Revista sigma 21

Octubre · Urria
M A T E M A T I K A A L D I Z K A R I A
R E V I S T A D E M A T E M A T I C A S
Nº 21 Zka.

EDITORIAL
Hace justo un año comenzamos esta segunda etapa de la revista SIGMA. El primer número se
centró en el compendio del congreso matemático de diciembre de 2000 y el segundo siguió
la línea clásica con artículos sobre diversos temas matemáticos.
Dado que el Departamento de Educación del Gobierno Vasco quiere potenciar la edición de
la revista, garantizando su futuro con dos ediciones por año, nos parece interesante organizarla
con unas secciones fijas. Entre estas secciones queremos destacar las tres nuevas: Infantil-
Primaria, Secundaria y la Pizarra Electrónica.
Nuestra intención es que en cada número (uno en marzo y otro en octubre) aparezca, al
menos, un artículo de aplicación directa en el aula referido a las etapas citadas y, en el tercer
apartado, un artículo, también de aplicación directa en el aula, pero cuyo desarrollo y aplica-
ción necesite el uso de una pantalla de un ordenador o de una calculadora gráfica. Con esto
buscamos dos objetivos: por un lado que cualquier docente, al abrir la revista, tenga la garan-
tía de encontrar actividades para su etapa y, en segundo lugar, presentar artículos que nacen
de la actividad en el aula y vuelven a ella de la mano de otros docentes, es decir, buscamos
priorizar el aspecto didáctico directo de aula sobre el técnico y formativo en el área. Este
aspecto lo dejamos en la parte referida a “Artículos Generales” como hasta ahora. Los aparta-
dos de “Problemas”, “Referencias a Libros” y “Noticias”, completarán las secciones de la
revista.
Como podéis ver este proyecto se presenta atractivo para todos los que estamos metidos en
este mundo de la Matemática y su didáctica. Pero este proyecto de futuro sólo será posible
con la ayuda de todo el profesorado interesado en colaborar con nosotros y que, desde ahora
mismo, la agradecemos sinceramente.
EDITORIALA
Orain dela urtebete “SIGMA” aldizkariaren bigarren etapa honekin hasi ginen. Lehenengo
alea, 2000ko abendukoa, Matematika kongresuari buruzkoa izan zen, eta ondoren, bigarrenak
gai desberdinei buruzko lerro klasikoa jarraitu zuen.
E.J.ko Hezkuntza Sailak aldizkari honen argitalpena indartu nahi duenez, urtero bi aleren argi-
talpena bermatuz, interesgarria iruditu zaigu atal finkoen arabera antolatzea. Zati hauen artean
hiru berrikuntza azpimarratu nahi ditugu: Haur eta Lehen Hezkuntza, Bigarren Hezkuntza eta
Arbela Elektronikoa.
Gure asmoa honakoa da: ale bakoitzean (bat martxoan eta beste bat urrian) gela barruan apli-
katzeko etapa horiei buruzko artikulu bat agertzea eta, hirugarren zatian, gela barruan aplikatze-
ko artikulu bat ere, baina bere aplikazioak ordenagailuaren pantaila edo kalkulagailu grafiko
baten beharra izan dezala. Honetaz bi helburu lortu nahi ditugu: alde batetik, aldizkaria ireki-
tzerakoan edozein irakaslek bere etaparako eginkizun egokiak izan ditzala eta, beste alde
batetik, gelatik jasotzen diren artikuluak berriro gelara itzul daitezela baina, kasu honetan,
beste irakasle batzuek emanda.. Hori dela eta arloko alde teknikoen eta hezigarrien gainetik
gelarako alde didaktiko zein erabilera zuzenari lehentasuna eman nahi diogu. Azkenko iriz-
pide hau, orain arte bezala, “Artikulu Orrokorrak” atalarentzat utziko dugu. “Problemak”,
“Liburuen Erreferentziak” eta “Albizteak” atalek aldizkariaren sekzioak betetzen dituzte.
Ikusi ahal duzuenez, Matematika arloan eta bere didaktikan aritzen garenontzat proiektu
honek erakargarria ematen du. Baina, irakaslegoaren laguntza jaso ezean, proiektu honek ez
du etorkizun bermatua izango. Horregatik, momentu honetatik zuen kolaborazioa bihotz-
bihotzez eskertzen dizuegu.

INDICE
INFANTIL-PRIMARIA / HAUR ETA LEHEN HEZKUNTZA 5
PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL AULA. MÁS Y MÁS PROBLEMAS
PROBLEMA MATEMATIKOAK GELAN. PROBLEMAK ETA PROBLEMAK
Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
SECUNDARIA / BIGARREN HEZKUNTZA 37
EL PROBLEMA DE LA CABRA
Alberto Bagazgoitia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
IKUR ETA ZEINU BIDEZKO ADIERAZPEN MATEMATIKOEN IRAKURBIDEAZ
Martxel Ensunza, Jose Ramon Etxebarria, Jazinto Iturbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
LA PIZARRA ELECTRÓNICA / ARBELA ELEKTRONIKOA 59
ESPIRALES CON CABRI - GÉOMÈTRE
Javier Bergasa Liberal y Sergio Sara Goyén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
BELLEZA IRRACIONAL
Félix Elejoste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
ARTÍCULOS / ARTIKULOAK 111
EL CONSTRUCTIVISMO Y LAS MATEMÁTICAS
José Ramón Gregorio Guirles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
LAS FORMAS EN EL PLANO
Carmen Cobo Musatadi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
LA «PARADOJA» DE ZENÓN
Juan M. Aguirregabiria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
LA MATEMAGIA DESVELADA
Pedro Alegría y Juan Carlos Ruiz de Arcaute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
MATEMÁTICAS Y PAPIROFLEXIA
José Ignacio Royo Prieto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
EL ALEPH DE BORGES Y LAS MATEMÁTICAS
José del Río Sánchez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
LIBROS / LIBURUAK 197
5 ECUACIONES QUE CAMBIARON EL MUNDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
LIBROS SOBRE HISTORIA DE MATEMÁTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
LA EXPERIENCIA DE DESCUBRIR EN GEOMETRÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Infantil–Primaria/Hauretalehenhezkuntza

PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL AULA
MÁS Y MÁS PROBLEMAS
Lourdes Muñoz – Pilar Lassalle
Como profesoras de Educación Infantil y Primaria estamos realmente preocupadas por la
educación matemática de nuestros alumnos (en este momento niños de 5, 6 y 7 años).
Vemos que el enorme interés que en los pequeños despierta la matemática se desvanece con
el tiempo, que la curiosidad y el interés que muestran al inicio de la escolaridad se convierte
en gran número de casos en monotonía que incluso a veces lleva a un fracaso en matemá-
ticas, que la innata capacidad para razonar se transforma en la aplicación de reglas y algo-
ritmos aprendidos memorísticamente.
Sabemos que resolviendo problemas aprenden matemáticas y pueden llegar a ser usuarios
eficientes de este lenguaje internacional.
En este artículo reflejamos lo que sucede en nuestras aulas, cómo se involucran los niños en
la resolución de problemas. Pretendemos mostrar pistas, abrir caminos, dar ideas a otros
docentes que, como nosotras, piensen que realmente hay que dar un cambio en la ense-
ñanza de la matemática.
INTRODUCCIÓN
La resolución de problemas ha sido siempre el eje de la evolución de las matemáticas; todos
los conocimientos matemáticos han surgido de la necesidad de resolver cuestiones sociales,
comerciales, arquitectónicas ..., siempre para resolver problemas reales.
Como menciona Georges Ifrah en su maravilloso libro “Las cifras; historia de una gran inven-
ción”: “La historia de las matemáticas es la historia de las necesidades y preocupaciones de
unos grupos sociales que intentan enumerar sus miembros, sus bienes, sus cautivos, fechar la
fundación de sus ciudades, victorias... utilizando todo tipo de medios” .
Está claro que en realidad hacer matemáticas es resolver problemas. En la escuela no debería
ser muy diferente: todos los contenidos matemáticos deberían servir únicamente para resolver
problemas.
Ésta ha sido la dirección de la enseñanza tradicional de las matemáticas:
Manipulación
Representación gráfica
Representación simbólica
Resolución de problemas
Queriendo dar un cambio, hemos gastado mucha energía intentando que las matemáticas fue-
ran divertidas, asequibles a todos, que tuvieran un carácter lúdico.
Desde luego así hemos dado un paso adelante; se han introducido nuevas actividades, nue-
vos materiales, nuevos juegos matemáticos en las aulas. Pero posiblemente el mayor atractivo
de las matemáticas subyace en que tengan sentido, en que sean un instrumento válido para
resolver muchas situaciones.
SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA6
Problemas matemáticos en el aula. Más y más problemas
Lourdes Muñoz - Pilar Lassalle

Octubre 2002 • 2002 Urria 7
Problema matematikoak gelan. Problemak eta problemak
PROBLEMA MATEMATIKOAK GELAN
PROBLEMAK ETA PROBLEMAK
Lourdes Muñoz – Pilar Lassalle
Haur eta Lehen hezkuntzako irakasleak gara eta gure ikasleen matematika hezkuntzaz era-
bat kezkaturik gaude (une honetan 5, 6, eta 7 urteko haurrak dira).
Matematikak txikiengan sortzen duen jakinmina haundia da, baina denboraren poderioz
desagertuz dihoala ikusten dugu, haurrek lehenengo eskola urteetan duten gogoa eta zaleta-
suna monotonia bilakatzen da, askorentzat behintzat, eta sarritan matematikaren ikasketan
porrot egitera eramaten ditu.
Kezkatu egiten gaitu haurrek arrazoiak emateko berezkoa duten gaitasuna buruz ikasitako
algoritmoen aplikazio hutsean geratzen dela ikusteak.
Badakigu ikasleek, problemak ebaztean, matematika ikasten dutela eta, horrela, unibertsala
den hizkuntza honen erabiltzaile trebeak izan daitezkeela noizbait.
Artikulu honetan, gure geletan gertatzen dena somatu daiteke, alegia, nola inplikatzen diren
haurrak problemak ebaztean. Aztarnak eman nahi ditugu, bideak ireki, eta ideiak eman, guk
bezala, matematikaren irakaskuntza aldatu beharra dagoela pentsatzen duten irakasleei.
SARRERA
Problemen ebazpena izan da beti matematikaren garapenaren ardatza: ezagupen matematiko
guztiak gizartearen beharrei erantzuna emateko sortu dira: giza-arazoak, merkataritzakoak,
arkitekturarenak... benetako problemak ebazteko beti.
George Ifrah-k horrela dio bere liburu eder honetan, “Las cifras; historia de una gran inven-
ción”: “ Matematikaren historia gizatalde batzuen kezka eta beharren historia da, biztanleak,
ondasunak, gatibuak zenbatzen saiatzen den talde baten historia, bere hirien sorrerei eta garai-
penei data jarri nahi, eta, horretarako, era guztietako baliabideak erabiltzen dituena.”
Garbi dago matematika egitea problemak ebaztea dela.
Eskolan ez luke desberdina izan behar: matematikako eduki guztiek problemak ebaztearen
zerbitzuan egon beharko lukete.
Matematikaren irakaskuntza honela planteatua izan da orain arte :
Manipulazioa
Adierazpen grafikoa
Adierazpen sinbolikoa
Problemen ebazpena
Azken urte hauetan, irakasleok askotan saiatu gara matematikaren irakaskuntza aldatzen,
matematika ikasle guztientzat dibertigarria, eskuragarria, gustagarria izatea lortu nahian.
Aurrerapauso bat egin dugu, jarduera berriak egiten dira, material eta matematikako joku
berriak erabiltzen dira geletan. Baina beharbada matematika berez da erakargarria, zentzua
duelako eta tresna baliagarria delako egoera asko ebazteko.

