 1. Pedro tenía 20 canicas. Ha perdido 7. ¿Cuántas tiene ahora?
P. 2. Un librero ha recibido 48 libros. Quiere repartirlos en 7 estanterías todas iguales.
¿Cuántos libros colocará en cada estantería?
P. 3. Un librero ha comprado 48 libros. Quiere colocarlos en estanterías de forma que todas
tengan el mismo número de libros. ¿Cuántos libros colocará en cada estantería?
El P. 4 es más fácil que P. 5 y P. 6 es más fácil que P. 7.
3) Datos
Se refiere a la presentación de los datos. Estos pueden venir dados con dibujos, materiales
concretos, símbolos numéricos, nombre de los
P. 9. ¿Cuánto cuesta vallar un campo cuyos lados miden 160 m, 150 m, 210 m y 230 m, si el
metro de valla cuesta 300 ptas.?
En el P. 8 los datos vienen dados mediante el gráfico y la relación entre ellos también ya
que el dibujo sugiere la suma entre esos datos, mientras que el P. 9 carece de esa información
gráfica. En este último la forma del campo se obtiene a través del número de datos que
aparecen en el enunciado como medidas de los lados.
El P. 8 es más fácil que P. 9.
P. 10. A mamá la compra le ha costado 5.070 ptas. y ha entregado para pagarla 6.000 ptas.
¿Cuánto le han devuelto?
P. 11. A mamá la compra le ha costado cinco mil setenta pesetas y ha entregado para pagarla
seis mil pesetas. ¿Cuánto le han devuelto?

P. 10 es más fácil que P. 11 porque en P. 10 los datos vienen dados median te cifras
numéricas yen P. 11 los datos vienen expresados mediante el nombre de los números.
4) Pregunta
Se refiere a la situación de la pregunta en el enunciado.
Un librero ha comprado 48 libros y quiere colocarlos en estanterías de forma que todas tengan el
mismo número de libros. ¿Cuántos libros colocará en cada estantería?
Luis ha comprado 8 cuadernos iguales. ¿Cuánto cuesta cada cuaderno si se ha gastado 560
ptas.?
¿Cuánto cuesta un cuaderno si he comprado 8 iguales y me he gastado 560 ptas.?
El P. 12 tiene la pregunta al final del enunciado. P. 13 la tiene en medio, entre datos del
problema. P. 14 comienza el enunciado con la pregunta.
• Pregunta al final del enunciado.
• Pregunta en medio o al comienzo.
Entre P. 13 y P. 14 no hay diferencia significativa en dificultad. La dificultad de P. 13 y P. 14
frente a P. 12 radica en que el alumno ha de hacer un esfuerzo de estructuración temporal. En
este caso también son más difíciles por ser uno de los datos numéricos de tamaño mayor.
5) Secuenciación del enunciado
Se refiere al orden de presentación de los datos, si se corresponden o no con el orden en que
son utilizados para efectuar las operaciones que le llevan a la solución del problema.
Pedro se ha ido al cine con 560 ptas. y ahora tiene 180, ¿cuánto se ha gastado?
Pedro tiene ahora 180 ptas. y antes tenía 560. ¿Cuánto se ha gastado?
Los dos problemas se resuelven con la misma operación: 560 – 180
En P. 15 los datos aparecen en el mismo orden en que son utilizados para la resta mientras
que en P. 16 los datos aparecen en otro orden, por lo que es más difícil. En P. 16 algunos
alumnos/as suman para resolverlo a pesar de identificar la acción como una resta, pero al no
poder restar los números en el orden en que aparecen entonces suman.
• Datos en el mismo orden en que son utilizados en las operaciones.
• Datos en orden distinto en el que son utilizados en las operaciones.

Estas características de un problema son las que intervienen principalmente en la primera
etapa de la resolución del problema. Intervienen en el primer contacto del alumno con el
problema, en lo que llamamos comprensión del problema. Es la etapa de la resolución del
problema que mayores dificultades presenta en los niveles de Educación Primaria.
Es interesante tener presente estas características en el momento de diseñar problemas y
utilizarlos como recurso para el aprendizaje de un contenido. Podéis observar cómo a partir del
enunciado de un problema, con pequeñas modificaciones podemos crear otro problema nuevo con
una dificultad un poco mayor.
A partir de un problema vamos a ver las modificaciones que se pueden hacer para variar su
dificultad, atendiendo sólo a las características del formato externo señaladas aquí.
Ejemplo 1. Borja tiene que leer un libro de 900 hojas. Quiere repartir las hojas del libro entre los
15 días de vacaciones y leer todos días la misma cantidad de hojas. ¿Cuántas hojas le
toca leer cada día?
Variaciones respecto al tamaño del enunciado:
T. 1. Borja quiere que leer un libro de 900 hojas en 15 días y repartir las hojas por igual, cada día
la misma cantidad de hojas. ¿Cuántas hojas le toca leer cada día?
T. 2. ¿Cuántas hojas tiene que leer Borja cada día si debe leer un libro de 900 hojas en 15 días y
quiere leer la misma cantidad de hojas cada día?
Ejemplo 1 tiene tres frases, es más fácil que T. 1 que tiene dos frases. T. 1 es más fácil que T.
2 que tiene una frase.
Variaciones respecto a la complejidad gramatical:
G. 1. Borja tiene que leer un libro de 900 hojas. Quiere leerlo en los 15 días de vacaciones y leer
cada día la misma cantidad de hojas. ¿Cuántas hojas le toca leer cada día?
Ejemplo 1 es más fácil que G. 1 pues contiene en el enunciado la palabra repartir que es el
término matemático que se utiliza para la di-visión.
Variaciones respecto a la pregunta:
Como ejemplo pueden servir T. 1 y T. 2. T. 1 es más fácil que T. 2 por tener la pregunta al
final del enunciado.
Variaciones respecto a la secuencia verbal:
S. 1. Borja tiene 15 días de vacaciones y quiere leerse un libro de 900 hojas. Quiere repartirse las
hojas para leer cada día la misma cantidad. ¿Cuántas hojas tiene que leer cada día?
Ejemplo 1 es más fácil que S. 1 pues las cantidades aparecen en el mismo orden en que las
utiliza para efectuar la operación que le dará la solución.

B) NUMERO DE OPERACIONES
Esta característica se refiere al número mínimo de operaciones que ha de realizar el resolutor.
Está claro que el problema se podrá resolver con más operaciones.
P. 17. ¿Cuánto debo quitar a una barra de 3/4 de kg de pan para quedarme con 1/2 kg?
P. 18. Antes de vacaciones yo pesaba 32,5 kg. Durante las vacaciones engordé 2,75 kg. Pero
después de una gripe me hizo adelgazar 0,80 kg. ¿Cuánto pesaba después de la gripe?
P. 19. Por Navidad hice dos semanas de vacaciones; por Semana Santa hice una semana y tres
días; y en verano 30 días y dos semanas. ¿Qué tiempo de vacaciones he hecho en total?
¿Cuántos días re-presenta?
Para resolver P. 17 sólo hay que hacer una operación: 3/4 – 1/2
se dice que es un problema de una etapa.
Para resolver P. 18 hay que hacer dos operaciones, una suma y una resta:
32,5 kg + 2,75 kg = 35,25 kg
35,25 kg – 0,80 kg = 34,45 kg
se dice que es un problema de dos etapas.
Para resolver P. 19 hay que hacer más de dos operaciones, es un problema de más de dos
etapas.
• Problemas de una etapa.
• Problemas de dos etapas.
• Problemas de más de dos etapas.
C) INDICACIONES DE RESOLUCION
Esta característica se refiere al hecho de que haya o no alguna indicación para empezar a
resolver el problema.
P. 20. Por un casco de limonada me devuelven en la tienda 20 ptas., y por uno de vino 12 ptas.
He llevado a la tienda 25 cascos y me han devuelto 356 ptas. ¿Cuántos cascos de cada tipo
he llevado?
P. 21. Una familia va en su coche desde San Sebastián a Madrid y hay 490 km. Cuando paran a
comer el cuentakilómetros marca 187 km. ¿Cuántos km les quedan hasta llegar a Madrid?

Rodea la respuesta correcta:
490+187 490x187 490:187 490–187
187–490 187+490 187+317
P. 22. Escribe un problema que se resuelva con esta operación: 27 x 5.
El P. 20 es un problema que llamaríamos de estimación, se va acercando a la solución por
tanteos. Este problema tiene una indicación para resolverlo, resulta mucho más fácil que si el
problema se da sólo con el texto.
El P. 21 tiene entre las posibles soluciones casi todas las posibles combinaciones de las dos
cantidades dadas como datos y las cuatro operaciones. No conozco datos para decir si es más
difícil que el mismo problema sólo con el enunciado. Pienso que para algunos alumnos que no
tengan bien asimilado los conceptos de suma, resta..., puede resultar más difícil que el mismo
problema sólo con el enunciado. (Salvando las dificultades originadas por el uso de esa unidad de
longitud.)
El P. 22 tiene la operación necesaria para resolver el problema y para el alumno el problema
está en crear la historia. Resulta más difícil crear la historia más o menos real, posible, con
sentido, que resolver el problema dada la historia.
D) SIGNIFICADO MATEMATICO
Esta característica hace referencia al sentido del texto, al significado global del texto, a la
relación que se establece entre los datos. Hay situaciones o problemas que se resuelven con la
misma expresión matemática, como ocurre con los problemas P. 23 y P. 24 y, sin embargo,
corresponden a modelos matemáticos distintos. Esta característica es la que interviene en la
traducción del enunciado verbal a la expresión matemática y para explicarla voy a separarla en
dos partes, una para las operaciones suma y resta y la otra para producto y división.
Para la suma y resta hay tres tipos de problemas según el significado:
P. 23. Iván tiene en la hucha 223 ptas. Ha metido 125 ptas. ¿Cuánto tiene ahora?
P. 24. Iván tiene 223 ptas. y su hermano Borja 125 ptas. ¿Cuánto tienen entre los dos?
P. 25. Iván tiene 223 ptas. y su hermano Borja 247 ptas. ¿Cuántas ptas. tiene Borja más que
Iván?
En P. 23 hay una cantidad inicial, dinero de la hucha, que sufre una acción, meter 125, y hay
una cantidad final, el dinero que queda. A este tipo se le llama de cambio. Se caracterizan porque
siempre tiene un esquema como éste:

La acción puede producir un aumento de la cantidad inicial (es una suma) o una reducción (es
una resta). La pregunta del problema puede referirse a la cantidad inicial, a la acción o a la
cantidad final.
P. 23.a. Iván tenía en la hucha 223 ptas. Ayer le metió dinero su madre y ahora tiene 380 ptas.
¿Cuánto dinero le metió?
P. 23. b. Iván no recuerda la cantidad que tenía en la hucha. Hoy ha metido 85 ptas. y ahora tiene
en la hucha 315 ptas. ¿Cuánto tenía ayer en la hucha?
P. 23.c. Iván tenía en la hucha 325 ptas. Ha sacado para gastar 78 ptas. ¿Cuánto le queda ahora?
P. 23.d. Iván tenía 235 ptas. en la hucha. Ha sacado dinero para gastar y ahora le queda 185 ptas.
¿Cuánto ha sacado?
P. 23.e. Iván no se acuerda del dinero que tenía en la hucha. Hoy ha sacado 85 ptas. para
comprarse unas chucherías y ahora le que-dan 165 ptas. ¿Cuánto tenía ayer?
En este cuadro se observa la situación de la pregunta en el esquema de este tipo de problemas
de cambio.
En P. 24 hay dos cantidades como partes de un todo y la pregunta se refiere a ese todo. A
éstos se les llama de combinar. Sólo hay dos modelos de combinar, uno que responde al del P.
24 en el que conocidas las partes se pide el total (es un problema de sumar) y el otro modelo en el
que conocida una parte y el total se pide la otra parte (es un problema de restar) como el P. 24.a.
P. 24.a. Iván tiene 380 ptas. y entre suma hermano y él tienen 450 ptas. ¿Cuántas ptas. tiene su
hermano?
El P. 25 compara dos cantidades, observar que aparece el término más que. Hay una cantidad
comparada, dinero de Borja, otra cantidad con la que se compara o cantidad de referencia, dinero
de Iván, y en este caso se pide la diferencia. A éstos se les llama problemas de comparar.

Esquema:
c. comparada más que c. de referencia (c. comp. - c. refer.)
c. comparada menos que c. de referencia (c. refer. - c. comp.)
De estos tres tipos de significados para la suma - resta la dificultad crece:
Cambio
Combinar Esta jerarquía varía con el tamaño de
Comparar números.
Siempre es posible encontrar problemas que no encajan bien en estos tipos: cambio,
combinar y comparar como el siguiente:
P. 26. Pedro ganó 7 canicas por la mañana, perdió 3 canicas por la tarde y ganó 5 al día
siguiente. ¿Cuántas ganó en los dos días?
Está claro que es de cambio pues aparecen las acciones ganar y perder, pero no aparece la
cantidad inicial, ni la cantidad final. La pregunta hace referencia a los cambios. El problema lo
podríamos interpretar así:
c. inicial cambio cambio c. final
7 -3 +5 ?
Para el producto y la división también se pueden considerar 3 tipos según el significado de
las operaciones en el texto del problema:
P. 27. Hay 8 estanterías en una habitación. En cada estantería hay 7 libros. ¿Cuántos libros hay
en total?
P. 28. Un botellín tiene una capacidad de 25 cl. Una jarra se llena con 14 de estos botellines.
¿Qué capacidad tiene la jarra?
P. 29. Mi jardín tiene forma rectangular de 8 m de largo por 6 m de ancho. ¿Cuánto mide su
superficie?
Los tres se resuelven con un producto pero corresponden a modelos matemáticos distintos.
En P. 27 hay dos magnitudes: n.° de libros y n.° de estanterías y una correspondencia entre
ellas.
n.° de estanterías n.° de libros
1 7
2 14 8
A éstos se les llama problemas de correspondencia o razón.
En P. 28 sólo hay una magnitud, en este caso capacidad, y un escalar u operador, el 14.
capacidad operador capacidad
25 c1 14 ?
A éstos se les llama problemas de operador.
En P. 29 multiplicamos dos cantidades de longitud y obtenemos una cantidad de superficie.
Son problemas de producto cartesiano. De este tipo son todos los problemas de áreas y
volúmenes y los de combinatoria.

P. 30. En una Burger de mi ciudad venden sandwiches de 3 tipos de pan y de tres tipos de
relleno. ¿Cuántos tipos de sandwiches puedo pedir?
Este problema responde al modelo de multiplicación como producto cartesiano.
Dificultad creciente:
Producto como razón.
Producto como operador.
• Producto como p. cartesiano.
A continuación vamos a ver tres problemas de dos etapas para observar el significado
matemático de cada una de las operaciones y en el último también analizaremos todas las
características.
P. 31. Mi jardín tiene forma rectangular de 8 m de largo por 6 m de ancho. Quiero sembrarlo de
un césped que me cuesta a 500 ptas. el m.2
¿Cuánto me tengo que gastar en el césped?
Esquema:
Longitud Longitud Superficie
8 6 ? (P. cartesiano)
Superficie Correspondencia n.° de ptas.
48 x 500 ? (corresp.)
P. 32. Seis botellas de leche cuestan 468 ptas. ¿Cuánto cuestan 9 botellas de leche?
Este es un problema de regla de tres.
Esquema:
n.° de botellas correspon. n.° de ptas.
6 ? 468 (corresp.)
n.° de botellas correspon. n.° de ptas.
9 78 ? (corresp.)
Los dos son problemas de dos etapas y el significado de la operación puede ser distinto o no
en cada una de ellas como se ha podido observar.
P. 33. He comprado 2,25 m de tela en una tienda y 33,25 m en otra. Para los vestidos de mis
hijas he utilizado 12,25 m. ¿Cuánta tela me ha sobrado?
Vamos a analizar las características del problema. Es un p. de dos etapas:
1.a
etapa: 2,25 m + 33,25 m = 35,50 m suma
2.a
etapa: 35,50 m — 12,25 m = m que sobran resta
La pregunta viene al final. La palabra clave para la suma es comprar y para la resta es
utilizar. El significado matemático de la suma es combinar (conoce las partes y busca el todo, que
en el texto del problema se omite). El significado de la resta también es .combinar (se conoce el
todo y una parte y se pregunta por la otra).
Vamos a ver cómo actuaría ante este problema un alumno experimentado y un novato en
resolución de problemas:

Novato: Empezaría por la pregunta, por el final e iría hacia atrás. ¿Cuánta tela sobra?... sé lo
que ha gastado... necesito saber cuánta tenía... (sigue leyendo hacia atrás) es la que compró...
¿Cuánta compró?
Experimentado: Empieza por el principio del problema... Ha comprado... y... en total... m. Ha
gastado... luego sobra...
Este distinto modo de actuar es debido al hecho de que el alumno experimentado-tiene
mapas conceptuales más amplios con una red de conexiones mayor que el alumno novato.
Termino esta exposición presentando dos cuadros a modo de resumen para problemas
de una etapa. En horizontal aparecen las características de un problema y en cada columna el
orden de dificultad de cada una de esas características (de menor a mayor dificultad). Estos
cuadros pretenden recoger criterios a tener en cuenta a la hora de planificar tareas de
problemas; permiten secuencializar problemas atendiendo sólo a una característica.

LISTADO Y
EJEMPLIFICACION DE
ESTRATEGIAS
ETXEGARAI AGARA, F. LOPEZ SIERRA. G. (*)
En este artículo presentamos una serie de estrategias que consideramos idóneas y necesarias
para ser utilizadas por los alumnos de Educación Primaria en la resolución de problemas
matemáticos verbales. Estas estrategias no pretenden ser recetas, sino ayudas para comprender
el problema y sugerir caminos para llegar a la solución. Una estrategia es un procedimiento que
permite llegar a la solución de un problema partiendo del enunciado y, por tanto, nos sirve como
instrumento técnico que facilita la consecución de dicho objetivo.
En primer lugar, proponemos un listado de estrategias que, posteriormente, ejemplificamos
con enunciados de problemas sacados, básicamente, de libros de texto de C.I. y C.M. de E.G.B.
ESTRATEGIAS
1) Leer atentamente.
2) Repetir oralmente el problema utilizando palabras propias.
3) Observar las palabras más importantes que aparecen en el enunciado (la acción o
acciones que se relatan, las relaciones que se contienen...).
4) Subrayar o entresacar datos e incógnita.
5) Examinar la relación que se da entre los datos y la incógnita.
6) Representación del problema.
7) Dividir el problema en partes.
8) Resolver casos sencillos.
9) Empezar por el final.
10) Ensayo y error.
11) Clasificar problemas según sus modos de resolución.
12) Aplicar, de manera apropiada, los esquemas de resolución de problemas-tipo.
13) Expresar oralmente el modo que sé propone para resolver el problema.
14) Estimar la respuesta.
(*) Departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias Experimentales. U.P.V.