Si creemos que las matemáticas han de ser un conocimiento útil y que su aprendizaje se debe
basar en la respuesta a situaciones problemáticas interesantes, significativas y necesarias,
debemos dar un cambio radical: considerar la resolución de problemas como punto de arran-
que y el elemento que caracterice a todo el proceso de enseñanza de la matemática.
Sabemos que el aprendizaje es un proceso activo y que un alumno entra en actividad cuando
se enfrenta a un problema; sabemos también que para poder construir el conocimiento nece-
sita la interacción con las personas y los objetos. Partiendo de situaciones significativas, de
problemas reales, el alumno podrá comprender o intuir el procedimiento a seguir, sepa o no
que se debe de hacer operaciones matemáticas para resolverlos sepa o no operar con preci-
sión. Deberá aprender a resolver operaciones, pero siempre partiendo de un contexto mate-
mático real.
Se trata de ofrecer situaciones, herramientas, estrategias adecuadas para pensar, relacionar los
datos, buscar soluciones, verbalizar lo que se piensa, analizar lo que se hizo...
Se trata de que los alumnos desde pequeños aborden los conocimientos tal y como son, con
su complejidad y dificultad, y se “sumerjan” en ellos para que puedan, con la ayuda de la
maestra y de los demás alumnos, analizar, relacionar, argumentar y así ir construyendo cono-
cimientos y procedimientos matemáticos y conocer el uso que se hace de los mismos.
Se trata de que llegue a ser un usuario autónomo de la matemática.
Pero ¿qué es un problema?
• Diccionario de la lengua FOCUS.
Cuestión que se trata de aclarar, proposición dudosa.
Problema matemático: proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un
resultado cuando ciertos datos son conocidos.
Resolver problemas matemáticos desde pequeños, a su manera, entre todos
Para aprender es necesario pensar
Manipulación
Representación gráfica
Representación simbólica
(Y no en este orden sino según la necesidad)
Son formas, instrumentos, no fases previas a la
resolución de problemas. Medios de los que se vale el
niño y el adulto para resolver un problema
Resolución
de problemas

Matematikak ezagupen baliagarria eta beharrezkoa izan behar duela uste badugu, eta mate-
matikaren ikasketak interesgarriak eta esanguratsuak diren egoeretan oinarritua egon behar
duela pentsatzen badugu, erabateko aldaketa egin beharrean gaude: matematika irakasteko
abiapuntutzat eta ikaste prozesu osoaren ezaugarritzat hartu behar dugu problemen ebazpena.
Badakigu ikasketa prozesu aktibo bat dela eta ikaslea problema baten aurrean aurkitzen
denean pentsatzen hasten dela. Badakigu, baita ere, ezagupenak eraikitzeko, ikasleak behar-
beharrezkoa duela objektuekin eta beste pertsona batzuekin interakzioan egotea. Egoera esan-
guratsuetatik, benetako problemetatik abiatuz, ikasleak piskanaka somatu eta ulertuko du zein
den erabili behar duen prozedura, nahiz eta haurrak ez jakin matematikako eragiketak egin
behar direla problemak ebazteko, nahiz eta haurrak eragiketak ondo egiten ez jakin.
Eragiketak egiten ikasi beharko du, baina benetako egoera matematiko batetik abiatuta beti.
Pentsaraziko dioten egoerak, tresnak, eta estrategia egokiak eskeini behar dizkiegu haurrei;
pentsatu, datuak alderatu, irtenbideak bilatu, pentsatzen dutena ahoz adierazi, eta egin dutena
aztertu ahal izango dute horrela.
Ikaslea matematikaren erabiltzaile autonomoa izatea da iritsi nahi den helburua. Alegia, lortu
nahi dugu haurrek eduki matematikoak diren bezala txikitatik lantzea (eduki horiek duten kon-
plexutasunekin eta zailtasunekin), eta, eduki horietan murgilduz, irakaslearen eta kideen
laguntzarekin, aztertu, argudioak eman eta erlazioak egin ahal izatea; ezagupen eta prozedura
matematikoak eraikitzen eta aldi berean ezagupen horien erabilerak ikasten joan daitezen
horrela.
Baina zer da problema matematiko bat?
• LUR hiztegi entziklopedikoa.
Argitu edo ebatzi behar den arazoa, zenbait argibidetatik abiatuz emaitza eze-
zaguna aurkitzean edo horretarako metodoa zehaztean datzana.
Txikitatik, denen artean, haiek dakiten moduan problemak ebatzi
Pentsatzea beharrezkoa da ikasteko
Manipulazioa
Adierazpen grafikoa
Adierazpen sinbolikoa
(Eta ez ordena honetan, premien arabera baizik)
Ez dira problemak egiten ikasteko laneak
Egiteko moduak dira.
Haurrak eta helduok erabiltzen ditugun konponbideak
Problemen
ebazpena

• Diccionario escolar de la lengua española, Santillana.
Cosa que hay que resolver o solucionar y de la que sólo sabemos unos datos.
Cosa mala o difícil que nos preocupa o no nos deja hacer algo.
Está claro que un problema matemático es algo cuyo resultado o solución desconocemos, que
conlleva una dificultad que no puede resolverse automáticamente; supone una necesidad de
resolverlo y la posibilidad de resolverlo de modo matemático.
Es pues, una actividad mental compleja que incluye deseo de resolución, herramientas mate-
máticas y lógicas, paciencia, perseverancia...
EN LA ESCUELA ENSEÑAR MATEMÁTICAS DEBE SER EQUIVALENTE
A RESOLVER PROBLEMAS: ASPECTOS METODOLÓGICOS
Sólo con un tratamiento adecuado en la resolución de problemas se puede contribuir al ver-
dadero aprendizaje de las matemáticas, su mera inclusión en las actividades de aula no garan-
tiza nada.
Es necesario tomar decisiones acerca de qué información necesitamos, cómo obtenerla y orga-
nizarla; es necesario analizar las estrategias y técnicas utilizadas, es necesario verbalizar el pensamiento
y contrastarlo con el de los demás. Hay que discutir, hay que vivir el problema. De ahí se van
nutriendo y aprenden a utilizar como propias estrategias válidas para otros. La solución eficaz
no sólo depende del conocimiento de conceptos y herramientas, hay que saber utilizarlas y
establecer relaciones entre ellas.
Ejemplo: 5 años
En un paquete hay 15 galletas. Son para tu padre, para tu madre y para ti. ¿Cuántas galletas
hay para cada uno?
El diálogo es fundamental en la resolución de problemas.
Para nosotras tiene una gran importancia el lenguaje en la construcción del conocimiento
matemático. Los niños y niñas cuando se plantean problemas de este modo entienden per-
fectamente el problema y cada uno aporta desde su punto de vista una posible solución. Los
problemas se resuelven en grupo (toda la clase o grupos más pequeños), así los niños al ver-
balizar sus ideas ordenan su pensamiento, al discutir sus ideas las argumentan, las van modi-
ficando al contrastarlas con sus compañeros, las complementan, las rechazan, las reafirman...
El hablar de las actividades matemáticas que realizan les ayuda a profundizar en la represen-
tación de las acciones mentales que están llevando a cabo.
Gorka decide que cada uno tendrá tres galletas.
Después dibuja las 15 galletas y con rayas realiza el
reparto para ver las que sobran. Posteriormente
apunta las galletas que corresponden a cada uno
(cada 3 vale por una galleta).

Garbi dago problema matematiko bat emaitza ezezaguna duen zerbait dela, automatikoki
ebatzi ezin den zailtasuna duena; ebazteko beharra dakar horrek eta matematikoki argitzeko
aukera ematen du.
Problemak ebaztea buruko jarduera konplexu bat da; argibideak aurkitzeko gogoa eduki behar
da horretarako, eta, baita ere, tresna matematiko eta logikoak, pazientzia, jarraikitasuna...
ESKOLAN MATEMATIKA IRAKASTEAK ETA PROBLEMAK EBAZTEAK
GAUZA BERA IZAN BEHARKO LUKE: ALDERDI METODOLOGIKOAK
Matematikaren ikasketan aurreratzeko ez da nahikoa gelan problemak ebazteko jarduerak egi-
tea, funtsezkoa da horretarako problemen ebazpenaren trataera egokia izatea.
Problemak ebazteko, erabakiak hartu behar dira: zer informazio behar dugun, informazio hori
nola lortu eta antolatu; erabili diren estrategia eta teknikak aztertu, eta baita ere pentsakera
ahoz adierazi eta besteenekin kontrastatu. Eztabaidatu egin behar da, problema bizi egin
behar da. Egoera horietan elikatzen dira haurrak, eta horrela ikasten dute besteentzat baliaga-
rriak diren estrategiak erabiltzen.
Kontzeptuen eta tresnen ezagupena ez da nahikoa soluzio eraginkorra lortzeko, beraien artean
erlazioak egiten eta erabiltzen jakin beharra dago.
Adibidea: 5 urte
Pakete batean 15 gaileta daude. Zuretzat eta zure aita eta amarentzat dira. Zenbat gaileta
daude bakoitzarentzat?
Problemak ebazten ikasteko, behar-beharrezkoa da elkarrizketa.
Gure ustean, hizkuntzak garrantzi haundia du matematikaren ezagupena eraikitzeko. Haurrek
ondo ulertzen dituzte problemak modu honetan planteatzen dituztenean, eta bakoitzak kon-
ponbide posible bat proposatzen du orduan. Problemak taldean ebazten dira (gela osoaren
artean edo talde txikiagotan), ideiak ahoz adierazterakoan ikasleek beren pentsakera ordena-
tzen dute, ideiak eztabaidatzean argudioak ematen dituzte, kideen ideiekin alderatzean
bereak aldatu, osatu, baztertu edo baieztatzen dituzte.
Egiten dituzten jarduera matematikoez hitz egiteak lagundu egiten die egin dutena buruz sako-
nago irudikatzen.
Gorkak bakoitzak hiru gaileta edukiko duela erabaki
du. Ondoren hamabost gaileta marraztu ditu eta
marrekin banaketa egin du sobratzen direnak ikus-
teko. Ondoren bakoitzaren gailetak apuntatu ditu (3
bakoitzak gaileta bat da).

Al expresar en voz alta lo que piensan sobre las matemáticas avanzan en los conocimientos a
nivel personal y a nivel grupal, lo cual es también fundamental: tener conciencia de que
aprenden y avanzan juntos.
Para ello es imprescindible que los docentes demos oportunidades a los niños para poder
expresar su forma de pensar, les dejemos resolver los problemas de la forma que ellos pue-
dan... perdamos el miedo al pensamiento infantil y a sus múltiples estrategias.
Para que el alumno resuelva realmente el problema, deberá determinar cuales son los datos
de que dispone, donde/cómo puede encontrar algún dato que le falte, pensar qué procedi-
miento usar para resolverlo...
Ejemplo: Educación Infantil, 5 años.
¿Cuántos asientos ocuparemos en el autobús para ir al cine mañana, todos los de las dos
aulas?
Trabajo en grupos, en diferentes sesiones.
1ª sesión
Grupo A: La actividad se centró en la búsqueda del dato exacto y en el conteo para lle-
gar al resultado. Unos con lápiz y papel y otros con calculadora.
2ª sesión
En gran grupo explicaron a sus compañeros lo que habían hecho.
3ª sesión
Grupo B: Tenían muy claro lo que había que hacer y usaron la calculadora desde el prin-
cipio.
4ª sesión
Grupo C: Esta sesión fue posterior al viaje en autobús.
Registro: Leire K. y Klaus / Gorka A. y Ximon / Beñat- Gorka O.
PROFESORA: Ahora ya sabemos que en el autobús cabíamos todos verdad?
KLAUS: Y sobraron asientos.
PROFESORA: Cuántos asientos ocupamos?
BEÑAT: ¡Es muy difícil!
PROFESORA: Si lo necesitáis coged papel y lápiz.
KLAUS: (Coge la calculadora).
GORKA : 20
PROFESORA: ¿Fuimos 20?
KLAUS: Ya sé, miraré fuera.
(Se han ido todos a mirar en las listas de cada aula, que están en el pasillo, al lado de las
puertas. Al rato vuelven.)
TODOS: 30 niños
PROFESORA: ¿Qué habéis hecho?
GORKA: Contar pero sin empezar otra vez: 1, 2, 3...17 y luego 18, 19, 20...30
LEIRE: 17 y luego 18, 19, 20, 21...29, 30. He contado con los dedos hasta completar 30.
PROFESORA: ¿Cómo has sabido que te tenías que parar en 30?

Matematikaz pentsatzen dutena ahoz adieraztean, haur bakoitzak aurrera egiten du bere eza-
gupenetan, eta talde osoak ere bai aldi berean, eta hau oso gauza garrantzitsua da: haurrek
jakin beharra daukate elkarrekin ikasiz aurrera egiten dutela.
Horretarako ezinbestekoa da irakasleok haurrei aukerak ematea, bai bakoitzak bere pentsa-
era adierazteko, eta bai norberak ahal duen moduan problemak ebazteko... eta ez diegu bel-
durrik izan behar ez haurren pentsaerari eta ez erabiltzen dituzten estrategia ugariei.
Problema bat ondo ebazteko, haurrak erabaki beharko du zer datu dituen, non eta nola bilatu
falta zaion datua, zein prozedura erabiliko duen ebazteko...
Adibidea: Haur Hezkuntza, 5 urte
Zenbat eserleku beharko ditugu 5 urteko bi gelakoek bihar autobusean zinemara joateko?
1. Saioa .
A Taldea: haurrak datu zehatzak bilatzen aritu ziren eta zenbatzen, emaitza lortzeko.
2. Saioa.
Talde haundian A taldeak kontatu du zer eta nola egin duen.
3. Saioa.
B Taldea: Garbi zuten zer egin, eta hasieratik kalkuladora erabili dute.
4. Saioa.
C taldea
Errejistroa: Taldea: Leire K. Eta Klaus / Gorka A. Eta Ximon / Beñat- Gorka O.
IRAKASLEA: Orain badakigu autobusean denok sartzen ginela, ezta?
KLAUS; Eta aulkiak sobratu ziren.
IRAKASLEA: Zenbat aulki erabili genituen?
BEÑAT: Oso zaila da.
IRAKASLEA: Behar baduzue papera eta arkatza hartu.
KLAUS: (Kalkulagailua hartu du).
GORKA A: 20
IRAKASLEA? 20 joan ginen?
KLAUS: Badakit, kanpoan begiratuko dut.
(Denak joan dira gela bakoitzaren ate ondoan dauden zerrendetan begiratzera.)
DENAK: 30 ume.
IRAKASLEA: Zer egin duzue?
GORKA A: Kontatu, baina berriro hasi gabe: 1, 2, 3....17 eta gero 18, 19, 20...30.
LEIRE: 17, gero 18, 19, 20, 21...29, 30. zenbatu dut behatzez 30 osatu arte.
IRAKASLEA: Nola jakin duzu 30ean gelditu behar zenuela?
LEIRE: Lehenengo zenbatu (zerrendan) eta gero behatzez. Badakit 17 gehi 12
GORKA O: (kalkulagiluarekin ari da) Gu gara 18, gehi 12 Zenbat da? 18 gehi 12 da...
(Kalkulagailua eurokonbertsore funtzioan dago.) Ah! Tomi ez zen etorri eta Lourdesek
esan du zenbat joan ginen.
LEIRE: (17+12 jarri du paperean). Eske, ez dakit nola jartzen den hogeita hamar.