15) Examinar la solución.
16) Retrospección.
17) Proponer problemas.
Este listado, sin ser exhaustivo, presenta las estrategias que consideramos más aplicables a
la hora de ejercitar a los alumnos de los primeros niveles de enseñanza en la resolución de
problemas. Aunque no hemos pretendido secuencializar las estrategias, las hemos presentado en
un cierto orden en base a la siguiente agrupación:
A) ESTRATEGIAS DE ANALISIS.
B) ESTRATEGIAS DE RESOLUCION.
C) ESTRATEGIAS DE REVISION.
Hemos de advertir que esta clasificación no es excluyente ya que hay estrategias que pueden
ser consideradas en más de un grupo. Sin embargo, en la fase de análisis incluimos aquellas
estrategias que están más relacionadas con la lectura y comprensión del problema, entendiendo
que es en la educación Primaria donde hemos de dirigir la mayor parte de nuestros esfuerzos en
tareas de este tipo, es decir, en lograr que el niño comprenda la situación problemática planteada.
Las estrategias de resolución abarcan aquellas que hacen referencia a la concepción del plan
de resolución y las de revisión recogen las relativas a comprobación de resultados y reflexión del
proceso seguido.
Bajo el título «OTRAS ESTRATEGIAS» presentamos otras pautas para trabajar la resolución
de problemas, como son la invención por parte del alumno de situación problemáticas, y que
aunque no pertenezcan a ninguno de los grupos anteriores consideramos que es necesario
contemplar.
Antes de dar paso a la ejemplificación de las estrategias, queremos resaltar que las
expresiones dadas en la resolución de los problemas elegidos no pretender ser un modelo de
respuesta para el alumno, ya que, consideramos que algunas de las dadas no tienen por qué
corresponderse con las expresiones o formas de representación utilizadas por los alumnos de
estos niveles.
A) ESTRATEGIAS DE ANALISIS
1. LEER ATENTAMENTE
Aconsejar la lectura atenta del enunciado de un problema resulta evidente, pero
consideramos necesario resaltarlo pues con frecuencia, la prisa por entrar en el problema y
encontrar la solución provoca ignorar la información y, por tanto, entenderlo mal o equivocarlo
totalmente.
Es importante, sobre todo en este nivel (Educación Primaria), hacer que los alumnos lean
varias veces el problema (haciendo pausas en la lectura, entonación especial en la pregunta, etc.)
de forma que lleguen a comprender la información que en él aparece.
No ejemplificamos esta estrategia con ningún enunciado de problema por ser válida y
necesaria absolutamente para todos los problemas que se quieran resolver.

2. REPETIR ORALMENTE LO QUE RELATA EL PROBLEMA UTILIZANDO
PALABRAS PROPIAS
De la lectura atenta del problema no se desprende que el niño lo haya comprendido. El
camino hacia la comprensión incluye la familiarización con el contenido del texto como un
todo. Este «hacer suyo» el problema le llevará a determinar: de quién se habla, qué se dice de
él, qué hace, qué se quiere saber, etc.
Si detectamos que el alumno no es capaz de expresar claramente estas cuestiones, es
decir, que no ha entendido la situación planteada, sería conveniente ejemplificar a nivel
manipulativo el problema propuesto.
Problema 1
Roberto ha comprado un libro y un estuche de pinturas para el colegio. El libro le
ha costado 450 pesetas y es 120 pesetas más barato que el estuche. ¿Cuánto dinero le
ha costado el estuche?
En nuestro ejemplo debería ser capaz de expresar con sus palabras que: «Se trata de un
niño, Roberto, que ha comprado un libro y un estuche de pinturas. El libro le ha costado 450
pesetas y es de 120 pesetas más barato que el estuche de pinturas y se quiere saber cuánto
vale el estuche de pinturas».
3. OBSERVAR LAS PALABRAS MAS IMPORTANTES QUE APARECEN EN EL
ENUNCIADO (LA ACCION O ACCIONES QUE SE RELATAN, LAS RELACIONES
QUE SE CONTIENEN...)
El análisis del contenido del problema implica observar:
a) Las palabras más importantes.
b) La acción que se relata, mirando el verbo o verbos que se utilizan: vender, comprar,
coger, dar, añadir, quitar, meter, sacar, ir, venir, etc.
c) Las relaciones que se contienen: más que, menos que, tantos como, más joven, más
caro, más barato, mayor que, menor que...
Ejemplificando con el problema 1 sería:
a) Roberto, libro, estuche de pinturas, pesetas (dinero).
b) Comprar, costar.
c) Más barato.
4. SUBRAYAR O ENTRESACAR LOS DATOS E INCOGNITA
Para comenzar con el proceso de resolución lo primero que hay que hacer es aislar los
datos (lo conocido) y la incógnita (lo desconocido).
Problema 2
Maite tiene 15 sobres con 18 cromos dentro de cada uno. Si su hermano le pierde
28 cromos, ¿cuántos le quedarán?
El resolutor de este problema deberá empezar por entresacar los datos «15 sobres», «18
cromos en cada sobre», «28 cromos» e identificar la incógnita, «¿cuántos cromos le quedan?

5. EXAMINAR LA RELACION QUE SE DA ENTRE LOS DATOS Y LA INCOGNITA
Además de entresacar los datos y la incógnita es imprescindible para resolver el problema,
analizar las relaciones que se dan entre los mismos... Será el significado de las palabras
importantes (palabras clave) en el contexto del problema lo que nos llevará a seleccionar las
operaciones, entre qué cantidades y en qué orden.
Problema 3
En una tienda de comestibles hay 4 cajas de melones. La primera contiene 20
melones, la segunda 12, la tercera 5 menos que la primera y la cuarta 6 más que la
segunda. ¿Cuántos melones hay en la tienda?
Para conocer el número de melones que hay en la tienda (esto es, la incógnita) hemos de
determinar los melones que hay en cada caja:
— Sabemos cuantos melones contienen las cajas 1.a
y 2.a
porque son datos del problema.
— No sabemos el número de melones de las cajas 3.a
y 4.a
— Para determinar los que hay en la 3.a
caja hemos de saber los que tiene la 1.a
(lo
sabemos) y quitar 5 (una condición del problema).
Para determinar los melones de la caja 4.a
hemos de saber los que tiene la 2.a
(lo
sabemos) y añadir 6 (una condición del problema).
Llegado este momento, sólo faltará, para encontrar la solución del problema, efectuar los
cálculos indicados anteriormente y sumar el número de melones de cada caja.
6. REPRESENTACION DEL PROBLEMA
La representación gráfica es una estrategia tanto de análisis del con-tenido del problema
como de resolución del mismo, ya que, su realización nos puede ayudar a darnos cuenta de la
estructura del problema, orden de las operaciones, ir por partes (descomponer el problema),
idear el plan de solución y revisión del mismo.
Ejemplificando con el problema 3:

Si bien esta estrategia es útil para todo tipo de problemas, hay algunos en los que una
buena representación de los mismos nos da el resultado o nos induce a la operación a
realizar.
Problema 4
En Gatusca vivía una gata llamada Greta. Greta un día tuvo cuatro gatitas muy
robustas. Cuando estas gatas crecieron cada una de ellas tuvo a su vez cuatro gatitas,
también muy bonitas y con el asombro de todos los habitantes del pueblo ocurrió que
cada una de estas gatas tuvo a su vez cuatro gatitas. ¿Sabéis cuántas gatas inundaban
el pueblo?
7. DIVIDIR EL PROBLEMA EN PARTES
Se trata de descomponer el problema en partes más sencillas que puedan resolverse una
a una. La utilización de esta estrategia está ejemplificada con el problema 3 donde no nos
daban explícitamente los datos para encontrar la solución y, por tanto, debíamos encontrar
incógnitas intermedias (número de melones de las cajas 3.a
y 4.a
). Otras ejemplificaciones son:
Problema 5
¿Qué día siguió al día de anteayer, si dentro de dos días será domingo?
—Si dentro de dos días será domingo, hoy es viernes.
—Si hoy es viernes anteayer fue miércoles.
— El día siguiente al miércoles es el jueves.
Esta estrategia es útil también en la resolución de problemas geométricos (cálculos de
áreas, volúmenes...).

Problema 6
Calcula la superficie de esta figura teniendo en cuenta que los datos están
expresados en centímetros:
8. RESOLVER CASOS SENCILLOS
Con esta estrategia tratamos de solucionar el problema planteado simplificando la tarea y
comenzando a analizar una situación similar más sencilla. De este modo, paso a paso, puede
llegarse a encontrar la solución a la cuestión inicial.
Problema 7
En un campeonato de fútbol que se juega por simple eliminación (en cuanto
pierde una vez el equipo queda eliminado) se han inscrito 7 equipos. Si cada partido
lo ha de dirigir un árbitro diferente, ¿cuántos árbitros se necesitarán durante el
campeonato?

— Si suponemos que participan sólo dos equipos, se necesitaría un árbitro pues solamente se
disputaría un partido.
— Si hubiera tres equipos harían falta dos árbitros (uno para el primer partido y otro para el
partido entre el vencedor del primer encuentro y el otro equipo).
— Si fueran cuatro equipos se necesitarían tres árbitros (uno para cada uno de los encuentros
preliminares y otro para el partido final).
Número de equipos _______________ Número de árbitros _____
2 1
3 2
4 3
… …
Problema 8
¿Podrías encajar estas nueve piezas dentro del cuadrado?
La propuesta en práctica de esta estrategia llevará a tratar de colocar primero las piezas de
las esquinas, posteriormente las de los lados para finalizar colocando las del centro.

9. EMPEZAR POR EL FINAL
En muchas ocasiones es más fácil resolver un problema yendo de fin a principio que de
principio a fin, como ocurre a veces en la búsqueda del camino en un laberinto.
En términos generales, esta estrategia resulta útil siempre que el estado final u objetivo
del problema esté claro y sea el estado inicial el que no lo está (ver Problema 5).
Problema 9
Son las tres de la tarde y Juan ha sido invitado a la fiesta de cumpleaños que su
amigo Carlos va a dar en su casa de Irún a las cinco de la tarde. De los trenes que van a
Irún uno sale a las cuatro de la tarde y el otro a las cuatro y veinte. La duración del
trayecto es para los dos trenes de 45 minutos. Juan sabe que de la estación del tren a
casa de Carlos tarda 10 minutos andando. ¿Qué tren deberá tomar para llegar a tiempo
a la fiesta?
Para llegar a las cinco a casa de Carlos ha de estar en la estación de Irún a las 4h. 50'. El
tren tarda 45' en realizar el recorrido por lo que deberá tomarlo no más tarde de las 4h. 05'.
10. ENSAYO Y ERROR
Esta estrategia de resolución de problemas es especialmente útil pues conduce a
clarificar lo que se está buscando y a aproximarse a la solución a través de la realización de
sucesivos ensayos.
Problema 10
Encontrar el número que al multiplicarlo por 6 y sumarle 7 da como resultado 55.
— Probamos con 10: 10 x 6 = 60 que ya es mayor que 55, luego el número que buscamos
es menor que 10.
— Probamos con 5: 5 x 6 = 30. 30 + 7 = 37, que -es que es menor que 55, luego el
número que buscamos es mayor que 5.
11. CLASIFICAR PROBLEMAS SEGUN SUS MODOS DE RESOLUCION
Se trata de reconocer que el problema planteado pertenece a una clase o tipo de
problema que se resuelve de una determinada forma.