LEIRE: Primero contar (en la lista del aula contigua), y luego con los dedos. Yo ya sé 18
más 12.
Después por parejas resolvieron el problema con la calculadora o en el papel
PROFESORA: Le pregunté al chófer y me dijo que el autobús tenía 55 asientos.
¿Cuántos asientos sobraron? ¿Cómo podemos saberlo?
XIMON: Contando.
KLAUS: Hacer el dibujo del autobús , dibujar los niños y así. (Las tres parejas se han
puesto a dibujar ; cada pareja tiene una hoja)
GORKA : 45 (Empieza a dibujar asientos).
XIMON: ¡45 es mucho!
GORKA: Pero ya sabemos.
Los demás están dibujando el autobús sin asientos. Al ver lo que hace Gorka, han empe-
zado a dibujar asientos dentro del autobús.)
GORKA : Ya Lourdes, 45. (Me enseña lo que ha dibujado.)
PROFESORA: Pero son 55, 10 más.
GORKA : (Sigue dibujando asientos. Al rato, y para saber cuántos faltan les he ayudado
a contar, )
PROFESORA: Y ahora ya sabemos cuántos sobraron? ¿Qué podéis hacer para saberlo?
XIMON: Borrar.
GORKA: ¡Borrar no!
PROFESORA: ¿Hay alguna otra manera?
XIMON: Sí, dibujar los niños.
(Las tres parejas han hecho lo mismo, después han contado los asientos libres y para ter-
minar han anotado el resultado en el papel).
La sesión ha sido larga y han terminado cansados, pero no he cortado la actividad por-
que les he visto muy a gusto y muy implicados en lo que hacían.
Estas son las estrategias empleadas por los niños para resolver el problema:
• Contar todos los nombres en las listas: 1,2, 3, 4...........29
• Contar a partir de 17: 18, 19, 20.............29
• Contar los nombres de la lista B. Luego contar 13 con los dedos a partir de 17:
18,19,20 ..........30
• Decir los nombres de los componentes del otro grupo, de memoria, mientras llevan la
cuenta con los dedos. Después anotan los datos en la calculadora.
El grupo C resolvió dos problemas. Para resolver el 2º de ellos recurrieron al dibujo.
Un niño propone la estrategia de dibujar y los demás la aceptan ; pero es otro niño el que
hace un uso más elaborado de la propuesta gráfica y los demás le imitan.
Se hace patente la riqueza del trabajo en grupo.
Además de la interacción con los compañeros, la intervención del docente es fundamental
para que cada uno construya sus conocimientos. Lo que el maestro hace y sus intervenciones
orales preguntando, dando pistas, determina lo que los niños aprenden. El maestro es quien
guía al alumno para que desde sus posibilidades y el uso de estrategias personales pueda lle-
gar a aprender el lenguaje matemático convencional.

IRAKASLEA: Hemen begiratu dezakezue (aldamenean daukagun 0-100 zenbakiak dituen
horma-irudia)
LEIRE: (30 aurkitzeko zerotik hasita kontatu du eta zuzenketa egin du bere paperean.
Horrela utzi du: 17+ 12 30)
Beste guztiak kalkulagailuarekin batuketa egiten ari dira. Oso konzentraturik daude.
Gero denon artean batuketa kalkulagailuan egin dugu: 17 + 12 (Bitartean ikasi behar
izan dute = ikurra sakatuz, emaitza ikusi ahal izateko.
IRAKASLEA: Gidariari galdetu nion eta esan zidan 55 eserleku dituela autobusak. Zenbat
aulki sobratu ziren? Nola jakin dezakegu?
XIMON: Kontatzen. Aulkiak zembat sobratu ziren.
KLAUS: Marrazkia egin autobusarena eta marraztu niniak eta horrela. (3 bikoteak
marrazten hasi dira.)
GORKA A: 45 (Autobuseko aulkiak marrazten ari da).
XIMON: 45 asko da!
GORKA A: Baina badakigu.
(Besteek autobus bat marraztu dute, aulkirik gabe. Gorka egiten ari dena ikustean, auto-
busaren barruan aulkiak marrazten hasi dira).
GORKA A: Ya Lourdes, 45, (bere marrazkia erakusten dit.)
IRAKASLEA: Baina 55 dira, 10 gehiago.
GORKA A: (Aulkiak marrazten jarraitzen du. Zenbat falta zaizkion jakiteko egin dituen
aulkiak zenbatzen lagundu diot).
IRAKASLEA: 55. Orain zer egingo dugu? Zer jakin nahi genuen?
XIMON: Nolakoa den autobusa.
KLAUS: (Autobusaren barruan aulkiak marrazten ari da.) Binaka daude, baina bat ikus-
ten da: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14....
IRAKASLEA: (Gorka A eta Ximoni) Zer egin dezakezue jakiteko?
XIMON: Borratu.
GORKA A: Borratu ez!
IRAKASLEA: Ba dago beste modurik?
XIMON: Bai, umeak marraztu.
Hiru bikoteek gauza bera egin dute eta, bukatzeko, emaitza paperean apuntatu dute.
Saioa luzea izan da eta nekatuta bukatu dute, baina ez dut moztu oso gustora aritu dire-
lako, inplikazio haundia egon da.
Problema hau ebazteko haurrek erabili dituzten estrategiak hauek dira:
• Bi zerrendetako izen guztiak zenbatu. 1,2,3,4...29
• 17tik hasita 2. zerrendako izenak kontatu: 17, 18, 19...29
• Bigarren zerrendako izenak zenbatu. Gero, 17tik hasita 13 zenbatu, kontua behatzez
eginez.
• Beste taldeko kideen izenak buruz esan, behatzekin kontua eginez. Ondoren datuak
kalkulagailuan apuntatu.
C taldeak bi problema ebatzi ditu. Bigarrena ebazteko, marrazkiez baliatu dira.
Haur batek estrategia bezala marraztea proposatu du, eta kideek onartu egin dute; baina propo-
samen grafikoari etekin gehiena atera diona beste haur bat izan da, eta besteek imitatu egin dute.
Talde lanaren aberastasuna agerian dago.

Es importante que los alumnos se den cuenta de la relación que existe entre la situación pro-
blema, los datos y los algoritmos. Es fundamental que comprendan desde el principio que jun-
tar, coger, ganar, recibir, añadir etc son acciones de suma; que dar, perder, pagar, consumir etc
son acciones que suponen restar.
Es necesario mucho más tiempo para resolver un problema de esta manera. Pero el trabajo
realizado al ser significativo y abordarlo desde la comprensión genera mayor avance. Cuando
se trabaja en profundidad, los alumnos cada vez que se enfrentan a un tipo de problema que
ya han resuelto antes, normalmente no repiten las mismas estrategias iniciales sino que inten-
tan utilizar otras más evolucionadas, utilizan los conocimientos construidos.
Ejemplo: 1º de Primaria
Problema: Si tienes una vaca en casa y esa vaca tiene 8 terneros ¿Cuántas patas tienen entre
todos?
Es un problema inventado por una pareja de la clase y ahora lo resolvemos entre todos
Primera vez que se enfrentan a un problema multiplicativo con números tan altos.
Utilizan diferentes estrategias para poder contar el número de patas. Mostramos algunas:
Dibujar los terneros y la vaca madre y
después contar las patas.
Numerar las vacas, por cada vaca hacer 4
rayas (las patas) y después contarlas.
Dibujar un círculo por vaca y después rayas
por patas e ir tachando al contarlas.

Bakoitzak bere ezagupenak eraiki ahal izateko, ikaskideen arteko elkarreraginak bezain
garrantzi handia du irakaslearen eskuhartzeak. Irakasleak egiten eta esaten duenak eragina du
haurren ikasketan. Irakaslea da ikaslea gidatzen duena, bere ahalmenetatik abiatuz eta bere
estrategia pertsonaletaz baliatuz, ohiko hizkuntza matematikoa ikas dezan.
Problemak ebazten ikasteko, ikasleek hasieratik ohartu behar dute zein den problema
Egoeraren eta datuen eta eragiketen artean dauden erlazioez konturatu behar du. Garrantzi
handia du haurrak hasieratik batuketak eta kenketak ekintza zehatz batzuekin lotzen direla
ulertzea (jarri, elkartu, irabazi, gehitu... batuketa egoerak dira. Galdu, ordaindu, kontsumitu...
kenketa ekintzak dira.)
Problemak modu honetan ebazteko denbora gehiago behar izaten da. Baina egindako lana
esanguratsua denez, eta ulermenean zentratuta dagoenez, gehiago ikasten dute ikasleek.
Sakontasunez lan egiten denean, ikasleek lehenago ebatzitako problema mota batekin ari dire-
nean, normalean ez dituzte errepikatzen lehen erabili izan dituzten estrategiak, eta horien
ordez diren estrategia landuagoak erabiltzen dituzte; eraikitako ezagupenak erabiltzen dituzte.
Adibidea: Lehen Hezkuntza, 1. Maila
Problema: Behi bat badaukazu etxean eta behi horrek 8 txekor egiten baditu, zenbat hanka
dute denen artean?
Gelako bikote batek asmatutako problema da eta orain denon artean ebazten ari gara.
Zenbaki altuetako horrelako biderketa egiten duten lehenengo aldia da.
Hanken kopurua zenbatu ahal izateko estrategia desberdinak erabiltzen dituzte.
Txekorrak eta behia marraztu ondoren
hanka guztiak zenbatu.
Behiak zenbatu, bakoitzari lau marra egin
(hankak) eta marra hauek zenbatu.
Behiak zirkuluen bidez markatu, gero han-
kak marren bidez, eta zenbatzean hauek
ezabatu.

Después de discutir el problema entre todos, llegamos a la conclusión de que matemática-
mente se puede graficar así: 4+4+4+4+4+4+4+4+4=36.
O incluso así: 9 X 4 = 36 9 veces 4 patas, o cuatro patas 9 veces.
• La siguiente vez que resolvieron un problema de este tipo “Tengo 6 mesas y mi hijo
pequeño en la sala. Cada mesa tiene 4 patas. ¿Cuántas patas son?”, ninguno dibujó las
mesas. Rápidamente dijeron que era como el problema de la vaca y los terneros. Por
supuesto para hacer el cálculo utilizaron los dedos, pero ya habían dado un gran paso ade-
lante hacia la abstracción matemática y su simbolización.
“Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para hacer otros
problemas” Descartes
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: SECUENCIA DIDÁCTICA A LARGO
PLAZO (Para todo un curso o ciclo)
Objetivos
Con esta propuesta de trabajo sobre la resolución de problemas contribuimos a lograr los
objetivos generales de Infantil y Primaria y los del ámbito de Comunicación y Representación
y del área de matemáticas, marcados en los decretos de desarrollo curricular de nuestra
Comunidad Autónoma.
Fundamentalmente pretendemos que:
• Los niños y niñas piensen de forma autónoma.
• Adquieran confianza en sus propias capacidades y en su manera de entender las cosas y de
resolver situaciones.
• Aprendan a razonar matemáticamente basándose en los conocimientos que ya tienen (éstos
tienen poca importancia en un aprendizaje memorístico pero son fundamentales en la cons-
trucción del conocimiento) y en sus propios recursos.
• Se conviertan en resolutores de problemas, pudiendo hacerlo de muchas formas diferentes,
utilizando múltiples estrategias.
• Aprendan a argumentar sus ideas y a intercambiar sus puntos de vista con los demás.
No vamos a hacer un listado de contenidos porque una situación problemática puede invo-
lucrar a cualquier bloque de la matemática.
Propuestas de Actividades
Ésta es una línea de trabajo amplia, es una guía para los docentes.
Muchas de las actividades propuestas pueden trabajarse con los niños de cualquier edad de
Infantil y Primaria. Variará el nivel de adquisición de los contenidos, el tipo de estrategias uti-
lizadas, el grado de comprensión de los conceptos matemáticos que entran en juego...
Las actividades no están secuenciadas ni por nivel ni por el orden en que deban ser realiza-
das. Cada docente, que es el que realmente conoce a su grupo, sus intereses, sus posibilida-
des..., planificará en cada momento lo más conveniente.

Denon artean problema eztabaidatu ondoren, matematikoki horrela adierazi daitekeela era-
baki dugu: 4+4+4+4+4+4+4+4+4=36
Edota: 9X4=36, bederatzi aldiz lau hanka edo lau hanka bederatzi aldiz.
• Era honetako problema bat ebatzi genuen hurrengoan, “Sei mahai eta nere seme txikia
egongelan ditut. Mahai bakoitzak 4 hanka dauka. Zenbat hanka dira?” ez zuten marrazki-
rik egin; berehala behia eta txekorren problema bezalakoa zela esan zuten. Kalkuluak egin
ahal izateko behatzak erabili zituzten baina marrazkiak ez egiteak sinbolizazioan eta mate-
matikaren abstrakzioan aurrera pauso bat ematea suposatzen du.
“Ebatzi nuen problema bakoitza arau bihurtu zen. Arau horrek beste problema batzuk ebaz-
teko bidea eman zidan” Descartes
PROBLEMEN EBAZPENA: EPE LUZEKO SEKUENTZIA DIDAKTIKOA
Helburuak
Problemen ebazpenari buruzko lan-proposamen honek haur hezkuntzako eta lehen hezkun-
tzako xedeak eta komunikazioaren eta errepresentazioaren eremuko eta matematikako hel-
buru orokorrak lortzen laguntzen du (Curriculumaren garapenerako dekretuetan adierazten
direnak).
Hau da lortu nahi duguna:
• Haurrek autonomiaz pentsatzea.
• Nork bere ahalmenetan eta bakoitzak gauzak ulertzeko eta ebazteko dituen era pertsonale-
tan konfiantza edukitzea.
• Haurrak berak dituen ezagupenetan eta bere baliabideetan oinarrituz, matematikoki arra-
zoitzen ikastea (ezagupen horiek ez dute garrantzi handirik buruz egindako ikasketetan,
baina funtsezkoak dira ezagupenaren eraikuntzan).
• Problemak ebazten beste era batera ikastea, estrategia asko erabiliz.
• Nork bere ideiak argudiatzen eta bere ikuspegia kideenekin trukatzen ikastea.
Ez dugu edukien zerrenda bat egingo, problema egoera batean edozein eduki matematiko
azaldu daitekeelako.
Jardueren Proposamena
Lan proposamen hau zabala da, irakasleentzako gida bat da.
Proposatzen ditugun jarduera asko haur eta lehen hezkuntzako ia edozein adinetako haurre-
kin egin daitezke. Adin bakoitzean ikasiko dutena desberdina izango da, erabiltzen dituzten
estrategiak, eduki matematikoen ulermen maila... desberdinak direlako.
Jarduerak ez daude sekuentziaturik, ez mailaka eta ez ordena jakin batean. Irakasle bakoitzak
momentu bakoitzean egokia dena planifikatuko du, daukan taldearen arabera.