El resolutor deberá darse cuenta que el problema al que se enfrenta es de porcentajes.
Una vez tomada esta decisión, la solución surgirá de:
12. APLICAR, DE MANERA APROPIADA, LOS ESQUEMAS DE RESOLUCION DE
ESTOS PROBLEMAS-TIPO
Pantalón
Precio antes de la rebaja: 4.860 ptas.
Rebaja del 15%: (15 x 4.860) / 100 = 729. Luego la rebaja es de 729 ptas.
Precio después de la rebaja: 4.860 x 729 = 4.131. Por tanto, el pantalón cuesta 4.131 ptas.
13. EXPRESAR ORALMENTE EL MODO QUE SE PROPONE PARA RESOLVER EL
PROBLEMA
El alumno ha de ser capaz de expresar aquello que está haciendo, es decir, ha de
explicitar de forma oral sus pensamientos antes de ejecutar cualquier operación o iniciar algún
proceso. Este proceso de reflexión le ayudará a una mejor comprensión y relación de los
conceptos que fundamentan el problema.
14. ESTIMAR LA RESPUESTA
La estimación de la solución cumple una función heurística en el proceso de resolución, en
el sentido de que la acción de estimar incita al alumno a analizar sistemáticamente el problema
y verificar posterior-mente la solución hallada.
No se trata de adivinar o pronosticar un dato numérico, sino de dar razón sobre el sentido
del resultado y, de esta forma, no aceptar como razonables resultados absurdos.

Problema 12
Cinco pasteles cuestan 300 pesetas. Una señora compra 6 pasteles y entrega 500 pesetas.
¿Cuánto dinero le devolverán?
Estimar la respuesta le llevará a tener presente que:
Le devolverán dinero (pesetas).
— Le han de devolver menos de 200 pesetas.
C) ESTRATEGIAS DE REVISION
15. EXAMINAR LA SOLUCION
Se trata de ver si el resultado obtenido es coherente con el contexto del problema. Es decir, mirar si
la respuesta dada está completa (por ejemplo, si se ha olvidado la unidad), comprobar si es lógica o no
disparatada (orden de magnitud adecuado) y, a ser posible, si es correcta.
Problema 13
En una granja hay 500 gallinas. Cada gallina pone 4 huevos a la semana. ¿Cuántos huevos pone
cada gallina al cabo de 4 semanas?
Un análisis de la solución llevaría a comprobar:
Que la respuesta se ha de referir a número de huevos. — Que no ha de ser desproporcionada
a la vista de los datos.
Es posible que, por ejemplo, la contestación automática sea 8.000 huevos, resulta de la operación
500 x 4 x 4. ¿Nos asombra el resultado? ¿Es posible que si una gallina pone 4 huevos a la semana, en 4
semanas haya puesto 8.000?
RETROSPECCION
Es conveniente que el alumno, después de haber dado su respuesta al problema, explicite el
procedimiento seguido para obtener la respuesta. Este proceso de reflexión obligará al resolutor a
verbalizar sus pensamientos.
D) OTRAS ESTRATEGIAS
PROPONER PROBLEMAS
La creación de situaciones problemáticas obligará al alumno a trabajar con lógica, a desarrollar la
imaginación matemática y le habituará en el manejo de un lenguaje y un vocabulario no dominado
todavía.
La invención de problemas por parte del alumno no será totalmente libre sino que estará sometida a
algunos condicionantes. Atendiendo a esto, podemos considerar los distintos tipos de problemas a
proponer:

— Dadas las preguntas redactar los enunciados
∗ ¿Cuántos libros compré?
∗ ¿Cuántas personas viajan en el tren?
— Dados los datos, formular la pregunta
∗ Luis tenía 72 cromos. Perdió 23.
∗ Observa e invéntate un problema.
— Dadas las operaciones o expresiones aritméticas enunciar problemas
• Escribe un problema que se solucione con una suma y una multiplicación.
• Inventa un problema que se solucione con 327 x 14 =.

CONVENIENCIA DE USAR
UN PROTOCOLO COMO
FORMA DE EXPRESION
EN LA RESOLUCION DE
UN PROBLEMA.
PROPUESTA
ARRIETA ILLARRAMENDI, M. SANZ LERMA, I. (*)
TAREAS ESCOLARES DE RESOLUCION DE PROBLEMAS
Un objetivo esencial de la enseñanza de la Matemática en Primaria es «Elaborar y utilizar
estrategias personales de estimación, cálculo mental y orientación espacial para la resolución de
problemas sencillos, modificándolas si fuera necesario» y el primer criterio de evaluación es «Re-
solver problemas sencillos de su entorno aplicando las cuatro operaciones en las que intervengan
números naturales, utilizando estrategias personales de resolución» (DCB, 1992) por lo que
parece obvio que haya que hacer un trabajo sistemático que refleje la doble finalidad que se le
asigna a la resolución de problemas:
— Como aplicación de conceptos y mecanismos ya adquiridos. — Como desarrollo de
estrategias de resolución.
De todas formas no hay que olvidar que el primer curso de Primaria y hasta que el alumno se
asiente en la lectura y escritura la resolución de problemas irá muy asociada a un planteamiento
oral y manipulativo lo más próximo posible a contextos muy cercanos al propio alumno.
Como complemento de estas actividades orales y manipulativas el alumno puede realizar
actividades de iniciación en resolución de problemas, que aparecen pautadas, en lo que
llamaremos genéricamente «libros del alumno». Es una pena que algunas veces estas actividades
se transformen en meras actividades de calco y copia, si no se deja al alumno utilizar
adecuadamente los libros de-Ciclo Inicial, con los esquemas y pautas de trabajo que contienen,
especialmente preparados para asentar la expresión escrita y la gráfica y simbólica propia de ese
nivel.
(*) Departamento de Didáctica de la Matemática y de las Ciencias Experimentales. U.P.V.

A medida que el alumno vaya dominando la lectura y escritura y comience a resolver los
diferentes problemas planteados por el maestro y los libros de texto será el momento apropiado
para iniciar un trabajo sistemático que irá encaminado a marcar una pauta de acción, ligada a
estrategias de resolución de problemas y otra pauta de expresión, ligada a un protocolo de
presentación. Estas pautas han de estar asumidas por el maestro. El alumno, con el
entrenamiento conveniente, podrá convertir dichas pautas de acción y de expresión en hábito
de actuación ante cualquier problema.
El principal campo de problemas en la Enseñanza Primaria y casi el único con cierta
estructura, es el de los problemas aritméticos (ver artículo de E. Pardo) y en él centraremos
nuestra propuesta.
Conviene distinguir dos fases de trabajo en las tareas escolares de resolución de problemas.
La primera corresponde al trabajo previo que el maestro hace con los alumnos motivándolos y
eligiendo un prototipo e ilustrando con él las estrategias usuales del proceso de resolución: lec-
tura-comprensión, análisis-concepción y ejecución-verificación (Polya, 1957; Schoenfeld, 1979;
Puig y Cerdá, 1988). Esta 1.a
fase se realiza en gran grupo o en pequeños grupos y marca las
pautas de acción con que habrá de trabajarse. La 2.a
fase corresponde a un nivel individual
cuando se resuelven los problemas habituales planteados a lo largo del curso.
En el nivel de Enseñanza Primaria esas pautas de acción a que nos referimos podrían ser,
para problemas esencialmente cerrados, los siguientes:
— Lee pausadamente y con entonación el enunciado.
— ¿Qué cuenta el problema?
— ¿Qué datos se conocen?
— ¿Qué pide el problema?
— Explica a tu manera lo que el problema dice.
— ¿Podríamos hacer un esquema-dibujo que nos ayude a comprenderlo?
— ¿Qué tendríamos que hacer para calcular lo que nos piden?
— Revisa si se han empleado todos los datos y si sobra o falta alguno.
— ¿Lo hemos hecho bien? ¿Hemos respondido a la pregunta del problema?
(Para un planteamiento más general ver artículo de F. Etxegarai y G. López en este mismo
número.)
Este trabajo sistemático y organizado estimamos que hay que extenderlo a la presentación
formal de la resolución, por lo que defendemos el uso de un protocolo de expresión; lo cual no
es incompatible con el uso de protocolos de resolución o pautas de acción, que reflejen
estrategias más generales.
OBJETIVOS DE USO DE UN PROTOCOLO
El uso de un protocolo puede ayudar a situarse dentro de un campo de problemas ya que
de algún modo su estructura deberá corresponderse