Hemos organizado las actividades en torno a estas dos preguntas:
A. ¿Qué aspectos debemos trabajar para que ayudar a los alumnos a mejorar en la reso-
lución de problemas?
B. ¿Qué tipos de problemas nos parecen interesantes para trabajar en el aula?
A. ¿ Qué aspectos debemos trabajar para ayudar a los alumnos a mejorar en la resolución de
problemas?
A continuación proponemos una serie de actividades que no son específicamente resolución
de problemas, sino que son propuestas de trabajo para que los alumnos mejoren en los aspec-
tos más importantes en la resolución de éstos.
Cuando intentamos resolver un problema, después o/y en otros momentos es necesario traba-
jar algunos aspectos que son fundamentales en la resolución de problemas.
• Comprender el texto del problema (sea oral o escrito), imaginarse la situación y rela-
tarla. Es fundamental “hacerse con el problema” para poderlo resolver.
A veces se pueden analizar problemas, situaciones sin resolverlas únicamente para ver
si hay dificultades de comprensión.
• Estimación y verificación. Al verificar la estimación que se ha hecho ayuda a tener un
dato que en las siguientes situaciones nos ayudan a hacer estimaciones más aproxi-
madas.
Procuraremos hacer uso de datos de rango y magnitudes diferentes:
¿Cuántos libros tenemos en la biblioteca de aula?
¿Cuántas fichas habrá aquí?
¿Cabrá esta mesa en este hueco?....
Si esto es 1 metro ¿Cuánto medirá el patio?
• Estimación de resultados o del procedimiento a seguir (sin necesidad de resolverlo) en
un problema determinado.
Intentar aproximarse al resultado antes de operar y verificar la estimación realizada.
• Cálculo mental: únicamente mencionaremos la importancia de poseer múltiples estra-
tegias de cálculo, lo cual supone un dominio del sistema de numeración.
Las herramientas de cálculo y la rapidez a la hora de operar redundan positivamente
en una eficiente resolución de problemas.
Siempre mencionando el tipo de datos que son: 8 cm. + 23 cm... / 2 galletas por 17...,
no cálculos descontextualizados.
B. ¿Qué tipos de problemas nos parecen interesantes para trabajar en el aula?
Tipo de problema
Problemas reales de los alumnos (vida esco-
lar, extraescolar)
Problemas en torno a temas variados
Problemas-juego: lógicos, espaciales, geomé-
tricos, aritméticos...
Problemas inventados por los alumnos
Significatividad ¿Por qué?
Significativo por el uso y el contexto
Significativo para el aprendizaje
Significativo porque entretiene, porque pro-
voca placer, diversión...
Significativo para el alumno por ser produc-
ción propia
Significativo para la maestra (dato) (vemos las
hipótesis que manejan nuestros alumnos)

Bi galderen inguruan antolatu ditugu jarduerak:
A- Zein alderdi landu behar ditugu ikasleei problemak hobeto ebazten laguntzeko?
B- Zein problema mota aukeratu gelan lantzeko?
A- Zein alderdi landu behar ditugu, gure ikasleei problemen ebazpenean trebatzen lagun-
tzeko?
Ondoren proposatzen ditugun jarduerak ez dira bereziki problemak ebazten ikasteko, proble-
mak ebazterakoan garrantzia duten zenbait alderditan ikasleen trebetasuna hobetzeko baizik.
Problema bat ebazten saiatzen ari garenean, ondoren edo beste une batzuetan, problemen
ebazpenean zerikusia duten oinarrizko alderdi batzuk landu behar izaten dira.
• Problemaren testua ulertu (ahozkoa nahiz idatzizkoa), egoera imajinatu eta kontatu.
Ikasleak problema bereganaturik izan behar du, konponbidea bilatu ahal izateko.
Batzuetan, problemak aztertu egin daitezke, ebatzi gabe, ikasleen ulermen zailtasunak ikus-
teko.
• Kalkulua eta baieztapena. Egindako kalkulua baieztatzeak, antzeko beste egoera batzuetan
erabil daitekeen datu bat ematen du, eta kalkulu zehatzagoak egiten laguntzen du.
• Problema jakin baten emaitza, edo hura ebazteko behar den prozedura aurreikusi (ez da
beharrezkoa problema ebaztea).
• Buru kalkulua: kalkulurako estrategia ugari edukitzeak garrantzi handia du, eta horretarako
ondo ezagutu behar da zenbakitze sistema. Kalkuluak egiteko prozedurak eta eragiketak egi-
teko arintasuna oso lagungarriak dira problemak ongi ebazteko.
Beti adierazi beharra dago zer motako datuak diren: 8zm.+ 23zm / 2 gaileta bider 17... eta
ez testuingurutik ateratako datuak.
B- Zein problema mota aukeratu gelan lantzeko?
Problema mota
Ikasleek eskolan eta kanpo dituzten benetako
problemak
Gaiei buruzko problemak
Jolas-problemak: logikakoak, espazialak,
geometrikoak, aritmetikoak ...
Ikasleek asmatutako problemak
Esanguratasuna. Zergatik?
Esanguratsua testuinguruagatik eta erabilpe-
narengatik
Ikasketarako esanguratsua
Esanguratsuak ondo pasarazten dutelako
Esanguratsua ikaslearentzat norberaren ekoiz-
pena delako
Irakaslearentzat esanguratsua, ikasleen eza-
gupenen eta gaitasunen berri izateko

Teniendo en cuenta todos estos tipos de problemas trabajamos en tres ejes:
B1 - Aprovechamiento de los problemas matemáticos que se dan en el aula todos los días.
B2 - Situaciones matemáticas en secuencias didácticas (o temas)
B3 - Situaciones didácticas planificadas específicamente para trabajar la resolución de
problemas.
B1- Aprovechamiento de los problemas matemáticos que se dan en el aula todos los días
Cantidad de situaciones (a veces infinidad de ellas) se nos presentan diariamente, deci-
dimos aprovechar algunas de ellas por su gran potencial didáctico, otras las reservamos
para volverlas a plantear en otro momento más adecuado, y algunas las dejamos pasar
por ser menos interesantes o por falta de tiempo.
A veces un auténtico problema es “nuestro tiempo”, o la concepción que tenemos de él.
Dejamos pasar muchas situaciones de gran potencialidad por falta de tiempo y las resol-
vemos nosotras para después emplear dicho tiempo en actividades mucho menos inte-
resantes y con menos potencialidad de aprendizaje.
Ejemplos:
Educación Infantil, 5 años
Reparto de 17 fotocopias (aula de 5 años): “Reparte una en cada cubeta”
Ximón tardó un rato en hacer el trabajo. A veces dudaba de si había puesto la hoja en la
cubeta o no; miraba para comprobarlo.
No es tan fácil como parece: llevar el orden del reparto, mantener la correspondencia
1-1 sin equivocarse, cuando uno tiene 5 años.
Educación Primaria, 1º
Formar grupos para un trabajo
En un proyecto de trabajo queremos profundizar sobre 4 animales diferentes. En clase
somos 21 alumnos. Por lo tanto se trata de repartirse en 4 grupos. Yeray lo ve rápida-
mente: primero hacemos 10 y 10 que son 20 y luego en cada grupo de 10 hacemos 5 y
5. Así nos quedan cuatro grupos de 5 que son 20. ¿Qué pasa con el niño que sobra?
Comentan que puede hacer el trabajo solo o con la profesora. Les cuesta admitir que el
número de componentes de cada grupo no sea el mismo.
Por fin deciden que en uno de los grupos habrá 6 niños y en todos los demás 5.
Es evidente que en ambos casos la maestra hubiera realizado esa tarea en un momento,
para dar paso a la actividad correspondiente. Sin embargo estas tareas, son actividades
matemáticas en sí mismas y al ser realizadas por los alumnos, les ayudan a aprender.
Muchas de éstas son situaciones problemáticas abiertas que dan lugar a la discusión de
diferentes caminos y estrategias de resolución e incluso de diferentes soluciones.
Éstas son algunas de las situaciones matemáticas que hemos aprovechado este curso con
nuestros alumnos:
• Organización del aula: clasificación, conteo del material, organización de los
espacios.

Problema mota hauek kontuan harturik, hiru ardatzetan antolatzen ditugu:
B1- Eguneroko bizitzan sortzen diren matematika problemak baliatzen ditugu gelan
B2- Matematika egoeran sekuentzia didaktikoetan edo gaietan
B3- Planifikatutako egoera matematikoak
B1- Gelan eguneroko bizitzan sortzen diren matematika problemak baliatzen
Egoera asko sortzen dira gelako bizitzan. Hainbeste direnez, horietako batzuk baliatzen
ditugu, eta beste egoera batzuk beste une batean planteatzeko utziko ditugu, eta badira
beste batzuk alde batera utziko ditugunak, hain interesgarriak ez direlako edo denbora
gutxi dugulako.
Batzuetan, “gure denbora”, edo guk denborari buruz dugun kontzeptua, benetako pro-
blema izaten da. Egoera aberatsak alde batera uzten ditugu denbora gutxi dugulako, eta,
halakoetan, irakasleok egiten dugu ikasleek egin zezaketena. Denbora hori, beraz, hain
interesgarriak ez diren jarduerak egiteko erabiltzen dugu, eta alde batera uzten ditugu
ikasketarako aberatsak izan zitezkeen egoera batzuk.
Adibideak:
Haur Hezkuntza, 5 urte
17 fotokopia banatu: “ Kubeta bakoitzean bat jarri”
Ximonek denbora piska bat behar izan zuen lana bukatzeko. Batzuetan ez zen gogora-
tzen ea orria kubetan jarrita zegoen ala ez, eta berriro begiratzen zuen han zegoela ziur-
tatzeko.
Erraza dirudi, baina banaketaren ordena eramatea eta 1-1 korrespondentzia nahasi gabe
mantentzea zaila izaten da 5 urteko umearentzat.
Lehen Hezkuntza, 1. maila
Lan bat egiteko taldeak antolatu
Lan proiektu batean 4 animalia desberdinei buruz sakondu nahi dugu. Gelan 21 ikasle
dira. Beraz, 4 talde egitea da eginkizuna. Yeraik berehala ikusi du: lehenengo egingo
dugu 10 eta 10 eta 20 dira eta gero 10eko talde bakoitzean 5 eta 5 egingo dugu. Horrela
5 eko lau talde gelditzen dira eta 20 dira. “Zer gertatzen da soberan dagoen ikasleare-
kin?” Haurrek esaten dute bakarrik lan egin dezakeela edo irakaslearekin. Kosta egiten
zaie talde guztietan haur kopuru bera ez egotea onartzea.
Azkenean, erabaki dute talde batean 6 haur egongo direla, eta besteetan 5.
Garbi dago bi egoera horietan irakasleak berehala egingo zituela bi ekintza hauek, beste
zerbait egiten hasteko. Baina ekintza hauek jarduera matematikoak dira berez, eta horiek
haurrei egiten utziz ikasten laguntzen diegu.
Hauetako asko matematika egoera irekiak dira, ebazteko bide, estrategia eta soluzio
askoz hitzegiteko aukera ematen dutenak.
Ondorengo hauek aurtengo ikastaroan, gure ikasleekin baliatu ditugun matematika ego-
era batzuk dira:
• Gelaren antolaketa: sailkapena, materialaren zenbaketa, espazioen antolamendua.

• Organización de los grupos de trabajo: dado el número de grupos, calcular cuán-
tos niños en cada uno, o dado el número de componentes calcular cuántos gru-
pos.
• Repartos: galletas, hojas, platos, servilletas, fichas....
¿Habrá suficiente para todos? ¿A cuánto tocará?
• ¿Cuántos días o meses faltan para una fecha señalada? (cumpleaños, excursión...)
• Material que necesitamos para plástica: encuadernadores, pinzas, papeles para las
simetrías...
• Juegos: reparto de fichas para jugar al Bingo, anotar los tantos al jugar varios equi-
pos a los bolos...
Educación Infantil, 5 años
Al jugar varias partidas a los bolos así han apuntado los tantos para saber cuántos bolos
han tirado en total y quién es el ganador.
B2- Situaciones matemáticas en secuencias didácticas (o temas)
• Medidas del cuerpo (peso, altura, perímetro craneal, número de zapato) y relación
entre ellas.
• Número de dientes que tenemos, de falanges, de huesos...
• Embarazo, meses, días...
• Edad de los niños, días, meses...
• Animales: peso, edad que alcanzan, velocidad...
• Medidas de distancias en un plano: comparación y ordenación de recorridos (distan-
cia de casa al colegio).
• Cálculo de la edad que tenía Picasso al pintar diferentes cuadros.
• Diferentes situaciones de medida y proporción al construir la maqueta de Rentería.
• Ordenar cuatro cajas por su tamaño.