con alguna de las tareas que hay que realizar para resolver los problemas del campo, además de
contener otros elementos de valor comunicativo.
Los objetivos de su uso pueden ser:
— Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo.
— Acostumbrarse a expresar por escrito los procesos de resolución.
— Mejorar las formas de expresión gráfica y simbólica.
— Lograr un expresión clara y ordenada que facilite la comunicación con el resto del grupo
y con el profesor.
— Informar al profesor del tipo de pensamiento del alumno.
— Ayudar a la memoria a través de una mejora en la estructuración de las actividades.
— Permitir distinguir errores de cálculos de errores de planteamiento.
— Ayudar a autocorregirse y a autoevaluarse.
Un riesgo a controlar es que el protocolo constriña la libre expresión del alumno, por lo que
el propio protocolo debe prever esta necesidad expresiva.
ESTRUCTURA DE UN PROTOCOLO
Diferentes libros de texto de Editoriales como ONDA, EDELVIVES, BARCANOVA ya sugieren
la conveniencia de incluir un protocolo. BARCANOVA lo hace contemplando sólo dos etapas de la
resolución: el planteamiento (que incluye la comprensión y la organización) y las operaciones,
resaltando la solución obtenida. Las editoriales EDELVIVES y ONDA proponen además que
figuren los datos y lo que hay que hallar (Alcalá del Olmo, 1986) o incluso el dibujo de un
esquema (Canals, 1983).
En nuestra opinión este protocolo de expresión debería abarcar las pautas de acción que
hemos indicado para niveles de Primaria y diferenciar básicamente, aunque agrupados con otro
criterio, los tres grandes grupos de estrategias del proceso de resolución, por lo que debería
con-templar esencialmente:
1.° Hacer un esquema que recoja gráfica o simbólicamente la in-formación relevante y
necesaria del problema, datos conocidos y por conocer, de forma global y coherente para que
facilite su compresión, excluyendo lo que son meramente dibujos de los objetos o situaciones.
En suma, un esquema que implique comprensión del texto.
2.° Planteamiento-organización del problema con los pasos necesarios y
ordenados para llegar a la solución. Esto implica comprensión de la estructura del
problema, o sea la estructuración profunda de lo que el problema dice.
Conviene resaltar el resultado para permitir así un último momento de reflexión sobre
la pertinencia del mismo.
3.° Operaciones y cálculos algorítmicos necesarios para'
la obtención del resultado
realizados con «lápiz y papel» o calculadora. Lo que implica dominio del cálculo y de los recursos
necesarios.

Esta diferenciación de las etapas del proceso, permite al alumno una reflexión ordenada y
organizada, facilitándole un posterior control del trabajo realizado y permitiendo además al
maestro detectar la fase del proceso que no domina el alumno.
Una vez trabajados los problemas correspondientes al campo deseado y que suelen estar
ordenados en los libros y en el trabajo sistemático de clase en orden creciente de dificultad (ver
artículo de Elisa Pardo), aunque el grado de dificultad es muy importante a la hora de corregirlos,
el objetivo ha de ser llegar a trabajarlos todos mezclados, dentro de un tipo y tamaño de número o
cantidades.
Por otra parte, el maestro puede elegir aquellos en los que ha detectado más dificultades y
plantearlos en la pizarra recordando e insistiendo en todos los pasos que conviene dar para atacar
un problema con ciertas garantías.
Simultáneamente al trabajo con problemas como aplicación de los conceptos adquiridos hay
que trabajar problemas abiertos, con datos que sobran o faltan, sin solución o con más de una
solución, etc. (Rico y otros, 1990), trabajando las propias estrategias de resolución pero siempre
que se haga de forma sistemática y buscando la participación de los alumnos.
PROPUESTA
Proponemos dividir la zona de presentación en tres partes diferenciadas mediante dos líneas
verticales. La 1.a
parte (ESQUEMA) comprenderá como mínimo los datos conocidos y por conocer y
de forma gráfica y simbólica el contenido relevante del enunciado. La 2.a
parte (PLANTEA-MIENTO)
comprenderá la organización y el planteamiento del problema resaltando la solución y la 3.a
parte
(OPERACIONES) comprenderá las operaciones o el cálculo propiamente dicho:
PROTOCOLO DE RESOLUCION (PAUTAS DE ACCION) Problema
Veintiocho personas han de subir al 10.° piso de un edificio. En cada viaje sólo pueden subir 6
personas. ¿Cuántos viajes serán precisos? ¿Cuántas personas subirán en el último viaje?
ESQUEMA PLANTEAMIENTO OPERACIONES
• Datos conocidos
• ¿Qué nos piden?
• ¿Puedo hacer un
Dibujo que me
ayude a
comprenderlo?
• ¿Cómo organizo los
datos?
• ¿Qué pasos puedo dar
para obtener el
resultado?
• Resaltar el resultado
• ¿Está completa la
respuesta?
• ¿Tiene sentido lo que
he hecho y obtenido?
• Cálculos
• Comprobación prueba
del 9 o calculadora

PROTOCOLO DE EXPRESION (PRESENTACION) Problema
Veintiocho personas ha de subir al 10.° piso de un edificio. En cada viaje sólo pueden subir 6
personas. ¿Cuántos viajes serán precisos? Cuántas personas subirán en el último viaje?
EJEMPLOS DE RESOLUCION Problema 1
Ocho billetes de tren me ha costado 608 pesetas. ¿Cuánto ha costado cada billete?
Problema 2
Dos coches quieren llegar a las 12 del mediodía a otra ciudad que está a 360 km de
distancia. Uno de ellos circula por la autopista a una media de 120 km/hora y el otro por la
nacional a una media de 90 km/ hora. ¿A qué hora deberá salir cada uno?

Problema 3
En un barrio residencial hay 4 calles paralelas consecutivas llamadas Clavel, Rosa, Lirio
y Margarita y otras 4 paralelas entre sí y perpendiculares a las anteriores cuyos nombres
consecutivos son Pino, Haya, Roble y Abeto. Todas las manzanas son iguales de 60 m de
largo al igual que las calles que tienen una anchura de 15 m. ¿Qué distancia tendrá que
recorrer un peatón para ir del cruce de las calles Clavel-Pino al cruce Lirio-Abeto?
Problema 4
Un fabricante de pinceles los empaqueta en cajas de 24. Si le han encargado 15 cajas y
cada pincel vale 105 pesetas, ¿cuánto le costará el encargo?

El protocolo de resolución o pautas de acción deberá tenerlo el maestro y suministrarse a cada grupo
de alumnos, o a cada alumno individualmente, al comienzo del curso. El protocolo de expresión figurará
en el libro o cuaderno de trabajo. Si no figura, el propio alumno dividirá en tres partes la zona
correspondiente a la resolución con dos rayas verticales. Ambos protocolos, éstos u otros análogos,
asumidos previamente por el maestro, deberán ser seguidos por el alumno de forma sistemática cuando se
enfrente a cualquier problema que le plantee el maestro. El propio maestro lo deberá seguir en todas las
fases de explicación, corrección o incluso evaluación.
Como el uso de cualquier protocolo pueda limitar la libre expresión del alumno el maestro debe
impulsar el uso de expresión gráfica y simbólica lo más naturales posibles, diferentes vías de llegar a la
solución..., y evitar aspectos negativos que aparecen incluso en libros de texto: copias excesivas de
enunciados o partes del mismo, uso de dibujos o figuras irrelevantes...
A medida que los problemas vayan siendo más complejos o se trate de trabajo en grupo, donde se da
al alumno toda una hoja en blanco para expresar el proceso seguido, se puede modificar la forma del
protocolo sin variar su estructura, por ejemplo así:

PROBLEMAS Y
COMENTARIOS
FERNANDO FOUZ
SANTIAGO FERNANDEZ
LUIS PEREDA
PETO BERNAOLA
1. ¿Cuántas estrellas hay en el siguiente dibujo?
COMENTARIO
Se trataría de trabajar estrategias de contar.
Posibles estrategias:
Cuadricular la distribución y contar cada parte (sumar).
Contar de diez en diez y enmarcarlos con numeración consecutiva (multiplicación).
Numerarlos uno a uno.
Trazar paralelas oblicuas y contar por zonas.

2. JUEGO DE ASIGNACION DE NUMEROS: Reglas:
Señalar turnos.
∗ Elegir dos números de entre los seis que hay debajo.
∗ Marcar un cuadro que indique su suma.
∗ Tres dibujos en línea es el ganador
1 2 3
1 2 3
3. JUEGO DE LAS SUMAS ESTIMATIVAS: Señala dos números:
33 36 45 26 9 53 3 '
12 43
19 16 23 49 29 32 42
Suma los números señalados (con o sin calculadora).
Calcula la caja de tu respuesta y sigue la pista de tus puntos:

4. JUEGO DE LAS MULTIPLICACIONES ESTIMATIVAS: Señala dos números de la siguiente
lista:
58 21 57 46 71 19 61 11
68 47 18 51 24 39 42 23
52 17 55 38
Multiplícalos utilizando la calculadora:
Calcula la caja de tu respuesta y sigue la pista de tus puntos:

6. JUEGO DE LAS RESTAS (para dos equipos). Cómo jugar:
1.° Los equipos juegan por turnos. Marcan dos números de los que hay en la burbuja.
2.° Restan los números marcados.
3.° Si la respuesta está dentro del tablero del juego, la marcarán con una «X» o «0».
Gana el que consigue un camino de lado a lado.

8. ¿Cuántos bloques hay en cada construcción? Explicar la estrategia de cálculo.

8. CALCULO DE NUMEROS SIGUIENDO PISTAS CON COLORES
Coloca en cada cuadrado el número encontrado.

10. Cada muchacho tiene un número secreto. ¿Puedes calcularlos?

11. Corta a lo largo de las líneas discontinuas y ordena los dibujos.

12. Colorear las figuras según su crecimiento, utilizando un criterio de colores dado, p.e.: La
más pequeña azul, la siguiente verde, etc.

13. Coloca los carteles de abajo en los rectángulos de arriba de acuerdo a un orden correcto.

14. COLOREANDO CUADRADOS
Se necesitan lápices de dos colores. Colorea cada casilla de cuatro cuadrados, con dos colores
de forma diferente en cada caso. ¿De cuántas maneras lo puedes hacer? En cada cuadrado de
cada casilla sólo puede ir un color. En un segundo caso trata de resolver utilizando tres colores.