• Lan taldeen antolamendua: lan talde kopurua emanez, lan-talde bakoitzak zenbat
lagun izango dituen kalkulatu, edo ikasle kopurua kontuan harturik zenbat talde
eratuko diren kalkulatu.
• Banaketak: gailetak, orriak, platerak, barajako kartak. Badago denontzat adina?
Zenbana iritsiko da?
• Zenbat egun, hilabete falta dira ibilaldi egunera arte? (urtebetetzeak, oporrak, an-
tzerki eguna...)
• Plastikarako behar dugun materiala: enkuadernagailuak, pintzak, simetriak egi-
teko paperak...
• Jolasak: bingoan jolasteko fitxen banaketa, tantoak apuntatu bolotan aritzean...
Haur Hezkuntza, 5 urte
Bolotan aritzean horrela apuntatu dituzte emaitzak, txanda asko jokatu ondoren, guztira
zenbat bolo bota dituzten eta irabazlea nor den jakiteko:
B2- Matematika egoerak sekuentzia didaktikoetan edo gaietan
• Gorputzaren neurriak (pisua, altuera, buruaren perimetroa, zapataren zenbakia) eta
datu horien arteko erlazioak.
• Gorputzean ditugun hezur, falange, hortz kopurua.
• Haurdunaldia, hilabeteak, egunak....
• Animaliak; pisua, gehienez iritsi dezaketen adina, abiadura...
• Distantzien neurketa plano batean: ibilbide ezberdinak alderatu eta ordenatu (etxetik
eskolara dagoen distantzia. )
• Picassok koadro batzuk zein adinarekin margotu zituen kalkulatu.
• Errenteriako maketa egiterakoan sortu diren neurketa eta proportzioen problemak
• Lau kaxa tamainaren arabera ordenatu.

B3- Situaciones didácticas planificadas específicamente para trabajar la resolución de
problemas
Actividad 1: ¿Qué es un problema matemático?
Si nunca hemos abordado este tema con los niños y niñas, resulta muy interesante plan-
tear esta pregunta. Muchas veces a pesar de resolver auténticos problemas matemáticos
en el aula, no tienen (ni tenemos) conciencia de ello. No explicitamos que “estamos
haciendo matemáticas”. Otras veces llamamos problemas a meros ejercicios rutinarios
que no suponen ningún reto para nadie.
Escucharemos así las ideas y conocimientos que tienen respecto al tema, lo que para
ellos es problema y que para ellos es matemática.
Registro de 1º de Primaria:
Profesora: Para vosotros ¿qué es un problema matemático?
Leila: Yo no sé, yo no tengo problemas.
Lide: Tú antes, cuando no nos callábamos tenías un problema, pero después cuando te
has enfadado y nos has reñido, el problema lo hemos tenido nosotros.
Profesora: De acuerdo, eso era un problema, pero ¿era un problema matemático?
Yeray: No, porque no había números.
Asier: Pero hay problemas sin números.
Profesora: ¿Por ejemplo?
(Silencio total durante unos segundos)
Hodei: Yo no sé, pero los laberintos de los pasatiempos no tienen números, yo no sé si
son problemas.
Lide: Pues sí, pues serán, porque a veces cuesta mucho salir ¿te acuerdas el del otro día?,
ese grande, el de la última hoja, ¿te acuerdas Ainhoa? Al final lo sacamos entre Leila,
Ainhoa y yo, y porque nos ayudó Pili, siempre nos liábamos.
Mikel: Pero otros son fáciles.
Lide: Ya, pero ése no, ése era difícil ¿a qué sí?
Profesora: Leila ha dicho que ella no tiene problemas y los laberintos no tenemos claro
si son problemas o no. ¿Alguno de vosotros piensa que ha resuelto alguna vez un pro-
blema matemático?
Iker M.: Sí, ¿no os acordáis? Cuando calculamos cuántos encuadernadores hacían falta
para el elefante, la rana y la gallina.
Profesora: ¿Por qué era un problema?
Iker M.: Porque hacían falta muchos y éramos más pequeños y no sabíamos contar.
Eider: Mi madre dice que cuando vas a comprar.
Mikel: ¿Por qué?
Eider: Por el dinero y eso.
Profesora: Lo referente al dinero ¿es un problema matemático?
Iris: Sí. Tú siempre nos dices que no tiremos los papeles de colores, que guardemos lo
que sobra para otro día porque son muy caros y tenemos poco dinero para comprar
cosas para el cole.

B3- Planifikatutako egoera matematikoak
1. Jarduera: Zer da problema matematiko bat?
Ikasleekin inoiz ez badugu gai honetaz hitzegin, oso interesgarria izan daiteke galdera
hau egitea. Askotan gertatzen da, gelan benetako problemak ebatzi izan arren, ikasleek
ez dutela egindakoaren eta matematikaren artean loturarik egiten.
Horrela, gaiari buruzko dituzten ideiak eta ezagupenak entzungo ditugu; haientzat mate-
matika eta problema bat zer den jakingo dugu.
Lehen Hezkuntzako 1.mailako errejistroa:
Irakaslea: Zer da problema matematiko bat zuentzako?
Leila: Nik ez dakit, nik ez dut problemarik..
Lide: Lehen, gu isiltzen ez ginenean, zuk problema bat zeneukan, baina gero, zu hase-
rretu zarenean eta bronka bota didazunean, guk izan dugu problema.
Irakaslea: Adoz, hori problema bat dela, baina, problema matematiko bat da?
Yeray: Ez, ez zegoen zenbakirik.
Asier: Baina zenbakirik gabeko problemak badaude.
Irakaslea: Adibidez?
(Isiltasunean gelditzen dira)
Hodei: Nik ez dakit, baina denborapasetan dauden labirintoek ez dute zenbakirik, baina
nik ez dakit problemak diren.
Lide: Ba bai, izango dira, askotan asko kostatzen delako ateratzea. Gogoratzen zara
aurreko egunekoa?, handi hori, azken orrian dagoena, gogoratzen zara Ainhoa?
Azkenean Leila, Ainhoa eta hirurok atera genuen eta gainera Pilik lagundu zigulako, beti
liatzen ginen.
Mikel: Baina beste batzuk errezak dira..
Lide: Ya, baina hori ez, hori zaila zen, baietz?
Irakaslea: Leilak ez duela problemarik esan du eta ez dakigu labirintoak problemak diren
ala ez. Norbaitek problema matematiko bat ebatzi duela pentsatzen al du?
Iker M.: Bai, ez zarete gogoratzen? Elefantea, igela eta oiloa egiteko zenbat enkuaderna-
dore behar genuen kalkulatu genuenean.
Irakaslea: Zergatik zen problema bat?
Iker M.: Asko behar genuelako eta txikiagoak ginen eta ez genekien zenbatzen..
Eider: Nere amak esaten du erostera zoazenean.
Mikel: Zergatik?
Eider: Diruarengatik eta hori..
Irakaslea: Diruari dagokiona, problema matematiko bat da?
Iris: Bai. Zuk beti esaten duzu ez botatzeko koloretazko papereak, sobratzen dena gorde
behar dugula beste egunerako oso garestiak direlako eta eskolarako gauzak erosteko diru
gutxi daukagula.

Lide: Sí, porque para comprar cosas necesitas dinero y si no tienes y tú preguntas en la
tienda ¿cuánto es? y te dicen y no tienes ¿qué pasa?
Yeray: Pues yo no tengo problemas con el dinero. Yo voy los sábados y los domingos a
comprar el pan y el periódico y no tengo problemas.
Profesora: ¿Sabes si te dan bien los cambios?
Yeray: Sí, yo doy 2 euros o 3 euros, o los céntimos que me dicen, yo lo cuento y ya está.
Es fácil.
Lide: Porque compras sólo dos cosas, si no ya verías...
Iker S.: Yo también compro las chuches donde Txema. Voy yo solo.
Profesora: Vamos a pensar en problemas matemáticos que hayamos resuelto entre todos
en clase. Iker ha comentado lo de los encuadernadores...
Jon: Sí, salieron ciento sesenta y ocho, eran muchos, y luego tú trajiste muchas cajas.
Asier: Sí y en cada caja había cuarenta o cincuenta ¿no?
Profesora: Está claro que aquel fue un problema matemático, a ver si nos acordamos de
alguno más.
Iris: Cuando el cuento del “Gallo Kiriko”, tú dijiste que eso eran matemáticas, no sabía-
mos cuántas hojas poner, queríamos justas...
Alba: Y estaban el gallo, el tío Perico, el fuego, la oveja, el palo...
Eider: La cocinera, la lechuga y la lluvia. Y también la portada.
Profesora: ¿Y por qué era un problema?
Iris: Porque como doblábamos las hojas y hacíamos por todos los lados era un lío y había
que contar.
Ainhoa: Y cuando a Ismael y a Iker Soto se les cayó el periódico, y lo llevaron al corcho
y era la hora del recreo y vino la andereño Ana y estuvisteis todos mucho rato poniendo
las hojas bien. ¡Jo, menudo problema!
Profesora: El hacer sumas y restas ¿es un problema?
Yeray: Para mí no, yo hago muy rápido y ya no uso los dedos, ni pinturas ni nada, sólo
la cabeza.
Eider: Yo a veces sin dedos, es muy fácil: tres y tres son seis, cinco y cinco son diez.
Jon: Un millón y un millón dos millones.
En un principio les cuesta identificar ciertas situaciones como problema matemático. El
usar juntas ambas palabras les desconcierta.
Poco a poco van surgiendo situaciones variadas: laberintos, cómputo de encuadernado-
res, dinero, cálculo de hojas que se necesitan para realizar una actividad, ordenación de
las páginas del periódico.
Todas las situaciones que mencionan surgen de su vida real, son situaciones reales que
han vivido, significativas y por lo tanto necesaria su resolución.
La resolución de todas estas situaciones supone para estos niños de primero poner en
juego estrategias y formas de pensar variadas y originales.

Lide: Bai, gauzak erosteko dirua behar duzu eta ez badaukazu eta zuk galdetzen duzu
dendan zenbat da? Eta esaten dizute eta ez badaukazu, zer gertatzen da?
Yeray: Ba nik ez dut problemarik diruarekin. Ni larunbatero eta igandero ogia eta egun-
karia erostera joaten naiz eta ez dut problemarik.
Irakaslea: Eta badakizu kanbioa ondo ematen dizuten?
Yeray: Bai, nik 2 edo 3 euro ematen dut, edo esaten dizkidaten zentimoak, nik kontatzen
ditut eta ya está. Erreza da.
Lide: Bi gauza besterik ez duzulako erosten, bestela ikusiko zenuke...
Iker S.: Nik ere txutxeak erosten ditut Txemaren dendan. Bakarrik joaten naiz.
Irakaslea: Denon artean gelan ebatzi ditugun problema matematikoak pentsatuko ditugu.
Ikerrek enkuadernadorearena aipatu du...
Jon: Bai, ehun hirurogeitazortzi atera ziren, asko ziren, eta gero zuk kaxa asko ekarri
zenuen.
Asier: Bai eta kaxa bakoitzean berrogei edo berrogeitahamar zeuden, ezta?
Irakaslea: Bai, hori problema matematiko bat izan zela argi dago; ea besteren batetaz
gogoratzen garen.
Iris: “Gallo Kiriko” ipuinarekin matematikak zirela esan zenuen, ez genekien zenbat orri
jarri, ez genuen sobratzea nahi...
Alba: Eta oilarra, Periko osaba, sua, ardia, makila... zeuden.
Eider: Sukaldaria, letxuga eta euria. Eta portada ere bai.
Irakaslea: Eta zergatik zen problema bat?
Iris: Orriak tolestatu behar genituelako eta alde guztietatik egiten genuen, lio bat zen eta
zenbatu behar genuen.
Ainhoa: Eta Ismaeli eta Iker Sotori egunkaria erori zitzaiela, eta kortxora eraman zuten
eta errekreo ordua zen eta Ana andereñoa etorri zen eta denak denbora handia egon
zineten orriak ondo jartzen. ¡Jo, menudo problema!
Irakaslea: Batuketak eta kenketak egitea, problema bat da?
Yeray: Neretzat ez, nik oso azkar egiten ditut eta ez dut behatzik erabiltzen, ezta margo-
rik ere ez, bakarrik burua.
Eider: Nik batzutan behatzik gabe, oso erreza da: hiru eta hiru sei, bost eta bost hamar.
Jon: Milioi bat eta milioi bat, bi milioi.
Haurrek eragozpenak dituzte egoera batzuk problema matematikoak bailiran identifika-
tzeko. Bi hitzak elkarrekin erabiltzea kosta egiten zaie.
Pixkanaka egorea desberdinak sortuz doaz: labirintoak, enkuadernadoreen kopurua,
dirua, jarduera bat egiteko behar den orrien kalkulua, egunkariaren orrien ordenazioa...
Aiaptzen dituzten egoera guztiak beraien bizipenak dira, beraien bizitzako egoera erre-
alak direnez ebazpena beharrezkoa da.
Egoera hauen ebazpenak 1.mailako haurren pentsatzeko era ugari eta burutsuak pizten
ditu.

Actividad 2: Invención de problemas matemáticos
Inventar problemas. Es importante que potenciemos que los alumnos sean también pro-
ductores (inventores) de problemas matemáticos.
Es un tipo de actividad que favorece la comprensión de los problemas y sirve para ana-
lizar con los alumnos factores como el tema del problema, el tipo de datos que apare-
cen, la coherencia del planteamiento, su ajuste con una situación real, tipo de operación
que se debe realizar para resolverlo...
Se propone a los niños y niñas inventar problemas matemáticos y que los escriban (por
parejas). Estos son algunos de los problemas inventados por los niños de 1º:
• Si tienes 200 perros y se mueren 30 ¿Cuántos quedan?
• Tengo 6 mesas y mi hijo pequeño en la sala. Cada mesa tiene 4 patas. ¿Cuántas patas
son?
• Si una vaca tiene 8 terneros ¿Cómo los cuidaría?
• Si en el colegio hay 834 niños ¿Cuántas orejas hay? Y si cada uno te pide 2 juguetes
¿Cuántos tienes que comprar?
• Va una chica a comprar 2 paquetes de patatas. Si cada paquete vale 50 céntimos
¿Cuánto valen los dos?
• Tengo 8 perros. Cada uno tiene 8 cachorros. Y no sé cuántos son.
• Si tengo 5 rinocerontes. ¿Cuántas patas tienen?
• Si tienes mil y un perros y te quitan uno. ¿Cuántos te quedan?
• Si tienes tres caramelos y 8 niños ¿Qué harías?
• Si cada uno tenemos tres cuadernillos de matemáticas. ¿Cuántos tenemos entre todos?
• Si vas a un cementerio y hay 100 tumbas y en cada una hay 100 muertos ¿Cuántos
hay?
• Tenemos 26 lápices. Cada lápiz tiene 2 puntas. ¿Cuántas puntas tienen?
• ¿Cuántas flores tiene el jersey de Iris?
• Si tienes una vaca en casa y esa vaca tiene 8 terneros. ¿Cuántas patas tienen entre
todas?
• Tengo tres perros y me cagan tres veces al día. ¿Cuántas veces cagan entre todos?
El hecho de escribir el problema supone otro tipo de lenguaje diferente al oral. Casi todos
los problemas son de tipo multiplicativo (cuando según la secuenciación tradicional de
los contenidos de matemáticas se debería iniciar la multiplicación a finales del 2º curso).
No plantean problemas de sumas y restas.
No plantean ningún problema parecido a los que proponen los libros de texto para esta
edad (dato muy importante para que reflexionemos sobre lo que es significativo e inte-
resante para los niños).
Muchos de los enunciados comienzan con una condición.

2. Jarduera: Matematikako problemak asmatzen
Problemak asmatu. Garrantzi handia ematen diogu ikasleak problemen sortzaileak iza-
teari. Jarduera mota honek problemen ulermena errazten du eta oso baliagarria da ikas-
leeekin problemen alderdi batzuk aztertzeko: agertzen diren datu motak, planteamen-
duaren koherentzia, errealitatearekin duen lotura, egin beharko diren eragiketa motak...
Problema matematikoak asmatu eta idaztea proposatzen zaie haurrei (bikoteka jarrita).
Hauek dira Lehen Hezkuntzako 1.mailako haurrek asmatutako batzuk:
• 200 txakur badaukazu eta 30 hiltzen badira. Zenbat gelditzen dira?
• Sei mahai eta nere seme txikia egongelan ditut. Mahai bakoitzak 4 hanka dauka.
Zenbat hanka dira?
• Behi batek 8 txekor egiten badu. Nola zainduko zituen?
• Eskolan 834 haur baldin badaude, zenbat belarri daude? Eta haur bakoitzak 2 jostailu
eskatzen badizu. Zenbat erosi behar dituzu?
• Neska bat patata bi pakete erostera doa. Pakete bakoitzak 50 zentimo balio badu, zen-
bat balio duten biek?
• 8 txakur daukat eta bakoitzak 8 katxorro egiten du. Eta ez dakit zenbat diren.
• 5 errinozeronte badut. Zenbat hanka dute?
• Mila eta bat txakur baduzu eta bat kentzen badizute. Zenbat gelditzen zaizu?
• 3 goxoki eta 8 haur baduzu. Zer egingo zenuke?
• Bakoitzak matematikako hiru koadernilo badugu. Zenbat dugu denon artean?
• Kanposantu betera bazoaz eta hor 100 tunba daude eta bakoitzean 100 hilda. Zenbat
daude?
• 26 arkatz dugu. Arkatz bakoitzak bi punta du. Zenbat punta dute?
• Zenbat lore dago Irisen jertseian?
• Behi bat badaukazu etxean eta behi horrek 8 txekor egiten ditu. Zenbat hanka dute
denen artean?
• Hiru txakur daukat eta egunean hiru aldiz egiten dute kaka. Zenbat kaka egiten dute
orokorrean?
Problemak idazterakoan ahozkoa ez den beste hizkuntza bat erabiltzen da.
Haurrei ez zaie bururatu batuketaren eta kenketaren bidez ebazten den problemarik. Ia
problema guztiak biderketa baten bidez ebazten dira (matematika edukien ohiko
sekuentziazioak biderketa lantzen 1.mailaren bukaeran hasi beharko genukeela adieraz-
ten du).
Testu liburuek adin honetarako proposatzen duten motako problema bat bera ere ez dute
asmatzen. Honek haurrentzako esanguratsua eta interesgarria denaren inguruan haus-
nartzeko aukera ematen digu.
Problema askok hasieran baldintza bat planteatzen dute.

Actividad 3: Resolución de problemas inventados (o propuestos por la maestra)
Toda la clase resuelve los problemas propuestos por cada pareja de niños.
Proponemos una primera fase de resolución personal para que cada niño pueda después
aportar sus ideas a la discusión. Aparecen numerosas estrategias y formas diferentes de
resolución, y después las discutimos entre todos.
Aparte de resolver el problema matemáticamente hablamos sobre si es lógico o no, si
hay alguna posibilidad de que se de dicha situación en la vida real o no.
Resolvemos el problema de la vaca que tiene 8 terneros. La solución que dan es correcta:
tienen en total 36 patas. Después tratamos si es normal que una vaca tenga 8 terneros o
no. Modifican el problema y la que tiene 8 crías ahora es una coneja (situación que sí se
da en la vida real).
Entre dos clases diferentes realizamos un intercambio de problemas: los inventados en
una pasan a la otra para ser resueltos y viceversa. Devolvemos a los autores no sólo los
resultados sino diversos comentarios acerca lo interesante que ha sido, las estrategias uti-
lizadas, si ha sido fácil o muy complicado...
Actividad 4: Inventar problemas teniendo en cuenta alguna condición puesta por la
maestra
Inventar un problema que sea de división; uno cuyo resultado sea 14; un problema que
sea de medidas, en torno a un tema: deporte, geografía universo; inventar un problema
con un material determinado (un folleto de propaganda, inmobiliarias del periódico, un
ticket de compra...); dando una imagen o fotografía...
Se puede proponer inventar problemas difíciles para alumnos mayores, o problemas fáci-
les para alumnos más jóvenes (así analizaremos qué supone para nuestros alumnos que
algo sea matemáticamente fácil o difícil).
Yeray inventa el problema siguiente (condición: ser muy fácil): Una niña tiene 6 cara-
melos y su hermano le da 7. ¿Cuántos caramelos tienen entre los dos?
Cuando Yeray lo lee Lide comienza a explicar: “ Mira son 13, es fácil, pero el problema
está en que su madre va y les pregunta ¿habéis comido caramelos? Porque ellos van a la
compra y con lo que les sobra, sin que su madre lo sepa, compran caramelos, y luego
se los comen, la niña 6 y el niño 7. Pero luego su madre les pilla y les pregunta si han
comido caramelos para ver qué dicen. Ése sí que es un problema grande, y son 13 los
que han comido.
Lide intenta convertir en auténtico problema una situación que matemáticamente se
resuelve con un cálculo muy fácil para ella.
Esto nos lleva a pensar en tantos ejercicios rutinarios que realizan en clase bajo el nom-
bre de problema y que no suponen ningún reto para nuestros alumnos.
Problemas inventados por diferentes niños teniendo como base la misma fotografía:
• Hay cuatro niños y tres niñas ¿cuántos dientes tienen?
• Estos niños comen en el comedor del colegio. Si todos los días cada uno come dos
yogures. ¿cuántos comen en una semana?
• ¿Cuántos años tienen entre todos?

3. Jarduera: Asmatutako problemen ebazpena (edo irakasleak proposatutakoak)
Gela guztiak ebazten ditu haur bikote bakoitzak asmatutako problemak.
Hasieran haur bakoitzari bere kabuz ebazteko aukera ematea proposatzen dugu, gero,
taldean eztabaidatzen dutenean, bakoitzak bere aportazioa egin ahal izan dezan.
Estrategia asko azaltzen dira, ebazteko era desberdinak, eta, azkenik, denon artean ezta-
baidatzen ditugu.
Problema matematikoki ebazteaz gainera, problema hori logikoa den ala ez, eta bizitzan
horrelako egoerarik izaten ote den ala ez aztertzen dugu.
8 txekor dituen behiaren problema ebazten dugu. Haurrek ematen duten soluzioa
zuzena da: denen artean 36 hanka dituzte. Ondoren aztertu dugu ea normala den behi
batek 8 txekor edukitzea. Problema aldatu dute eta oraingoan 8 kume dituena untxi bat
da.
Bi gelen artean problemak trukatzen ditugu: gela batean asmatutakoak beste gelan ebaz-
ten dira, eta alderantziz. Egileei emaitzak itzultzen dizkiegu eta baita ere komentarioren
bat, zein interesgarria izan den adieraziz, zein estrategia erabili ditugun, erraza izan den
edo oso zaila...
4. Jarduera: Irakasleak jarritako baldintzaren bat kontuan hartu problemak asmatzerakoan
Zatiketa eginez ebazten den problema bat asmatu; 14 emaitza duen bat; neurrien pro-
blema bat; gai bati buruzkoa: kirola, geografia, unibertsoa; Material batean oinarrituz
problemak asmatu ( propagandako liburuxka bat, egunkarietako etxebizitzak saltzeko
orriak, ordain-agiri bat...); irudi edo argazki batetik abiatuz...
Irakaslearen proposamena izan daiteke ikasle haundiagoentzat problemak asmatzea, edo
problema errazak ikasle gazteagoentzat, bestela ( Horrela ikus dezakegu irakasleok zer
den gure ikasleentzat matematikoki zaila edo erraza den egoera bat).
Yerayk problema hau asmatzen du (baldintza: oso erreza izatea): Neska batek 6 goxoki
du eta bere anaiak 7 ematen dio. Zenbat goxoki duten bien artean?
Yerayk irakurtzen duenean Lide hasten da adierazten: “Begira, 13 dira, erreza da, baina
bere amak galdetzen die ea goxokiak jan dituzten. Haurrak erosketak egitera joan dira
eta sobratzen zaien diruarekin, amak jakin gabe, goxokiak erosten dituzten eta gero jaten
dituzten, neskak 6 eta mutilak 7. Baina gero amak pilatzen ditu eta galdetzen die ea
goxokiak jan dituzten ikusteko zer esaten duten, Hori bai dela problema handia eta ez
jan dituzten 13 goxokiak.
Haur Hezkuntza, 5urte
Haur batzuek argazki berarekin asmatutako problemak:
• Lau mutil eta hiru neska daude ¿Zenbat hortz dituzte?
• Haur hauek eskolako jantokian bazkaltzen dute. Bakoitzak egunero bi jogurth jaten
baditu, zenbat jaten dituzte aste batean?
• Zenbat urte dituzte denen artean?

Actividad 5: Transformación de problemas
Esta actividad iría muy unida a los problemas con condiciones con una variante: dado
un problema proponer una transformación del mismo dando alguna condición.
Transformar un problema de suma en uno de resta manteniendo las cantidades.
Doblar todas las cantidades del problema y ver si sigue siendo lógico o no y si se puede
resolver.
Cambiar (o añadir) ciertos aspectos del problema sin que varíen ni las operaciones mate-
máticas ni el resultado.
Conseguir que el resultado sea tres veces mayor.
Añadir algún elemento o situación al problema para aumentar el número de operacio-
nes matemáticas. ...
Y como punto final a esta propuesta didáctica, una observación: los maestros deberíamos ana-
lizar de vez en cuando (y bastante minuciosamente) los problemas que aparecen en los mate-
riales didácticos.
Porque:
Al trabajar los contenidos matemáticos de forma aislada y descontextualizada, pierden sen-
tido, y al no haber relación de unos elementos con otros se convierten en ejercicios más o
menos mecánicos.
El hecho de programar el aprendizaje de los problemas en función del algoritmo que se
enseña en cada momento supone que, el alumno ya sabe cual es el algoritmo que deberá uti-
lizar; no necesita comprender el texto para saber qué operación debe de realizar. (Además fre-
cuentemente los datos aparecen en el orden en el que hay que colocarlos para operar).
Cuando los problemas se plantean para ejercitar un algoritmo determinado, se incide en el
algoritmo y se aleja del significado del problema y de la búsqueda de procedimientos de reso-
lución.

5. Jarduera: Problemak aldatu
Jarduera hau eta baldintza bat emanez problema bat ekoiztearena antzekoak dira:
Problema bat proposatu ikasleei, eta baldintza bat kontuan harturik, problema horri alda-
ketaren bat egitea proposatu.
Batuketaren bidez ebazten den problema bat asmatu, eta kopuruak mantenduz, kenketa
eginez ebazten den problema bihurtu.
Problema baten kopuruak bikoiztuz gero, aztertu ea problemak logikoa izaten jarraitzen
duen ala ez, eta ea posible den ebaztea.
Problemaren atal batzuk aldatu (edo erantsi) eragiketak eta emaitza aldatu gabe. Emaitza
hiru aldiz handiagoa izatea lortu.
Problemari elementu edo egoeraren bat erantsi, problema ebazteko eragiketa gehiago
egin behar izateko. ...
Eta proposamen didaktiko hau bukatzeko, ohar bat: irakasleok noizbehinka material didakti-
koetan agertzen diren problemak zehastasunez aztertu beharko genituzke arrazoi hauengatik:
Eduki matematikoak bereizita lantzen badira, testuingurutik kanpo, zentzua galtzen dute, eta,
elementuen artean erlaziorik ez dagoenez, ariketa mekaniko bilakatzen dira.
Problemak algoritmo jakin bat egiten ikasteko helburuarekin planteatzen direnean, eragiketan
jartzen da indarra eta garrantzia, eta ulermena eta ebazteko prozedurak bilatzea alde batera
uzten dira.