16. Completa los espacios en blanco en cada retícula de cuadrados:

17. Coloca un punto en el primer cuadrado, dos en el segundo, tres en el tercero, ¿cuántos
tendrás en cada conjunto de cuadrados?

33. REFERENCIAS DE MEDIDAS CORPORALES
Suponiendo las siguientes medidas de referencia tomadas a partir de elementos del
propio cuerpo, contestar a las preguntas que figuran al final.
........................... dedos tiene una palma
........................... dedos hacen una cuarta
........................... dedos hacen un pie
........................... palmas hacen un pie
........................... palmas hacen un paso
........................... palmas hacen una braza
........................... pies hacen un paso
........................... pies hacen una braza
........................... cuartas hacen un brazo
........................... cuartas hacen una braza
¿Cuál es mayor un pie o una palma? ¿Un pie o una cuarta?

34. Con las medidas anteriores de palma, cuarta, brazo, pie y paso. Calcular la longitud
de los elementos indicados en el cuadro.

35. RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO TRES EN RAYA
Elige algún problema de los de abajo, calcula la respuesta al problema, y luego, coloca una
«X» en el tres en raya. Gana el que coloca tres «X» en raya.
a) Tienes tres coches y Susana te trae cuatro más. ¿Cuántos tienes? b)-Tienes 5 pesetas y
consigues 5 más. ¿Cuántas tienes?
c) Tienes un lápiz amarillo, otro rojo y otro azul. ¿Cuántos tienes?
d) Hay 6 peces en una pecera y en otra 3. ¿Cuántos peces hay en total?
e) Un parque tiene 4 columpios y 2 toboganes. ¿En cuántas cosas puedes jugar?
f) Luis cuenta a 5 chicos jugando al fútbol y Ana a 6 chicas. ¿Cuántos están jugando en
total?
g) Tenemos dos raquetas y el entrenador nos da 6 nuevas. ¿Cuántos tenemos?
h) Tu madre te da 2 galletas y tu hermano otra más y tu hermana una más. ¿Cuántas has
conseguido?
i) Tú te has comido 2 hamburguesas y tu padre 3. ¿Cuántas habéis comido?
Nota: Es conveniente que antes de jugar resuelvas todos los problemas y sepas las
respuestas.

36. RESOLUCION DE PROBLEMAS UTILIZANDO TRES EN RAYA
Hacemos lo mismo que en el problema anterior (problema n.° 35).
a) Añade 7 a un n.° desconocido para obtener 15. ¿Cuál es el n.°?
b) Resta 6 a un n.° desconocido para obtener 3. ¿Cuál es el n.°?
c) Resta 5 a un n.° desconocido y luego añade 8, obteniendo 10. ¿Cuál es el número?
d) Suma un n.° desconocido consigo mismo, réstale 4 y obtienes O. ¿Cuál es el número?
e) Resta 7 a un n.° desconocido y obtienes 3. ¿Cuál es el n.°?
f) Añade 17 a un n.° desconocido y obtienes 20. ¿Cuál es el n.°?
g) Resta 3 a un n.° y luego añádele 9 para obtener 10. ¿Cuál es el n.°?
h) Añade 8 a un n.° desconocido y luego réstale 8, obteniendo 5. ¿Cuál es el n.°?
i) Sumando un n.° consigo mismo se obtiene 12. ¿Cuál es el n.°?

ALGUNAS INVESTIGACIONES
39. ¿Cuántos cumpleaños se celebrarán en tu clase durante el próximo año?
40. ¿De cuántas maneras se pueden repartir 7 caramelos entre dos niños?
41. En una caja tenemos tres manzanas. ¿Cómo puedes dar una manzana a cada una de
tres niñas y, todavía, tener una en la caja?
42. ¿De cuántas formas distintas puedes tener 25 pesetas con monedas de 5 y 10 pesetas?
43. Si tienes 10 puntos, ¿cuántos segmentos necesitas para unirlos dos a dos?
44. Si tienes un papel cuadrado, ¿de cuántas formas distintas lo puedes doblar por la mitad?
45. ¿Cuántas formas distintas puedes construir con 4 cubos?
46. Escribe diez ejercicios de cálculo que tengan como respuesta 144. Utiliza las cuatro
operaciones, pero sólo una vez en cada ejercicio.
DIVERSOS PROBLEMAS
47. Si decidiéramos que el día tuviera 40 horas, esas horas tendrían que ser más cortas que
las actuales, sin duda, pero, ¿cuánto más cortas? ¿Cuántos minutos tendría cada hora? ¿Qué
hora sería en el momento en que ahora son las 3 de la madrugada?, y ¿qué hora actual serían
las 30:00?
La relación que hay entre 24 y 40 es de 3/5• A partir de ahí todo) resulta más fácil. En
realidad es un caso de proporcionalidad.
48. Estamos a 90 km de Jaén y son las 15,15.
¿Cuál deberá ser a partir de ahora nuestra velocidad media si pretendemos estar en Jaén a
las 16,00? (Procura hacerlo mentalmente).
Sólo tengo tres cuartos de hora para recorrer 90 km: a 30 km por cuarto de hora, o sea…a
120 km/h

49. Si eliminásemos del calendario los lunes y los martes (tan impopulares, por otra parte),
las semanas serían de 5 días. ¿Cómo reorganizaríamos el calendario?
¿Cuántas semanas tendría el año? ¿Podrían tener entonces los meses el mismo número
de días? ¿Y si reservásemos una semana «especial» para Fiestas de Fin de Año?, etc.
50. En un torneo de fútbol veraniego, cada uno de los tres equipos participantes se debe
enfrentar a cada uno de los dos restantes. ¿Cuántos partidos se jugarán en total? ¿Y si fueran
cuatro los equipos? ¿Y si son 5? ¿Y si son 6? ¿Podríamos deducir una regla general para n
equipos?
Una forma de verlo geométricamente es situar a cada equipo en el vértice de un polígono
regular de n lados; cada lado o diagonal es
un encuentro.
Por cierto: ¿cuál sería la fórmula para hallar el n•° de diagonales . de un polígono regular de
n lados? Aquí nos ayuda considerar que una diagonal no puede unir un vértice con sus
contiguos ni consigo mismo.
51. Una cadena de supermercados ofrece al cliente una cartilla que cuesta mil pesetas
mensuales, pero que supone un descuento de un 5% en las compras mensuales de ese
establecimiento. ¿A partir de qué importe de compra mensual comienza a ser rentable la cartilla
para el cliente? (Hacerlo mentalmente)•
(Es un problema de porcentajes en sentido inverso de lo habitual)
52. Un reloj digital, ¿cuántas veces marca una hora capicúa de tres dígitos desde las 0:00
(incluida) hasta las 10:00?
De los posibles capicúas de tres cifras de estructura nan, tienes tanto a como n menores de
10, hemos de descartar los valores de a superiores a 5, ya que 3:63; 3:73, etc., no son horas del
reloj. Por tanto, valores de a: 0, 1, 2, 3, 4, 5• Y valores de n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Total:
6•
10=60 veces.
53. Un círculo que mide medio metro de radio, ¿es la mitad de grande que otro que mide un
metro de radio? ¿Qué relación de tamaño hay entre los dos? ¿Por qué?
No es la mitad, sino cuatro veces menor:
Al ser r= R/2 , пr² será п R²/4
54. He medido los lados de un triángulo: 12 cm, 30 cm y 17 cm• Creo que me he equivocado
en alguna medición ¿Por qué?
Un lado no puede ser mayor que la suma de los otros dos (no se «cerraría» el triángulo)
También podemos probar que en todo triángulo un lado es mayor que la diferencia entre los
otros dos. Partiendo de a<b+c, y restando c de ambos miembros, resulta: b<c>a, o lo que es lo
mismo: a>b—c.

ALGUNOS CLASICOS
55. En un corral hay gallinas y conejos, el número de cabezas es igual a 32, el número total de
patas es igual a 100. ¿Cuántas gallinas y conejos
hay?
56. Una piscina la llena un grifo en 120 horas y otro grifo la llena en 60 horas. ¿Los dos juntos
en cuántas horas la llenarán?
57. Dos pueblos cercanos tienen por costumbre tirar cohetes, el primero lo hace cada 10 días y
el segundo pueblo lo hace cada 12 días. Si el 1 de agosto los dos pueblos coincidieron en la tirada
de cohetes. ¿Cuándo volverán a coincidir?
58. Un panadero le dice a un cliente: «Un pan de los que yo hago pesa 112 Kg. más medio
pan». ¿Cuánto pesa el pan?
59. El jardín de una casa tiene forma rectangular, de medidas: 15 m por 10 m. ¿Cuál es la
distancia más larga, caminando en línea recta, que el propietario de la casa puede caminar?
60. En el tablón de un colegio, Javier vio el siguiente cuadro:
Ayudadle a Javier a contestar a las siguientes preguntas:
¿Cuántos partidos se jugaron durante todo el campeonato?
¿Cuántos partidos acabaron en empate?
Y a rellenar la siguiente tabla, donde deben aparecer los resultados de todos los partidos del
campeonato.

61. Calculad el peso de cada cual.
62. Observa el dibujo. La barra más grande pesa 6 kg más que las dos barras pequeñas
juntas. ¿Cuánto pesa cada barra?
63. Andrés ha comprado en un kiosko varias postales para mandar a sus amigos. En el
kiosko había postales de 15 ptas. y de 25 ptas. En total ha pagado 145 ptas. ¿Cuántas
postales ha comprado de cada clase? ¿Y si se hubiera gastado 155 ptas.?
64. En un campamento, a dos scouts, Asier y Amaya, les castigaron a pelar 400 patatas.
Asier, que era muy habilidoso, mondaba 3 patatas por minuto, y Amaya solamente 2. Amaya
trabajó 25 minutos más que Asier. ¿Cuánto tiempo trabajó cada uno?
65. Si sabemos que el dividendo de una división es 144 y el cociente es 5. ¿Podemos
hallar el resto? ¿Por qué?
66. En una granja ha 4.500 gallinas. Por término medio, cada 10 gallinas ponen 20 huevos
en tres días. ¿ Cuántos huevos se recogen en esa granja al cabo de un mes de 30 días?