BIBLIOGRAFÍA
Arrieta Illarramendi, M / Sanz Lerma, I. “Conveniencia de usar un protocolo como forma
de expresión en la resolución de un problema. Propuesta”. Revista SIGMA nº 13-14
Bethencourt Benítez, T. J. “La importancia del lenguaje en la resolución de problemas arit-
méticos de adición y sustracción”. Revista SUMA nº 16
Corbalán, F. “Matemáticas de la vida cotidiana”. Aula de Innovación educativa nº 63.
Fernández, S. / Basarrate, A. / Alayo, F. / Fouz, F. “La resolución de problemas”.
Revista SIGMA nº 10.
Fernández, S. / Basarrate, A. / Alayo, F. / Fouz, F. “Listado y ejemplificación de estrate-
gias”. Revista SIGMA nº 10.
Fuente de la, Constantino. “Sobre los enunciados de los problemas”. Revista SIGMA nº 8
García, J. / Mulas, R. “Cuando los niños y las niñas tienen la palabra en matemáticas”.
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Ifrah, G. “Las cifras. Historia de una gran invención”. Alianza editorial, Madrid 1992
Kamii, C. “Reinventando la aritmética III”. Editorial Visor. Madrid 1995
López Sierra, G. / Etxegarai, F. “Listado y ejemplificación de estrategias”.
Revista SIGMA nº 13-14.
Muñoz, L. / Lassalle, P. “De la peseta al euro: preparándonos para el futuro”.
Aula de Innovación educativa nº 106.
Polya, G. “Cómo plantear y resolver problemas”. Editorial Trillas, 1992 México.
Ramírez, R. / Serra , T. “Hablamos de matemáticas”. Aula de Innovación educativa nº 96.
Rowan, T. / Bourne, B. “Pensando como matemáticos”. Editorial Manantial 1994.

El problema de la cabra
EL PROBLEMA DE LA CABRA
Alberto Bagazgoitia (*)
La Resolución de Problemas (R.P) puede ser considerada como el tema estrella en el actual
currículum de Matemáticas. Cuando se analizan, desde un punto de vista teórico o de refle-
xión, cuáles son los aspectos fundamentales que habría que trabajar en la enseñanza
Secundaria, la R.P., en el sentido amplio de la expresión, alcanza un muy importante grado de
consenso entre el profesorado.
Y es que la Resolución de Problemas, además de trabajar y desarrollar estrategias más genera-
les y de más alto nivel que la mera resolución de ejercicios de aplicación directa de fórmulas
conocidas o recién estudiadas, permite un mejor tratamiento y una más fácil adecuación a las
diferentes capacidades de los alumnos.
Sin embargo, en la práctica, en el aula, y sin entrar a valorar las razones por las que esto ocu-
rre, la realidad no concuerda con la importancia que se le da en el plano teórico. Es evidente
que la disponibilidad por parte del profesorado, de material adecuado e interesante es condi-
ción indispensable para que se vayan introduciendo actividades en esta línea.
El Problema de la Cabra que aquí se plantea ha sido objeto ya de varios artículos a lo largo de
estos últimos años. Es un buen problema por varias razones:
• Permite trabajar estrategias propias de la Resolución de Problemas: Descomponer un
problema en partes más simples,
• El procedimiento de abordar el problema no es único.
• Permite diferentes niveles de dificultad según las capacidades de los alumnos: la situa-
ción más elemental se puede ir complicando con sencillos cambios en el enunciado..
• Permite incorporar contenidos “tradicionales” : Trigonometría, Integrales.
Es un problema con el que se puede trabajar desde los primeros años de la Secundaria hasta
el último de Bachillerato. Mientras algunos alumnos se quedarán en las primeras fases del pro-
blema, otros podrán llegar hasta el final, profundizando en el uso de las herramientas y cono-
cimientos matemáticos necesarios para su resolución.
No se trata de que todos los alumnos aborden todas las variantes que aquí se proponen, sino
que cada uno o cada grupo las desarrolle hasta donde pueda con la colaboración del profe-
sor, dentro de la metodología de la resolución de problemas.
(*) Asesor del Berritzegune de Vitoria-Gasteiz

ENUNCIADO 1: UN REDIL CUADRADO
A) Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esqui-
nas exteriores de un redil de forma cuadrada, de 5 metros de lado. El redil está rodeado
por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra?
La Solución es muy sencilla :
Las 3 cuartas partes del círculo de radio 3m.:
S = 3/4 ␲ 32
= 27␲/4 m2
B) ¿Y si la longitud de la cuerda es de 7 metros?
El alumno descompondrá la región en zonas.
Por ej.:
S1: Los 3/4 del círculo de radio 7.
S2: 2 regiones de 1/4 de círculo de radio 2.
A = S1 + S2 = 3/4 ␲ 72
+ 2(1/4 ␲ 22
)
C) ¿Y si la longitud de la cuerda fuese mayor?
Se puede continuar con un proceso análogo al apartado anterior.
ENUNCIADO 2: UN REDIL TRIANGULAR
A) Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esqui-
nas exteriores de un redil en forma de triángulo equilátero, de 5 metros de lado. El redil
está rodeado por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra?
El área de la región donde puede pastar la cabra es la del círculo menos
la de un sector circular de 60º.
S = ␲ 32
– (1/6)␲ 32
= (15/2)␲ m2
B) ¿Y si la cuerda mide 6 m.?
El alumno deberá descomponer la región en subzonas.
Por ej:
S1 = Las 5/6 del círculo de 6 m. de radio
S2 = Cada una de las pequeñas regiones de 120º de un círculo de radio 1.
Alberto Bagazgoitia

Con lo que el área total sería :
S = S1 + 2 S2 = (5/6) ␲ 62
+ 2(1/3) ␲ = (30+2/3) ␲ m2
C) ¿Y si la cuerda midiese 9 m?
Hacer una figura adecuada es imprescindible.
A la vista de la figura, la región en la que la cabra
puede pastar puede descomponerse de más de
una forma. Cada alumno o grupo de alumnos
podrá encontrar la suya. Aquí se analizan tres
descomposiciones diferentes, utilizando diferen-
tes métodos de resolución. (Además de las estra-
tegias generales de resolución de problemas que
se pueden trabajar, como hacer representaciones
y dividir el problema en subproblemas, es claro
que el conocimiento de diferentes herramientas
matemáticas —trigonometría, integrales— dota
de mayores recursos para la resolución).
SOLUCIÓN
La región en la que la cabra puede pastar puede descomponerse como la suma de las regio-
nes S1, S2, S3 y S4.
La región S1 es muy sencilla de ver y de calcular como un sector circular de 300º ( los 5/6 del
círculo ) de radio 9m. Así pues:
S1 = (5/6) ␲ 92
m2
= 67’5 ␲ m2
Para obtener la suma de las regiones S2 + S3 + S4 analicemos diferentes descomposiciones:
DESCOMPOSICIÓN I para el Cálculo de S2 + S3 + S4.
S2 = DGEC S3 = BEFA S4 = CEB
La Región S2 + S3 + S4 puede ser vista como la suma de las siguientes :
Sector circular de centro A : FEC (S3 + S4)
Sector circular de centro D : GEA (S2 + S4)
A los que habrá que restar el área de la región S4
que hemos contado dos veces.
Cada uno de los dos sectores circulares anteriores
(FEC y GEA) son sectores de 120º de un círculo de
radio 4m. Por tanto su área será :
Sector FEC + Sector GEA = (1/3) ␲ 42
+ (1/3) ␲ 42
=
(32/3)␲ = 33’5103 m2
Calculemos ahora el área de S4.

Observando la figura vemos que la mitad de esta área, concretamente la región CEH, puede
verse como la diferencia entre el sector circular (de centro A) CAE y el triángulo rectángulo
HEA.
1/2 S4 = Sector CAE – Triángulo HEA
El ángulo en A del triángulo HAE, que es el mismo que el del sector CAE, se puede deducir a
partir de las longitudes de los lados del triángulo que lo determinan.
AE = 4 AH = 2’5.
Por tanto, llamando ␣ al ángulo (en A) HAE obtenemos :
Cos ␣ = 2’5/4 = 0’625 ˛ ␣ = 0’895665 rad = 51’3178º
Así pues, el área del Sector CAE es la de un sector de 0’855665 rad. correspondiente a un cír-
culo de radio 4m.:
Sector CAE = (0’895665 / 2␲) ␲ 42
= 7’1653 m2
Y el área del triángulo HAE, será AH*EH / 2 , donde AH = 2’5 ,, EH = AE sen ␣
Area Triángulo HAE = (2’5 * 4 * sen 0’895665 ) / 2 = 3’9031 m2
Por tanto : 1/2 S4 = 7’1653 – 3’9031 = 3’2622 ˛ S4 = 6’5244 m2
AREA TOTAL : S2 + S3 + S4 = 33’5103 – 6’5244 = 26’9859 m2
DESCOMPOSICIÓN II PARA EL Cálculo de S2 + S3 + S4
Utilizando la misma figura anterior, se puede ver otra sencilla descomposición.
La región S4 se puede dividir en dos
mitades : BEH y HEC y por tanto nos
podemos limitar a calcular la mitad de la
región total (S3 + 1/2 S4) de vértices
HEFA.
Y esta región HEFA se puede descompo-
ner como suma de un sector circular EAF
y un triángulo rectángulo HEA (el mismo
cuya área hemos calculado en el apar-
tado anterior). Es decir:
S3 + 1/2 S4 = Sector EAF + Area Triáng.
HEA = Sector EAF + 3’9031
Calculemos el área del Sector EAF : Es un sector de ␤ = 120º - ␣ grados (2␲/3 - ␣ radianes) de
un círculo de radio 4. Como ␣ lo hemos calculado en el apartado anterior, ␣ = 0’895665 rad.
˛ ␤ = 2␲/3 – 0’895665 = 1’198730 rad.
Sector EAF = [␤/(2␲)] ␲ 42
= 9’5898 m2
Por tanto: S3 + 1/2 S4 = 9’5898 + 3’9031 = 13’4929 ˛
S2 + S3 + S4 = 26’9858 m2
Alberto Bagazgoitia

DESCOMPOSICIÓN III PARA EL Cálculo de S2 + S3 + S4
La Geometría Analítica y el Cálculo Integral nos
abren otras posibilidades diferentes. Imaginemos
la figura anterior, en la que hemos fijado unos
ejes de referencia.
Tomaremos el eje vertical como Eje X y el hori-
zontal como Eje Y.
La mitad del área que queremos calcular es la
región limitada por los vértices: AFEH
Esta región la podemos descomponer en otras dos : AFI y AIEH.
La primera, AFI, es un sector circular de 30º correspondiente a un círculo de radio 4 m. Por
tanto su área será :
Area AFI = 42
␲ /12 = 4’1888 m2
La segunda, AIEH, la podemos calcular mediante el cálculo integral, como el área encerrada
por la circunferencia x2
+ y2
= 16, entre las abscisas 0 y 2’5.
Area AIEH = ͐͌16 - x2
dx
Y haciendo el cambio x = 4 sen t
Area AIEH = ͐͌16 - x2
dx = 16 ͐cos2
t dt = 9’3041 m2
Con lo que el área buscada será :
S2 + S3 + S4 = 2 ( 4’1888 + 9’3041 ) = 26’9858 m2
OTROS ENUNCIADOS:
Como se ha visto, cambiando la forma del redil y la longitud de la cuerda se obtienen pro-
blemas de dificultad variable.
Repite el problema con un redil pentagonal, hexagonal,...
ENUNCIADO 3: REDIL CIRCULAR
A) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio,
mediante una cuerda de 10 m. de longitud. ¿En qué área puede pastar la cabra?
La mitad de la región en la que la cabra, que está atada al punto P (Poste), puede pastar es la
limitada por los arcos PA y CA y el segmento CP.
Esta área se puede ver como el sector de centro C, PCA, más el sector de
centro P, CPA, menos el triangulo equilátero PAC.
Los dos sectores PCA y CPA son iguales, 60º de un círculo de radio 10 m.
Por tanto su área será :
Sector PCA + Sector CPA = 2 ((1/6) ␲ 102
) = 100 ␲ / 3 m2
Área triángulo PAC = (10 ͌3 / 2 ) 10 / 2 = 25 ͌3 m2
Solución : La mitad del área es : (100 ␲ / 3) - 25 ͌3 m2
2,5
0
2,5
0
0’675
0

OTRO MÉTODO : Para familiarizarse con el Cálculo Integral
Los alumnos deben habituarse a elegir los ejes de coordenadas de la forma más adecuada para
poder asociar a las figuras las ecuaciones más sencillas.
Tomando el origen de coordenadas en el Poste (0,0), la frontera del
redil tendrá como ecuación la de una circunferencia centrada en el
punto (0,10) y de radio 10m.: x2
+ (y – 10)2
= 102
y la que limita la
región en la que la cabra puede pastar será una circunferencia de radio
10m. centrada en el origen : x2
+ y2
= 102
Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones de las circunfe-
rencias se obtienen las coordenadas del punto de corte A (5͌3,5).
La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y 5͌3 de la diferencia de las
“y” de las dos circunferencias.
El alumno deberá reconocer que si bien al arco de la circunferencia x2
+y2
= 102
que queremos
integrar le corresponde el signo + de la raíz (y = + ͌(100-x2
)), al arco de la otra circunferen-
cia le corresponde el signo - . (y = 10 - ͌(100-x2
)).
Por tanto el área buscada vendrá dada por la integral:
͐[͌100 - x2
- (10 - ͌100 - x2
)] dx
Y haciendo el cambio habitual x = 10 sen t , e integrando en t entre los límites correspon-
dientes 0 y ␲/3, se obtiene como en el caso anterior, que
La mitad del área es : (100 ␲ / 3) - 25 ͌3 m2
B) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio,
mediante una cuerda de 12 m. de longitud. ¿En qué área puede pastar la cabra?
El problema es el mismo que el anterior con la dificultad añadida de que
el triángulo CPA no es equilátero, sino isósceles, por lo que el cálculo de
los ángulos en P y C no es inmediato y hay que utilizar el Teorema del
Coseno.
La mitad de la región en la que la cabra, que está atada al punto P (Poste),
puede pastar es la limitada por los arcos PA, BA y el segmento BP.
Esta área se puede ver como el sector de centro C, PCA, más el sector de centro P, BPA, menos
el triangulo isósceles PAC. Para calcular el área de los dos sectores necesitamos saber los
ángulos, en P y C, del triángulo PAC.
Mediante el Tª del coseno, calculamos el ángulo en P.
102
= 102
+ 122
- 2.10.12 cos P ˛ cos P = 3/5 ˛ P = 0’9273 rad.
Como los ángulos en P y A son iguales, el ángulo en C valdrá :
C = ␲ - 2. 0’9273 = 1’2870 rad.
Por tanto,
Área del sector BPA: (122
/ 2) 0’9273 = 66’77 m2
Área del sector PCA: (102
/ 2) 1’2870 = 64’35 m2
Área triángulo PAC: PC.AP.sen P / 2 = 10.12.(4/5)/2 = 48 m2
Alberto Bagazgoitia
5͌3
0

Solución:
La mitad del área será : 66’77 + 64’35 – 48 = 83’12 m2
MEDIANTE EL CÁLCULO INTEGRAL:
Análogamente a lo realizado en el Caso A), también se puede utilizar aquí el método del cál-
culo integral. Así como con el procedimiento anterior, este caso B) es más complicado que el
A), con la aplicación del cálculo integral no hay ninguna diferencia a lo visto en A).
Bastaría con resolver el sistema formado por las dos ecuaciones de
las circunferencias:
x2
+ (y – 10)2
= 102
y x2
+ y2
= 122
para encontrar las coordenadas
del punto de corte A (9’6, 7’2).
La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y
9’6 de la diferencia de las “y” de las dos circunferencias:
1/2 A = ͐[͌144 - x2
- (10 - ͌100 - x2
)] dx
Que resolviendo con los cambios x = 12 sen t y x = 10 sen t nos da el valor de 83’12.
C) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio,
mediante una cuerda. Si sólo puede pastar en la mitad de la superficie del campo, ¿Qué
longitud (aproximada) tiene la cuerda?
Igual que en los casos anteriores el área en la que puede pastar la
cabra será :
Área = Sector BPA + Sector PCA – Triángulo PCA
Esa área ahora es conocida y vale 1/4 ␲ 102
.
En vez de utilizar el valor 10 para el radio, usaremos a partir de
ahora la letra r, y sólo al final, si es necesario, usaremos el dato
concreto.
Para calcular las áreas, tanto la de los sectores como la del trián-
gulo, vamos a utilizar el ángulo en P : ␣.
Mediante el Tª del coseno : r2
= r2
+ x2
- 2rx cos ␣
Por tanto cos ␣ = x / 2r
• Área sector BPA = x2
␣/2
• Área sector PCA: Como el triángulo PCA es isósceles, el ángulo en C será: ␲ - 2␣. Por
tanto el área del sector PCA : r2
(␲ - 2␣) / 2.
• Área triángulo PCA: (x r sen ␣) /2 = r2
sen ␣ cos ␣.
De forma que el área en la que la cabra puede pastar se puede expresar:
␲ r2
/ 4 = x2
␣ /2 + r2
(␲ - 2␣) / 2 - r2
sen ␣ cos ␣.
Y expresando x en función de ␣:
␲ / 4 = 2 ␣ cos2
␣ + (␲ - 2␣ ) / 2 - sen ␣ cos ␣.
9’6
0

2 ␣ cos2
␣ + ␲ / 4 - ␣ - sen ␣ cos ␣ = 0
Para resolver esta ecuación podemos utilizar alguno de los programas informáticos que nos
proporcionan soluciones aproximadas. Un método rápido consiste en representar gráfica-
mente la función y observar sus puntos de corte con el eje X. Por las condiciones del problema
es claro que el valor de ␣ buscado estará entre 0 y ␲/2 , o, afinando un poco más, entre ␲/4
y ␲/2.
La gráfica siguiente está obtenida con DERIVE.
Mediante la Opción Traza, el propio programa nos ofrece las coordenadas de los diferentes
puntos de la curva a medida que nos desplazamos sobre ella. Así obtenemos como solución
aproximada de la ecuación, entre 0 y ␲/2 el valor ␣ = 0’9548.
Por tanto, la longitud aproximada de la cuerda será x = 2r cos ␣
x = 2. 10 cos 0’9548 = 11’56 m
Mediante el CÁLCULO INTEGRAL, de forma análoga a los casos A) y B) también puede resol-
verse, siendo completamente imprescindible el uso de un asistente matemático.
BIBLIOGRAFÍA:
Antonio Frías Zorrilla. “Procedimientos de resolución en un problema no rutinario”.
EPSILON 1994 nº 30.
Ian D. McLachlan. “A.I.M.S. in the classroom”. MATHEMATICS TEACHER May 1994.
Elisabeth Busser. “Buscar, jugar, encontrar”. MUNDO CIENTÍFICO Abril 1999.
Alberto Bagazgoitia

Octubre 2002 • Urria 2002 47
Ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbideaz
IKUR ETA ZEINU BIDEZKO
ADIERAZPEN MATEMATIKOEN IRAKURBIDEAZ (*)
Martxel Ensunza, Fisika Teorikoa eta Zientziaren Historia Saila, EHU
Jose Ramon Etxebarria, Fisika Saila, UEU
Jazinto Iturbe, Kimika Fisikoa Saila, EHU
Laburpena:
Artikulu honetan egileetako batek (M. E.) berriki aurkeztutako doktorego-tesirako
lanaren berri laburtua azaltzen da, irakaskuntzan diharduten matematikarientzat guz-
tiz interesgarria eta erabilgarria delakoan. Ikur eta zeinu bidezko adierazpen mate-
matikoen irakurbidea gai hartuta, lehenengo atalean adierazpen fisiko-matematikoen
hizkera lantzeko euskaraz egindako saioen azterketa historiko-kritiko laburra egin da.
Bigarren atalean, gaur egungo ikuspegia erabiliz, Fisika eta Matematikan erabiltzen
den hizkuntza berezi eta berezituari buruzko zenbait hausnarketa egin dira, inguruko
hizkuntzetan (ingelesa, frantsesa eta gaztelania) harturiko bideak kontuan hartuz.
Hirugarren atalean adierazpen sinbolikoen irakurbiderako proposamen zehatzak egin
dira, horretarako hiru arau nagusi zehaztuz, eta horien aplikaziorako baldintzak adie-
raziz. Amaitzeko, zenbait adibide jarri dira, arau horiek praktikan nola aplikatzen
diren erakutsiz.
Resumen:
En este artículo se hace una breve referencia de la memoria de tesis doctoral presentada
recientemente por uno de los autores (M. E.), considerando que puede ser de interés y
utilidad para los matemático/as que trabajan en la enseñanza. Analizando el tema de la
lectura de las expresiones matemáticas que contienen símbolos y signos, en el primer
apartado se expone un resumen histórico-crítico de las distintas experiencias prácticas
referentes al lenguaje a utilizar al leer las expresiones físico-matemáticas. En el segundo
apartado se presentan algunas reflexiones sobre el lenguaje especial y especializado que
se utiliza hoy en día en Física y Matemática, haciendo referencia expresa a los idiomas
de nuestro entorno (inglés, francés y castellano). En el tercer apartado se presentan pro-
puestas concretas de solución en forma de tres reglas generales, especificando su campo
de aplicación. Finalmente, se presentan algunos ejemplos de aplicación de dichas
reglas.
Gauza jakina denez, euskararen erabilerari dagokionez, berandu samar iritsi gara euskaldunok
irakaskuntzaren eta ikerkuntzaren arloetara —gure inguruko hizkuntza ofizialetako hiztunak
baino beranduago, behintzat—, eta, horren ondorioz, pauso hori ematen hasi garenean, ingu-
ruko hizkuntzetan gaindituta eta ebatzita zeuzkaten zenbait arazo praktikorekin egin dugu
topo. Horrelako arazo baten konponbiderako proposamenak aztertuko ditugu artikulu hone-
tan: ikur eta zeinu bidezko adierazpen matematikoen irakurbidea. Hain zuzen, ikur eta zeinu
bidezko laburtzapenek eragozpenak sortzen dizkigute praktikan, eta horiek gainditzeko
saioan, hainbat mailatako hausnarketak egin eta proposamen-sorta bat eskainiko dugu.
(*) En el siguiente número de la Revista SIGMA, se publicará un artículo continuación de éste referido al uso correcto del euskera en
las operaciones básicas.

Gaia lantzeko orduan, lehenengo kezka, abiapuntua bera izan genuen. Batetik, inguruko hiz-
kuntzetan iraganeko garaietan ibilitako bidea euskaldunok azken urteotan egin beharra izan
dugu, askoz ere denbora laburragoan, gainera. Esperientzia hori izan dugu abiapuntua.
Nolanahi den, bestetik, ez gara gu izan bide hori jorratzen ibilitako lehenak. Euskara bera ira-
kaskuntzarako hizkuntza modura erabiltzen hasi zenetik —nola edo hala esateko, XX. men-
dearen hasieratik—, hainbat ahalegin egin dira bai hiztegi tekniko-zientifikoaren eta bai arlo
horretako esamoldeen normalizaziorako bidean. Zer esanik ez, guztiz komenigarria zen gure
aurrekoek eginiko ahaleginetatik abiatzea, bidean izan zituzten oztopoak zein izan ziren jaki-
teko, eta horien konponbiderako erabili zituzten ebazpideak kontuan hartzeko. Eta horixe egi-
ten saiatu gara.
Dena den, gure helburua mugatua izan da: Matematikan —eta Fisikan— erabiltzen diren
nazioarteko ikur eta zeinu bidezko adierazpenek euskararen baitan izan dezaketen txertaketa
finkatzea eta normalizatzea.
1. ADIERAZPEN FISIKO-MATEMATIKOEN HIZKERA LANTZEKO
EUSKARAZ EGINDAKO SAIOEN AZTERKETA HISTORIKO-KRITIKO
LABURRA
Euskara bera eguneratzeko eta euskararen erabilpena irakaskuntzara zabaltzeko lehen asmoak
XX. mendearen hasieran abiatu ziren, geure ikerketan bilatu ditugun artikulu eta argitalpenak
kontuan hartuz behintzat. Hain zuzen ere, 1901. urtean Sabino Aranak argitaraturiko artikulu
batean —“Análisis y reforma de la numeración euzkérica” izenekoa— bi motatako ekarpen
berritzaile ageri dira. Lehena terminologiari buruzkoa da: hor ditugu anei (‘mila’), bostanei
(‘bost mila’), anbei (‘hamar mila’)… hitz berriak. Bestetik, euskararen zenbaki-sistema berezia
—ehun zenbakira arte hogeikakoa dena— sistema hamartar huts bihurtzeko ahalegina: berra-
mar (‘hogei’), iruramar (‘hogeita hamar’), laramar (‘berrogei’)… Egia esanda, gero harturiko
bideei dagokienez, Aranaren proposamenak ez zuen arrakastarik izan, baina gutxienez aipatu
beharra dagoela uste dugu, problema plazaratzean eta irtenbide bat proposatzean lehena izan
baitzen.
Nolanahi den, Aranaren bultzadak beste idazle batzuk jarri zituen lanean. Adierazpen mate-
matikoei dagokienez, aurkitu dugun lehenengo erreferentzia 1913koa dugu, hain zuzen ere
Ixaka Lopez Mendizabalen liburu batena: López Mendizabal'dar Ixaka (1913): Ume koxko-
rrentzat euzkaraz egindako Zenbakiztiya edo Aritmetika, Tolosa, E. López. Liburu horretan
oinarrizko eragiketak landu ziren, 1. koadroan ageri den eran:
1. koadroa.
Oharra: Letrakera etzanaz López Mendizabalek erabilitako formak adierazi dira eta letrakera arruntaz idatzitakoak gaur egun
erabiltzen direnak.
SIGMA Nº 21 • SIGMA zk. 2148
Martxel Ensunza - Jose Ramon Etxebarria - Jazinto Iturbe
batuketa / batuketa kenduketa /kenketa tolesketa / biderketa zatiketa / zatiketa
batukia / batugaia gutxitzen dana / tolesten dana / zatituba / zatikizuna
kenkizuna biderkakizuna
batukia / batugaia kentzen dana / toleslea / biderkatzailea zatilea / zatitzailea
kentzailea (edo biak biderkagaiak)
guziya / batura bitartekua / kendura ateria / biderkadura zatiya / zatidura
Oinarrizko eragiketen osagaiak

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