67. «En un plato hay 20 frutas de cuatro tipos diferentes. Hemos contado 12 manzanas, 4
penas sanas y 9 frutas podridas. ¿Qué podríamos decir de las manzanas?
Si sabemos, además, que hay 7 manzanas sanas y 3 plátanos podridos, ¿podría haber alguna
pera podrida?».
—Sugerirles la realización de tablas, para incluir en ellas los datos del problema, y poder así guiar
mejor nuestro razonamiento.
PROBLEMAS PARA DISCURRIR
68. En la terraza de la cocina de mi casa que es muy soleada, una camisa tarda en secarse dos
horas y cuarto, y un pantalón tres horas y media, aproximadamente. ¿Cuánto tiempo tardarán en
secarse tres camisas y dos pantalones?
69. Juan repartió un paquete con 90 caramelos entre sus tres amigos de la siguiente forma:
Al primero le dio los 2/5 del paquete, al segundo la tercera parte, y al tercero 1/10 del paquete,
más 18 caramelos. ¿Cuántos caramelos les dio a cada uno?
70. Para ir de mi casa al colegio tengo que andar dos kilómetros y medio. Si tardo diez minutos
en recorrer un kilómetro, ¿a qué distancia del colegio está mi casa?
71. En un claro de selva, Robinson Crusoe ha apilado 32 cocos de primera calidad. Una banda
de monos le ha robado todos menos siete. ¿Cuántos cocos le quedan a Robinson?
72. El pueblo de Tiblinski tiene un total de 45 casas. Si el pueblo tiene 180 habitantes. ¿cuántas
personas viven en cada casa?
73. ¿Cuántas tortillas de patata de tres huevos se pueden hacer con 15 patatas?
74. Mi hermano ha sacado fotocopias de las 23 lecciones de un libro, y le han cobrado 5 ptas.
cada fotocopia. ¿Cuánto ha tenido que pagar mi hermano en total por todas las fotocopias?

75. ¿Cuántas chocolatinas de Nestlé de 60 gramos hay en una docena y media?
76. ¿Cuántos metros de tela a cuadros se pueden comprar con dos billetes de 1.000 ptas., una
moneda de 500 ptas. y 6 monedas de 25 ptas., si la pieza de tela mide 50 metros?
77. ¿Cuánto pesan 8 kilogramos, 300 gramos de ciruelas claudias si cada kilogramo cuesta 225
ptas.?
78. Un señor soltero gasta semanalmente 4.000 ptas. en gasolina, 15•000 ptas. en comer y 5.000
ptas. en otros gastos. ¿Cuánto ganará al mes este señor?
79. En un pueblo «A» viven 3•578 personas y en otro pueblo «B» que está a 10 kilómetros de
distancia viven 253 personas menos. ¿Cuántos habitantes más tiene el pueblo «A» que el pueblo
«B»?
80. Pedro tiene 12 años y mide 1,40 m, a los 24 años ¿cuánto medirá?
PROBLEMAS CON CALCULADORA
81. Calcula 72, 73, 74 Cuál es la última cifra de 725
82. Calcula dos números consecutivos, tales que, el producto de ellos es igual a 12.656.
83. Al dividir un número por otro me da 0,727272••• ¿Cuáles son esos números?
84. Con tu calculadora. Serías capaz de calcular el valor de: 120.560 x 45.230
85. Toma tu calculadora y calcula en todos los casos los números que faltan:
a) 1__x__5 = 425 c) 4__6/2__= 18
b) 5__x__= 392 d) 2__x__7 = 851
86. Toma tu calculadora y calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.
a) 459/23 b) 1.000/45 c) 42.560/32

MAS PROBLEMAS...
NECESIDAD DE LA RESOLUCION DE PROBLEMAS EN LA
EDUCACION PRIMARIA
IGNACIO GAZTELU (*)
El aprendizaje de la resolución de problemas tiene un proceso que ha de ir parejo al de la
maduración evolutiva del alumno. Cuando en ese proceso se obvian pasos, dejando lagunas, los
resultados serán impredecibles y lógicamente negativos. Pero, ¿conocemos bien esos pasos?
Hoy por hoy lo cierto es que ese tipo de cuestiones se confían al llamado «currículo oculto».
Y no es menos cierto que los profesores del ciclo superior de E.G.B. y de los primeros cursos de
EEMM se quejan de que los alumnos no saben resolver problemas.
Parece necesario investigar y ensayar caminos y procesos que abarquen todos los niveles
educativos, comenzando, por supuesto, desde los más pequeños.
Según los expertos, el individuo es capaz de entrar en el mundo de la representación y
generalización abstractas a partir de los 11-12 años. Pero el afloramiento de esas capacidades no
es fortuito, es consecuencia de todo un proceso anterior, con un conjunto de estimulaciones cuya
calidad, cantidad, secuencia y oportunidad favorece u obstruye su desarrollo.
¿Y por dónde empezar?
Aquí se propone incorporar en las programaciones la resolución de problemas como objetivo,
abordando actividades destinadas a la estimulación de capacidades aceptadas por todos como
necesarias para la resolución de problemas. Esto implica entender «el problema» desde una
perspectiva más amplia, no sólo como medio para afianzar y entrenar los conceptos de los
programas tradicionales (los llamados problemas de operaciones, kilos y pesetas).
Nos preocupamos pues, de capacidades relacionadas con los procesos lógicos, deducción,
inducción, análisis, síntesis, capacidades de representación, de estructuración espacial, de
métodos de trabajo, de aplicación de estrategias, de la creatividad y la inventiva, etc.
Se ha seleccionado cuatro apartados como muestra:
— Clasificación (análisis, síntesis...).
— Estructuración espacial.
— Lógica.
— Generalización.
(*) Profesor de E.G.B. Comunidad de Madrid.

Y para cada uno se incluyen varias actividades como ejemplos, secuenciadas para los
distintos niveles de primaria, entendiendo siempre que esa secuenciación no será nunca
definitiva pues es una decisión que corresponde a cada profesor según las circunstancias de su
grupo de alumnos/as.
CLASIFICACION
1. CADA CROMO A SU LUGAR (Primer ciclo) Se da la estructura
de clasificación.
Se pide el criterio de clasificación y la expresión, mediante un título, del concepto que
abarca cada clase.
2. ¿EN QUE MESA? (Primer ciclo)
Se da la estructura de clasificación (dos montones) y se pide descubrir un criterio para
clasificar un conjunto de objetos próximos al alumno.
3. CADA UNO POR SU CAMINO (Segundo ciclo) Análisis de
características y clasificación. Se da la estructura y el criterio de
clasificación.
Se pretende que el alumno/a tome conciencia y asimile una determinada estructura de
clasificación y sepa ubicar cada elemento en su lugar de esa estructura.
4. CLASES DE GULLIES (Segundo ciclo) Se da la estructura y el
criterio de clasificación. Muestra de estructura en árbol.
Estudio de casos posibles con tres variables: tamaño, color y número de patas.
5. CADA GULLIE EN SU CASILLA (Tercer ciclo) Se da la estructura y
el criterio de clasificación. Estructura en árbol y tabla de doble
entrada.
Estudio de casos posibles con tres variables.
6. PIENSA Y COLOCA (Tercer ciclo)
Se da la estructura pero no el criterio de clasificación.
El ejercicio está preparado para clasificar por formas o por colores o por ambos.
Poner en común las distintas soluciones y contrastar diferentes criterios: un conjunto se
puede clasificar de distintas formas según el criterio empleado.

EL ESPACIO
7. A DURO EL DADO (Primer ciclo)
Realizar esta actividad manipulando dados o cubitos de madera. Sin el apoyo manipulativo el
problema aumenta mucho su dificultad y se sale de las posibilidades de este ciclo. Con el material
delante, se abren muchas posibilidades:
— ¿Cuántos faltan para que valga 50 pesetas?
8. A DIBUJAR CASTILLOS (Primer ciclo)
La cuadrícula como referencia.
Percepción de tamaños.
9. ¿COMO LO VEN? (Segundo ciclo)
Se puede apoyar con una caja real.
Los objetos se ven de diferente forma según desde donde se miren.
Conviene dejar un tiempo de discusión y contraste de opiniones antes de pasar a la
resolución personal del problema.
10. FALTA CUBOS (Segundo ciclo) Realizar con el apoyo manipulativo de dados o cubos de
madera.
Este tipo de ejercicio se utiliza también para iniciación a la medida del volumen.
11. ¿Y SI NO LO VES? (Tercer ciclo)
Tras un período de reflexión y después de que se hayan aventurado las primeras soluciones,
pasar a manipulación y comprobación con dados o cubitos de madera.
12. PUZLE (Tercer ciclo) Relaciones en el cuadrado.
Manipulación. Ensayo-error. Constancia.

LOGICA
13. ¿CUANTAS CUERDAS? (Primer ciclo) Estudios de casos
posibles.
Manipulación y comprobación experimental.
Este problema puede extenderse con 4, 5, 6... cabos de cuerda y derivar hacia un problema
de generalización.
14. PACO EL PRESUMIDO (Primer ciclo)
Estudio de casos posibles.
Seguir un método ordenado.
Ensayo error.
15. EL MAS LARGO Y EL MAS CORTO (Segundo ciclo) Estudio de casos
posibles.
Seguir un método.
16. UN COLLAR UN COLOR (Segundo ciclo)
Si el alumno no entiende el problema empezará a pintar de colores sin ningún criterio.
Asegurarse de que ha entendido que cada collar completo, tiene todas sus cuentas del mismo
color.
El alumno no resuelve el problema globalmente: primero colorea el collar de cuentas
triangulares, con lo que se simplifica la dificultad. Después colorea el que abrocha con tornillo y
tuerca. Sólo ahora, reducido el problema a dos collares es cuando ve el final.
17. ¿CUANTOS SOMOS? (Tercer ciclo)
Estudio de casos posibles.
Resolución representada en grupo.
18. EL GATO SE ENFANDARA (Tercer ciclo)
Se presta a discusión en grupo: aprender de los iguales. Manipulación figurada,
dibujando la evolución, bola a bola.

GENERALIZACION
19. SERIES
Se trata de un conjunto de series de dificultad creciente.
Primer ciclo:
a) Se repite cíclicamente la variación de tamaño, sobre una misma forma. Período 1.
b) Se repite la variación de tamaño sobre diferentes formas. Período 2.
Segundo ciclo:
c) Varía cíclicamente la expresión de la cara (período 4) y el tipo de pelo (Período 2).
d) Posee un juego de tres elementos que se repiten cíclicamente sobre diferentes
objetos. Período 3.
Tercer ciclo:
e) Secuenciación bidimensional.
20. MAGIAS (Primer ciclo)
Ejercicio abierto. Se trata de que el alumno/a observe regularidades de transformación,
compare y discuta con sus iguales y saque conclusiones
Cada cual llegará hasta donde pueda. No hay un objetivo único pues permite quedarse
en la pura manipulación de los primeros casos o des-cubrir leyes generales de
transformación y proponer nuevas cuestiones más difíciles.
21. LOS SALTADORES (Segundo ciclo) Problema de
paridad.
Unos alumnos se quedan en los primeros casos, otros llegarán de forma manipulativa
hasta el caso n.° 25. El profesor puede conducir hacia la clasificación de los números
terminados en 0, 2, 4, 6, 8, o terminados en 1,3,5,7,9.
22. LOS NUMEROS QUE SALEN DE LA MAQUINA (Tercer ciclo)
Se toma la máquina como motivación para proponer multitud de ejercicios de
observación de regularidades y descubrimiento de leyes de secuenciación numérica.
Cuando los alumnos ven la máquina ya saben lo que se les pide,
23. CONSTRUCCIONES (Tercer ciclo)
Ejemplo ideal para la manipulación con bolas y palillos que lleva la motivación implícita.
¿Hasta dónde llega cada uno en la generalización?

1. CADA CROMO A SU LUGAR
Estas son tres hojas en un álbum de cromos de animales:
Recorta estos cromos y pégalos en las hojas, pero primero piensa qué animales debes poner
juntos.
¿Qué nombre escribirías en la casilla de arriba de cada hoja? Hazlo al final.

2. ¿EN QUE MESA?
Juan y María han estado merendando mientras jugaban en la habitación y tienen el suelo lleno de
cosas.
Mira las cosas que hay en el suelo. ¿Para qué sirve cada una?
Su mamá les manda recoger. Tienen que hacer dos montones, uno en cada mesa. ¿Cómo los
harías tú?
Pinta, recorta y pega.

3. CADA UNO POR SU CAMINO
Recorta y pega: Cada uno a su casa.

4. CLASES DE GULLIES
Los Gullies son muy apreciados en la estrella Megazul. Debes saber que hay Gullies
GRANDES y PEQUEÑOS. Y que unos tienen CUATRO PATAS y otros tienen TRES PATAS, y
que unos son de color ROJO y otros de color VERDE. Vamos a pintar todos los Guilles
di
ferentes que podamos.
Seguiremos un orden:

5. CADA GULLIE EN SU CASILLA
Debes saber que hay Gullies de muchas clases. Los hay GRANDES O PEQUEÑOS, de color
ROJO o VERDE y de TRES o CUATRO PATAS. Dibuja todos los Gullies diferentes que
existen:

8. A DIBUJAR CASTILLOS
El castillo se estira y se encoge.
Vuélvelo a dibujar según el tamaño de cada cuadro.

12. PUZZLE
Con todas estas piezas, como ves, hemos construido un cuadrado. Recórtalas y, utilizándolas
todas, construye dos cuadrados.
¿Ya? Ahora construye tres cuadrados.
Has de saber que pueden construirse también cuatro, cinco, seis, siete u ocho cuadrados,
utilizando todas las piezas en cada caso.
¿Té atreves?

13. ¿CUANTAS CUERDAS?
Si el círculo se hiciera transparente se verían las cuerdas completas. Dibújalas tú.

14. PACO EL PRESUMIDO
Paco tiene dos pantalones, uno azul y otro negro. También tiene tres polos: el rojo, el verde y el
marrón.
Cada día de la semana, desde el lunes hasta el sábado, se viste de diferente manera.
Píntale la ropa a Paco, pero recuerda: siempre vestido de diferente forma.
¿Podría vestirse el domingo de forma distinta que el resto de los días?

21. LOS SALTADORES
Mira bien, piensa y completa….
Si yo te digo el número del salto, ¿sabrías decirme dónde estará cada saltador?

AUN MAS PROBLEMAS...
BEGOÑA CASTILLEJO ADRIAN
FRANCISCO FERNANDEZ (*)
¿Cuántos secantes y cuántos tinteros habría que situar en el
recuadro central para completar lógicamente el dibujo?
(*) Miembros del grupo DECA de Burgos.

Un método muy utilizado es la ELIMINACIÓN
• Se trata de buscar alguna regla que establezca una lógica. Se utiliza la COMPARACION:
ver diferencias y semejanzas.
• Apropiado para los ciclos 2.° y 3•° de E. Primaria
2. TARJETAS NUMERICAS
Tenemos tres tarjetas con los números 1, 2 y 3• ¿Cuántos números diferentes pueden
obtenerse combinando las tres tarjetas?
• Una buena estrategia en muchos problemas consiste en hacer un DIBUJO. Utilizar una
representación e iniciación a la simbología
• Existen distintas formas de representación y de resolución
• Es, a su vez, un análisis de posibilidades y un recuento
3. COMPOSICION
Con cuatro de estas seis piezas se puede formar un cuadrado
• Es un JUEGO. Se presta a la manipulación.
• Pueden explicar lo que hacen y por qué lo hacen.
• Pueden estudiarse aspectos como: forma, ángulos, distancias, posición, superficie.
• Es útil para cualquiera de los tres ciclos.

4. LAS SERIES
¿Nos puedes decir en cuál de las siguientes series nos hemos equivocados?:
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ••.
4, 7, 10, 13, 16, 19, ..•
12, 10, 14, 12, 16, 14, 18, ...
7, 14, 11, 22, 19, 36, 35, ...
20, 15, 17, 12, 14, 9, 11, ...
• Del ERROR también se aprende.
• Deducir causas y descubrir regularidades y encontrar dónde se altera el orden lógico; son
los primeros pasos en el razonamiento•
5. LAS RATONERAS
El ratón ha recorrido un camino de forma que ha terminado fuera de la ratonera después de
pasar por todas las puertas una sola vez.
• Ser sistemático, realizar un análisis, investigar distintas posibilidades, son pasos en el camino
para encontrar una REGLA GENERAL
• Puede utilizarse en el tema de «múltiplos» como una consecuencia de la PARIDAD.

6. LAS CAMISAS
Si una camisa tarda 45 minutos en secarse en la cuerda, ¿cuánto tardarán en secarse tres
camisas?
• Muy importante para resolver un problema es la COMPRENSION DEL ENUNCIADO•
• Favorece el diálogo, se presta al razonamiento sencillo.
• A veces sobran datos numéricos pero la prisa hace responder sin razonar.
• Para todos los ciclos.
7. DOMINO
Aquí aparecen las 28 fichas de un juego de dominó. ¿Según qué regla tachamos algunas de
ellas?
• Se trata de buscar una REGLA GENERAL.
• Puede usarse en el 2.° ciclo de primaria siendo la regla «sumar alguna de las cantidades: 0, 3,
6, 9, 12». También es útil en el 3•°r
ciclo relacionado con el tema de «múltiplos»•

8. LOS REPRESENTANTES
Agripina, Basilia, Crisóstomo y Demetrio son representantes de comercio Uno de ellos
vende cosméticos, otro libros, un tercero productos farmacéuticos y el último, vino. Sabemos
que el que vende vino no está emparentado con ninguno de los otros tres. El vendedor de
cosméticos no es mujer. La mujer de Demetrio vende libros; la hermana de Basilia está
soltera. ¿Quién es el representante de productos farmacéuticos?
• A veces es interesante observar las distintas ACTITUDES ante un problema: el
«rapidillo», el que siente «fobia matemática», el «desinteresado», el «desordenado»,
el superoptimista (lo ve muy fácil pero se confundirá), el «pensador» de ideas
ofuscas, el «razonador» mirando al profesor, al «razonador» mirando al cielo, el «ob-
servador» del vecino, el «dudador», el «inquieto», el que tiene ideas claras, el
«razonador» con la mano en la cabeza, etc.
9. LOS CROMOS
A Juan le han regalado 7 cromos.
Tiene 7 hijos: Isabel, Rocío, Federico, Carmen, Esteban, Yolanda y Luis. Han decidido
dejar escoger primero a Luis porque es el más pequeño.
El que prefiere Luis, no está en la orilla. Su preferido es uno
de los pequeños. Su favorito no está entre los 3 primeros.
¿Cuál escogerá?
• Se puede trabajar individual o favorecer el diálogo. Interesa que interioricen el
PROCESO.
• Importancia de las CONDICIONES: _
1.a
Descarta, simplifica.
2.a
No determina, acerca.
3.a
Determina solución única.
• Puede acabarse el problema después de cualquiera de las condiciones. Habrá varias
respuestas.
• Pueden no darse las 3 condiciones desde el principio.

10. LOS RECTANGULOS
• Es un problema de RECUENTO.
• Sirve para desarrollar hábitos de trabajo: atención, orden, organización,
sistematización.
• Puede usarse en cualquiera de los 3 ciclos de la enseñanza primaria.

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